PHẦN I

PHẦN I Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Định nghĩa Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đ[.]

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Định nghĩa :Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức II Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp: - Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) * Phương pháp tìm nhân tử chung (với đa thức có hệ số nguyên): - Hệ số nhân tử chung ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử - Lũy thừa chữ nhân tử chung phải lũy thừa có mặt tất hạng tử Đa thức, với số mũ nhỏ hạng tử b) Ví dụ: Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 = 3x2y ( 5y - 3x - y2 ) Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Phân tích ví dụ - Ta thấy hệ số nguyên dương hạng tử ví dụ 1.1 là: 15; 9; ƯCLN(15, 9, 3) = Vậy hệ số nhân tử chung là: - Lũy thừa chữ hạng tử ví dụ 1.1 là: x 2y2 ; x3y ; x2y3 Lũy thừa chữ có mặt tất hạng tử x y, số mũ lớn x y Vậy ta có lũy thừa chữ nhân tử chung : x2y Vậy nhân từ chung đa thức ví dụ 1.1 là: x2y Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) ngược lại để xuất nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ giải sau: Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y)) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 1.4: Phân tích đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) Chú ý: Nhiều để xuất nhân tử chung cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A)) * Một số lưu ý sử dụng phương pháp Ví dụ 1.5 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1) Sai lầm cách viết hạng tử lại ngoặc, (HS cho bước thứ hai đặt nhân tử chung 3x2y hạng tử thứ ngoặc cịn lại số 0) Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + ) Ví dụ 1.6 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 sai - Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) * Chú ý: - Bình phương hai đa thức đối nhau: A2 = (-A)2 (Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn hai Đa thức đối nhau) c) Bài tập áp dụng: * Dạng 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 12x2y - 18y3 Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử 5x(x - 1) – 3x(x - 1) x(x + y) – 2xy(y - x) x2 + 5x3 + x2y 5 x(y - 1) - y(1 - y) 3x2(2z - y) - 15x(y - 2z)2 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y) * Dạng 2: Tính nhanh: 1) 85.12,7 + 5.3.12,7 2) 52.143 – 52.39 – 8.26 *Dạng 3: Tính giá trị biểu thức: 15.91,5 + 150.0,85 x(x-1) – y(1 – x) x = 2001 ; y = 1999 x2 + xy + x x = 77; y = 22 x(x-y) + y(y-x) x = 53; y = * Dạng 4: Tìm x, biết: 5x(x-2000) – x + 2000 = x3 – 13x = x + 5x2 = x + = (x + 1)2 x3 + x = * Dạng 5: Chứng minh tính chia hết: Chứng minh dằng : 55n + – 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho với số nguyên n Phương pháp dùng đẳng thức a) Phương pháp: - Sử dụng đẳng thức “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2 An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B + + Bn-1) 10 An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B + + Bn-1) (Với n lẻ) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử 11 (A + B)n = …… (HS sử dụng tam giác Pascan) b) Ví dụ: Phân tích Đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x2) + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 Ví dụ 2.3: a (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy b 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) Ví dụ 2.4: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = (3 - x)3 Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) Ví dụ 2.7: - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 3xy2 + (3xy2)2 ] = (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 ) Khai thác ví dụ: Qua ví dụ giáo viên hướng cho học sinh cách nhận dạng vận dụng cách hợp lý đẳng thức trình phân tích đa thức thành nhân tử Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà: - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng bình phương (A B2) hạng tử cịn lại phân tích dạng (2.A.B) (– 2.A.B ) tìm cách phân tích đưa dạng đẳng thức (1) (2) (Ví dụ 2.1; 2.2) - Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) có dạng phân tích, đưa dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) áp dụng đẳng thức thứ (3) (Ví dụ 2.3) - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng (hoặc phân tích đưa dạng) lập phương (A3 B3 A3 -B3 ) hai hạng tử cịn lại phân tích đưa dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) áp dụng đẳng thức thứ (4) thứ (5) (Ví dụ 2.4; 2.5) - Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu tổng hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) phân tích, đưa dạng lập phương (A3 B3) áp dụng đẳng thức thứ (6) (7) (Ví dụ 2.6; 2.7) Chú ý: Đôi cần phải đổi dấu hạng tử