ĐẠI SỐ 11 NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON & CÁC ỨNG DỤNG Cơ sở lý thuyết 1 Công thức khai triển nhị thức NEWTON (a b)n Cn 0 an Cn 1an1b1 Cn 2 an2b2 Cn n1a1bn1 Cn nbn[.]
ĐẠI SỐ 11 NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON & CÁC ỨNG DỤNG Cơ sở lý thuyết : Công thức khai triển nhị thức NEWTON : (a b) n Cn0 an Cn1an b Cn2 an2b Cnn1 a1 b n n Cnnbn Cn k a k 0 n k n Z bk(1), Tính chất : Vế phải (1) có n +1 số hạng Trong số hạng tổng lũy thừa a b n Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 = Cn k a n k b k (số hạng thứ k khai triển) Các hệ số cách hai đầu khai triển nhau.Các hệ số mang tính đối xứng tăng dần từ biên vào điểm giửa khai triển Các dạng khai triển : (x 1)n Cn xn Cn1xn1Cn 2xn2 Cn kxnk Cn n1xCnn (1x) n C0 C x C2 x2 C k x k n (x 1)n C x n n n n C n 1 x n 1 C n xn n n n C1 xn1 C xn2 (1)k C k xnk (1)n1 C n1 x (1)n C n n n n n n (1x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x (1)k Cnk x k (1)n1 Cnn1 x n1 (1)n Cnn x n Cn k Cn nk C k C k 1 C k 1 (n >1) n n k C k n n1 k n ! n.( n 1)! nC k 1 n1 ( n k )! k ! ( n k )!( k 1)! Ck n! ( n 1)! n k 1 ( k 1)( n k )! k ! ( n 1)( n k )!( k 1)! n 1 C k 1 n1 Các dạng toán thường gặp : Xác định điều kiện số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước : Phương pháp : Xác định số hạng tổng quát khai triển Tk+1 = Cn k a nk b k (số hạng thứ k + 1) Từ T k+1 kết hợp với yêu cầu toán ta thiết lập phương trình (thơng thường theo biến n biến k) Giải phương trình ta có kết cần tìm NHỊ THỨC NEWTON n Trường hợp riêng: Cho nhị thức P a ( x ) b ( x) tìm số hạng chứa x (khơng chứa x ) khai triển thành đa thức P m Phương pháp : Công thức cần lưu ý: x m xm n , x m x n m x xm n , x n xm n , n x m x n n Giải phương trình tổ hợp (hoặc sử dụng phép tính tổng)để tìm n (nếu giả thuyết chưa cho n) n Khai triên: P a ( x ) n k k 0 b ( x ) n k g ( n, k )x f ( n , k ) k 0 g ( n, k )x f ( n , k ) (số hạng thứ k + 1) Do số hạng tổng quát khai triển là: T k 1 f(n , k) Tk 1 g ( n, k )x chứa x f ( n, k ) k k Thay k k vào T g ( n, k )x f ( n , k ) số hạng cần tìm k 1 Ví dụ 1(A - 2012): Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5C n 1 C3 Tìm số hạng chứa n n nx 14 khai triển nhị thức niu-tơn P x5 1 n với x x Bài giải: Điều kiện: n N n Ta có: 5C nn 1 Cn3 n ! 1!( n 1)! n! 3!( n 3)! ( n 3)!( n 2)( n 1) x2 Khi n = ta có: P 1 x k k 6.( n 3)! x2 ( 1) C7 k 0 n n 3n 28 n k k x ( Do số hạng tổng quát khai triển Tk 1 T chứa x5 14 3k 3k k k 0 ( 1)k 7k n 4(loai) k 14 3k C7 x 1)k 27k C7k x14 3k k 1 Vậy số hạng chứa x T ( 1) C x 35 x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 16 www.toanhocdanang.com NHỊ THỨC NEWTON 8 Ví dụ 2( A – 2004)Tìm hệ số x khai triển thành đa thức 1 x 1 x Bài giải: P 1 x x 8 x k k (1 x ) 8 ( 1) C x k 0 8k 1 x k k k 0 i 0 8k ( 1) k