Trang 1 DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM Dạng 1 Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát Tìm các giá trị của tham số m để để[.]
Chuyên đề TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM Dạng Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc (CHỨA THAM SỐ) Bài tốn tổng qt: Tìm giá trị tham số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số (C ) : y ax3 bx cx d điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện) Phương pháp giải: Bước Lập phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: ax3 bx cx d px q Đưa phương trình bậc ba nhẩm nghiệm đặc biệt x xo để chia Hoocner được: x xo ( x xo ) ( ax bx c) g ( x) ax bx c Bước Để d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình g ( x) có nghiệm phân biệt khác g ( x ) xo Giải hệ này, tìm giá trị m D1 g ( xo ) Bước Gọi A( xo ; pxo q), B( x1 ; px1 q), C ( x2 ; px2 q) với x1 , x2 hai nghiệm g ( x) b c x1 x2 (1) a a Bước Biến đổi điều kiện K dạng tổng tích x1 , x2 (2) Theo Viét, ta có: x1 x2 Thế (1) vào (2) thu phương trình bất phương trình với biến m Giải chúng tìm giá trị m D2 Kết luận: m D1 D2 Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax bx cx d cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax bx cx d Khi đó: ax bx cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng hệ số ta x2 b 3a b vào phương trình ax bx cx d ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị 3a tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax bx cx d có nghiệm phân biệt Thế x2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax bx cx d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax bx cx d Khi đó: ax bx cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng hệ số ta x2 d a d vào phương trình ax bx cx d ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị a tham số Thế x2 Trang Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax bx cx d có nghiệm phân biệt Câu (Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số y x3 3mx 2m Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng? A B C D Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3mx 2m * Phương trình ax bx cx d có ba nghiệm lập thành cấp số cộng phương trình có nghiệm x b 3a Suy phương trình * có nghiệm x m m 1 Thay x m vào phương trình * , ta m3 3m m2 2m 2m3 2m m Thử lại: Với m 1, ta x 1 x x x x 3 Do m thỏa mãn Với m 1 , ta x 1 x 3x x 1 x 1 3 Do m 1 thỏa mãn Với m , ta x x Do m không thỏa mãn Vậy m 1 hai giá trị cần tìm Câu (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x C cắt đường thẳng d : y m( x 1) ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 A m2 B m 2 C m 3 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm C d D m 3 x3 3x2 m( x 1) (1) Phương trình (1) x3 3x2 mx m ( x 1)( x2 x m 2) x 1 x 1 f ( x) x x m f ( x) x x m (2) Phương trình (1) ln có nghiệm x , để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác ' m m 3 m 3 f (1) m 3 Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu toán Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y x 1 cắt đồ thị hàm số y x3 x hai điểm A B với tọa độ kí hiệu A x A ; y A B xB ; yB xB xA Tìm xB yB ? A xB yB 5 Trang B xB yB 2 C xB yB Lời giải D xB yB Phương trình hồnh độ giao điểm y x3 x : x 2 y 3 x3 x x 1 x3 x x y Vậy A1;3; B (2; 3) xB yB 5 Câu (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x3 3mx2 m3 có đồ thị Cm đường thẳng d : y m2 x 2m3 Biết m1 , m2 m1 m2 hai giá trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị Cm điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x14 x2 x34 83 Phát biểu sau quan hệ hai giá trị m1 , m2 ? B m12 2m2 A m1 m2 C m2 2m1 Lời giải D m1 m2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm d Cm x 3mx m m x m3 x 3mx m x 3m x m x 3mx 3m3 x x m 3m x m x 3m x m 2 2 2 x 3m x m x m Để đường thẳng d cắt đồ thị Cm điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 m 4 Khi đó, x14 x2 x34 83 m m 3m 83 83m 83 m 1 Vậy m1 1, m2 1 hay m1 m2 Câu (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x 3x cắt đường thẳng y m ba điểm phân biệt A m ; 4 B m 4; C m 0; D m ; 4 0; Lời giải Chọn B x Ta có y x 3x y 3x x; y x Bảng biến thiên: x y 0 y 4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y