áp dụng đẳng thức Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử: Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) =[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = - (x2y + 4)2 c) Bài tập áp dụng: * Phân tích đa thức thành nhân tử a x2 + 6x + b 10x – 25 – x2 a x2 + 4y2 – 4xy b 6x – – x2 Giải: a, 4x2 – 25 a x3 + b (3x + 1)2 - (x + 1)2 27 b 8x3 - c 25 x2 – 64y2 c (a + b)3 – (a - b)3 x3 + y3 + z3 – 3xyz Hướng dẫn: áp dụng 31 (sgk – tr 16) ta có: x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz] = (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y +z) = (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy) Tính nhanh: a 252 – 152 b 372 – 132 c 20092 - 92 872 + 732 – 272 - 132 Tìm x biết: a – 25x2 = c x3 – 0,25x = b x2 – x + =0 d x2 – 10x = - 25 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a) Phương pháp: Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức b) Ví dụ: * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22) b xy - 5y + 2x – 10 c 2xy + z +2x +yz Giải: a Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử = (x – y)(x + 1) Cách 2: nhóm (x + x) (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y ) = x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y) b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) c Cách 1: nhóm (2xy + z) (2x +yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức khơng thể phân tích được) Cách 2: nhóm (2xy + 2x) (z + yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) * Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 3.2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x + – 4y2 b x2 + 4x – y2 + Giải: a x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) b.Cách Nhóm: (x2 + 4x) – (y2 - ) ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x) - (y2 - ) = x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức khơng thể phân tích tiếp) Cách Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + – y)(x + +y) * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x – 4y2 – 4y b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Giải: a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) (- 4y2 - 4y) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y) = x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức khơng phân tích tiếp được) Cách 2: Nhóm (x – 4y2 ) ( - 2x - 4y ) ta có Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) b Cách 1: Nhóm (x3 – x) (3x2y + 3xy2 ) (y3 – y ) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y ) = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1) = x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1) (Đa thức khơng thể phân tích tiếp ) Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) (- x - y) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – ( x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1] = (x + y)(x + y - 1)(x + y +1) Khai thác ví dụ: Qua ví dụ ta rút nhận xét: ví dụ 3.1 a,b ta nhóm hạng tử với 2, với với với ta phân tích đa thức thành nhân tử Nhưng ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ đa thức khơng thể phân tích dược Tương tự trường hợp (3.1.c) ta nhóm hạng tử với với đa thức khơng thể phân tích được, đa thức phân tích ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ thứ với thứ Tương tự ví dụ cịn lại Như đa thức phân tích tiếp sau nhóm cách hợp lý hạng tử, Việc nhóm cách hợp lý hạng tử đa thức thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà dựa vào kinh nghiệm q trình giải tốn dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực Chú ý: Trong q trình nhóm hạng tử, phải ý tới dấu hạng tử sau nhóm ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh đưa lới giải sau Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (sai quy tắc dấu ngoặc) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Sai lầm học sinh là: - Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu hạng tử ngoặc thứ hai sau nhóm) Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) * Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục khơng thực nữa, cách nhóm sai bị nhầm dấu q trình nhóm, phải thực lại (Ví dụ 3.1c Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1) c) Bài tập áp dụng: * Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – x – y2 – y x2 – 2xy + y2 – z2 3x2 – 3xy – 5x + 5y xz + yz – 5(x + y) a3 – a2x – ay + xy xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz x2 + 4x – y2 + x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 10.2x3 – 3x2 + 2x – * Tính nhanh giá trị đa thức x2 – 2xy – 4z2 + y2 x = 6; y = -4; z = 45 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 x = 0,5 * Tìm x ; biết x(x - 2) + x - = 5x(x - 3) – x + = Trong trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, vận phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều tốn để phân tích cần phải có phối hợp phương pháp Vì phương pháp nêu trên, chương trình SGK tốn cịn giới thiệu thêm phương pháp nữa, là: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phối hợp nhiều phương pháp a) Phương pháp: Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung - Dùng đẳng thức có - Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc đổi dấu hạng tử b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 4.1 : 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) ( Đặt nhân tử chung) =3x (y - )2 ( Dùng đẳng thức) Ví dụ 4.2: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) ( Đặt nhân tử chung) = 2[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm hạng tử) = 2[(x + 1)2 – y2] ( Dùng đẳng thức) = 2(x + - y)(x + + y) Ví dụ 4.3: 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 = (2x – 2y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm hạng tử) = 2(x - y) – (x - y)2 ( Dùng đẳng thức) = (x - y)[2 – (x - y)] ( Đặt nhân tử chung) = (x - y)(2 – x + y) Ví dụ 4.4: 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) ( Đặt nhân tử chung) 2 2 = 5x y [(x - 2x +1) - (y + 2yz + z )] (Nhóm hạng tử) = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng đẳng thức) = 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) Ví dụ 4.5: 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) ( Đặt nhân tử chung) 2 =3xy  (x  2x  1)  (y  2ay  a )  (Nhóm hạng tử) 2 =3xy   x  1   y  a   ( Dùng đẳng thức) =3xy   x  1   y  a     x  1   y  a   (Dùng đẳng thức) =3xy( x - - y - a)(x - + y +a ) Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT tốn tập 1); Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác ví dụ : Quan sát ví dụ 4.1; 4.2 ta thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau đặt nhân tử chung ta thấy hạng tử cịn lại ngoặc có dạng đẳng thức) sau nhóm hạng tử thích hợp, dùng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Ví dụ 4.3 ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, có hạng tử thứ hạng tử thứ hai có nhân tử chung, hạng tử cịn lại có dạng đẳng thức, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp tiến hành phân tích nhóm( phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức ) xuất nhân tử chung, đa thức phân tích tiếp Các ví dụ cịn lại làm tương tự Như để phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng phối hợp nhiều phương pháp khơng thiết phải theo trình tự định Các phương pháp sử cách phù hợp trường hợp, toán cụ thể * Lưu ý : Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức cách triệt để Ví dụ 4.7: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Học sinh đưa lời giải sau: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) 2) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Cả hai lời giải đên chưa hoàn chỉnh Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) c) Bài tập áp dụng: Bài Phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 10 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + 2x3 + x2 x3 – 2x2 + x 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 x3 + 2x2y + xy2 – 9x x4- 2x2 x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y 5x2 + 5xy – x – y 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2 Bài Tìm x biết : 5x(x - 1) = x – 2(x + 5) – x2 – 5x = x3- x=0 (2x2 - 1) – (x + 3)2 = x2(x - 3) + 12 – 4x = Bài Tính nhanh : x2 + x+ 16 x2 – y2 – 2y – Bài Chứng minh : x = 49,75 x = 93 y = 1) (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n 2) n3 – n chia hết cho với số nguyên n Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta mở rộng cho tập sau: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = 0;  x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) Phương pháp tách hạng tử a) Phương pháp: - Tách hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức b) Ví dụ: Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử Quan sát Đa thức ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Như để phân tích đa thức thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 11 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử khác Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử đa thức thành hay nhiều hạng tử Giải: Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2) x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4) Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x) x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc hạng tử tư do: ) x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: ( tách hạng tử tự do: ) x2 - 6x + = x2 - 6x + - = (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Ví dụ 5.2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách (tách hạng tử bậc hai : 