C8 k C ki x 24 3 k x2 i ( 1)k C8k C ki x24 3 k 2i k 0 i0 Số hạng tổng quát khai triển T ( 1)k C k C i x 24 3 k 2i k 0 k 3k 16 16 k k i 0 k 0 i k k , i N k , i N k , i N k 3k 16 24 3k 2i i 3k 16 i i 0 k 8 T chứa x Do số hạng chứa x là: ( 1) C86 C61 x ( 1) C88 C84 x C86 C61 C88 C84 x 238x8 Vậy hệ số số hạng chứa x8 238 Ví dụ 3: Trong khai triển biể thức F Ta có: F T Ck k 3 9 C9 k k 0 tìm số hạng nguyên 2 có số hạng tổng quát 3 k k 9k 3 k Ta thấy bậc hai thức hai số nguyên tố: k N Do Tk 1 số nguyên k9 0 k T4 C9 k 10 2 4536 k T C9 9 k 3 T Vậy khai triển có hai số hạng nguyên là: T4 4536 10 Ví dụ 4: Cho đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 + … + 20(1 + x)20 Viết lại P(x) dạng : P(x) a a x a Tìm số a15 x a x19 a x 20 19 20 8 NHỊ THỨC NEWTON Ví dụ 5: Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức (x2 + 1)n 1024 Tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển Ví dụ 6: Cho đa thức P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 a0 a1 x a2 x2 a15 x15 Tính hệ số a 10 ? Ví dụ 7: (ĐH SPQN - 2000) Tìm hệ số chứa x khai triển thành đa thức của: P ( x ) x 3x2 10 Tính tổng chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp: Phương pháp : Nhận xét tốn từ chọn hàm số phù hợp với tổng, đẳng thức, bất đẳng thức(thông thường n n n n ta hay sử dụng hàm (x 1) , (1 x) , (1 x) , (x 1) ) Khai triển nhị thức vừa tìm đồng thời sử dụng phép biến đổi đại số, giải tích để có dạng phù hợp với đề Chọn giá trị x cho phù hợp để có biểu thức đề Thông thường ta chọn x số hay -1 (cũng 2, 3,…) Từ ta có tổng mệnh đề cần chứng minh Ví dụ 1: Cho đa thức : P(x) = (1 + x2 – x5)12 Khai triển đa thức dạng P(x) a a x a x a Tính tổng : S = a a1 a2 a60 60 x60 (tổng tất hệ số) Bài giải Theo giả thuyết ta có : P( x ) a a x a x a x 60 (1) với x R 60 Do (1) với x = 1, tức : P (1) a0 a1 a2 a 60 S (2) Lại có: P(x) = (1 + x –x ) Từ (2) (3) ta có: S 1 12 P(1) 1 12 (3) ĐS: S 1 Ví dụ 2(D – 2002) Tìm số nguyên dương n cho : Cn0 2Cn1 4Cn2 8Cn3 2n Cnn 243 Bình luận: ta thấy tổng VT có lủy thừa số có số mũ tăng dần dó ta nghĩ đến nhị thức (1 x)n ta đoán giá trị biến phải chọn x NHỊ THỨC NEWTON Bài giải Ta có : (1 x) n Cn Cn x Cn x Cn k x k Cn n 1 x n 1 Cn n xn (1) với x R Do (1) với x = Xét x = ta có: 1 (1 2) n Cn0 2Cn1 2 Cn2 23 Cn3 2n Cnn Từ giả thuyết ta có: (1 2) n 243 3n 35 n ĐS: n = Ví dụ 3(A – 2005) Tìm số ngun dương n cho: 2.2C C1 n 1 n 1 3.22 C 4.23 C (2n 1)2 n 1 n 1 n C2 n1 2005 n1 Bài giải k T a có: kC n 1 Do ta có: k (2 n 1)! k !(2 n k 1)! C1 n 1 (2 n 1)(2 n)! ( k 1)!(2 n k 1)! 2.2C 3.22 C n 1 k 1 (2 n 1)C2n 4.23 C n 1 n 1 (2n 1)22 n C2 n1 n1 (2n 1)C2 n (2n 1)2C2 n (2n 1)2 C2 n (2n 1)23 C2 n (2n 1)22 n C2 n n (2 n 1) C20n 2C21 n 2 C 22n 23 C 23n 22 n C22nn (2 n 1) 1 2n n 1 Từ giả thuyết ta có: 2n 1 2005 n 1002 ĐS: n 1002 Ví dụ 4(B – 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng sau theo n: n1 1 C n S C n0 1 C n1 1 C n2 1 C n3 n 1 n Bài giải 1Ck n! ( n 1)! C k 1 n k 1 ( k 1) k !