SKKN Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán về góc trong hình học không gian 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA IV SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA IV SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Dung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2019 SangKienKinhNghiem.net Mục lục Trang MỞ ĐẦU …………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ……………………………………………… 1.2 Mục đích đề tài ………………………………………………2 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………… …… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN…………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………………4 2.1 Cơ sở l ý luận sáng kiến kinh nghiệm ……………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề ……………….… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm ………….………………….21 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ……………………………………………21 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… 22 Danh mục đề tài SKKN thân Hội đồng cấp Sở Giáo dục đào tạo đánh giá từ loại C trở lên……………………… 22 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Để bồi dưỡng cho học sinh lực sáng tạo, lực giải vấn đề, lý luận dạy học đại khẳng định: “Cần phải đưa học sinh vào vị trí chủ thể hoạt động nhận thức, học học tập” Học sinh hoạt động tự lực, tích cực để chiếm lĩnh kiến thức Quá trình lặp lặp lại nhiều lần góp phần vào hình thành phát triển cho học sinh tư sáng tạo Trong năm học 2018 – 2019 nhà trường phân công dạy môn Tốn 12 ban Hình học khơng gian mơn khó chương trình Tốn trung học phổ thơng, địi hỏi phải có trí tưởng tượng khơng gian trình bày gọn gàng, đầy đủ, chặt chẽ Qua giảng dạy nhận thấy: Học sinh ban học yếu phần thời lượng cho luyện tập Trong thực tế tốn tính góc đề thi trung học phổ thơng quốc gia tập phong phú, mà có số em biết phương pháp giải, tốc độ chậm, chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng dẫn đến chọn sai phương án Tại lại ? Lý là: Bài tập sách giáo khoa chương trình SGK Hình Học lớp 12 trình bày hạn hẹp, mặt khác thời lượng dành cho chương cịn nên giáo viên đưa nhiều cách giải cho dạng tập để hình thành kỹ giải cho học sinh Chính tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Sử dụng phương pháp tọa độ giải số tốn góc hình học khơng gian” Mục đích đề tài Trước tình hình “q tải” trí tưởng tượng khơng gian, giải tốn góc địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao; hướng dẫn em sử dụng phương pháp tọa độ Phương mang tính tính tốn song tn thủ quy tắc mà sách giáo khoa xây dựng thực lời giải cách tự nhiên, bớt tư trừu tượng có máy tính bỏ túi hỗ trợ việc tính toán Qua đề tài rèn luyện tư trình bao gồm nhiều khâu: + Rèn luyện khả phân tích giải tốn: Phải biết nhìn tốn dạng quy, mẫu mực Tuy lại phải biết cách nhìn tốn dạng đặc thù, riêng lẻ, nên học sinh cần phải rèn luyện nhiều biết cách khai thác hết khía cạnh + Rèn luyện khả định hướng xác định đường lối giải toán: Vốn kiến thức học sinh nhiều hay ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện khả xác định phương hướng giải toán Học sinh cần nắm vững đường lối chung, lại phải phát riêng tốn để chọn đường lối thích hợp + Rèn luyện khả lựa chọn phương pháp cơng cụ thích hợp để giải tốn: Cơng việc xác định phương pháp công cụ phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật Bài tốn có đặc điểm mà từ dẫn tới việc chọn lựa phương pháp công cụ tương ứng với đặc điểm SangKienKinhNghiem.net + Rèn luyện khả kiểm tra toán: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết dạy học, đánh giá khả học tốn trình độ phát triển học sinh khả vận dụng kiến thức học Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa ý đến việc phát huy tác dụng giáo dục toán, mà thường trọng cho học sinh làm nhiều tập Trong trình dạy học, việc ý đến chức tập chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải tập toán Thường học sinh phạm sai lầm giải tập nguyên nhân sau: - Sai sót kiến thức tốn học, tức hiểu sai khái niệm hay giả thiết kết luận tốn - Sai sót phương pháp suy luận - Sai sót tính sai, dùng ký hiệu, ngơn ngữ diễn đạt hay hình vẽ sai + Rèn luyện khả tìm kiếm tốn liên quan sáng tạo toán mới: Mục đích cuối tốn tìm dựng, thu được, xác định đối tượng đó, tức tìm ẩn số tốn Học sinh sâu, suy nghĩ xem liệu có tốn liên quan đến không ? Nếu thay một điều kiện tốn ta có tốn ? giải khơng ? Bài tốn tổng quát dạng ? Nếu tiến hành thường xuyên áp dụng đối tượng việc rèn luyện khả phân tích, tổng hợp, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa Từ thúc đẩy phát triển tư sáng tạo học sinh Qua rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn cách giải cho gọn gàng, đầy đủ, chặt chẽ vận dụng Hình học giải tích để làm số tập góc hai mặt phẳng hình học khơng gian nhằm nâng cao chất lượng Toán 12 ban bản, tiếp cận với đề thi trung học phổ thông quốc gia Đối tượng nghiên cứu Để phát huy ưu điểm phương pháp tọa độ, đặt câu hỏi: Bài tốn loại giải phương pháp tọa độ ? Nếu gắn hệ tọa độ ? Sau chọn cách tính tốn trình bày cho hợp lý ? Từ truyền thụ cho học sinh phương pháp, kinh nghiệm tìm tịi, suy nghĩ phát lời giải, coi phương pháp tọa độ công cụ để giải số tốn hình học khơng gian cách thục Xây dựng, thử nghiệm rút kinh nghiệm thông qua học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hóa 4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu, nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 12, Hình học nâng cao 12, Tự chọn nâng cao 12, …Phương pháp vấn đáp gợi mở …, kiểm tra đánh giá Sau thống kê để xử lí số liệu thu rút kinh nghiệm cho học sau Những điểm SKKN Rèn luyện khả phân tích, định hướng xác định đường lối giải toán; rèn luyện khả kiểm tra toán; rèn luyện khả tìm kiếm tốn liên quan sáng tạo toán SangKienKinhNghiem.net NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Hình học mơn học có tác dụng lớn việc trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện tư logíc sáng tạo cho học sinh Các học sinh cấp THPT nói chung, học sinh khối 12 nói riêng trình phát triển, bồi dưỡng chọn lọc trình độ khác Vì vậy, nội dung phương pháp dạy học lớp phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ thể thầy trò, việc tổ chức dạy học Phương pháp tọa độ không gian nghiên cứu chi tiết cụ thể chương III – Hình học 12 Bởi dạy phần cần khai thác ứng dụng 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trình độ học sinh chênh lệch, thể thái độ học tập, u thích mơn học Hình giải tích có vai trị quan trọng đề cập nhiều đề thi THPT Quốc gia, học sinh khó tìm phương pháp tìm phương pháp tốc độ khơng đảm bảo thời gian trắc nghiệm Có chênh lệch