E \TCKH\2016\6\tongtapchi dvi JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI 10 18173/2354 1075 2016 0048 Educational Sci , 2016, Vol 61, No 6, pp 53 59 This paper is available online at http //stdb hnue edu vn NGHIÊ[.]
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2016, Vol 61, No 6, pp 53-59 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0048 NGHIÊN CỨU CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA GĨP PHẦN ĐỔI MỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG: TRƯỜNG HỢP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = sin x Nguyễn Tiến Trung Tạp chí Giáo dục Tóm tắt Bài báo trình bày số phân tích đề xuất điều chỉnh nhỏ nội dung dạy học kĩ thuật dạy học nội dung toán học cụ thể: đạo hàm hàm số y = sin x Ba sin x = góp phần phương án thực để tránh việc thừa nhận công thức lim x→0 x giúp học sinh khám phá tri thức toán học là: Thứ nhất, sách giáo khoa ban có sin x = (*) trình thể trình bày đưa phần chứng minh định lí kẹp định lí lim x→0 x bày báo vào phần tập Như vậy, thông qua trình chữa tập cho học sinh, giáo viên trang bị cho em kĩ thuật chứng minh, tìm giới hạn, cơng cụ để giải tốn tính đạo hàm hàm số y = sinx cần thiết, tránh việc thừa nhận Thứ hai, trình bày phương án khác, sử dụng kiến thức hình học, việc giúp học sinh kiến tạo cơng thức tính đạo hàm hàm số y = sinx, khơng sử dụng tới hai định lí đề cập Thứ ba, sử dụng phần mềm hướng sin x để giúp học sinh dẫn học sinh sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để vẽ đồ thị hàm số y = x hình dung, cảm nhận tồn giá trị “giới hạn” (∗) Từ khóa: Giới hạn, đạo hàm, tính đạo hàm định nghĩa Mở đầu Bài tốn tìm giới hạn hàm số dạng toán quan trọng, ứng dụng nhiều tập, có tốn tính đạo hàm hàm số Ngơn ngữ giới hạn mang tới nhận thức – tư tưởng giới hạn, liên tục Chúng đồng quan điểm rằng, "mặc dù tính liên tục gần gũi dễ nhận thấy, lại khái niệm khơng dễ diễn tả tốn học xác" [1, tr 165] Nghĩa là, trình độ học sinh nhiều việc hiểu rõ tri thức tốn học lúc thực Trong chương trình tốn Trung học phổ thơng, có số nội dung liên quan đến toán giới hạn mà theo chúng tơi cịn xem xét, thiết kế số hướng tiếp cận giúp cho học sinh hình thành khái niệm, hiểu khái niệm Chẳng hạn [2], chúng tơi thấy có trình bày kiến thức liên quan tới trang, chương khác nhau: đạo hàm hàm số sin x y = sin x (trang 207-208); giới hạn lim = (dùng để tính đạo hàm hàm số y = sin x) x→0 x Ngày nhận bài: 10/11/2015 Ngày nhận đăng: 10/6/2015 Liên hệ: Nguyễn Tiến Trung, e-mail: nttrung@moet.edu.vn 53 Nguyễn Tiến Trung trình bày trang 153, 154, 206, 207; định lí kẹp (dùng để chứng minh có giới hạn sin x sin x lim = 1) trình bày trang 152, 153 Tuy nhiên, nội dung giới hạn lim =1 x→0 x x→0 x định lí kẹp trình bày Bài đọc thêm Căn vào yêu cầu dạy học, xác sin x định yêu cầu học sinh nắm vận dụng giới hạn lim = x→0 x làm tập, phần kiến thức liên quan (để tính đạo hàm định nghĩa) khơng u cầu học sinh nắm mặt tốn học phép chứng minh Tương tự vậy, thực phép tính đạo hàm định nghĩa hàm số y = sin x yêu cầu cho học sinh mà yêu cầu học sinh nắm công thức (sin x)′ = cos x vận dụng giải tập Tiếp đó, chúng tơi thấy [3, tr 163-164], trình bày việc thừa nhận định sin x = để phục vụ cho việc chứng minh định lí : "hàm số y = sin x có đạo hàm lí lim x→0 x x thuộc Rvà (sin x)′ = cos x" Phần chứng minh định lí đạo hàm hàm số y = sin x [3], tương tự [2] Vì lí trên, chúng tơi phân tích, đề xuất phương án dạy học tính đạo hàm hàm số định nghĩa cách phù hợp, thông qua việc mô tả tốn giải tích thơng qua hình học lượng giác