Cuốn sách Nắm trọn chuyên đề Mũ - Logarit và Tích phân là tài liệu ôn tập hiệu quả dành cho các em học sinh khối 11, 12 và đang luyện thi Đại học. Cuốn sách có nội dung gồm 2 phần. Phần 1 chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về 4 chủ đề như sau: Mở đầu về lũy thừa; Mũ - Logarit; Hàm số lũy thừa, mũ và logarit; Phương trình mũ và phương trình logarit. Mời các bạn cùng tham khảo.
TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021 NẮM TRỌN CHUYÊN ĐỀ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN (Dùng cho học sinh 11,12 luyện thi Đại học năm 2021) ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia kỳ thi quan trọng Để tham dự đạt kết cao việc trang bị đầy đủ kiến thức kĩ cần thiết điều vô quan trọng Thấu hiểu điều đó, chúng tơi cúng tiến hành biên soạn sách “ Nắm trọn chun đề mơn Tốn 2021 ” giúp em học sinh ơn luyện hồn thiện kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy tham khảo cho quý thầy cô trước thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra Bộ Giáo dục Đào tạo Bộ sách chúng tơi biên soạn gồm quyển: • Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số • Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân • Quyển 3: Hình học khơng gian • Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học – tạo thuận lợi cho em học tập tham khảo Đầu tiên tóm tắt toàn lý thuyết phương pháp giải dạng tốn Tiếp theo hệ thống ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng đề kỳ thi THPT Quốc Gia năm gần bao gồm mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng Vận dụng cao Cuối phần tập rèn luyện từ đến nâng cao để em hoàn thiện kiến thức, rèn tư rèn luyện tốc độ làm Tất tập sách tiến hành giải chi tiết 100% để em tiện lợi cho việc so sánh đáp án tra cứu thơng tin Để biên soạn đầy đủ hoàn thiện sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo số tốn trích từ đề thi Sở, trường Chuyên nước số toán thầy/cơ tồn quốc Chân thành cảm ơn q thầy sáng tạo tốn hay phương pháp giải toán hiệu Mặc dù nhóm tác giả tiến hành biên soạn phản biện kĩ lưỡng không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp từ q thầy cơ, em học sinh bạn đọc để sách trở nên hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp, q vị vui lịng gửi địa chỉ: • Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com • Fanpage: 2003 – ƠN THI THPT QUỐC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh quý bạn đọc Chúc quý vị khai thác hiệu kiến thức cầm tay sách ! Trân trọng./ NHÓM TÁC GIẢ MỤC LỤC A PHẦN I: MŨ VÀ LOGARIT Trang CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA……………………………………………… Dạng 1: Tính, rút gọn, so sánh số liên quan đến lũy thừa …………………….………… CHỦ ĐỀ 2: MŨ - LOGARIT…………… ……………………………………………… 14 Dạng 1: Biến đổi mũ - logarit……………………………………………………………………… 15 CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT………………………… 31 Dạng 1: Bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit ……… ………………… 37 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT … 44 Dạng 1: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit số 01…………………………… 58 Dạng 2: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit số 02…………………………… 78 Dạng 3: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit chứa tham số 01……………… 122 Dạng 4: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit chứa tham số 02……………… 148 CHỦ ĐỀ 5: BPT MŨ, BPT LOGARIT………………… ……………………………… 172 Dạng 1: Biện luận nghiệm phương trình mũ - logarit…………………………………… 183 Dạng tốn tìm GTLN GTNN hàm số mũ – logarit…………………………………… 211 Dạng toán liên quan đến hàm đặc trưng….