do: +) Nhận thức học sinh +) Chất lượng dạy +) Thời gian học tập học sinh Tất nguyên nhân ảnh hưởng trực tiếp đến kết học tập Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Điều trước tiên học sinh phải nắm vững định nghĩa hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm vecto, phép tốn vecto, tích vơ hướng có hướng hai vecto, góc mặt phẳng … 2.3.2 Phần bổ sung: Cách xác định toạ độ điểm hệ trục toạ độ Oxyz: Trong không gian Oxyz, cho điểm M tuỳ ý Điểm M có toạ độ (x; y; z) xác định sau: z M3 M M2 O y M1 x M’ Thông thường vẽ trục Oz đường thẳng có phương thẳng đứng - Xác định hình chiếu điểm M mặt phẳng (Oxy) điểm M’ - Xác định hình chiếu điểm M’ trục Ox, Oy M1, M2 - Xác định hình chiếu điểm M trục Oz M3 SangKienKinhNghiem.net - Tính độ dài đoạn thẳng OM1, OM2, OM3 (đoạn thẳng nối gốc toạ độ hình chiếu trục toạ độ) Khi đó: hồnh độ điểm M x OM , tung độ điểm M y OM , cao độ điểm M z OM Chú ý: x OM OM M1 thuộc tia Ox x OM OM M1 thuộc tia Ox’ (tia đối tia Ox) Góc hai đường thẳng: a) Định nghĩa: Góc hai đường thẳng d1 d2 góc hai đường thẳng d’1 d’2 qua điểm song song (hoặc trùng) với d1 d2 b) Công thức tính góc haiuurđường thẳng: Hai đường thẳng d1 d2 ur có hai vectơ phương u1 u2 Gọi góc hai đường thẳng d1 d2 ur uur u1 u2 ur uur cos cos u1 , u2 ur uur u1 u2 Góc hai mặt phẳng: a) Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b) Cơng thức tính góc hai mặt phẳng: Hai mặt phẳng (P) (Q) có hai vectơ pháp tuyến n1 n2 Gọi góc hai mặt phẳng (P) (Q) ur uur n1 n2 ur uur cos cos n1 , n2 ur uur n1 n2 Góc đường thẳng mặt phẳng: a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc đường thẳng a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) b) Cơng thứcr tính góc đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng a có vectơ r phương u mặt phẳng (P) vectơ pháp tuyến n Gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) r r u n r r sin cos u , n r r u n 2.3.3 Khi học sinh nắm vấn đề nêu giáo viên đưa vài tốn hình học khơng gian làm chương III – Hình học 11, sách tập Hình học 12, đề thi THPT Quốc gia , đề thi khảo sát chất lượng số trường THPT Sở GD – ĐT, … để học sinh tìm tịi phát cách giải phương pháp tọa độ Từ so sánh hai phương pháp, thấy “cái hay” phương pháp này, hoạt động tự lực, tích cực để chiếm lĩnh kiến thức SangKienKinhNghiem.net Dạng 1: Có đường cắt đơi vng góc Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = a SA (ABCD) a) Tính góc đường thẳng SB AC b) Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Lời giải: z S a D A y a B C a x Học sinh nhận thấy SA, AD AB đôi vng góc từ gắn hệ tọa độ Oxyz; xác định tọa độ điểm S, D, B, C (xác định hình chiếu S, D, B, C trục toạ độ); cơng thức tính góc hai mặt phẳng; nên em đưa lời giải hoàn chỉnh: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A O; B tiaOx; D tiaOy; S tiaOz Khi B(a; 0; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a), C(a; a; 0) (Hình chiếu C Ox B AB = a, hình chiếu C Oy D AD = a) ur uur r uuur a) SB (a; 0; a) a (1; 0; 1) a u , AC (a; a; 0) a (1;1; 0) a u1 r ur cos(SB, AC) cos u , u1 (SB, AC) 600 ur r uur b)+) SC (a; a; a) a (1; 1; 1) a u => Mp(SBC) có vtpt n1 u, u (1; 0;1) +) SD (0; a; a) a (0; 1; 1) a u3 uur ur u3 n1 sin(SD, (SBC)) uur ur (SB, (SBC)) 300 u3 n1 c) Mp(SDC) có vtpt n2 u , u (0; 1; 1) Gọi góc (SBC) (SCD) => cos cos n1 , n2 SangKienKinhNghiem.net 2 60 Từ tơi u cầu em nêu bước giải tốn khơng gian phương pháp tọa độ Sau tơi chỉnh sửa cho học sinh ghi nhớ: Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp (có sẵn tạo dựng đường thẳng đơi vng góc phải tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến hình chiếu trục tọa độ), từ suy tọa độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm: - Toạ độ vectơ phương, vectơ pháp tuyến (chọn vecto có tọa độ điểm mút đơn giản), thơng thường chọn vectơ phương để dễ tính tốn … - Áp dụng cơng thức tính góc Bài 2: (Đề thi thử Trường THPT Nguyễn Khuyến năm học 2018 – 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = 2a SA (ABCD) Gọi M trung điểm SD Tính tang góc hai mặt phẳng (AMC) (SBC) ? A 3 B 5 C 5 D Lời giải: z S M 2a D A y a B x C a Để thuận tiện cho việc tính tốn chọn a = Khi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), S(0; 0; 2), C(1; 1; 0), M 0; ;1 uuuur u u r uuur +) AM 0; ;1 (0;1; 2) u ; AC (1;1;0) ur ur uuur => Mp(AMC) có vtpt n1 u1 , AC (2; 2; 1) uur uur uuur uur uuur +) SB (1; 0; 2) ; BC (0;1;0) => Mp(SBC) có vtpt n2 SB, BC (2; 0;1) ur uur Gọi góc (AMC) (SBC) => cos cos n1 , n2 SangKienKinhNghiem.net Mặt khác: tan 1 tan 1 => Chọn C 2 cos cos Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = a, AD = 2a, SA = a vng góc với đáy Tính góc hai mặt phẳng: a) (SAD) (SCD) b) (SAD) (SBD) c) (SBC) ((SCD) Lời giải: z S D 2a A y a B x a C Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), S(0; 0; a ), D(0; 2a; 0), C(a; a; 0) (hình chiếu C Ox B, Oy trung điểm AD) a) +) Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến i (1; 0; 0) +) SC (a; a; a ) a (1; 1; ) a u1 , SD (0; 2a; a ) a (0; 2; ) a u u1 , u ( ; ; 2) (1; 1; 2) => Mặt phẳng (SCD) có vtpt n1 (1; 1; 2) Gọi góc (SAD) (SCD) => cos cos i, n1 60 b) SB (a; 0; a ) a (1; 0; ) a u3 u , u (2 ; ; 2) (2; 1; 2) => Mp(SBD) có vtpt n2 (2; 1; 2) 2 arccos Gọi góc (SAD) (SBD) => cos cos i, n2 7 c) u1 , u ( ; 0; 1) ( ; 0; 1) => Mặt phẳng (SBC) có vtpt n3 ( ; 0; 1) Gọi góc (SBC) (SCD) => cos cos n1 , n3 6 arccos 3 Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 a) Tính góc AC A1D b) Tính góc hai mp (ABD1) (BCD1) Lời giải: Gọi cạnh hình lập phương Ta có: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; 1), D1(0; 1; 1) SangKienKinhNghiem.net A1 z D1 B1 C1 D A y B C x uuur a) AC (1;1; 0) , AD1 (0; 1; 1) cos(AC, A1D) (AC, A1D) 60 b) +) AD1 (0; 1; 1) =>Mặt phẳng (ABD1) có vtpt n1 i, AD1 (0; 1; 1) +) BD1 (1; 1; 1) => Mặt phẳng (BCD1) có vtpt n2 j , BD (1; 0; 1) ur uur cos cos n 600 +) Gọi góc (ABD1) (BCD1) => , n2 Bài 5: (Câu 37 mã 101 đề thi THPT QG năm 2018) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ M điểm thuộc đoạn OI cho MO = 2MI Khi cơsin góc tạo hai mp(MC’D’) (MAB) bằng: A 85 85 B 85 85 C B 17 13 65 Lời giải: z C A D O M B’ A’ D C’ y I D’ x SangKienKinhNghiem.net 13 65 Gọi cạnh hình lập phương (vì O trung điểm, MI MO để tọa độ điểm số ngun dễ tính tốn) MO 2MI MI MO BB ' Ta có: M(3; 3; 1), C’(0; 6; 0), D’(6; 6; 0), A(6; 0; 6), B(0; 0;6) uuuur uuuur r ur +) MC ' (3; 3;1) MC ', i (0; 1; 3) n1 uuur uuur r uur MA (3; 3; 5) MA , i (0;5;3) n +) ur uur 85 Gọi góc (MC’D’) (MAB) => cos cos n1 , n2 => Chọn C 85 Bài 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh 2, cạnh bên