Phân tích (thơng qua mơ tả hình học mô tả, biểu diễn phần mềm sin x vẽ đồ thị) góp phần giúp học sinh hình dung, cảm nhận giới hạn hàm số f (x) = x x → cách trực quan, thừa nhận, không đặt vấn đề chứng minh công thức giới hạn 2.1 Nội dung nghiên cứu Từ tốn tính đạo hàm hàm số y = sin x Trong [2, tr 207-208], trình bày việc tính đạo hàm hàm số y = sin x điểm x thuộc R định nghĩa theo cách sau: △x △ x sin △ y = sin (x+ △ x) − sin x = cos x + 2 Khi ta có △ x △x cos x + sin △y 2 = △x △x Tìm giới hạn x x cos x + sin y 2 lim = lim x→0 x→0 x x x x sin x = lim cos x + x→0 2 △x sin △ x Lại lim cos x + = cos x (vì hàm số y = cos x liên tục) lim △ x2 = △x→0 △x→0 2 54 Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa góp phần đổi nội dung dạy học mơn Tốn sin x = (*) thừa nhận, có x phần hướng dẫn chứng minh [2, tr 154]) nên △y ta có lim = cos x △x→0 △ x Vậy (sin x)′ = cos x Bây giờ, xem trình bày lại phần chứng minh định lí (*) sau: Vì x 6= nên cần xét x khoảng chứa điểm 0, chẳng hạn x ∈ π π , x 6= − ; 2 π Trước hết, giả sử x ∈ 0; Trên đường ⌢ tròn lượng giác, ta đặt cung AM có số đo xrad Tia OM cắt trục tung điểm T (hình bên) Ta có (định lí lim x→0 S△OAM < Squat OAM < S△OAT , tức Hình 1 1 sin x < x < tan x 2 π nên sin x > 0, chia vế bất đẳng thức cho sin x ta Vì x ∈ 0; 2 1< x < sin x cos x (1) sin x với x ∈ 0; nên từ (1) suy cos x < π π Nếu x ∈ − ; −x ∈ 0; áp dụng cơng thức (2) cho (−x), ta 2 cos (−x) < sin x sin (−x) < hay cos x < − > −1 x x sin x >0 ⇔ − cos x > − x Hình Sử dụng định lí kẹp ta suy sin x sin x sin x lim − ⇒ lim = (Đpcm) = = − lim x→0 x→0 x x→0 x x Hình Như vậy, định lí đạo hàm hàm số y = sin x chứng minh hồn thiện Cả hai phần trình bày chứng minh định lí (*) phải sử dụng đến định lí kẹp giới hạn Các định lí định lí khó, sách giáo khoa Việt Nam không dạy, Sách 56 Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa góp phần đổi nội dung dạy học mơn Tốn giáo khoa nâng cao trình bày phần Bài đọc thêm Chính lí đó, chúng tơi tìm cách tiếp cận khác để mơ tả, tiếp cận với định lí chủ yếu thơng qua kiến thức hình học phẳng Ngồi ra, chúng tơi tìm cách mô tả thông qua đồ thị hàm số f (x) = sin x sin x để từ học sinh hình dung giới hạn lim = hình vẽ [5] x→0 x x 2.2 Một số phương án đề xuất dạy học, điều chỉnh nội dung dạy học Từ việc trình bày trên, thấy rằng, học sinh không gặp khó khăn việc tính đạo hàm định nghĩa hàm số y = sin x thừa nhận định lí chứng minh Tuy vậy, chúng tơi đề xuất ba phương án thực để tránh việc thừa nhận (phần thừa nhận trình bày Bài đọc thêm): Thứ nhất, sách giáo khoa ban trình bày đưa phần chứng minh định lí kẹp định lí (*) trình bày báo vào phần tập Như vậy, thông qua trình chữa tập cho học sinh, giáo viên trang bị cho em kĩ thuật chứng minh, tìm giới hạn, cơng cụ để giải tốn tính đạo hàm hàm số y = sin x cần thiết, tránh việc thừa nhận Thứ hai, trình bày phương án khác, sử dụng hình học, việc giúp học sinh kiến tạo cơng thức tính đạo hàm hàm số y = sin x, khơng sử dụng tới hai định lí đề cập Thật vậy, đường tròn đơn vị, ta biểu diễn đối tượng mơ tả Điểm M đường trịn đơn vị biểu diễn góc lượng giác có số đo x (rad), điểm N (rất gần điểm M) biểu diễn góc lượng giác x + △ x (rad) Hình Hình Trước hết, có số nhận xét sau: ⌢ 1) Trong đường tròn đơn vị, ta có M N =△ x (rad) ⌢ 2) Khi △ x tiến dần tới tức số vô nhỏ, nên cung M N vô nhỏ, đó, có ⌢ thể hình dung độ dài cung M N xấp xỉ độ dài dây M N , tức coi M N = △ x \ 3) Hơn nữa, △ x vơ nhỏ nên coi góc OM N = π (rad) Cũng đó, 57 Nguyễn Tiến Trung \ \ \ x = OM P (hai góc vị trí so le), ta có