Lý thuyết phương trình mũ và phương trình logarit (năm 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 5 Phương trình mũ và phương trình logarit A Lý thuyết I Phương trình mũ 1 Phương trình mũ cơ bản – Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b (a > 0; a ≠ 1) Để giải phương trình trên, ta sử dụng định[.]

Bài Phương trình mũ phương trình logarit A Lý thuyết I Phương trình mũ Phương trình mũ – Phương trình mũ có dạng: ax = b (a > 0; a ≠ 1) Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit Với b > ta có: ax = b  x = logab Với b ≤ 0, phương trình vơ nghiệm – Minh họa đồ thị Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = ax y = b nghiệm phương trình ax = b Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị Rõ ràng, b ≤ hai đồ thị khơng cắt nên phương trình vơ nghiệm Nếu b > ta có hai đồ thị hình Trên hình, hai đồ thị cắt điểm nên phương trình có nghiệm Kết luận: – Ví dụ Giải phương trình 2x + + 2x + = 16 Lời giải: Ta có: 2x + + 2x + = 16  2.2x + 4.2x = 16  6.2x = 16 8  2x   x  log 3 Vậy x  log Cách giải số phương trình mũ a) Đưa số x – Ví dụ Giải phương trình 1   3 6 2x Lời giải: x Ta có: 1   3 6 2x  3x   32x 6  x + = 2x – x = Vậy x = b) Đặt ẩn phụ – Ví dụ Giải phương trình 4x – 2x + = Lời giải: Đặt t = 2x (với t > 0) Phương trình cho trở thành: t2 – 5t + =  t   2x   x    x  t     x  log Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = log23 c) Logarit hóa – Ví dụ Giải phương trình: 3x 5x  Lời giải: Lấy logarit số hai vế ta được:  log 3x 5x   log  x  x log   x(1  x log 5)  x0    1 x    log log  Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = – log53 II Phương trình logarit – Phương trình logarit phương trình có chứa ẩn số biểu thức dấu logarit – Ví dụ Các phương trình log x  4; log32 x  2log x  … phương trình logarit Phương trình logarit – Phương trình logarit có dạng: logax = b (a > 0; a ≠ 1) Theo định nghĩa logarit ta có: logax = b  x = ab – Minh họa đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = loga x đường thẳng b hệ tọa độ Trong hai trường hợp, ta thấy đồ thị hàm số y = logax đường thẳng y = b cắt điểm với b Kết luận: Phương trình logax = b (a > 0; a ≠ 1) ln có nghiệm x = ab với b 2 Cách giải số phương trình logarit đơn giản a) Đưa số Ví dụ Giải phương trình log3x + log9x = Lời giải: Ta có: log3x + log9x =  log x  log x   log x   log x   x = 34 = 81 Vậy nghiệm phương trình cho x = 81 b) Đặt ẩn phụ – Ví dụ Giải phương trình log52 x 3log5 x  Lời giải: Đặt t =log5x, phương trình cho trở thành: t2 + 3t = nên t = t = –3 Với t = log5x = nên x = Với t = –3 log5x = –3 nên x = 5–3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = 5–3 c) Mũ hóa – Ví dụ Giải phương trình: log3(90 – 3x) = x + Lời giải: Điều kiện phương trình 90 – 3x > Phương trình cho tương đương với: 90 – 3x = 3x + hay 90 – 3x = 9.3x  10.3x = 90  3x = nên x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = B Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình mũ a) 3x  2x 1  9; b) 2x+ + 2x+ + 2x+ = 56; c) 25x – 5x+ + = Lời giải: a) Ta có: 3x  3x  2x 1  2x 1  9;  32  x2 + 2x – =  x2 + 2x – =  x 1  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = –3 b) 2x + + 2x + + 2x + = 56  2x + 4.2x + 8.2x = 56  14 2x = 56  2x =  x = Vậy nghiệm phương trình cho x = c) 25x – 5x+ + =  52x – 5x + = Đặt t = 5x ( t > 0) phương trình trở thành: t2 – 5t + =  x  log5  t   5x    x   t  5   x  log5 Vậy nghiệm phương trình x  log5 2;x  log5 Bài Giải phương trình logarit a) log7(10 – x) = log7(x – 4); b) log3(x + 2) – log3(4 – x) = 2; c) log 22 x  7log x   ; d) log3(3x – 12) = 2x + Lời giải: 10  x  a) Điều kiện:    x  10 x    Ta có: log7(10 – x) = log7 (x – 4)  10 – x = x –  2x = 14 nên x = (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) log3 (x + 2) – log3 (4 – x) =  x  0 Điều kiện:   2  x  4x  Ta có: log3 (x + 2) – log3 ( – x) =  log3  x 2 2 4x x 2  32  4x Suy ra: x + = 9(4 – x)  x + = 36 – 9x  10x = 34 nên x = 3,4 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = 3,4 c) log 22 x  7log x   (điều kiện x > 0) Đặt t = log2x, phương trình cho trở thành: t2 – 7t + =  t   log x   x2     x  64  t  log x  Vậy nghiệm phương trình cho x = x = 64 d) log3(3x – 12) = 2x + Điều kiện: 3x – 12 > Phương trình cho tương đương: 3x – 12 = 32x + hay 9.32x – 3x + 12 = (*) Đặt t = 3x ( t > 0), phương trình (*) trở thành: 9t2 – t + 12 = Phương trình vơ nghiệm nên phương trình cho vơ nghiệm  ... Với t = –3 log5x = –3 nên x = 5–3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = 5–3 c) Mũ hóa – Ví dụ Giải phương trình: log3(90 – 3x) = x + Lời giải: Điều kiện phương trình 90 – 3x > Phương trình cho...  log log  Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = – log53 II Phương trình logarit – Phương trình logarit phương trình có chứa ẩn số biểu thức dấu logarit – Ví dụ Các phương trình log x  4;... 2x+ = 56; c) 25x – 5x+ + = Lời giải: a) Ta có: 3x  3x  2x 1  2x 1  9;  32  x2 + 2x – =  x2 + 2x – =  x 1  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = –3 b) 2x + + 2x + + 2x + =