Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word Bai giang Toan A 1 Dai hoc chinh thuc 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ SÀI GÒN BAN KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 (HỆ ĐẠI HỌC) Biên soạn TS TRẦN NGỌC HỘI TP HỒ CHÍ MINH[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ SÀI GỊN BAN KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1 (HỆ ĐẠI HỌC) Biên soạn: TS TRẦN NGỌC HỘI TP HỒ CHÍ MINH − 2009 LƯU HÀNH NỘI BỘ Lời nói đầu _ T ập giảng Toán cao cấp A1 (Hệ đại học) biên soạn sở đề cương môn học Trường Đại học Cơng Nghệ Sài Gịn; nhằm đáp ứng u cầu nâng cao chất lượng giảng dạy giai đoạn nhà trường thực đào tạo theo học chế tín Tập giảng chứa đựng nội dung mà tác giả giảng dạy Trường Đại học Công Nghệ Sài Gòn trường đại học khác Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn đồng nghiệp Ban Khoa học Cơ - Trường Đại học Công Nghệ Sài Gịn động viên, đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho việc biên soạn Tuy vậy, thiếu sót khơng thể tránh khỏi Tác giả mong nhận nhận xét góp ý quý đồng nghiệp cho tập giảng xin chân thành cám ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2009 Tác giả MỤC LỤC CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN A HÀM SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN HÀM SỐ SƠ CẤP B GIỚI HẠN ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 10 HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG 12 VÔ CÙNG BÉ (VCB) -VÔ CÙNG LỚN 16 DẠNG VÔ ĐỊNH 1∞ 22 C LIÊN TỤC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 23 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN 24 D - ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 27 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 27 VI PHÂN 32 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 34 QUI TẮC L’HOSPITAL 36 KHAI TRIỂN TAYLOR 41 ỨNG DỤNG 45 BÀI TẬP 47 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN A - TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 52 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 54 3 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 60 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 64 TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ 66 B -TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 71 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 77 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 85 BÀI TẬP 87 CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI KHÁI NIỆM 91 CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ 93 SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI VÀ BÁN HỘI TỤ 100 CHUỖI LŨY THỪA 101 BÀI TẬP 105 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 107 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN 108 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 108 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULLI 111 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP 112 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN 114 B PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 117 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP KHUYẾT y, y′ 117 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP KHUYẾT y 118 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG 120 BÀI TẬP 129 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN A HÀM SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1.1 Hàm lũy thừa y = xα (α : Const) Miền xác định D hàm số y = xα phụ thuộc vào α Trường hợp α số vơ tỉ, ta có D = [0; +∞) α > 0; D = (0; +∞) α < 1.2 Hàm số mũ: y = ax (0 < a ≠ : Const) Hàm số y = ax có miền xác định D = R, miền giá trị (0; +∞) 1.3 Hàm số logarit: y = logax (0 < a ≠ : Const) thức: Hàm số y = logax có miền xác định D = (0; +∞), miền giá trị R Nhắc lại số công Với < a, b ≠ 1; x, x1, x2 > y, α ∈ R, ta có: ⎧ y = log a x 1) ⎨ ⇔ x = a y Đặc biệt, log a = 0; log a a = x > ⎩ 2) a loga x = x 3) log a (x1 x ) = log a (x1 ) + log a (x ) 4) log a ( x1 ) = log a (x1 ) - log a (x ) x2 ) = - log a (x) x 5) log a (xα ) =α log a (x) Đặc biệt, log a ( log a (x) α 7) log a x = log a b.log b x; 6) log aα (x) = log b x = (α ≠ 0) log a x log a b 8) lnx = log e x : Logarit Nêpe x lgx = log10 