1 Phần V Quan hệ RELATIONS 1 1 Định nghĩa và tính chất 2 Biểu diễn quan hệ 3 Quan hệ tương đương Đồng dư Phép toán số học trên Zn 4 Quan hệ thứ tự Hasse Diagram Relations 2 1 Definitions Definition A[.]
Relations Phần V Định nghĩa tính chất 2.Biểu diễn quan hệ 3.Quan hệ tương đương Đồng dư Phép toán số học Zn 4.Quan hệ thứ tự Hasse Diagram Quan hệ RELATIONS 1 Definitions Definitions Definition A quan hệ hai từ tập A đến tập B tập tích Descartess R A x B Chúng ta viết a R b thay cho (a, b) R Quan hệ từ A đến gọi quan hệ A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Example A = students; B = courses R = {(a, b) | student a is enrolled in class b} 1 Definitions Properties of Relations Định nghĩa Quan hệ R A gọi phản xạ nếu: (a, a) R với a A Example Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} khơng phản xạ vì(3, 3) R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) R2 Properties of Relations Quan hệ Z phản xạ a a với a Z Quan hệ > Z khơng phản xạ > Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: a A b A (a R b) (b R a) Quan hệ R gọi phản xứng a A b A (a R b) (b R a) (a = b) Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z phản xạ số + nguyên a ước Chú ý Quan hệ R tập A phản xạ iff chứa đường chéo A × A : = {(a, a); a A} Ví dụ Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4}là đối xứng Quan hệ Z không đối xứng Tuy nhiên phản xứng (a b) (b a) (a = b) 4 Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z + không đối xứng Properties of Relations Tuy nhiên có tính phản xứng (a | b) (b | a) (a = b) Chú ý Quan R A đối xứng iff đối xứng qua đường chéo A × A Định nghĩa Quan hệ R A có tính bắc cầu( truyền) a A b A c A (a R b) (b R c) (a R c) Quan hệ R phản xứng iff có phần tử nằm đường chéo đối xứng qua A × A Ví dụ Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu Quan hệ “|”trên Z có tính bắc cầu 4 3 2 * 1 (a b) (b c) (a c) * * (a | b) (b | c) (a | c) 10 Định nghĩa Representing Relations ChoR quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến B = {u,v,w}: R = {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)} Khi R biễu diễn sau Introduction Matrices Representing Relations u 0 v 0 w 1 Dịng cột tiêu đề bỏ qua khơng gây hiểu nhầm Đây matrận cấp 4×3 biễu diễn cho quan hệ R 11 12 Representing Relations mij = Định nghĩa Cho R quan hệ từ A = {a1, a2, …, am} đến B = {b1, b2, …, bn} Matrận biểu diễn R matrận cấp m × n MR = [mij] xác định mij = b1 b2 b3 b4 b5 0 0 M R 1 1 0 1 1 (ai , bj) R 1 0 {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)} 13 R đối xứng iff MR is đối xứng vuông R phản xạ iff tất phần tử đường chéo MR bằng1: mii = với i u v w v 1 14 Representing Relations Cho R quan hệ tập A, MR matrận u 0 a1 a2 a3 Khi R gồm cặp: Representing Relations if (ai , bj) R Ví dụ Cho R quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến B = {b1, b2, b3, b4, b5} biễu diễn matrận (ai , bj) R Ví dụ Nếu R quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2} cho a R b a > b Khi ma trận biểu diễn R if (ai , bj) R w 1 u v w 15 với i, j mij = mji u 1 v 0 w 1 16 Representing Relations 4.Equivalence Relations R is phản xứng iff MR thỏa: Introduction Equivalence Relations Representation of Integers Equivalence Classes Linear Congruences mij = or mji = if i j u v w u 0 v 0 w 1 17 Định nghĩa 18 Quan hệ tương đương Ví dụ: Cho S = {sinh viên lớp}, gọi R = {(a,b): a có họ với b} Hỏi R phản xạ? Yes R đối xứng? Yes R bắc cầu? Yes Định nghĩa Quan hệ R tập A gọi tương đương có tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu : Ví dụ Quan hệ R chuỗi ký tự xác định aRb iff a b có độ dài Khi R quan hệ tương đương Mọi sinh viên Ví dụ Cho R quan hệ R cho aRb iff a – b nguyên Khi R quan hệ tương đương có họ thuộc nhóm 19 20 This process continues until all elements are removed Topological Sorting We obtain a new order of the elements satisfying the given constraints: a1, a2, …, am Let a2 be a minimal of the new poset shoes socks belt shoes jacket jeans swter uwear shirt jwlry E.g underwear is a new minimal element socks Now every element of this new poset cannot be a proper lower bound of a1 and a2 in the original poset belt jacket jeans swter uwear shirt jwlry The arrangement of the given poset in the new total order a1, a2, … compatible with the old order is called the Topological sorting 61 Bài tập 62 Bài tập Khảo sát tính chất quan hệ R sau Xét xem quan hệ R quan hệ tương đương Tìm lớp tương đương cho quan hệ tương đương tương ứng a) x, y R, xRy x2 + 2x = y2 + 2y; b) x, y R, xRy x2 + 2x y2 + 2y; c) x, y R, xRy Khảo sát tính chất quan hệ sau a) x, y Z, xRy xy; b) x, y R, xRy x = y hay x < y + c) x, y R, xRy x = y hay x < y - d) (x, y); (z, t) Z2, (x, y) (z, t) x z hay (x = z y t); e) (x, y); (z, t) Z2, (x, y) (z, t) x < z hay (x = z y t); x3 – x2y – 3x = y3 – xy2 – 3y; d) x, y R+, xRy x3 – x2y – x = y3 – xy2 – y 63 64 16 Bài tập Bài tập Xét quan hệ R Z định bởi: x, y Z, xRy n Z, x = y2n a) Chứng minh R quan hệ tương đương b)Trong số lớp tương đương 1, 2, 3, 4có lớp phân biệt ? c) Câu hỏi tương tự câu hỏi b) cho lớp 6,7,21,24,25,35,42,48 Xét tập mẫu tự A = {a, b, c} với a < b < c : s1 = ccbac s2 = abccaa theo thứ tự từ điển Hỏi có chuỗi ký tự s gồm ký tự thỏa s2 s s ? 65 66 Bài tập Bài tập ĐỀ THI NĂM 2006 Xét thứ tự “”trên tập P(S)các tập tập S ={1,2,3,4,5}trong AB A tập B Tìm thứ tự tồn phần “ ≤ ”trên P(S) cho với A, B P(S), AB A≤ B Tổng qt hố cho trường hợp S có n phần tử Đề 2007.Có dãy bit có độ dài 15 cho 00001 s 011, “ ” thứ tự từ điển 67 68 17 ... Properties of Relations Quan hệ Z phản xạ a a với a Z Quan hệ > Z khơng phản xạ > Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: a A b A (a R b) (b R a) Quan hệ R gọi phản xứng a ... b) (b R a) (a = b) ? ?Quan hệ? ?? | ” (“ước số? ??) Z phản xạ số + nguyên a ước Chú ý Quan hệ R tập A phản xạ iff chứa đường chéo A × A : = {(a, a); a A} Ví dụ Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)}... xứng bắc cầu : Ví dụ Quan hệ R chuỗi ký tự xác định aRb iff a b có độ dài Khi R quan hệ tương đương Mọi sinh viên Ví dụ Cho R quan hệ R cho aRb iff a – b nguyên Khi R quan hệ tương đương có họ