x 3x cắt đường thẳng y m ba điểm phân biệt 4 m Trang Câu (Mã 123 2017) Tìm tất giá trị thực tham số mđể đường thẳng y mx m cắt đồ thị hàm số y x 3x x ba điểm A , B, C phân biệt AB BC A m ; C m B m 2; D m ; 4; Lời giải Chọn B Ta có phương trình hồnh độ giao điểm là: x x x mx m x x x mx m 1 x x 1 x x m Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ba x 2x m điểm phân biệt phương trình x2 x m có hai nghiệm phân biệt khác Hay 1 m m 2 m 2 Với m 2 phương trình 1 có ba nghiệm phân 1 m m 2 x x2 biệt 1, x1 , x2 ( x1 , x2 nghiệm x2 x m ) Mà suy điểm có hồnh độ x=1 ln trung điểm hai điểm cịn lại Nên ln có điểm A,B,C thoả mãn AB BC Vậy m 2 Câu (Sở Cần Thơ - 2019) Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x m x 2m cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB A m 2 B m 1 C m Lời giải D m Chọn D Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục tung B 0; 2m Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị cho với trục hoành là: x 2 x m x 2m x x x m 2 x 1 m Giao điểm đồ thị cho với trục hoành A 2;0 1 Diện tích tam giác ABC là: S OA.OB 2m m 2 Câu (Mã 110 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị hàm số y x3 3x m ba điểm phân biệt A, B, C cho AB BC A m ; 1 B m : C m 1: D m ;3 Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x x3 x m mx x 1 x x m x 2x m Đặt nghiệm x2 Từ giải thiết tốn trở thành tìm m để phương trình có nghiệm lập thành cấp số cộng Khi phương trình x x m phải có nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng x1 x3 x2 ) Trang Vậy ta cần m 2 m Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x m có ba nghiệm phân biệt A m 2; B m ; 2 C m 2; D m 2; Lời giải 2 Xét hàm số y x 3x , y 3x x Lập bảng biến thiên Số nghiệm phương trình x x m * số giao điểm đồ thị hàm số y x3 3x đường thẳng y m Dựa vào bảng biến thiên suy PT (*) có nghiệm phân biệt 2 m Câu 10 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y x cắt đồ thị hàm số y x3 x hai điểm A B với tọa độ kí hiệu A xA ; y A B xB ; yB xB xA Tìm xB yB ? A xB yB 5 B xB yB 2 C xB yB Lời giải D xB yB Chọn C Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x x x x Giải phương trình ta x Vì xB xA Vậy xB 1; yB xB yB Câu 11 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để phương trình x3 3x 2m có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S A B C D 2 2 Lời giải Xét hàm số: y x3 3x y x x y x x Bảng biến thiên: Số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị: C : y x3 3x d : y 2m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình cho có hai nghiệm phân m 1 2m 1 1 S 1; biệt m 2 2m Trang 3 Vậy tổng phần tử S 1 2 Câu 12 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx 3(m 1) x điểm phân biệt m B m m2 m m 1 m 1 A C D m m m m2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm chung là: x 2mx 3(m 1) x x x x3 2mx (3m 2) x x 2mx 3m (1) Đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x3 2mx 3(m 1) x điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m m 3m m 1 m 3m m m2 Câu 13 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị C hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y x Biết phương trình f x có ba nghiệm x1 x2 x3 Giá trị x1 x3 A 3 B C 2 Lời giải x 1 +Ta có: f x x x x f x hàm bậc ba nên f x x 1 a x 1 x 1 x 3 f x a x 1 x 1 x 3 x ; f a f x x 1 x 1 x 3 x x x2 + f x x 1 x 3 x1 , x3 nghiệm nên ta có x1 x3 2 Trang D thẳng y Câu 14 nên từ đồ thị ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt (Chun Lê Thánh Tơng 2019) Có giá trị nguyên tham số m 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x 3mx đường thẳng y 3x có điểm chung? A B 2019 C 4038 D 2018 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 3x x3 3mx 3x x3 3x 3mx 3m (1) x x3 3x 2 2 x3 Xét hàm f x ; f x x x2 ; f x x x x x x2 Bảng biến thiên x f x f x Khi u cầu tốn m Mà m nguyên m 2018; 2019 nên có 2018 giá trị thỏa mãn Câu 15 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x 6mx 5m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m B m 1 m C m D m Lời giải Phương trình cho tương đương: x mx 5m Đặt y f x x mx 5m có f x x m ; f x 6x PT cho có nghiệm phân biệt Hàm số y f x cắt trục hoành điểm phân biệt f x có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn f x1 f x2 