AA’ = Gọi B1 trung điểm AB, điểm D1 thuộc cạnh DD’ cho DD’ = 3DD1 Gọi góc mp(B1C’D1) đáy Tính cos ? Lời giải: z D’ C’ A’ B’ D1 ’ D C y A ’ x B B1 ’ Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với A tiaOx; C tiaOy; D' tiaOz => B1(2; 1; 0), C’(0; 2; 3), D1(0; 0; 1) Ta có: +) D1C ' (0; 2; 2) 2(0; 1; 1) 2u1 , D1 B1 (2; 1; 1) u1 , D1 B1 (2; 2; 2) 2(1; 1; 1) => Mp(B1C’D1) có vtpt n1 (1; 1; 1) +) Mp(ABCD) có vectơ pháp tuyến k (0; 0; 1) Do đó: cos cos n1 , k Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, BC = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm H AB, biết 10 SangKienKinhNghiem.net SH = 2a Tính góc hai mặt phẳng (MAC) (SBC), biết M trung điểm SB Lời giải: z S 2a M C a A y H a B x Chọn hệ Oxyz cho O trùng với H; B, C, S thuộc tia Ox, Oy, Oz a a a A ;0;0 , C 0; ;0 2 Vì tam giác ABC vng cân C nên CH AB AB = a , CH = a a ;0;0 , M ;0; a , Ta có: S (0;0;2a), B (M trung điểm SB =>hình chiếu M Hx trung điểm HB, Hz trung điểm SH) 3a a a ;0; a ;0;4 u1 , +) AM a a a 1;1;0 a u AC ; ;0 2 Mặt phẳng (MAC) có vectơ pháp tuyến n1 u1 , u (4;4;3 ) a a a ;0;2a ;0;4 u +) SB a a a 1;1;0 a u BC ; ;0 2 2 Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến n2 u3 , u (4;4; ) Gọi góc (MAC) (SBC) 3 cos cos n1 , n2 arccos 17 17 11 SangKienKinhNghiem.net Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’) trung điểm H cạnh B’C’ BH = 3a Tính cơsin góc hai mp (ABB’A’) (ACC’A’) * Gợi ý: Gắn hệ trục hình lăng trụ, hồn tồn tương tự hình chóp: có sẵn BH vng góc với đáy, cần chọn đáy hai đường thẳng vng góc, để ý đáy tam giác H trung điểm BC Lời giải: A C z B y C’ A’ H x B’ Chọn hệ Hxyz cho B' tiaOx; A' tiaOy; B tiaOz Ta có A' 0; a 3;0 , B' a;0;0 , B0;0;3a , C ' a;0;0 +) A' B' a;a 3;0 a 1; 3;0 a u1 , B ' B a;0;3a a 1;0;3 a u u1 , u 3;3; 3; 3;1 => Mp(ABB’A’) có vtpt n1 3; 3;1 +) C ' A' a; a 3;0 a 1; 3;0 a u , CC’ // BB’ => CC’ có vectơ phương u u , u 3;3; 3; 3;1 => Mp(ACC’A’) có vtpt n2 3; 3;1 Gọi góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ACC’A’) ur uur cos cos n1 , n2 13 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có đường chéo AC1 hợp với cạnh AB AD góc α β Tính góc hai mặt phẳng (ABC1) (ADC1) Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với A tiaOx; C tiaOy; D1 tiaOz Đặt AC1 = d Giả sử đường chéo AC1 tạo với AA1 góc γ 12 SangKienKinhNghiem.net z D1 C1 A1 B1 y D β C α x A B Ta có: ADC1 vng D: DA = d cosβ, ABC1 vuông B: AB = d cosα, AA1C1 vuông A1: AA1 = d cosγ => DA2 + AB2 + AA12 = DB2 + AA12 = A1C12 + AA12 = AC12 => cos2α + cos2β + cos2γ = (1) (dễ thấy α, β, γ nhọn) Ta có: A(dcos β; 0; 0), C(0; dcosα; 0), D1(0; 0; dcosγ), B(dcos β; dcosα; 0), C1(0; dcosα; dcosγ) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABC1) (ADC1) +) AC1 (d cos ; d cos ; d cos ), AC1 , j ( d cos ; 0; d cos ) d (cos ; 0; cos ) Mặt phẳng (ABC1) có vectơ pháp tuyến n1 (cos ; 0; cos ) +) DA (d cos ; 0; 0) AC1 , DA (0; d cos cos ; d cos cos ) d cos (0; cos ; cos ) => Mặt phẳng (ADC1) có vtpt n2 (0; cos ; cos ) | cos cos | Do đó: cos cos n1 , n2 (2) cos cos cos cos Từ (1): cos2γ + cos2β = 1- cos2α ; cos2γ + cos2α = 1- cos2β thay vào (2) ta có: cos cot cot Nhận xét: Bài trường hợp đặc biệt Do hình lập phương có đường chéo hợp với cạnh chung đỉnh góc nên cot a a cos cot 60 Qua tập đưa nhận xét: Với số trình bày theo