……………………………………………………… 232 Dạng tốn tìm cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện……………………………………………… 259 Dạng toán lãi suất…………………………………………………………………………………… 268 Dạng toán thực tế liên quan đến tang trưởng……………… ……………………………… 290 Dạng toán thường xuất đề thi Bộ……………………………………………… 307 B PHẦN II: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN……………………………………… 318 CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM………………………………………………………… 319 Dạng 1: Phương pháp tính nguyên hàm…………………………………………………… 325 CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN… ………………………………………………………… 346 Dạng 1: Phương pháp tính tích phân………………………………………………………… 353 Dạng 2: Tích phân cho nhiều hàm…………………… ………………………………… 370 Dạng 3: Tích phân hàm ẩn phần 1…………………………………………………………… 378 Dạng 3: Tích phân hàm ẩn phần …………………………………………… …………… 403 Dạng 4: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích……………………………………… 417 Dạng 5: Tích phân đề thi Bộ………………………………… …… …………… 432 PHẦN I MŨ VÀ LOGARIT CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA LÝ THUYẾT Định nghĩa • Cho n số nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích an = a.a a ( n thừa số) n thừa số a n • Ta gọi a số, n số mũ lũy thừa an • Với a 0, n = n số nguyên âm lũy thừa bậc n a số an xác định a0 = 1; a− n = an • Chú ý rằng: 0 0−n khơng có nghĩa • Cho a số hữu tỉ r = m m ; m ; n , n Khi ar = a n = n a m n Một số tính chất lũy thừa • Với a, b m, n , ta có: am an = an+ m ; m m ( n an am = am−n ; n a a am = m; b b ( a.b ) = am bm a− n = • * ) m ; (a ) m a b ( a n = n am a 0, m , n * n −m = a m.n ; m b = ; a ) Với a am an m n Còn với a am an m n • Với a b , ta có am bm m ; Căn bậc n • a m bm m Định nghĩa: cho số thực b số nguyên dương n ( n ) Số a gọi bậc n số b an = b • Một số ý quan trọng o Nếu n lẻ a có bậc n , kí hiệu n a o Nếu n chẵn có trường hợp sau: ▪ Với a khơng tồn bậc n a ▪ Với a = có bậc n a số ▪ Với a có hai bậc n n a Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: TÍNH, RÚT GỌN, SO SÁNH CÁC SỐ LIÊN QUAN ĐẾN LŨY THỪA Câu 1: ( Cho a , b số thực dương Rút gọn biểu thức P = a3 b2 B a2 b A ab2 Câu 2: B 15 C a Cho a số thực dương, khác Khi A a a D a a C 3 D a a ) ( Cho a Giá trị biểu thức P = log a a a2 A B C D Rút gọn biểu thức P = x x với x A P = x Câu 6: D a2 b2 B a Câu 5: kết a12 b6 C ab 15 A a Câu 4: Biểu thức T = a a với a Viết biểu thức T dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là: Câu 3: ) B P = x 63+ Tính giá trị biểu thức A = D P = x2 C 18 D 2 + 31+ B − A C P = x Câu 7: Rút gọn biểu thức P = x x , với x số thực dương Câu 8: A P = x 12 C P = x B P = x 12 Cho x , y Viết biểu thức x x D P = x m 11 D x dạng x biểu thức y : y y dạng y n Tính m − n A Câu 9: B − 11 C − Cho a , b x , y số thực Đẳng thức sau đúng? A ( a + b ) = a + b x x x x a B = a x b− x b C ax+ y = ax + a y D a x b y = ( ab ) Câu 10: Rút gọn biểu thức P = x x ? Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” xy CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT 17 A x B x 10 13 C x 10 D x 2 a −1 b Câu 11: Cho a , b biểu thức T = ( a + b ) ( ab ) 1 + − Khi đó: b a 2 A T = B T = Câu 12: Cho hàm số f ( a ) = a a − ( ( a − a −1 ) với a 0, a Tính giá trị M = f ( 2017 ) B M = −20171008 − A M = 20171008 − Câu 13: Rút gọn biểu thức P = a − a4 +1 a a2 − (a ) −2 A P = a D T = C T = +2 2016 ) C M = 2017 2016 − D M = − 2017 2016 C P = a4 D P = a5 với a B P = a3 Câu 14: Cho hai số thực dương a, b Rút gọn biểu thức A = a3 b + b3 a a+ b ta thu A = am bn Tích m.n A B 21 C m Câu 15: Cho biểu thức = n , D 18 m phân số tối giản Gọi P = m2 + n2 Khẳng định n sau đúng? A P ( 330; 340 ) B P ( 350; 360 ) C P ( 260; 370 ) D P ( 340; 350 ) 11 Câu 16: Rút gọn biểu thức A = a7 a a a −5 m với a ta kết A = a n m, n N * m n phân số tối giản Khẳng định sau đúng? A m2 − n2 = 312 B m2 + n2 = 543 Câu 17: Cho 4x + 4− x = biểu thức A = A C m2 − n2 = −312 D m2 + n2 = 409 − 2x − 2− x a = Tích a.b có giá trị bằng: + 2x + 2− x b B −10 C −8 D −1 a a + a Câu 18: Cho a số thực dương Đơn giản biểu thức P = −1 a a + a A P = a ( a + 1) B P = a − C P = a Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D P = a + CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 19: Cho biểu thức P = x x x , với x Mệnh đề đúng? A P = x B P = x 1 Câu 20: Tích ( 2017 ) ! + 1 12 C P = x 1 + + 2 2017 2017 D P = x 24 viết dạng ab , ( a , b ) cặp cặp sau? A ( 2018; 2017 ) Câu 21: Cho f ( x) = phân số 1+ B ( 2019; 2018 ) 1 + x2 ( x +1)2 m Biết rằng: f ( 1) f ( ) f ( 2020 ) = n với m, n số nguyên dương m tối giản Tính m − n2 n A m − n2 = 2021 B m − n2 = −1 Câu 22: Cho m , a = m m , y = A y = D ( 2016; 2015 ) C ( 2015; 2014 ) 18 a 35 m a m B y = D m − n2 = 2020 C m − n2 = Mệnh đề đúng? a2 C y = D y = a 34 a11 Câu 23: Biểu thức C = x x x x x với x viết dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ 15 A x 16 31 C x 16 B x D x 32 Câu 24: Rút gọn biểu thức A = m a5 a a4 a−2 với a ta kết A = a n , m , n * phân số tối giản Khẳng định sau đúng? C 3m2 − 2n = B m2 + n2 = 43 A m2 − n2 = 25 Câu 25: Cho a, b hai số thực dương Thu gọn biểu thức A a4 b B ab Câu 26: Cho biểu thức P = a b C − ab2 D 2m2 + n = 15 , kết sau đúng? b a D 23 2 Mệnh đề mệnh đề sau đúng? 3 1 18 2 D P = 3 8 18 2 A P = B P = C P = 3 3 3 Câu 27: Cho a số dương khác Khẳng định sau đúng? A a−2019 = a 2019 a b 1 B a−2019 = − a 2019 1 C a−2019 = a 2019 D a−2019 = −a 2019 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” m n CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 28: ( Cho a , b số thực dương Rút gọn biểu thức P = a3 b2 B a2 b2 A ab ) kết a12 b6 D a2 b C ab2 Câu 29: Cho biểu thức P = x x x với x Mệnh đề đúng? A P = x B P = x 11 C P = x Câu 30: Cho a số thực dương Viết rút gọn biểu thức a 2018 2018 D P = x a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ Tìm số mũ biểu thức rút gọn A Câu 31: 1009 B 1009 C 1009 D 2018 Cho số thực a số thực , Kết luận sau đúng? A a 1, B a a Câu 32: Cho Kết luận sau đúng? A = B C 0, a D a 1, D + = C Câu 33: Với số thực a , b bất kì, mệnh đề sau đúng? ( ) A 3a b ( ) = 3a + b B 3a b ( ) = 3ab C 3a a a b ( ) = 3a − b D 3a b b = 3a 3 4 Câu 34: Cho a, b số thực thỏa điều kiện b b Chọn khẳng định 4 5 khẳng định sau? A a b C a b B a b D a b 2 Câu 35: Cho a thuộc khoảng 