Xác định các tham số trong mô hình mật độ khuyết tật tinh thể cho thép 16MND5 ban đầu và thép 16MND5 chịu phóng xạ KẾT CẤU CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWMARK GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MÔ HÌNH CẦ[.]
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWMARK GIẢI QUYẾT BÀI TỐN MƠ HÌNH CẦU ĐƠN GIẢN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI CHUYỂN TS PHAN HUY THIỆN, TS NGUYỄN CẨN NGÔN Trường Đại học Vinh Tóm tắt: Trong báo nhóm tác giả nghiên cứu giải toán dao động cầu dầm giản đơn chịu tải trọng di chuyển, tải trọng mơ hình vật hai khối lượng Bài báo trình bày: cầu dầm đơn giản với mơ hình hai khối lượng cho tải trọng di động, sau tiến tới thiết lập hệ phương trình vi phân, giải toán phương pháp Newmark lập trình ngơn ngữ Matlab, cuối chương trình lập tính tốn với tham số thực tế Từ khóa: cầu dầm đơn giản, phân tích dao động, mơ hình tải trọng hai khối lượng, phần tử hữu hạn, tải trọng di động Abstract: In this paper the authors study to solve simple span bridge vibration under moving loads, here loads are modelled by objects with two mass Articles in turn present: simple span bridge with two mass model for moving load, and then proceed to establish systems of differential equations, solving the problem by Newmark method and Matlab software, then program will be established to calculate an example with actual parameters Keywords: simple span bridge, vibration analysis, two mass model, finite element, moving load Đặt vấn đề Trong tiêu chuẩn thiết kế cầu Việt Nam số nước giới [1], [2], thiết kế loại cầu người ta đưa hệ số động tải trọng di động gây nên tính tăng thêm theo tỉ Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 lệ tải trọng tĩnh Hệ số động đó, quy định cho tất cầu nói chung cầu dầm nhịp giản đơn nói riêng, dẫn đến việc xác định tải trọng động cho cầu cần phải nghiên cứu rõ để đánh giá mức độ ảnh hưởng hệ số động cầu Để có cơng cụ đánh giá hệ số động nhiều tác giả giải tốn mơ hình với nhiều cách khác Một số tác giả giải phương trình vi phân dao động phương pháp Runger-Kutta-Mersion ngôn ngữ Pascal [3], giải phương pháp RungerKutta-Mersion ngôn ngữ Delphi [4] Các chương trình thích hợp cho việc đánh giá chi tiết, địi hỏi tính tốn tỷ mỷ cơng phu, lớn để đánh giá nhanh hệ số động Với mục đích đơn giản hóa để tính tốn nhanh, dựa phần mềm sử dụng quen thuộc Việt Nam Trong báo này, tác giả nghiên cứu hệ số động phương pháp phần tử hữu hạn cho cầu dầm giản đơn phương pháp Newmark, lập trình ngơn ngữ Matlab với mơ hình hai khối lượng cho tải trọng Cầu dầm tác dụng mơ hình tải trọng hai khối lượng Trong phạm vi báo tác giả nghiên cứu mô hình tương tác động lực học tải trọng di động kết cấu cầu dầm giản đơn Trong mô hình kết cấu cầu dầm giản đơn xét đến khối lượng phân bố Phần tử dầm chịu uốn phân tích theo mơ hình Euler – Bernuolli Mơ hình tải trọng di động nghiên cứu mơ hình hai khối lượng hình 31 