CHUYÊNĐỀNGHIỆM NGUYÊN
1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ NGHIỆMNGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
Định lí 1: Phương trình
2
0ax bx c+ + =
với các hệ số nguyên và
0c
≠
nếu có
nghiệm nguyên x
0
thì c chia hết cho x
0
.
Định lí 2: Phương trình
2
0x bx c+ + =
với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi
2
4b c∆ = −
là bình phương của một số nguyên.
Định lí 3: Phương trình hệ số nguyên
2 2
0x by cxy dx ey f+ + + + + =
có nghiệm
nguyên khi và chỉ khi
( )
( )
2
2
4cy d by ey f∆ = + − + +
là bình phương của một số
nguyên.
Một số ví dụ:
1). Tìm mọi số nguyên x sao cho x
2
+ 28 là số chính phương.
Giải:
Từ phương trình x
2
+ 28 = y
2
(1) thì x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Đặt y = x + 2v với v > 0. Thay vào (1) ta được:
2
7 0v xv− − =
(2).
Phương trình (2) có nghiệmnguyên v thì v là ước của -7. Suy ra v = 1 và v = 7.
Thay vào (2) ta được
6x
= ±
. Thử lại nhận
6x
= ±
.
2). Giải phương trình nghiệmnguyên
2 2
3 4 2 4 9 0x y xy x y
+ + + + − =
.
Giải:
2 2
3 4 2 4 9 0x y xy x y
+ + + + − =
( )
( )
2 2
2 2 1 3 4 9 0x y x y y
⇔ + + + + − =
(1)
Phương trình đã cho có nghiệmnguyên khi và chỉ khi (1) có nghiệm nguyên
( )
( )
2
2 2
= 2 1 3 4 9y y y v
⇔ ∆ + − + − =
(2)
2 2
10v y
⇔ = +
(3)
Đặt v = y +2t, thay vào (3) ta được:
2
2( ) 5t t
⇔ + =
. Hai vế phương trình
này khác tính chẵn lẻ nên phương trình này vô nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
3). Giải phương trình nghiệmnguyên
( )
2 2
2 3 1 8 6 6 0x y x y y
− + + + + =
.
Giải:
Phương trình đã cho có nghiệmnguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm
nguyên:
( )
2
2 2
2 2
3 1 8 6 6
5 (1).
y y y v
y v
+ − − − =
⇔ − =
Đặt v = y – t thay vào (1) ta được:
2
2 5 0.t yt− + =
(2).
1
Pt(2) có nghiệmnguyên t thì t là ước của 5. Thử khi
1; 5t t= ± = ±
có nghiệm y
bằng 3 và -3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (12; 3), (8; 3), (-6; -3), (-10; -3).
2). Giải phương trình nghiệmnguyên
2 2
3 4 4 2 5 0x y xy x y
+ + + + + =
.
Giải:
Phương trình đã cho có nghiệmnguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm
nguyên:
( )
( )
2
2 2
2 2
2 1 3 4 5
4 (1).
x x x v
x v
+ − + + =
⇔ − =
Đặt v = x +2t, thay vào (1):
2
1 0.t xt+ + =
(2)
Pt(2) có nghiệmnguyên t thì t là ước của 1. Thử khi
1t
= ±
có nghiệm x bằng
2 và -2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (2; -5), (-2; 3).
Bài tập:
1) Chứng minh rằng phương trình x
2
– y
2
= 6 không có nghiệm nguyên.
2) Giải phương trình các nghiệm nguyên:
a)
2 2
3 4 2 4 24 0x y xy x y
+ + − − − =
b)
2 2
8 6 4 12 17 0x y xy x y
+ + + + − =
2. HẠN CHẾ TẬP HỢP CHỨA NGHIỆM DỰA VÀO TÍNH CHIA HẾT.
Một số ví dụ:
1) Tìm nghiệmnguyên dương của pt sau: xy - 2x - 3y + 1 = 0.
Giải:
xy - 2x - 3y + 1 = 0
⇔
y(x – 3) = 2x – 1.
Ta thấy x = 3 không là nghiệm. với x kháv 3 ta được:
2 1 5
2
3 3
x
y
x x
−
= = +
− −
Để y nguyên thì x – 3 phải là ước của 5.
Suy ra nghiệm cần tìm: (4; 7) và (8; 3).
2) Tìm nghiệmnguyên dương của pt sau: x
2
+ y
2
= 1999.