0; , số thực tuỳ ý Khẳng định sau sai? e ( ) A a b = a B a a a C a a = a + Câu 36: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A ( C 2 −1 +1 ) 2017 ( −1 ) 2018 B ( ) −1 2018 2 D − 2 2018 D a a ( −1 ) 2017 2 1 − 2017 Câu 37: Cho số thực a; b thỏa mãn a b Tìm khẳng định đúng: A ln a ln b B ( 0,5 ) ( 0,5 ) a b C loga b D 2a 2b Câu 38: Khẳng định sau đúng? A ( + 2)−2017 ( + 2)−2018 B ( + 2)2018 ( + 2)2019 C ( − 2)2018 ( − 2)2019 D ( − 2)2018 ( − 2)2019 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT f 1 m 2 m 1 m 6 m f m Vậy với 1 m phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 1; 3 Câu 10: Chọn C Điều kiện: x Ta có 4log 1 x ( m 3)log x m log x ( m 3)log x m 2 2 x2 log x log x ( m 3)log x m log x m log x m 1 Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 1;8 1 có 0 m 1 m nghiệm thuộc đoạn 1;8 \2 tức 2m 1 m1 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn toán Câu 11: Chọn D Ta có: log ,02 log 3x log ,02 m Tập xác định: D Điều kiện tham số m : m Ta có: log 0,02 log 3x log 0,02 m log 3x m Xét hàm số f x log 3x , x ;0 có f ( x) 3 x.ln x ln 0, x ;0 Bảng biến thiên f x Khi với u cầu tốn m Câu 12: Chọn B Đặt t x , t Phương trình trở thành t 6t m 1 Yêu cầu toán trở thành: Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm t1 , t2 dương thỏa mãn m S 6 log t1 log t t1t2 Ta m P m P m Câu 13: Chọn C x 1 x 2x 3 1 1 2 1 x Bất phương trình x 2x x 3 3 3 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 157 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Vì x nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 nên x 2020; 2019; ; 1;0 Vậy có tất 2021 giá trị thỏa mãn Câu 14: Chọn B Điều kiện: x Với x ta có x log log m.16 log x m 1 Đặt t log x log x x phương trình cho tương đương với phương trình 2 t Khi phương trình 1 trở thành mt m 1 t * Phương trình 1 có nghiệm x phân biệt phương trình * có nghiệm t phân biệt m S P m m m 0, m m 1 m m m m 2 m 0 m Mà m thuộc 1; giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán thuộc 1;0 Câu 15: Chọn D x x x x 0 m Điều kiện: x m x m x mx m x m 1 x 1 m Có: log 2 x mx m log x log x mx m log 0 x x mx m 1 x x2 x x2 Đặt f x 1 m x x 1 x1 f x x x 2 x 1 với x ; lim f x x Trường hợp 1: x m 1 m Để phương trình cho có nghiệm thì: (Vơ nghiệm) m f (0) Trường hợp 2: x m m 1 158 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Để phương trình cho có nghiệm thì: m m m 1 m m 1 m m m f m m m m2 Vậy tất giá trị thực tham số m cần tìm là: m Câu 16: Chọn A 2 x 1 m.2 x 2m 2 x 2m.2 x 4m Đặt t x , t Khi phương trình cho trở thành: t t 2mt 4m t t m * t m * * Yêu cầu toán tương đương với * * phải có nghiệm thuộc ; 2m m Câu 17: Chọn B Ta có: x 2m.3x 2m (1) Đặt t x t , phương trình (1) trở thành: t m t m Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 phương trình có hai nghiệm t1 ; t2 dương phân m2 m biệt S m m P 2 m t t m Theo định lý Viet ta có t1 t m t 3x1 t1 t2 3x1 3x2 m x1 x2 27 2m m 12 (thỏa Với t 3x ta có: x2 t2 mãn) Câu 18: Chọn D Điều kiện: x t Đặt t ln x , phương trình cho trở thành: t m t m t m ,( m 2) Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 159 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Với t ln x x e Với t m ln x m x e m Vậy tổng nghiệm phương trình e e m Câu 19: Chọn D Điều kiện: x log 22 x log x2 m log 