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG § G1.sin Gi.sin N GN.sin i m11 m1i k1N d1N k1i d2N VN k2i m2N m11 d1i k11 d2i Vi k21 m2i k2N d11 m21 d21 V1 X aN a1 m=const l Hình Mơ hình phần tử dầm tác dụng đồn tải trọng di động Trên hình 1, cấu trúc tải trọng thứ i tương ứng với trục xe thứ i mô tả sau: Gi.sin i=Gi.sin( it+ i) lực kích thích điều hịa di khối lượng lệch tâm động quay với vận tốc góc , truyền xuống trục xe thứ i, với i góc pha ban đầu hưởng lực kích động động cơ, khối lượng thân xe, khối lượng hàng hóa, khối lượng trục xe, độ cứng độ giảm chấn nhíp xe lốp xe m1i - Khối lượng thân xe, kể hàng hóa truyền xuống trục xe thứ i; hình Các xe di động xe cầu Mơ hình tương tác động lực học đoàn xe di động kết cấu cầu dầm nhịp giản đơn mô tả tốc độ khác tốc độ Số lượng chủng loại xe khác Các tham số như: khối lượng m2i - Khối lượng trục xe thứ i; thân xe kể hàng truyền xuống trục xe, khối lượng k1i, d1i - Độ cứng độ giảm chấn nhíp xe; k2i, d2i - Độ cứng độ giảm chấn lốp xe; trục xe, độ cứng độ giảm chấn nhíp xe lốp xe, độ cứng chiều dài nhịp khác L - Chiều dài phần tử dầm Đây mơ hình tải trọng phù hợp với loại xe ô tơ thực tế Mơ hình xét ảnh Gi.sin Thiết lập phương trình dao động i m1i k1i z1i d1i k1i y1i + d1i.y1i m2i k2i z2i d2i k2i y2i + d2i.y2i x Wi y,z,w Hình Cấu trúc tải trọng thứ i [3] 3.1 Phương trình dao động tải trọng di động Gọi z1i z2i tọa độ tuyệt đối khối lượng m1i m2i theo phương thẳng đứng: 32 z1i y1i y 2i z 2i y 2i wi wi (1) Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Áp dụng nguyên lý d’Alembert viết phương trình cân cho khối lượng m1i m2i: m1i z1i k1i y1i d1i y 1i m1i g G sin 1i m2i z2i k 2i y 2i d 2i y 2i m2i g k1i y1i d1i y 1i Trên hình 2: Fi k 2i y 2i d 2i y 2i , kết hợp với (2) ta được: Fi Gi sin i (m1i m2i ).g m1i z1i (2) m2i z2i (3) Áp lực tập trung tải trọng Fi biểu diễn áp lực phân bố với cường độ p(x, z, t) khoảng vi (t i) i ; v i (t i) i có cường độ khơng ngồi khoảng qua hàm ĐentaĐirăc: p ( x, z i , t ) Fi ( x ); vi (t i ) (4) Như vậy, lực Fi biểu diễn chúng dạng lực phân bố: N p ( x, z , t ) i Gi sin (m1i i m2i ).g m1i z1i m2i z2i ( x ) (5) i Phương trình dao động dầm: p(x,z,t) Q+ Q dx x X M Q Fqt w M dx x M+ Rc Hình Phân tố dầm [3] Xét phân tố có chiều dài dx dầm, lực tác dụng lên phân tố dầm có chiều dài dx (hình 3) bao gồm: Q dx ; Lực cắt Q Q x M dx ; Mômen uốn M M x Fd w dx ; Với t ; đó: E – mơ đun đàn hồi vật liệu dầm kỳ không phụ thuộc vào độ cong mà phụ thuộc tốc độ biến thiên nó: M const - hệ số ma EJ d ( t ) (6) sát Lực quán tính: t Với giả thiết mơmen uốn mặt cắt bất Lực cản Rc phụ thuộc bậc với vận tốc: Rc E Fqt Fd w t2 w x2 với: dx Fd - Trọng lượng phần tử dầm đơn vị chiều dài; Áp lực phân bố tải trọng di động: p(x,z,t) Xét tương quan ứng suất biến dạng có kể đến yếu tố nội ma sát: Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 (7) Thay (6) vào (7) ta có: M EJ d w x2 w x t (8) Áp dụng nguyên lý d’Alembert lập