( n k )! n 1 ( k 1)!( n k )! n 1 n1 S C 1 C 1 C 1 C n1 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 C n1 n1 2 n 1 n 1 2 n1 C C C C n n 1 2 C n 1 n 1 n 1 n 1 C n n 1 Cn1 NHỊ THỨC NEWTON C0 n (1 2)n n 1 1 n 1 ĐS: S 1 (11) n C C1 n 1 n 1 n1 C C 2 n 1 n 1 1 2( n 1) n 1 1 ( n 1) n 1 2n1 n 1 n 1 n 1 3n 1 2n1 n 1 Ví dụ 5(A – 2007) Với n số nguyên dương, Ck số tổ hợp chập k n phần tử n Chứng minh : 1 C2 n C C 23n 25n n1 2n 1 C2 n 2n n 1 Bài giải Ta có : k 1 C 2kn Do : VT 2n! 23n C 25n C2 2nn11 Suy S C2 ,C2 n 1 C C S 1 C2 n1 2n 1 2n 1 2n C 22 nn 11 , C2 4n 1 C22 nn 13 , C2 C22nn n 1 n 1 2n n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 S n 1 n C2 n 1 C k 1 n 1 n1 2n 2n 1 C n C n n 1 ( k 1) k !(2 n k )! n 1 ( k 1)!(2 n k )! 1 C2 n C Ta lại có: C (2 n 1)! C n 1 C n 1 C2 n 1 C2 ,C n C1 n 1 n1 n1 n1 n 1 2n (1) C2 n1 n1 1 1 n 1 2 2n 2.2 22n Thay vào (1) ta có: VT 2n 1 n 1 (đpcm) Ví dụ Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thức (2 – 3x)2n biết : C1 2n1 C3 2n1 C 2n1 C5 2n1 1024 2n1 Ví dụ 6:Cho m, n, p nguyên dương cho p n, p m p Chứng minh : C nm Ví dụ 7: 0p p1 p2 p1 p Cn Cm Cn Cm Cn Cm Cn Cm Cn Cm 1 n x Biết khai triển x ,Tổng hệ số số hạng 24 Cmr : tổng hệ số lũy thừa nguyên dương x số chình phương ? GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com NHỊ THỨC NEWTON Ví dụ 8: Rút gọn tổng sau , từ tìm số hạng chứa x: S ( x ) 1 x 2(1 x ) 3(1 x ) 4(1 x ) n(1 x)n Xác định xác định hệ số lớn khai triển: Phương pháp : n n k 0 k 0 Khai triển nhị thức biến đổi dạng P f ( n, k ).x g ( n , k ) a k xk từ suy hệ số ak f ( n, k) (thông thường giả thuyết cho trước n k nên ak có biến) ak a k 1 k0 ak hệ số lớn a k hệ số lớn k a k ak 1 Ví dụ 1(A– 2008) Cho khai triển 1 x n a0 a x a x a n xn , n N * a a hệ số a0 , a1 , a2 , , an thỏa mãn hệ thức : a0 an 2n 4096 Tìm số lớn số a0 , a1 , a2 , , an Bài giải 1 x n Cn0 Cn1 x C n2 x C a Do đó: a a 24 a n nn x n a0 a1 x a2 2 x a n n x n a k 2k Cnk với k 1, n n n 2C C0 n 22C2 n 2n C n n C C C C n (1 1) 2n n n n n Kết hợp giả thuyết ta có: n 4096 n 12 n 12 Khi : a 2k Ck k 12 a k số lớn ak ak 1 a k k 1 a kk k 1 C12 C12 k 1 k C k 2k 1 C k 1 12 12 23 26 k 13 k k 33 12! 2.12! k !(12 k )! ( k 1)!(11 k )! 12 k k 1 Mà k số nguyên nên ta có: k k !(12 2.12! 12! k )! ( k 1)!