x : Logarit thập phân x Ví dụ: Tính A = log1325 Giải: A = log13 25 = ln 25 ≈ 1, 254947126 ln13 1.4 Hàm số lượng giác hàm ngược 1.4.1 Hàm y = sinx y =arcsinx: Với −1 ≤ a ≤ 1, ta định nghĩa: ⎧sin α = a; ⎪ arcsin a = α ⇔ ⎨ π π ⎪⎩− ≤ α ≤ Khi arcsina (−1 ≤ a ≤ 1) xác định Như vậy, y= arcsinx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = [−1;1] • Miền giá trị: [− ; ] • ∀α ∈ [− • y = arcsinx hàm số lẻ, nghĩa arcsin(−x) = − arcsinx π π 2 π π ; ], ∀a ∈ [−1;1]; sin α = a ⇔ arc sin a = α 2 Ví dụ: arcsin(1/2) = π/6; arcsin(− /2) = − arcsin( /2) = −π/3; arcsin(−1/2) = π/6; arcsin(−3/4) = − arcsin(3/4) ≈ − 0,848062079; arcsin(−4) không tồn 1.4.2 Hàm y = cosx y =arccosx: Với −1 ≤ a ≤ 1, ta định nghĩa: ⎧cos α = a; arccos a = α ⇔ ⎨ ⎩0 ≤ α ≤ π Khi arccosa (−1 ≤ a ≤ 1) xác định Như vậy, y= arccosx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = [−1;1] • Miền giá trị: [0; π] • ∀α ∈ [0; π], ∀a ∈ [−1;1]; cos α = a ⇔ arccos a = α • arccos(− x) = π − arccosx Ví dụ: arccos(1/2) = π/3; arccos(− /2) = π − arccos( /2) = π − π/6 = 5π/6; arccos(− /2) = π − arccos( /2)= 3π/4; arccos(−3/4) = π - arccos(3/4)≈ 2,418858406; arccos(− 4) không tồn 1.4.3 Hàm y = tgx y =arctgx: Với a∈R, ta định nghĩa: ⎧ tgα = a; ⎪ arc tga = α ⇔ ⎨ π π ⎪⎩ − < α < Khi arctga xác định Như vậy, y= arctgx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = R • Miền giá trị: (− ; ) π π 2 π π ; ), ∀a ∈ , tgα = a ⇔ arctga = α 2 • ∀α ∈ (− • y = arctgx hàm số lẻ, nghĩa arctg(−x) = − arctgx Ví dụ: arctg1 = π/4; arctg(− /3) = − arctg( /3) = − π/6; arctg(−1)= −π/4; arctg(3/4) ≈ 0,643501108; arctg(− 4) ≈ −1,3258 1.4.4 Hàm y = cotgx y =arccotgx: Với a∈R, ta định nghĩa: ⎧cotgα = a; arc cotga = α ⇔ ⎨ ⎩0 < α < π Khi arccotga xác định Như vậy, y= arccotgx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = R • Miền giá trị: (0; π) • ∀α ∈ (0; π), ∀a ∈ , cot gα = a ⇔ arc cot ga = α • arccotg(−x) = π − arccotgx Ví dụ: arccotg1 = π/4; arccotg(− /3) = π − arccotg( /3) = π − π/3 = 2π/3; arccotg(− ) = π − arccotg( ) = π − π/6 = 5π/6; arccotg(3/4) = π/2 − arctg(3/4) ≈ 0,927295218 arccotg(−4) = π/2 − arctg(−4) ≈ π/2 + arctg4 ≈ 2,89661399 ta sử dụng tính chất sau: 1.4.5 Tính chất: 1) Với −1 ≤ x ≤ 1, arcsinx + arccosx = π/2 2) Với x, arctgx + arccotgx = π/2 HÀM SỐ SƠ CẤP Hàm số sơ cấp hàm số xây dựng từ hàm hàm số sơ cấp qua phép toán đại số: cộng, trừ, nhân, chia phép hợp nối ánh xạ Ví dụ: y = ln(1 + 2x) hàm số sơ cấp ⎧ sin 6x ⎪ y=⎨ x ⎪⎩cos3x x < 0; khơng hàm số sơ cấp neáu x ≥ B GIỚI HẠN ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa 1) Cho hàm số f(x) xác định khoảng chứa x0 (có thể loại trừ x0) Ta nói f(x) có giới hạn L∈ R x tiến x0, f(x) gần L tùy ý x tiến sát đến x0 Ký hiệu: lim f (x) = L hay f(x) → L x → x0 x → x0 Chính xác hơn, theo ngơn ngữ tốn học, ta có: lim f (x) = L x → x0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ , 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ , x − δ < x ≠ x < x + δ ⇒ | f (x) − L |< ε Minh họa: 2) Cho hàm số f(x) xác định khoảng có dạng (a;x0) Ta nói f(x) có giới hạn L∈ R x tiến x0 bên trái, f(x) gần L tùy ý x tiến sát đến x0 phía bên trái Ký hiệu: lim f (x) = L hay f(x) → L x → x0− x → x −0 Chính xác hơn, theo ngơn ngữ tốn học, ta có: lim f (x) = L x →x−0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ , < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − L|< ε Minh họa: 3) Cho hàm số f(x) xác định khoảng có dạng (x0;b) Ta nói f(x) có giới hạn L∈ R x tiến x0 bên phải, f(x) gần L tùy ý x tiến sát đến x0 phía bên phải Ký hiệu: lim f (x) = L hay f(x) → L x → x0+ x → x +0 Chính xác hơn, theo ngơn ngữ tốn học, ta có: 10 ... < a, b ≠ 1; x, x1, x2 > y, α ∈ R, ta có: ⎧ y = log a x 1) ⎨ ⇔ x = a y Đặc biệt, log a = 0; log a a = x > ⎩ 2) a loga x = x 3) log a (x1 x ) = log a (x1 ) + log a (x ) 4) log a ( x1 ) = log a. .. log a (x1 ) - log a (x ) x2 ) = - log a (x) x 5) log a (xα ) =α log a (x) Đặc biệt, log a ( log a (x) α 7) log a x = log a b.log b x; 6) log a? ? (x) = log b x = (α ≠ 0) log a x log a b 8) lnx... = arcsinx hàm số lẻ, ngh? ?a arcsin(−x) = − arcsinx π π 2 π π ; ], ? ?a ∈ [−1;1]; sin α = a ⇔ arc sin a = α 2 Ví dụ: arcsin(1/2) = π/6; arcsin(− /2) = − arcsin( /2) = −π/3; arcsin(−1/2) = π/6; arcsin(−3/4)