3x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử bậc nhất: – 8x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử tử : 4) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 12 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ (5.2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (Ví dụ 5.2cách 1) - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (ví dụ 5.3cách 2) - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (ví dụ 5.2cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán * Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất: Nhận xét: - Trong cách giải trên, hai ví dụ ta thấy cách đơn giản dễ làm Ở ta tách hạng tử bậc - 8x (ví dụ 5.2) thành hạng tử 6x - 2x Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: 3, – 6, –2, hệ số thứ thứ gấp - lần hệ số liền trước tỷ lệ 6  hay 2 (– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ xuất thừa số chung (x - 2) Phân tích: - Trong đa thức 3x2 – 8x + có a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa dạng ax2 + b1x + b2x + c cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1 a = c b2 hay b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Lập tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7) Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x Khi ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) 13 Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Chú ý: * Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc biến Ví dụ:5.3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải 2 Cách 1: 4x - 7xy + 3y = 4x - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) * Đa thức bậc hai ax + bx + c khơng phân tích thành tích nhân tử phạm vi số hữu tỷ Nếu: - Khi phân tích a.c tích thừa số ngun cách khơng có thừa số có tổng b Ví dụ: đa thức x2 + 4x + có a = 1; b = => a.c = = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3) khơng có thừa số có tổng b = - Hoặc sau đưa đa thức bậc dạng a(x - k) k khơng phải bình phương số hữu tỷ Ví dụ: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2 - (- 2); (-2) khơng phải bình phương số hữu tỷ Vậy đa thức x2 + 4x + khơng phân tích thành tích Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 5.4: Phân tích đa thức sau thừa số : n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 14 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 5.5: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) c) Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a x2- 3x + b x2 + x – c x2 + 5x + e 6x2 – 11x + f 9x2 + 12x – g 4x2 - 4x – 2) a 2x2  5xy + 2y2 ; (áp dụng ví dụ 5.3) b) 2x2 – 5xy – 3y2 Giải: a 2x2  5xy + 2y2 = (2x2  4xy)  (xy  2y2) = 2x(x  2y)  y(x  2y) d x2 – 4x + h 2x2 + 3x – 27 = (x  2y)(2x  y) 3) a) x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y) b) xy(x + y)  yz(y + z) + xz(x  z) ; c) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ; d) (x + y)(x2  y2) + (y + z)(y2  z2) + (z + x)(z2  x2) ; e) x3(y  z) + y3(z  x) + z3(x  y) ; f) x3(z  y2) + y3(x  z2) + z3(y  z2) + xyz(xyz  1) Hướng dẫn: 3a Nhận xét z  x = (y  z)  (x  y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y) = x2(y  z)  y2(y  z)  y2(x  y) + z2(x  y) = (y  z)(x2  y2)  (x  y)(y2  z2) = (y  z)(x  y)(x + y)  (x  y)(y  z)(y + z) = (x  y)(y  z)(x  z) Chú ý : - Ở câu 3a ta tách y  z =  (x  y)  (z  x) (hoặc z  x=  (y  z)  (x  y)) - Đa thức câu 3.a đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 15 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi cách phân tích cách tách trên, ta còn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Phương pháp 10) 4) a) x3 – 4x + ; b) x3 + 7x – ; ( áp dụng ví dụ 5.4) Phương pháp thêm bớt hạng tử a) Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung b) Ví dụ: * Thêm bớt số hạng để làm xuất đẳng thức Ví dụ 6.1: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 3: - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) Ví dụ 6.2: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1) = x3(x2+ x + 1) - ( x - )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 6.3: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 16 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Gợi ý: ta nhận thấy: x4 = (x2)2 = 22 để xuất đẳng thức bình phương tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 cần bớt 4x2 để giá trị đa thức không đổi Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có tốn: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) * Thay x4 thành 4x4 thành 81 ta có tốn : 4x4 + 81 Hướng dẫn giải: Thêm 2x2.9 = 36x2 bớt 36x2 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = ( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) *Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 6.4: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x