(13 k )! Vậy hệ số lớn khai triển là: a8 28 C128 126720 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com n 2n NHỊ THỨC NEWTON BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1:(ĐH BK Hà Nội – 1999) Tính tổng : S C1n 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (1)n1.nCnn Trong n số tự nhiên lớn Bài 2:(ĐH QG Hà Nội – 1999) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển biểu thức sau : P(x) 17 x2 x ,x≠ Bài 3:(ĐH SP Hà Nội K A – 2000) Trong khai triển nhị thức x xx n n 1 28 15 n n Hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết Cn Cn Cn 79 Bài 4:(ĐH SP Hà Nội K D – 2000) Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức 1024, Hãy tìm hệ số số hạng chứa x 12 Bài 7:(ĐH Nơng nghiêp I K A – 2000)Tìm hệ số số hạng chứa x31 x f (x ) x Cnn n1 Bài 6:(ĐH KTQD K A – 2000) Chứng minh : 2n1C 1n 2n1C n2 2n C n3 2n C n4 1 khai triển 40 P ( x ) 1 x 9 1 x 10 1 x 11 1 x 14 có khai triển : P( x ) a0 a1 x a2 x a14 x 14 Hãy tìm hệ số a9 n nCn n.3 Bài 8:(ĐH Nông nghiêp I K A – 2000) Cho biểu thức: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 khai triển Bài 5:(ĐH SP TP.HCM K A – 2000) Tính tổng : S = Cn0 C n C n2 x2 1 n www.toanhocdanang.com n1 NHỊ THỨC NEWTON Bài 9:(ĐH Y Dược TP.HCM – 2000) Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: 1 Cn C n Cn n n C 2n1 = 2n C2n C2n C2n C2n 2n = C2n C2n C2n C2n Bài 10:(ĐH An ninh nhân dân KDG – 2000) Tính tổng : S C20000 2C20001 3C20002 4C20003 2001C20002000 Bài 11:(HV Kỹ thuật quân – 2000) Khai triển nhị thức: P ( x ) 1 2x12 thành đa thức ta có: P( x ) a0 a1 x a2 x a12 x 12 Tìm Max a , a , a , , a 12 Bài 12:(ĐH CSND KA – 2000) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức P ( x ) 1 x 4 1 x 5 1 x 6 1 x7 2 2 2 Bài 13: Tính tổng : S 16 C06 25 C16 34 C62 43 C63 52 C64 C65 C66 n Bài 14:( ĐH luật khối D 2001) Chứng minh với số x ta có: xn n Ckn (2x 1)k k 0 Bài 15:( ĐH Ngoại thương A - 2001) Với n số tự nhiên, Tính tổng: 1 3 n n C S Cn Cn C n 4 C 2n C 2n Bài 16: Chứng minh rằng: C n n C 2n Bài 17:( ĐH Luật TP.HCM A - 2001) n 2n C 2n 2n Bài 18:( ĐH SP Hà nội A - 2001) Trong khai triển nhị thức a a x a x a x a x10 Hãy tìm hệ số a 1) (2 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có: n1 n n n C n 2.Cn 3.Cn n.C n 01 2n1 2n 2 10 10 P(x) x thành đa thức: lớn ( k ) k 10 = n.4n–1 NHỊ THỨC NEWTON Bài 11: 12 P ( x ) (1 x )12 12 C12k k 0 x a0 a1 x a2 x 2k k a k Max a ; a ; a ; ; a n Max a0 ;a1 ;a ; ;an a8 ak 1 ak a ak 1 13 k k C12 = 126720 a k xk ak C12k 2k a12 x12 k 0 16 Bài 12: Hệ số số số hạng chứa x5 khai triển biểu thức là: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 : C55 C65 C75 = + 6! 5!1! 7! 5!2! = 28 Bài 13: (x I = (x 2) dx = 2)7 27 7 0 Ta có: I = (x 2)6 dx = = C 6 C16 x C 62 x C36 x 25 = C6 x C x 24 3 C6 x C 23 4 C6 x x C 56 2x 22 C 6x dx 5 C6 x 6 7 C6 x C6 x 2 2 2 = 16 C06 25 C16 34 C62 43 C36 52 C64 C65 C66 = S Vậy: S = 37 27 Bài 14: Nếu u = 2x – 1, ta được: n u 1 (*) n n k k k Cnu (u + 1)n = n Ck uk k 0 0 17 n điều phải chứng minh NHỊ THỨC NEWTON Bài 15: Có Ck k 1 n 2k 2(k 1) Cnk S = Cn Cn k k 2 k k Cn 1 = 12 n 02 (x 1) dx k k Cn x dx (x n 1)n1 n 3 n n Cn k 12 Cn n xk 1 Cnk x k dx = 2 n 1 nC x k 0 