Thể tích khối chóp và cách giải bài tập I LÝ THUYẾT 1 Hình chóp Là hình có 1 đỉnh và 1 đáy là đa giác lồi Các mặt còn lại gọi là mặt bên và luôn là tam giác +) Mặt đáy ABCD +) Các mặt bên (SAB), (SBC)[.]
Thể tích khối chóp cách giải tập I LÝ THUYẾT Hình chóp Là hình có đỉnh đáy đa giác lồi Các mặt lại gọi mặt bên tam giác +) Mặt đáy: ABCD +) Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) +) Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD +) Đỉnh hình chóp: S Thể tích khối chóp Thể tích khối chóp phần ba tích diện tích mặt đáy chiều cao khối chóp Cơng thức: V = B.h B: Diện tích mặt đáy h: Chiều cao khối chóp II PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Từ giả thiết đề bài, ta xác định đường cao h cạnh bên vng góc với đáy Do dạng tốn ta cần nắm vững công thức tính độ dài góc hình phẳng để áp dụng tìm cạnh, đoạn đáy đường cao Từ ta tính diện tích đáy đường cao TH1: Khối chóp có đáy tam giác ABC có SA vng góc với đáy V = SABC SA TH2: Khối chóp có đáy hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành, … SA vng góc với đáy V = SABCD SA Ví dụ 1: Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 CA = Tính thể tích khối chóp S ABC A V = 40 B V = 192 C V = 32 D V = 24 Hướng dẫn giải S A C 10 B Ta có AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102 = BC2 suy tam giác ABC vuông A (theo định lý Py – ta – go đảo), diện tích tam giác ABC là: 1 S = AB.AC = 6.8 = 24 2 Vì SA vng góc với đáy nên SA đường cao hình chóp Do h = SA = 1 Vậy VSABC = SA.SABC = 4.24 = 32 (đvtt) 3 Chọn C Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Xét hình chóp S ABCD có mặt bên (SAD) ⊥ (ABCD) Đường cao hình chóp đường cao tam giác SAD Chứng minh: (SAD) ⊥ (ABCD) (SAD) (ABCD) = AD SH ⊥ (ABCD) SH (SAD) SH ⊥ AD Đặc biệt tam giác SAD cân đường cao đường trung tuyến đường phân giác VS.ABCD = SABCD SH Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S ABC a3 A V = B V = a 3a C V = D V = 3a Hướng dẫn giải S C A H B Chọn B Gọi H trung điểm AB Vì tam giác SAB nên SH ⊥ AB (SAB ) ⊥ ( ABC ) (SAB ) ( ABC ) = AB SH ⊥ AB SH ( SAB ) SH ⊥ ( ABC ) Suy SH đường cao hình chóp Vì SH đường cao tam giác SAB nên +) SH = AB 2a = =a 2 +) SABC = AB2 (2a) = = a2 4 1 Vậy VS.ABC = SH.SABC = a 3.a = a (đvtt) 3 Dạng 3: Thể tích khối chóp Xét hình chóp tứ giác S ABCD +) Các mặt bên tam giác cân S +) Đáy ABCD hình vng +) Đường cao SO với O tâm đáy +) Các mặt bên tạo với đáy góc góc SMO (với M trung điểm BC) +) Các cạnh bên tạo với đáy góc nhau: SAO = SBO = SCO = SDO VS.ABCD = SABCD SO Chú ý: a) Với hình chóp tam giác ta làm tương tự b) Với tứ diện đều: Xét tứ diện ABCD: DH đường cao tứ diện (Với H trọng tâm tam giác ABC) Suy thể tích khối tứ diện ABCD V = SABC DH Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD a3 A V = a3 B V = a3 C V = a3 D V = Hướng dẫn giải Gọi O tâm hình vng ABCD, suy SO ⊥ (ABCD) Hình chóp tứ giác có đáy hình vng nên ta có : SABCD = a BD = a Suy BO = BD a = 2 Ta có OB hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (ABCD) nên góc cạnh bên SB với đáy góc SBO 600 Suy chiều cao SO : SO = OB.tanSBO = Vậy VS.ABCD a a tan 600 = 2 1 a a3 = SABCD SO = a = 3 Chọn D Ví dụ 4: Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC 13a A V = 12 11a B V = 12 11a C V = D V = 11a Hướng dẫn giải S A C O I B Gọi O trọng tâm tam giác ABC suy SO ⊥ (ABCD) Do đáy tam giác nên gọi I trung điểm cạnh BC, AI đường cao tam giác đáy a Ta có: BC = a nên