OM P = P\ N M (vì coi hai OM P , P\ NM góc có hai cạnh tương ứng vng góc P N ⊥P M ; M N ⊥OM ) Bây giờ, ta đưa phần Hình ra, “phóng to lên” sử dụng hai ý trên, ta Hình Hình Khi ta có △ y = sin (x+ △ x) − sin x = N P = M N cos x = △ x cos x Suy △y sin (x+ △ x) − sin x △ x cos x = lim = lim = cos x △x→0 △ x △x→0 △x→0 △x △x lim Từ đó, “phát biểu” đạo hàm hàm số y = sin x cos x Thứ ba, hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm vẽ đồ thị (miễn phí, khai thác sin x mạng internet) để vẽ đồ thị hàm số y = , ví dụ hình 5, để giúp học sinh hình dung, x sin x cảm nhận tồn giá trị “giới hạn” lim = Từ đó, chúng tơi cho cần x→0 x đưa vào dạy học số phần mềm toán cho học sinh trung học để học sinh sử dụng công cụ để nhận thức, khám phá tri thức (chẳng hạn phần mềm vẽ hình, phần mềm vẽ đồ thị, ) Việc khai thác, sử dụng số phần mềm khơng q phức tạp, học sinh thực Với trình bày mục này, thấy rằng, nhiều chỗ q trình phân tích sử dụng tới vô bé – khái niệm khó hiểu với học sinh Do vậy, sử dụng ngôn ngữ dạng nhỏ, xấp xỉ để học sinh dễ hình dung Hơn nữa, sử dụng nhiều đánh giá xấp xỉ Đương nhiên, đánh giá kết hợp lại đem lại (về mặt toán học) kết khơng xác Tuy vậy, trường hợp này, chúng tơi có kết (mang tính dự đốn chấp nhận dạng tư tưởng tượng) Mục tiêu hướng tới giúp học sinh hình dung vấn đề khó khơng u cầu chứng minh đầy đủ, hồn thiện (quy định sách giáo khoa) thông qua công cụ trực quan (hình học) 58 Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa góp phần đổi nội dung dạy học mơn Tốn Kết luận Với trình bày trên, với mục tiêu tổ chức cho học sinh khám phá, kiến tạo tri thức, đề xuất số phương án điều chỉnh nội dung dạy học (trong dạy học mơn Tốn), trường hợp dạy học đạo hàm hàm số y = sin x Những đề xuất tập trung vào việc điều chỉnh nhỏ nội dung dạy học kĩ thuật dạy học nội dung toán học cụ thể TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dương Quốc Việt, 2013 Những tư tưởng ẩn chứa toán học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, 2008 Đại số Giải tích 11 NXB Giáo dục [3] Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, 2007 Đại số giải tích 11, nâng cao NXB Giáo dục [4] http://www.themathpage.com/acalc/sine.htm [5] http://www.wyzant.com/resources/lessons/math/calculus/derivative_proofs/sinx ABSTRACT Research curriculum and textbooks to provide innovative content in high school math class: teaching a formula for calculating the derivative of the functions of y = sin x This article presents an analysis and proposes minor adjustments in math teaching content and teaching techniques for determining the derivative of the function y = sin x There are three ways to avoid the recognition formula and each helps students form an inquisitive mind First, the sin x = as presented in this textbook may present the path to prove theorems and theorems lim x→0 x article Through the process of fixing student errors, teachers can demonstrate techniques, show them how to find limits and the tools to solve the problem, calculate the derivative of a function y = sinx when necessary, and avoid recognition Second, we can present another embodiment, using knowledge of geometry tohelp students create a derivative formula of y = sin x which does not use the next two theorems, as mentioned above Third, we can use computer software or guide students sin x in the use of graphing software to graph the function y = to help students visualize and feel x the existence and value of ‘limited’ Keywords: Limit, derivative, derivatives calculated using definitions 59