k k n dx = 3n1 = Cn.2 2(n 1) Bài 16: Ta có: (1 + 3)2n = C02n C12n 31 C2n2 32 C2n2n.3n (1 – 3)2n = C02n C12n 31 C2n2 32 C2n2n.3n Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta được: 42n + 22n = C02n C22n 32 C2n2n 32n 1 2n (2 Từ ta có: C02n C22n 32 C42n 34 C2n2n 32n 22n 1) Bài 17: Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n = Cn0 3n C1n 3n1x Cnn.xn Ta có: f(x) = n(x + 3)n–1 = C1n 3n1 2Cn2 3n x nCnnxn 1 Cho x = 1, ta được: f(1) = n.4n–1 = C1n 3n1 2.Cn2 3n 3.C3n 3n 3 n.Cnn (đpcm) Bài 18: k 1 k 1 Ta có : ak 1 ak C 10 kk C10 (k 1)!(11 k)! k ≤ 2(11 – k) k ≤ Vậy hệ số lớn là: a7 = C 107.27 10 18 22 k!(10 k)! NHỊ THỨC NEWTON Bài 19: 2001 Ta có: (x + 1) 2001 = Ck2001.xk k 0 2001 2001 (–x + 1) = Ck 2001.( x)k k 0 Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta được: (x + 1)2001 + (–x + 1)2001 = C02001 x 2C22001 x 4C42001 x 2000C20002001 Cho x = ta được: 42001 2001 –2 = C02001 32 C22001 34 C42001 32000 C20002001 C02001 2 2000 C 2001 2000 C 2000 2001 (2 2001 1) Bài 20: n! n(n 1)(n n! Từ Cn 5Cn ta có n ≥ 3!(n 3)! (n 1)! 2) n 5n x 1 x 2 ta có:C 73 2 3 = 140 35.22x–2.2–x = 140 2x–2 = x = Vậy n = 7, x = Bài 21: Ta có: (x + 1) n = n Ck xk n k 0 n C Cho x = ta được: 3n = kn k 3n = 243 n = k 0 Bài 22: a Ta có: k 1 a ak k 1 (1) (1 ≤ k ≤ n – 1) 24 k k 1 nk 1 Cn C9n C24 n! 1n! (k 1)!(n k 1)! n! k!(n k)! 24 (k 1)!(n k 1)! 19 n 4 (loaïi) – 3n – 28 = Với n = C 2001 n 7 NHỊ THỨC NEWTON 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k 2(n k 1) 9k 9(n k) 24(k 1) 2n k k 2 11 3n 11 Để tồn k thỏa mãn (1) 3n – = 2n + n = 10 Bài 23: Ta có: (x + 1)10 = x10 + C110 x9 C102 x8 C103 x7 C109x 1 (x + 1)10(x + 2) = x11 + C110 x10 C102 x9 C103 x8 C109x x + x10 C110 x C102 x C103 x C109x 1 = x11 + C110 x10 C102 C110 x C103 C102.2 x + C109 C108.2 x2 + C1010 C109.2 x + = x11 + a1 x10 + a2 x9 + … + a11 Vậy a5 = C105 2C104 = 672 Bài 24: C n 1 n C n 1 C n C n n Cn 7(n 3) n n n 7(n (n 2)(n 3) = 7(n + 3) n + = 7.2! = 14 n = 12 2! Ta có: 3) Số hạng tổng quát khai triển là: 12 k C 12k (x 3 )k x T a có: x C 12 60 11k = x8 60 11k kx 60 11k = k = 12! C Do hệ số số hạng chứa x8 124 4!(12 4)! = 495 Bài 25: Ta có: (1 + x)n = Cn0 C1n x Cn2 x (1 n n C nx x) n dx Cn0 C1n x Cn2 x Cnn x n dx 20 ... n k b k (số hạng thứ k khai triển) Các hệ số cách hai đầu khai triển nhau .Các hệ số mang tính đối xứng tăng dần từ biên vào điểm giửa khai triển Các dạng khai triển : (x 1)n Cn... số, giải tích để có dạng phù hợp với đề Chọn giá trị x cho phù hợp để có biểu thức đề Thông thường ta chọn x số hay -1 (cũng 2, 3,…) Từ ta có tổng mệnh đề cần chứng minh Ví dụ 1: Cho đa thức... 1)! Ck n! ( n 1)! n k 1 ( k 1)( n k )! k ! ( n 1)( n k )!( k 1)! n 1 C k 1 n1 Các dạng toán thường gặp : Xác định điều kiện số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước : Phương pháp :