BI = Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ABI ta có a2 a AI = AB − BI = a − = 2 2 2a a = Ta có: AO = AI = (Do O trọng tâm tam giác ABC) 3.2 Áp dụng định lý Pytago tam giác SOA vuông O ta có a2 11a SO = SA − AO = 4a − = 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC 2 1 a 11a 11a V = SABC SO = a = 3 2 12 Chọn B Dạng 4: Cạnh bên mặt bên tạo với đáy góc số tốn khác Các giả thiết toán đa dạng, nhiên cách giải toán nằm bước sau: +) Bước 1: Xác định góc hình vẽ +) Bước 2: Áp dụng hệ thức lượng tam giác để tính yếu tố cạnh liên quan tới chiều cao diện tích đáy Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA = 2a SA tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Tam giác ABC vng cân B, G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB), (SGC) vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC theo a 27a A 10 B 9a 10 C 9a 40 81a D 10 Hướng dẫn giải S A C G B ( SGB ) ⊥ ( ABC ) SG ⊥ ( ABC ) ( SGC ) ⊥ ( ABC ) ( SGB ) ( SGC ) = SG Hình chiếu SA lên (ABC) AG M (SA, ( ABC)) = (SA,AG ) = SAG = 30 SG = SA.sin 30 = 2a = a AG = SA2 − SG = 4a − a = a Gọi M trung điểm BC 3a Suy AM = AG = 2 Xét tam giác ABM vng B, có: AB2 + BM2 = AM2 (định lý Py – ta – go) 27a 2 2 AB + AB = AM AB = 4 3a 15 AB = 3a 15 Vì tam giác ABC vuông cân B nên BC = BA = VSABC 1 1 3a 15 9a = SG.SABC = SG .BA.BC = a = 3 2 10 Chọn B III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, AC = 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = a a3 B V = a3 C V = D V = a3 Câu 2: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABC 2a A V = a3 B V = 12 a3 C V = a3 D V = Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 A a3 B C a a3 D Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, BC = 2a Mặt bên SBC tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABC A V = a 2a B V = C V = 2a a3 D V = Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối chóp S ABCD A 12a B 14a C 15a D 17a Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45 Thể tích khối chóp S ABCD a3 A a3 2 B C 2a 2a D Câu 7: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a chiều cao hình chóp a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 12 C a3 a3 D Câu 8: Tính thể tích chóp tam giác có tất cạnh a A a3 12 a3 B a3 C a3 D Câu 9: Cho (H) khối chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích (H) a3 A a3 B C a3 D a3 Câu 10: Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy 5, chiều cao có số đo gấp lần diện tích đáy Thể tích khối chóp 125 A B 125 C 25 D 25 Câu 11: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật có chiều rộng 2a, chiều dài 3a Chiều cao khối chóp 4a Thể tích khối chóp S ABCD tính theo a A V = 8a B V = 24a C V = 9a D V = 40a BẢNG ĐÁP ÁN Câu 10 11 Đáp án C B D D A B B A D D A ... = 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC 2 1 a 11a 11a V = SABC SO = a = 3 2 12 Chọn B Dạng 4: Cạnh bên mặt bên tạo với đáy góc số toán khác Các giả thiết toán đa dạng, nhiên cách giải toán nằm bước... Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a chiều cao hình chóp a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 12 C a3 a3 D Câu 8: Tính thể tích chóp tam giác có tất cạnh a A a3 12 a3 B... (H) khối chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích (H) a3 A a3 B C a3 D a3 Câu 10: Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy 5, chiều cao có số đo gấp lần diện tích đáy Thể tích khối chóp 125 A B 125