phương pháp tọa độ tối ưu, với số mức độ phương pháp tọa độ không gian tương đồng Tuy nhiên cần phải nhớ phương pháp tọa độ tỏ hiệu 13 SangKienKinhNghiem.net Sau tơi lấy thêm số hình học khơng gian dạng khác với mức độ khó hơn, cần kỹ tổng hợp để học sinh tìm tịi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác xử lý thơng tin, tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Đặc biệt, việc xác định tính góc hình học khơng gian tương đối khó, song phương pháp tọa độ lại tỏ hiệu Dạng 2: Có đường thẳng vng góc với đáy Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân với BA = BC = a, SA đáy SA = a Gọi E, F trung điểm AB AC Tính góc mặt phẳng: a) (SAC) (SBC) b) (SEF) (SBC) Lời giải: z S a y x C A a a B Chọn hệ tọa độ Oxyz cho B trùng O, điểm A C thuộc tia Ox Oy, hướng từ A đến S trùng với hướng tia Oz Ta có: B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; a; 0), S(a; 0; a), E ; 0; , F ; ; a 2 a a 2 a) +) AC (a; a; 0) a (1; 1; 0) a u1 =>Mp(SAC) có vtpt n1 k , u1 (1; 1; 0) +) BS (a; 0; a) a (1; 0; 1) a u => Mp(SBC) có vtpt n2 j , u (1; 0; 1) Gọi φ góc (SAC) (SBC) => cos cos n1 , n2 2 60 a a a a a a b) ES ; 0; a (1; 0; 2) u3 , EF 0; ;0 (0; 1; 0) j (hoặc EF 2 2 đường trung bình ABC nên EF // BC => EF có vectơ phương j ) => Mặt phẳng (SEF) có vectơ pháp tuyến n3 j , u3 (2; 0; 1) Gọi góc (SEF)và (SBC) => cos cos n2 , n3 14 SangKienKinhNghiem.net 10 arccos 10 Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a, SA = a vng góc với đáy Tính cơsin góc mặt phẳng: a) (SBC) (SAD) b) (SBC) (SCD) Lời giải: z S B A O K A B J x x I y D C C D y Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B tiaOx; S tiaOz , mp(ABCD) kẻ Ay vng góc với AB O trung điểm AB => tam giác OAD OBC cạnh a => hình chiếu D, C Ay I AI = DK = a (độ dài đường cao tam giác cạnh a), hình chiếu C Ax J (trung điểm OB), hình chiếu D Ax K (trung điểm AO) 3a a a a ;0 , D ; ;0 , S 0;0; a Khi A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C ; 2 2 a a 3;1;2 u 2 a) * SB 2a;0;a a 2;0; a u1 3a a SC ; ; a 3;1;2 => n1 u1 , u 2 a a a a ; 1; 3; u =>(SAD) có vtpt n2 k , u 3; 1; * AD ; 2 2 Gọi góc (SBC) (SAD) cos cos n1 , n2 a a a a ;a 1; 3;2 u u , u 0;4;2 2(0;2;1) b) SD ; 2 Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến n3 (0; 2; 1) Gọi góc (SBC) (SCD) cos cos n1 , n3 15 SangKienKinhNghiem.net 10 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho HC = 2HA SH = 2a Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) Lời giải: z S A A D H O J D H E y x K y I C B x C B O trung điểm AD => tam giác OAB, OBC ODC cạnh a a => AC = =a a Hình chiếu B C Ax I AI = , hình chiếu B Ay K (trung điểm AO), hình chiếu C Ay J (trung điểm OD), hình a chiếu H Ax E AE = AI , hình chiếu H Ay K a 3a a a ; ;0 , S ; ;2a Khi A(0; 0; 0), D(0; 2a; 0), C 2 a 3a a ; ;2a +) DS 3;9;12 a6 u , AD có vectơ phương j Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến n1 u1 , j (12;0; ) a a a ; ;0 +) DC 2 3;1;0 a2 u u1 , u (12;12 3;8 ) ( 3;3;2) => Mp(SCD) có vtpt n2 ( 3;3;2) Gọi góc (SAD) (SCD) cos cos n1 , n2 14 14 arccos 49 49 Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, SAB nằm mặt phẳng vng góc với mp(ABCD) Biết AC = 2a, BD = 4a Tính cơsin góc hai mặt phẳng: a) (SCD) (ABCD) b) (SCD) (SAB) 16 SangKienKinhNghiem.net Lời giải: S z C B y H O x x D A Gọi