nghiệm lập thành cấp số cộng nên x2 x1 x3 x2 Suy ra, x2 hoành độ tâm đối xứng nghiệm f x Cho f x 6x x Với x ta có: 5m m 1 Thử lại: x Với m ta có x3 x x x x Với m 1 ta có: x3 x x x x Câu 16 Tính tổng tất giá trị m biết đồ thị hàm số y x mx m x đường thẳng y x cắt ba điểm phân biệt A 0; , B , C cho diện tích tam giác IBC với I 1;3 A B C Lời giải D Chọn C +) Gọi đồ thị hàm số y x mx m x C m đồ thị hàm số y x d +) Phương trình hồnh độ giao điểm C m d Trang x x mx m x x x 2mx m x x 2mx m +) Gọi g x x mx m +) d cắt C m ba điểm phân biệt phương trình có ba nghiệm phân biệt phương trình g x có hai nghiệm phân biệt khác m 1 g m m m a g m m 2 +) x hoành độ điểm A , hoành độ điểm B , C hai nghiệm x1 , x2 phương trình g x 2 +) BC x2 x1 x2 4 x1 4 x2 x1 (do B , C thuộc đường thẳng d x2 x1 x1 x2 m2 m +) Viết phương trình đường thẳng d dạng x y , ta có d I , d 1 +) S IBC 2 1 BC.d I , d BC d I , d 128 m2 m 2 128 137 m (thỏa điều kiện a ) m m 34 137 m +) Vậy tổng tất giá trị m Câu 17 Có giá trị nguyên tham số m 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x 3mx đường thẳng y x có điểm chung? A B 2019 C 4038 D 2018 Lời giải Chọn D + Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3mx x 3mx x x 1 + Dễ thấy x không thỏa + 1 3m x f x x 2 x3 x + f x 2x x x2 + Bảng biến thiên: + Đồ thị hàm số y x 3mx đường thẳng y x có điểm chung 3m m Trang + Do m m 2018; 2019 nên có 2018 giá trị Câu 18 Đường thẳng d có phương trình y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx ( m 3) x điểm phân biệt A(0; 4) , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M (1;3) Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán A m B m m C m 2 m 3 D m 2 m Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình x x3 2mx (m 3) x x x3 2mx (m 2) x x 2mx (m 2) (*) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân m 1 m m biệt khác m m m 2 Giả sử B ( x1 ; x1 4) ; C ( x2 ; x2 4) với x1; x2 nghiệm phương trình (*) BC 2( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) x1.x2 8m 8m 16 1 1 SMBC BC.d (M , d ) BC BC 2 m 2 Ta có m2 m m Đối chiếu điều kiện ta có m Câu 19 (THPT Minh Khai - lần 1) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx m 1 x ba điểm phân biệt m A m m B m m m C m m Lời giải m D m Chọn C Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x3 2mx m 1 x x x x3 2mx 3m x x 2mx 3m 1 Yêu cầu tốn tương đương phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, khác m m 0 2m.0 3m 3 m2 m m 3m m m Câu 20 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để phương trình x3 3x 2m có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S A B C D 2 2 Lời giải Chọn B Trang Xét hàm số: y x3 3x2 y x x y x x Bảng biến thiên: Số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị: C : y x 3x d : y 2m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình cho có hai nghiệm phân m 1 m 1 1 S 1; biệt m 2 2m 3 Vậy tổng phần tử S 1 2 Câu 21 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y x m x 5m x m điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 x22 x32 20 A C B D Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị hàm số nghiệm phương trình x m x 5m x m x m x3 x x 2m x m 3 x 2m x m 1 Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân m 1 m 12 m 3 m 1 biệt x1; x2 khác (2) m m 4 2m m m 1 x x 2m Khi đó, x1 x2 m Theo giả thiết x12 x22 x32 20 x1 x2 x1 x2 x32 20 m 2m m 3 20 2m 3m (thỏa mãn (2)) m Vậy giá trị lớn m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 22 Có giá trị m để đồ thị hàm số y 2 x 3m x m3 2m x cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ ba số hạng liên tiếp cấp số nhân? A B C D Lời giải Chọn C Trang 10 ... x22 x32 x2 x3 x2 x3 m m 2 So sánh với điều kiện suy m 2 Kết luận: m 2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 31 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi S tập tất giá trị tham... 4m 1 + Điều kiện toán tương đương với Trang 18 D 9 m 3 I (d ) m3 4m 12m m3 12m m 21 2 Suy tích giá trị m Dạng Bài toán tương giao đường thẳng... biệt A(0; 4) , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M (1;3) Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán A m B m m C m 2 m 3 D m 2 m Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm hai đồ thị