22 log x 2m (1) Đặt log x t , x 1; t 0; Khi phương trình (1) trở thành: t 2t 2m với t 0; Xét f t t 2t có f t 2t 2; f t t Bảng biến thiên Để phương trình có nghiệm x 1; 2m m Câu 20: Chọn A Đặt x t , t Bất phương trình trở thành: t t m t t m (1 x 1; t 2; Xét f t t t với t 2; f t 2t 1; f t t 2; f 6; f 20 f 2;4 (1) m f t , với t 2; Bất phương trình cho nghiệm với x 1; m f t m 2;4 Vì m 10;10 có 17 giá trị cần tìm Câu 21: Chọn C Xét phương trình x 2(2 m 1).3x 3(4 m 1) 1 Đặt t x , t , phương trình cho trở thành t 2(2 m 1)t 3(4 m 1) Để phương trình 1 có nghiệm thực phương trình có hai nghiệm dương ' (2 m 1) 3(4 m 1) m m 1 1 t1 t2 0 m m (*) 2 3(4 m 1) 0 t1t2 m t m 2( m 1) m x1 log (4m 1) Phương trình có nghiệm t2 m 2( m 1) x2 Theo ta có: x1 x2 12 log (4 m 1) 12 log (4 m 1) 160 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT 5 log (4 m 1) m m 10 m (tm) Vậy m 2 Câu 22: Chọn B Điều kiện: x y 2 x y x y x y Ta có hệ phương trình: * 2 x 1 y 1 m x y x y m Trường hợp 1: m Khi * vô nghiệm Trường hợp 2: m Trong mặt phẳng Oxy , xét hai đường trịn có phương trình: C : x y 2, C : x 1 y 1 m m 2 C có tâm I 2; , bán kính R , C có tâm I 1;1 có bán kính * có nghiệm C tiếp xúc với C , xảy 1 2 R m 10 m m 10 m 12 I1 I R1 R2 10 m m 10 m 12 I1 I R1 R2 10 m Phương trình đường thẳng I1I2 là: x 3y Tọa độ giao điểm I1I2 đường tròn C nghiệm hệ phương trình: x y 2 x y 10 x 10 y 10 10 10 10 M1 ; ; ; M2 5 5 2 10 x 10 y Với m 12 , ta có M C C Tọa độ M1 thỏa mãn điều kiện x y Với m 12 , ta có M C C Tọa độ M2 thỏa mãn điều kiện x y Vậy m 12 m 12 thỏa mãn yêu cầu đề Câu 23: Chọn C Ta có m.2 x m 2x 2 5x6 5 x 21 x 2.26 x m m.2 x 21 x x x2 x 1 x m 5x6 5x6 2 21 x 27 x m x2 x m 1 x x x 1 x m * Yêu cầu toán tương đương với Trường hợp 1: Phương trình * có nghiệm x , suy m Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 161 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Trường hợp 2: Phương trình * có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm 3 nghiệm cịn lại khác , m Trường hợp 3: Phương trình * có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm 8 nghiệm cịn lại khác , m Vậy có tất ba giá trị m thỏa mãn Câu 24: Chọn D msin xcos x msin x cos x e22cos x 2cos x * Phương trình e Xét hàm số f t e t t Ta có f ' t e t , t Suy hàm số f t đồng biến Do đó: f m sin x cos x f cos x m sin x cos x cos x m sin x cos x m Suy phương trình cho có nghiệm m m m Vậy có 4037 giá trị nguyên m thoả mãn Câu 25: Chọn A Vì m m 0, m nên phương trình tương đương với x x log m m (1) Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y x x Từ suy đồ thị hàm số y x x Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có nghiệm phân biệt log m4 m m4 m2 m 5 162 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 26: Chọn B Điều kiện xác định x 1 Ta có: x ln x m x ln x m 2 1 Xét hàm số f x x ln x , x có f ' x x x x 0 Giải phương tình f ' x x x2 x x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm m Mà m , m 10;10 m 1; 2; ; 9 Có giá trị m Câu 27: Chọn B Xét phương trình x x m , x ; Đặt t x Phương trình trở thành: t 4t m , t 1; t 4t m , t 1; Xét hàm số f t t 4t với t 1; f t 2t t Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên , yêu cầu đề m 5; 1 Do m nên m 5; 4; 3; ; 1 Vậy tổng: S 15 Câu 28: Chọn C Xét khoảng ; có: log x 1 