O = AC BD, H trung điểm AB Vì SAB nên SH AB Do AB = (SAB) (ABCD) (SAB) (ABCD) nên SH (ABCD) AC BD a; OB 2a AB OA OB a Ta có: OA 2 AB a 15 SH 2 Chọn hệ Oxyz với D tiaOx; C tiaOy , hướng từ H đến S trùng hướng a a 15 (hình chiếu tia Oz Ta có: A(0; -a; 0), D(2a; 0; 0), C(0; a; 0), S a; ; 2 S mặt phẳng Oxy H; hình chiếu H Ox trung điểm OB, Oy trung điểm OA, hình chiếu S Oz S’ OS’ = HS) CD 2a; a;0 a 2;1;0 a u1 , a) +) 3a a 15 a a 2;3; 15 u SC a; ; 2 => Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến n1 u , u ( 15 ;2 15 ;8) +) Mặt phẳng (ABCD) có vectơ pháp tuyến k Gọi góc (SCD) (ABCD) => cos cos n1 , k a b) AB có vtcp u1 (AB // CD), SA a; ; 139 a 15 a a 2;1; 15 u 2 u , u ( 15 ;2 15 ;0) 15 (1;2;0) => Mp(SAB) có vtpt n2 (1;2;0) Gọi góc (SCD) (SAB) => cos cos n1 , n2 17 SangKienKinhNghiem.net 417 139 Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a, góc BAD 600 Gọi H trung điểm IB SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính cơsin góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) Lời giải: S z C B y H I x x SH (ABCD)=>(SC,(ABCD))=(SC,HC)= SCH=450 BAD = 600 nên BAD D A cạnh a BD a, HD 3a a , AI , AC AI a Tam giác SHC vuông cân H SH HC IC HI a 13 Chọn hệ Oxyz cho I trùng O, điểm D thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, hướng từ H đến S trùng hướng tia Oz a 2 Ta có: D ;0;0 , C 0; a a a a 13 ;0 , A 0; ;0 , S ;0; 2 4 (hình chiếu S Ox H, Oz S’ OS’ = SH) 3;0; 13 u1 +) SD ;0; 4 4 3a a 13 a a a a a 13 a a 1;2 3; 13 u SC ; ; 4 4 39 ; u1 , u 39 ;2 13;6 39 ; 13;3 => Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến n1 a a a 13;3 a ;0 1; 3;0 u +) AD ; 2 39; 13;3 53 Gọi góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) => cos cosn , n 79 => Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến n2 u1 , u 18 SangKienKinhNghiem.net Bài 15: Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC (ABD) (ACD) Chứng minh góc tam giác BCD có: tanB.tanC = Lời giải: z B’ C A’ D y O x B D’ A Tứ diện ABCD nội tiếp hình hộp chữ nhật OAD’B.CA’DB’có kích thước OA = a, OB = b, OC = c Ta có: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), D(a; b; c) +) AB (a; b; 0) , AD (0; b; c) =>(ABD) có vtpt n1 AB, AD (bc; ac; ab) +) AC (a; 0; c) => Mp(ACD) có vtpt n2 AD, AC (bc; ac; ab) +) Hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với nên: n1 n2 b c a c a b (1) +) AB = CD, AC = BD, AD = BC => BCD = ADC (c.c.c) BCD = DAB (c.c.c) => DBC CAD , DCB DAB Ta có: AC (a;0; c) ; AD (0; b; c) ; AB (a; b;0) => cos B cos DBC cos CAD cos( AC , AD) a2 a2 c2 b2 c2 b2 Tương tự: cos C cos DCB cos DAB cos( AD, AB) a2 b2 b2 c2 a 2b b c c a 2 ta có: tan B tan C Áp dụng: tan (2) cos b 2c Từ (1) ta có a b + a c = b c thay vào (2) ta được: tanB.tanC = (Đpcm) 19 SangKienKinhNghiem.net ... cos( AC , AD) a2 a2 c2 b2 c2 b2 Tương tự: cos C cos DCB cos DAB cos( AD, AB) a2 b2 b2 c2 a 2b b c c a 2 ta có: tan B tan C Áp dụng: tan (2) cos b 2c Từ (1) ta có... tiaOy; D'' tiaOz => B1 (2; 1; 0), C’(0; 2; 3), D1(0; 0; 1) Ta có: +) D1C '' (0; 2; 2) 2( 0; 1; 1) 2u1 , D1 B1 (2; 1; 1) u1 , D1 B1 (? ?2; 2; 2) ? ?2( 1; 1; 1) => Mp(B1C’D1)... , n r r u n 2. 3.3 Khi học sinh nắm vấn đề nêu giáo viên đưa vài tốn hình học khơng gian làm chương III – Hình học 11, sách tập Hình học 12, đề thi THPT Quốc gia , đề thi khảo sát chất lượng