phương trình hình chiếu lên trục 0W: 33 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Q Q dx x Q Q x Fd w t Fd w t w t w dx t p ( x, z, t )dx (9) p ( x, z , t ) (10) Theo sức bền vật liệu: M x Q w x3 EJ d w x t (11) Kết hợp (10) (11) ta có: w x4 EJ d w x t Fd Phương trình (12) mơ tả dao động uốn dầm có kể đến ảnh hưởng ma sát ma sát Kết hợp (12) (5), (2) nhận EJ d w x4 p ( x, z , t ) w x t N Fd ) i Fi ( x i w t i w t w t p ( x, z , t ) (12) hệ phương trình vi phân mô tả dao động uốn dầm chịu tác dụng nhiều tải trọng di động: w t N p ( x, z , t ) Gi sin i (m1i m2i ).g m1i z1i m2i z2i ( x ) (13) i (t ) m1i z1i k1i y1i d1i y 1i (d1i d 2i ).z 2i i (t ) m i z2i i d 1i z 2i k1i k1i z 2i k i z 2i Áp dụng phương pháp Galerkin rời rạc hóa phương trình dao động uốn phần tử dầm [4] Ta áp dụng phương pháp Galerkin để rời rạc hóa hệ cầu dầm thành phần tử chịu tải trọng di động sử dụng thuật toán phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng phương trình vi phân dao động tồn hệ: M Q (14) C Q K.Q F đó: M , C , K - ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng toàn hệ f (t n h) f (t n ) hf ' (t n ) i (t ) m1i g d1i z 1i k1i z1i G sin i 1i (t ) d 2i w i k 2i wi m 2i g thống theo mơ hình tương tác động lực học cầu dầm giản đơn tải trọng di động , Q , Q , F - véc tơ gia tốc, vận Q tốc, chuyển vị, lực tương đương mở rộng cho toàn hệ thống theo mơ hình tương tác động lực học cầu dầm giản đơn tải trọng di động Giải toán phương pháp Newmark Phương pháp Newmark cơng thức tích phân bước Véctơ trạng thái hệ thời điểm tn h suy từ vectơ trạng thái hệ biết thời điểm t n , qua khai triển Taylor tn dịch chuyển vận tốc h2 f (t n ) 2! hs s f (t n ) s! Rs (15) đó: Rs - số dư khai triển đến bậc s Rs s! t h f ( s 1) ( )(t n h )s d (16) tn Từ công thức (15) suy công thức xác định vận tốc dịch chuyển hệ động lực thời điểm t n 34 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG tn q n q n q( )d tn tn qn qn 1 hq n (t n (17) ) q( )d tn qn đó: q q1 q N qn q( )d T Sự gần thể đánh giá số hạng gia tốc biểu thức tích phân phép tính số Biểu ( ) khoảng thời gian t n , t n hàm qn qn biên khoảng: thức q q( ) q ( 3) ( )(t n qn qn đó: ( 4) ) q ( ) ( 3) q( ) q ( )(t n 1 )2 (t n ( 4) ) q ( ) (t n (18) )2 q ( 3) (t ) - đạo hàm cấp véctơ q(t) theo thời gian, q ( ) (t ) - đạo hàm cấp vectơ q(t) Nhân phương trình thứ (18) với (1-α), phương trình thứ hai với α cộng lại ta được: (1 )qn qn q( ) (1 q( ) q ( 3) ( ) t n )qn qn q ( 3) ( ) O(h q ( ) ) h (19) O(h q ( 4) ) h tn Tương tự nhân phương trình đầu (18) với (1-2β), phương trình thứ hai với 2β cộng lại ta có: q( ) (1 )qn qn q ( 3) ( ) h tn O(h q ( ) ) (20) Thế (19) (20) vào số hạng tích phân (17) ta nhận cơng thức cầu phương: tn q( )d (1 )hqn hqn rn tn tn (t n )q( ) d (21) ( tn 2 ) h qn h qn r 'n Các số hạng sai số tương ứng có dạng: rn ( 3) )h q ( ) O(h q ( 4) ) tn ( 3) ( 4) )h q ( ) O( h q ) ( r 'n ( Các số α β tham số liên quan đến sơ đồ cầu