Giải:
x
2
+ y
2
= 1999
⇔
(x +y)(x – y) = 1999. Do 1999 là số nguyên tố :
1
1999
1000
999
1
1999
x y
x y
x
y
x y
x y
+ =
− =
=
⇒ ⇔
=
+ = −
− = −
(do x, y nguyên dương)
Bài tập:
1) Tìm nghiệmnguyên dương của các pt sau:
a) xy + 3x – 2y - 10 = 0
b) x
2
- xy – y – 6 = 0
c) x
2
– xy – 2x –y – 2 = 0
d) x
2
= y
2
+ 17
BẤT ĐẲNG THỨC
2
A. Lý Thuyết:
1. TÍNH CHẤT
Tính chất 1.
>
>
cb
ba
⇒
a > c
Tính chất 2. a > b
⇔
a + c > b + c.
Hệ quả : a > b + c
⇔
a - c > b (chuyển vế và đổi dấu)
Tính chất 3.
>
>
dc
ba
⇒
a + c > b + d .
*Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 4.
a > b
⇔
><
>>
0,
0,
cbcac
cbcac
.
Tính chất 5.
>>
>>
0
0
dc
ba
⇒
ac > bd.
*Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 6. a > b
≥
0
⇒
a
n
> b
n
,
∀
n
∈
N
*
Hệ quả : * Nếu a > 0 và b > 0 thì a > b
⇔
a
2
> b
2
.
* Nếu a
≥
0 và b
≥
0 thì a
≥
b
⇔
a
2
≥
b
2
.
3. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (Cauchy):
* Cho hai số không âm a và b, ta có:
Dấu “ = “ xãy ra khi và chỉ khi: a = b
* Cho n số không âm a
1
, a
2
, …a
n
, ta có:
Dấu “ = “ xãy ra khi và chỉ khi: a
1
= a
2
= …= a
n
.
4. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKÔPXKI (Cauchy - Schwartz):
Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi ad = bc
B. Bài Tập:
1. Dùng tính chất chứng minh bất đẳng thức:
3
2a b ab+ ≥
1 2 1 2
n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ab cd a c b d+ ≤ + +
Bài 1: Cho a > b > 0. Chứng minh:
2 2
2 2
3
3
a a b
b b a
+
≥
+
Bài 2: Chứng minh:
a)
( )
4 4 3 3
, a,b > 0a b a b ab+ ≥ +
b)
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1 1a b ab+ + ≥ +
c)
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
(a, b, c > 0 ).
Bài 3: Cho
a c
b d
<
với b, d dương. Chứng minh:
a a c c
b b d d
+
< <
+
Bài 4: Ch a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
( )
2 2 2
2a b c ab bc ca+ + < + +
2. Dùng BĐT Côsi chứng minh:
Cho a, b, c không âm. Chứng minh:
a)
( ) ( )
1 4a b ab ab+ + ≥
b)
ab bc ca a b c+ + ≤ + +
c)
3 5 3 2 4ab bc ca a b c+ + ≤ + +
d)
( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2 48a b a b ab+ + + ≥
e)
( )
2 2
1 1
2x y x y
x y
+ + + ≥ +
, với mọi x, y dương. h)
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
3. Dùng BĐT Côsi tìm GTLN - GTNN:
A. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
8
, ( x>0)
2
x
y
x
= +
b)
2
, (x>1)
2 1
x
y
x
= +
−
c)
4
3 , x>-1
1
y x
x
= +
+
d)
2
1
2 , ( x>0)y x
x
= +
e)
3
2
3
, (x>0)y x
x
= +
f)
2
9 9 1
, (x>1)
1
x x
y
x
− +
=
−
B. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a)
( )
3 3
8y x x= −
, với
0 2x≤ ≤
b)
( ) ( )
2 3y x x= − −
, với
2 3x≤ ≤
4. Dùng BĐT Bunhiakôpxki chứng minh:
a) Nếu
3 2x y+ =
thì
2 2
2
5
x y+ ≥
b) Nếu
2 3 7x y+ =
thì
2 2
49
2 3
5
x y+ ≥
4. Dùng BĐT Bunhiakôpxki tìm GTLN - GTNN:
a) Cho hai số x, y thỏa mãn:
2 2
1x y+ =
.
Tìm GTLN – GTNN của
P x y= +
b) Cho hai số x, y thỏa mãn:
2 2
4 25x y+ =
.
Tìm GTLN – GTNN của
2P x y= +
c) Cho x, y thỏa mãn:
2 3x y+ =
. Tìm GTNN của
2 2
2E x y= +
4
. CHUYÊN ĐỀ NGHIỆM NGUYÊN
1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
. hệ số nguyên và
0c
≠
nếu có
nghiệm nguyên x
0
thì c chia hết cho x
0
.
Định lí 2: Phương trình
2
0x bx c+ + =
với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên
khi