Giải: (làm xuất đặt nhân tử chung) x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Ví dụ 6.5 Phân tích đa thức x5 + x  thành nhân tử Giải: Cách Thêm x4 , x3 , x2 bớt x4 , x3 , x2 x5 + x  = x5  x4 + x3 + x4  x3 + x2  x2 + x  = x3(x2  x + 1)  x2(x2  x + 1)  (x2  x + 1) = (x2  x + 1)(x3  x2  1) Cách Thêm bớt x2 : x5 + x  = x5 + x2  x2 + x  = x2(x3 + 1)  (x2  x + 1) = (x2  x + 1)[x2(x + 1)  1] = (x2  x + 1)(x3  x2  1) Ví dụ 6.6: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử Giải : x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 17 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + c) Bài tập áp dụng: * Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a 4x4 + ; d x5 + x4 + ; g) x5  x4 - ; b) 4x4 + y4 ; c.4x4 - 324 e) x5 + x + ; h) x7 + x5 + ; f) x8 + x7 + ; t) x8 + x4 + Hướng dẫn giải: Câu 1.a,b,c áp dụng ví dụ 6.3 Câu 1.d, e ,h, f ap dụng ví dụ 6.2 Câu 1.g áp dụng ví dụ 6.4; câu 1.f áp dụng ví dụ 6.1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN A Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Kết phân tích đa thức thành nhân tử là: A (xy – 2)(5x – 15x) ; B y(x – 2)(5x – 15x) ; C y(x – 2)5x(x – 3) ; D  xy  2y  5x  x  3 ; Bài 2: Kết phân tích đa thức x (x  y)  (x  y) thành nhân tử là: A (x  y)x ; B (x  y)(x  1) ; C (x  y)(x  1)(x  1) ; D Cả câu Bài 3: Kết phân tích đa thức 0,16  x  y  2xy thành nhân tử là: A 0,4(x  y)(x  y) ; B (0,4  x  y)(0,4  x  y) ; C (0,4  x  y)(0,4  x  y) ; D (0,4  x  y)(0,4  x  y) ; Bài 4: Kết phân tích đa thức y  x  6x  thành nhân tử là: A y(x  3)(x  3) ; B (y  x  3)(y  x  3) ; C (y  x  3)(y  x  3) ; D Cả câu sai; Kết phân tích đa thức x(x  2)  x  thành nhân tử 18 Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy Bài 5: Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử A (x  2)x ; C x(2x  4) ; B (x  2) x ; D (x  2)(x  1) Bài 6: Kết phân tích đa thức x  y  2y  thành nhân tử A (y  x  1)(x  y  1) ; B (x  y)(x  y)  2y  ; C (x  1)(y  1)x ; D (y  x  1)(x  y  1) ; Bài 7: Kết phân tích đa thức 8x  16x  x thành nhân tử là: A (x – 4) ; B (4 – x) ; C – (x – 4)(x – 4) ; D – (4 – x)(x – 4) ; Bài 8: Kết phân tích đa thức ax  ax  ay  ay thành nhân tử là: A a(x  y  x  y) ; B a(x + y)(x – y –1) ; C a[(x – y)(x + y) – (x + y)] ; 2 D a  (x  y )  (x  y)  ; Bài 9: Kết phân tích đa thức x  x  3x y  3xy  y3  y thành nhân tử là: A (x  y)(x  xy  y  1) ; B (x  y)3 - (x + y); C (x + y)[(x + y) – 1] ; D (x + y)(x +y +1)(x + y – 1) ; Bài 10: Kết phân tích đa thức 9y  x y  2xy  y3 thành nhân tử là: A y(3 + x – y)(3 – x + y) ; C y[(3 + x – y)(3 – x – y) ; B y[(x – y) – 32] D y(3 + x + y)(3 – x – y) ; B Bài tập tự luận Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: a) 3x(x – 2y) + 7(2y – x)2 b) 2ab3 + 6a2b – 14ab c) 5x(y – 3)2 – (3 – y)3 d) – 3xmy + 9xn+1y3 – 15xny với m,n  N, m > n 1 e) x(y  1)  x y(y  1) 3 f) (4x – 8)(x + 6) – (4x – 8)(x + 7) + 9(8 – 4x) g) 3x5y2 + 18x3y2 - 12x3y7 h) 7xy5(x – 1) – 3x2y4(1 – x) + 5xy3(x – 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức: Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy 19 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – y + 1) – (x – y + 1) + c) (a + b) – (a – b) d) 8x + 12x y + 6xy + y e) 64x y4 – 81x 2y2 f) 25m2 – (x – 1)2 g) x3 – 3x2 + 3x – h) 64x3 + 27 b) 27x – Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử: a) ax  bx  cx  ax  bx  cx b) x2 + 4x - y2 + c) 10ay – 5by + 2ax – bx d) a2m – b2m + a2n – b2n e) m3 + 4m2 – 9m -36 f) 3x3 + 6x2 – 75 x – 150 g) 5x2 – 5xy – 3x + 3y h) x2 – xz – 9y2 + 3yz Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tách hạng tử: a) A = 4x2 - 8x + b) B = 15x2 – 31x + c) C = 12x2 - 15x + d) D = x2 + 5x + e) E = x2 – 5x + 14 f) F = x2 – 3x – g) G = a2 – 7ab + 10b2 h) H = x  x3  6x  5x  Bài tập dành cho HS Giỏi Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ: a) f(x) = (x2 – 3x -1)2 – 12 (x2 – 3x – 1) + 27 b) g(x) = ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + c) h(x) = x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – d) k(x) = (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – y) + e) l(x) = (x2 – 2x)(x2 – 2x -1) – 20 Giáo viên: Phạm Thị Hồng Thúy ... tử ph? ?i tiếp tục thực Chú ý: Trong trình nhóm hạng tử, ph? ?i ý t? ?i dấu hạng tử sau nhóm ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh đưa l? ?i gi? ?i sau L? ?i gi? ?i sai: x2... tử (B? ?i tập 57- SBT toán tập 1); Trong ví dụ có nhiều cách gi? ?i, học sinh cần ph? ?i linh hoạt lựa chọn cách gi? ?i phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Giáo viên:... dạng hiệu tổng hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) phân tích, đưa dạng lập phương (A3 B3) áp dụng đẳng thức thứ (6) (7) (Ví dụ 2.6; 2.7) Chú ý: Đ? ?i cần ph? ?i đ? ?i dấu