phương Chọn khoảng tn , tn 1 , (22) 1 , ta xấp xỉ gia tốc tuyến tính q( ) Nếu ta chọn tn qn ( ) q qn ( tn ) qn qn qn (23) h khoảng tn , tn xấp xỉ gia tốc trung bình Thế biểu thức (21) vào biểu thức (17) ta nhận công thức xấp xỉ theo phương pháp Newmark q n q n (1 )hqn qn qn hq n ( Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 hqn , )h q n h qn (24) 35 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Phương pháp Newmark dao động hệ nhiều bậc tự Giả sử ta có phương trình dao động hệ nhiều bậc tự M q C.q K q f (t ) đó: M, C, K - ma trận số Áp dụng công thức Newmark (23) vào phương trình n thời điểm t n ta tính gia tốc q M h K qn hC fn 1 C q n (1 n Giải hệ phương trình đại số (24) ta q Sử dụng công thức Newmark (24) nhận giá trị vận tốc độ dịch chuyển q n , q n Chú ý ma trận M hC ma trận đối xứng xác định dương h2K q M q(t ) q (t ) q (t ) cho sau: f (t ) Cq M Kq , f (t ) Cq (t ) Kq (t ) (26) Ví dụ tính tốn kết Nhóm tác giả xây dựng chương trình nhằm mơ hình kết cấu cầu dầm giản đơn chịu tải trọng di động mơ hình hai khối lượng theo phương pháp phần tử hữu hạn thực thuật tốn ngơn ngữ lập trình Matlab Hệ số động Kd Cho sơ đồ nhịp cầu: 1.4 )h qn (25) X 42m Hình Sơ đồ kết cấu nhịp cầu giản đơn với chiều dài L =42m Với EJ= 1011 (N.m2) Khối lượng phân bố qy = 11.400 Kg/m Khối lượng m1 = 15*103 Kg; m2 = 209Kg; Độ cứng K1 = 260*104(N/m); K2 = 200*104(N/m); Độ giảm chấn d1=2,4*103(Ns/m); d2=4,3*103(Ns/m); Hệ số ma sát ma sát kết cấu lấy theo kết nghiên cứu trước [6]: =0,027; = 0,01.Tiến hành khảo sát hệ số động lực chuyển vị đứng nút 2, 3, chuyển vị xoay nút 2, 3, Theo tiêu chuẩn Việt Nam TCVN-4054-2005 tốc độ tối đa đường cao tốc cho phép v = 120km/h Dưới tác giả khảo sát với vận tốc khoảng từ 1-120km/h nut nut nut 1.45 1.4 1.35 1.35 1.3 1.3 1.25 1.25 1.2 1.2 1.15 1.15 1.1 1.1 1.05 ( 1.5 nut nut nut 1.45 hq n Biểu đồ hệ số động của chuyển vị xoay Biểu đồ hệ số động của chuyển vị thẳng 1.5 K qn (t ) từ điều Ta xác định điều kiện ban đầu q kiện ban đầu )hqn 1.05 20 40 60 80 100 120 Vận tốc V(Km/h) 20 40 60 80 100 120 Vận tốc V(Km/h) Hình Biểu đồ hệ số động chuyển vị vận tốc thay đổi Tại vị trí nút 2: Hệ số động chuyển vị thẳng tăng theo vận tốc đến giá trị lớn 1,38 vận tốc 94km/h sau giảm dần xuống đến 1,35 vận tốc 108km/h lại tiếp tục tăng lên đến 1,45 đạt vận tốc 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng 36 Vận tốc theo vận tốc đến giá trị lớn 1,39 vận tốc 98km/h sau giảm xuống đến 1,33 đạt vận tốc 120km/h; Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG tăng đến giá trị lớn 1,41 đạt vận tốc cực trị (1+ )max = 1,47 nút vận tốc tải trọng di động v = 120Km/h 101km/h sau giảm xuống 1,36 đạt vận tốc Kết luận 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận Tác giả giải thành công mô hình cầu dầm đơn giản tác dụng tải trọng di chuyển phương pháp Newmark Bài toán lập trình tính tốn với ngơn ngữ Matlab Tác giả áp dụng tính tốn với ví dụ với số liệu