GIÁO TRÌNH 2 TC ThS Mã Phước Hoàng 6 1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 6 1 1 Định luật Fourier Phát biểu Vector dòng nhiệt tỉ lệ thuận với vector gradient nhiệt độ Biểu thức gradtq λ−= 2, mW n t.
CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 6.1.1 Định luật Fourier - Phát biểu: Vector dòng nhiệt tỉ lệ thuận với vector gradient nhiệt độ - Biểu thức: q = −λ.gradt - Độ lớn: ∂t q = −λ , ∂n W / m2 - Nhiệt lượng truyền qua bề mặt có diện tích F: ∂t Q = − ∫ λ dF , ∂n F W Nếu gradt = const: - Ý nghĩa: định luật để tính nhiệt lượng trao đổi trình dẫn nhiệt CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 6.1.2 Hệ số dẫn nhiệt λ - Định nghĩa: hệ số định luật Fourier - Biểu thức: q , [w/m.K] λ = − gradt - Ý nghĩa: + λ đặc trưng cho khả dẫn nhiệt vật + λ = f(vật liệu, t, độ ẩm…) - λ xác định thực nghiệm với vật liệu cho sẵn bảng thông số vật lý vật liệu theo quan hệ với nhiệt độ (bảng 6.1 SGK) λrắn > λlỏng > λkhí λ < 0,1 W/mK: chất cách nhiệt Hệ số dẫn nhiệt hầu hết vật liệu phụ thuộc nhiệt độ: λ = λo(1 + bt) với λo: hệ số dẫn nhiệt 0oC b: hệ số xác định theo thực nghiệm Khi b < 0: λ giảm t tăng Khi b > 0: λ tăng t tăng CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT - Nội dung: Phương trình vi phân dẫn nhiệt phương trình cân nhiệt cho phân tố dV thuộc vật λ, ρ, C Xét phân tố dV nằm vật dẫn nhiệt: •xem đại lượng vật lý λ, ρ, Cv số •nguồn nhiệt bên qv phân bố qv CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT (tt) Thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt cho phân tố dV (λ, ρ, Cv): Theo định luật bảo toàn lượng, 1s: độ tăng nội ∆u dV = hiệu số dòng nhiệt (vào - ra) dV + nhiệt dV tự phát ρ dV.Cv ∂t d τ = −divq dV d τ + qv.dV d τ ∂τ ∂t = −divq + qv ⇔ ρ Cv ∂τ q ∂t =− ⇒ divq + v ∂τ ρ cC ρ C cv v - Theo Fourier ta có: q = −λ.gradt q ∂t = ⇒ div(λ.gradt ) + v ∂τ ρ cC ρ C cv v q ∂t λ t - Nếu λ = c : ⇒ = div( gradt ) + v ∂τ ρ cC ρ C cv v (1) Xét: div( gradt ) = ∂t ∂t ∂t ∂( ) ) ∂( ) ∂x + ∂y + ∂z ∂x ∂z ∂y ∂( ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t = + + ∂x ∂z ∂y = ∇ 2t (toán tử Laplace) Đặt: λ = a - hệ số khuếch tán nhiệt, [m2/s] ρ c Cv Phương trình (1) viết lại: Với: q ∂t = a.( ∇ 2t + v ) λ ∂τ (2) : ptvp dẫn nhiệt ∇ 2t = ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t + + ∂x ∂z ∂y ∇ 2t = ∂ 2t ∂t ∂ 2t ∂ 2t + (trong tọa độ trụ) + + ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z (trong tọa đề các) Nếu vật khơng có nguồn nhiệt bên qv = 0: ptvp dẫn nhiệt vật ổn định nhiệt ∂t = 0, thay vào (1) ta có: ∇ 2t = ∂τ Xét số trường hợp đặc biệt: + Vách phẳng rộng vô hạn t = t(x): PTDN + Vách trụ trịn dài vơ hạn t = t(r): ∂ 2t =0 ∂x PTDN ∂ 2t ∂t =0 + ∂r r ∂r ∂t = a ∇ 2t ∂τ CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.3 Các điều kiện đơn trị toán dẫn nhiệt Định nghĩa: Điều kiện đơn trị điều kiện cho trước để xác định nghiệm phương trình (đủ để xác định luật phân phối nhiệt độ f(t)) Phân loại : loại - Điều kiện hình học: hình dạng, kích thước vị trí vật - Điều kiện vật lý: cho thông số vật lý : ρ , v, c, λ … - Điều kiện đầu: cho luật phân bố thời điểm đầu τ = điểm M thuộc vật - Điều kiện biên: + Cho luật phân bố nhiệt độ f(t) biên W ∈ V + Cho luật trao đổi nhiệt biên W ∈ V CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.3 Các điều kiện đơn trị toán dẫn nhiệt Các loại điều kiện biên - Điều kiện biên loại 1: cho biết luật phân bố điểm M ∈ biên W1 ∈ vật V, luật phân bố là: tW1 = t[M1 (x1,y1,z1) ; τ ] - Điều kiện biên loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M2 ∈ W2 là: q(M2 , τ ) = −λ tn(M2, τ ) - Điều kiện biên loại 3: cho biết cân nhiệt điểm M3 ∈ W3 tiếp xúc với chất lỏng có hệ số tỏa nhiệt α ,nhiệt độ tf α [t ( M ,τ ) − t f ) qλ = qα ⇔ −λ.t= n ( M ,τ ) - Điều kiện biên loại 4: cho biết cân nhiệt M4 ∈ W4 tiếp xúc với chất rắn có (t2 , λ2 ): qλ1 = qλ ⇔ −λ1.tn ( M ,τ ) = −λ2 tn ( M ,τ ) CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.4 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHƠNG CĨ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG Mơ hình tốn dẫn nhiệt: ∂t = a∇ t ( t ) phổồng trỗnh caùc õióửu kióỷnõồn trở Các phương trình củamä cáct điều kiện biên Cạc Giải tốn dẫn nhiệt tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ) thỏa mãn hệ phương trình CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.4 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHƠNG CĨ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG 6.4.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng Vách phẳng lớp có biên loại t - Phát biểu toán: Cho vách phẳng rộng vô hạn, dày δ, làm vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt λ = const, nhiệt độ mặt vách t1, t2 phân bố không đổi, t1 > t2 - Xác định: + phân bố nhiệt độ t(x) bên vách (0 ≤ x ≤ δ) + dòng nhiệt q dẫn qua vách λ t1 t(x ) t2 O δ x CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.4 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHƠNG CĨ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG 6.4.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng Vách phẳng lớp có biên loại (tt) Viết hệ phương trình: d2t dx = t ( 0) = t t ( δ) = t (1) ( 2) (3) * Tìm phân bố nhiệt độ t(x): - Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1): t(x)=C1x + C2 - C1 , C2 xác định theo (2) (3) t (0) = C = t t (δ) = C δ + C = t ⇒ C = ( t − t ) 2 δ 1 ⇒ t(x) = (t − t1 )x + t1 = t1 − (t1 − t )x δ δ Vậy phân bố nhiệt độ vách: 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡1 − (𝑡𝑡1 − 𝑡𝑡2 )𝑥𝑥 𝛿𝛿 t(x) có dạng đường thẳng qua điểm (0, t1)và (δ, t2) * Tính dịng nhiệt dẫn qua vách: Theo định luật Fourier: t −t t −t ∆t dt [W/m2] =λ = = q = −λ δ δ/λ dx R R=δ/λ [m2K/W] : nhiệt trở vách phẳng t λ t1 t(x ) t2 O δ x CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.4 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHƠNG CĨ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG 6.4.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng Vách phẳng n lớp có biên loại t - Phát biểu toán: Cho vách phẳng n lớp , ứng lớp thứ i có độ dày δi , hệ số dẫn nhiệt λi , cho trước t0 nhiệt độ mặt bên t0, tn phân bố ti-1t i ti (x) không đổi, t0 > tn - Xác định: + dòng nhiệt q dẫn qua vách + nhiệt độ mặt tiếp xúc ti O tti+1i δ1 δi δn λ1 λi λn (1) (i) (n) tn x Vách phẳng n lớp có biên loại (tt) - Khi ổn định dịng nhiệt q qua ∀ lớp khơng đổi : qλ1 = qλ2 = qλi = qn = q t −t Từ phương trình q = áp dụng cho lớp trên: δ λ t q t w1 − t = δ1 / λ t0 q , ∀i = ÷ n − t i − t i +1 = δ λ / ti (x) i i t tti+1i t − t = q ti-1 i n −1 w δ / λ n n δ1 δi δn t n Cộng vế theo vế phương trình ta có: λ1 λi λn x t − t n +1 ∆t (i) (n) O (1) , [W/m2] = n q= n δi Ri ∑ ∑ i =1 i =1 λ i Thay q vào hệ phương trình trên, ta tìm nhiệt độ mặt tiếp xúc: δ t i = t i −1 − q i , ∀i = ÷ n λi - Phân bố nhiệt độ lớp thứ i đọan thẳng có dạng: t i ( x ) = t i − ( t i − t i +1 ) x , ∀i = 1vì÷ t(x) n lớp là: δi Vậy phân bố nhiệt độ vách phẳng nhiều lớp đường thẳng gãy khúc CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.4 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG 6.4.2 Dẫn nhiệt qua vách trụ Vách trụ lớp có biên loại - Phát biểu toán: t Cho vách trụ lớp đồng chất, dài vơ hạn có bán kính r1, bán kính ngồi r2, λ t1 λ= const, nhiệt độ mặt vách t1, t2, t1 > t2 t(r) t2 - Xác định: + phân bố nhiệt độ t(r) + nhiệt lượng ql truyền qua 1m chiều dài mặt trụ O r r1 r2 CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH Vách trụ lớp có biên loại (tt) d t dt + =0 r dr Viết hệ phương trình: dr ( t ) t (r1 ) = t t (r ) = t (1) ⇔ (1) (2) (3) dr du u du (*) =− + =0 ⇔ dr r u r t - Tích phân vế (*) ta : lnu = -lnr +lnC1 =ln => u = C C1 hay dt/dr = r r => dt = C1 r C1 dr (**) r λ t1 t(r) - Tích phân vế phương trình (**) ta : t(r) = C1lnr + C2 - Các số C1 , C2 đươc tính theo (2), (3) : t(r1) = t1 = C1lnr1 + C2 t(r2) = t2 = C1lnr2 + C2 Giải : C1 = -(t1 - t2)/ln(r2/r1) ; C2 = t1 -C1lnr1 Vậy phân bố nhiệt độ vách trụ có dạng: t (r ) = t − t1 − t r : đường cong logarit qua điểm (r1 ,t1) (r2 , t2) ln r2 r1 ln r t2 O r r1 r2 CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH Vách trụ lớp có biên loại (tt) Tính nhiệt lượng : - Dịng nhiệt qua 1m2 mặt trụ có bán kính r ∈[r1, r2] : 𝑞𝑞(𝑟𝑟) = −𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆 𝐶𝐶1 𝑟𝑟 = 𝜆𝜆(𝑡𝑡 −𝑡𝑡 ) q phụ thuộc vào r, r tăng q giảm 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟 ,[W/m2] => dẫn nhiệt khơng ổn định - Dịng nhiệt qua 1m chiều dài mặt trụ bán kính r ∈[r1, r2] : ql = t −t Q q.(2πr.) = = r ln 2πλ r1 ql = const với mặt trụ có r ∈[r1, r2] , [W/m] => dẫn nhiệt ổn định nên ql coi đại lượng đực trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ : nhiệt trở qua 1m dài trụ, [mK/W] CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 6.4 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHƠNG CĨ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG 6.4.2 Dẫn nhiệt qua vách trụ Vách trụ n lớp có biên loại - Phát biểu toán: Cho vách trụ n lớp, bán kính r0 , r1 , ,ri , , rn Hệ số dẫn nhiệt tương ứng λi ,∀i=1÷n , t0 nhiệt độ mặt biên không đổi t0, tn, t0 > tn - Xác định: + nhiệt lượng ql qua 1m chiều dài vách trụ + nhiệt độ mặt tiếp xúc ti tn r0 ri-1 ri rn CHƯƠNG 6: DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH Vách trụ n lớp có biên loại (tt) - Khi ổn định dòng nhiệt qua lớp : ql1 = ql2 = qli = qln Từ phương trình q = l t1 − t áp dụng cho lớp vách trụ: r2 ln 2πλ r1 t0 r2 q − = t t ln l 2πλ1 r1 ri +1 q − = ln t t , ∀i = 2l ÷ n - i i +1 2πλ i ri l rn +1 q − = t t ln n n +1 2πλ rn n l r0 ri-1 t − t n +1 ,[W/m] n ri +1 ln ∑ ri i =1 πλ i Thay ql vào hệ ta tính nhiệt độ mặt tiếp xúc: q r t i = t i +1 + l ln i +1 , ∀i = ÷ n 2πλ i ri l - Phân bố nhiệt độ lớp thứ i có dạng : t −t r t i (r ) = t i − i i +1 ln , ∀i = ÷ n ri +1 ri ln ri làlàđường cong logarit quanối điểm (ri+1 , ti+1 ) (ri-1, ti-1) (ri, ti) i , ti) đường cong logarit tiếp(rnhau qua điểm Cộng vế theo vế hệ n phương trình trên, ta có: q= ri tn rn ... phân vế phương trình (**) ta : t(r) = C1lnr + C2 - Các số C1 , C2 đươc tính theo (2) , (3) : t(r1) = t1 = C1lnr1 + C2 t(r2) = t2 = C1lnr2 + C2 Giải : C1 = -(t1 - t2)/ln(r2/r1) ; C2 = t1 -C1lnr1... ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t = + + ∂x ∂z ∂y = ∇ 2t (toán tử Laplace) Đặt: λ = a - hệ số khuếch tán nhiệt, [m2/s] ρ c Cv Phương trình (1) viết lại: Với: q ∂t = a.( ∇ 2t + v ) λ ∂τ (2) : ptvp dẫn nhiệt ∇ 2t... lớp : ql1 = ql2 = qli = qln Từ phương trình q = l t1 − t áp dụng cho lớp vách trụ: r2 ln 2? ?λ r1 t0 r2 q − = t t ln l 2? ?λ1 r1 ri +1 q − = ln t t , ∀i = 2l ÷ n - i i +1 2? ?λ i ri l rn