tương đối thực tế, kết thu cho phép có phân tích đánh giá định tính phân tích sơ định lượng cho dầm cầu đơn giản - Tại vị trí nút 3: Hệ số động chuyển vị thẳng tốc lên đến 1,15 vận tốc 58km/h sau giảm dần xuống đến 1,05 đạt 72km/h lại tiếp tục tăng lên đến 1,47 đạt vận tốc 120km/h; - Tại vị trí nút 4: Hệ số động lực chuyển vị thẳng tăng đến giá trị 1,007 đạt vận tốc 36km/h sau giảm dần xuống 1,001 vận tốc 40km/h lại tiếp tục tăng lên đến 1,43 vận tốc đạt 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận tốc lên đến 1,41 vận tốc 105km/h sau giảm dần xuống 1,38 đạt vận tốc 120km/h; TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tiêu chuẩn thiết kế Cầu 22TCN 272-05 2. Tiêu chuẩn thiết kế Cầu AASHTO-LRFD-1998 Ta thấy rằng: - Khi tốc độ tải trọng di động giảm dần đến 0, hệ số động lực giảm dần hội tụ đến 1, kết phân tích động tiệm cận với kết phân tích tĩnh Khi đưa trường hợp đặc biệt (tải trọng có khối lượng, khơng có liên kết đàn hồi cản nhớt với dầm) Kết sát với thí nghiệm [5] Điều cho thấy kết phân tích chương trình TH-Matlab phù hợp với lý thuyết tính tốn; - Tại vị trí chiều dài cầu hệ số động lực (1+ )max khác nhau; - Biểu đồ hệ số động theo vận tốc thay đổi theo quy luật phi tuyến tính; - Với số liệu đầu vào ta tìm hệ số động lực chuyển vị thẳng đạt cực trị (1+ )max = 1,45 nút hệ số động lực chuyển vị xoay đạt Mỹ 3. Hoàng Hà (1999), Nghiên cứu dao động uốn kết cấu nhịp cầu dây văng đường ô tô, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Hà Nội 4. Nguyễn Xuân Toản (2007) Phân tích dao động cầu dây văng tác dụng tải trọng di động Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Hà Nội 5. Tạ Hữu Vinh (2005) Nghiên cứu dao động kết cấu hệ chịu tải trọng di động phương pháp số Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Hà Nội Phan Huy Thiện (2013) Dao động cầu nhịp giản đơn tác dụng phương tiện di chuyển Luận án Thạc sĩ Kỹ thuật, Hà Nội Raid Karoumi (1998), Response of Cable-Stayed and Suspension Bridges to Moving Vehicles, Doctoral Thesis, Stockholm Ngày nhận bài: 23/6/2020 Ngày nhận sửa lần cuối: 22/9/2020 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 37 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Using Newmark method to solve simple span bridge model under the effect of moving load 38 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 ... trục xe thứ i; hình Các xe di động xe cầu Mơ hình tương tác động lực học đoàn xe di động kết cấu cầu dầm nhịp giản đơn mô tả tốc độ khác tốc độ Số lượng chủng loại xe khác Các tham số như: khối... nut nut 1.45 hq n Biểu đồ hệ? ?số? ?động của chuyển vị xoay Biểu đồ hệ? ?số? ?động của chuyển vị thẳng 1.5 K qn (t ) từ điều Ta xác định điều kiện ban đầu q kiện ban đầu )hqn 1.05 20 40 60 80 100... Tại vị trí chiều dài cầu hệ số động lực (1+ )max khác nhau; - Biểu đồ hệ số động theo vận tốc thay đổi theo quy luật phi tuyến tính; - Với số liệu đầu vào ta tìm hệ số động lực chuyển vị thẳng đạt