m log x 1 log 23 x 1 m log x 1 Với x ; log x 1 0; Yêu cầu toán PT có hai nghiệm log x 1 dương phân biệt Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 163 CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT a m 2 m m S m m Vậy m ; m P Câu 29: Chọn C Điều kiện: x log x 3m 1 log x 6m log x 3m 1 log x 6m log x 3m 1 log x 2log x 6m log x log x 3m 1 log x 2 log x 3m 1 Ta có: x ; log x 2;1 9 1 Vậy để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 9 2 3m 1 m Câu 30: Chọn B Ta có e x m e x e x m e x 2e x m e x m e x x ln e 2 e m3 x x e m e m 2x x Ta có: x 0;ln e x 1; Vậy để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;ln 3 1 m m m m Câu 31: Chọn D Đặt log x t , phương trình cho trở thành t t m t m t m t m t m Với t log x x 1; 81 Nhận thấy x 1; 81 \9 log x 0; \2 , nên phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 81 0 m 3 m m 0; \2 m m 1 Mà m , suy m 3; 2; 0;1 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc 1; 81 Câu 32: Chọn A 164 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Đặt x t , t Phương trình (1) trở thành t m (2) t 2m t m2 5m t m m t m m t m Nhận xét, với t cho giá trị x ngược lại giá trị x cho giá trị t Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thuộc 2; Phương trình (2) có nghiệm m5 t ; 5,25 m 16 ; mà m 19;19 nên suy m 16 2 m 6;7;8;9;11;12;13;14;15;16 Tổng giá trị 16 X 121 X 6 Câu 33: Chọn A 5x Ta có 25x ( m 1).5 x m (1) (5x 1).(5 x m) x m Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m m x1 x Khi hai nghiệm x1 , x2 (1) là: x m x2 log m m 25 log m 2 Theo ta có: x12 x22 log m m log m 2 25 626 Tổng tất giá trị tham số m là: 25 25 25 Câu 34: Chọn A Điều kiện: x Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Theo Viet, ta có: log x1 log x2 m log x1 x2 m log 27 m m m log x x Thử lại với m ta có: log 23 x 3.log x (thỏa mãn) x log x Câu 35: Chọn C Ta có 41 x 41 x m 1 22 x 22 x 16 8m x x m 1 x x m Đặt t x 1 3 , t 0; , t x x x 2 Phương trình viết lại: 3 t 0; t m 1 t m t t mt 2m t t m 2 t m 3 5 Do để phương trình có nghiệm x 0;1 m 0; m 1; , có giá trị nguyên 2 m thỏa mãn Câu 36: Chọn D Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 165 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Trên đoạn ; phương trình xác định Với m nguyên âm ta có m , 1 m 1 log 21 x 1 m 5 log x 1 4m m 1 log 3 x 1 m 5 log x 1 m Đặt t log x 1 , với x ; 1 t Ta có phương trình: m 1 t m t m m t t 1 t 5t m t 5t t t 1 2 t 5t với 1 t t2 t 1 t 4t Ta có f t 0 2 t 1 t t 1 Xét hàm số f t f 1 , f 1 3 Do f t 3 max f t 1;1 1;1 Phương trình cho có nghiệm thực đoạn ; phương trình có nghiệm t 1;1 f t m max f t 3 m 1;1 1;1 Như vậy, giá trị nguyên âm m để phương trình 1 có nghiệm thực đoạn ; 3; 2; 1 Câu 37: Chọn B Đặt t 3x Do x 1; t 3; Phương trình trở thành t m t m m Xét hàm số f t t 2t t2 t t 4t t 2t f t t 4t có f t t2 t 1 t 2 Bảng biến thiên 166 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT u cầu tốn nghĩa tìm m để phương trình m t 2t có hai nghiệm phân biệt thuộc t2 72 đoạn 3;9 Từ bảng biến thiên ta có m 8; thỏa yêu cầu tốn Câu 38: Chọn A Phương trình 3log 21 x m log x m 3log 22 x m log x m 1 Đặt t log x Do x ;1 t 5;0 32 Phương trình trở thành 3t m t m m Xét hàm số f t 3t 2t t 1 t 3t 6t 3t 2t f t 3t 6t có f t t 1 t 1 t 1 Bảng biến thiên Yêu cầu toán nghĩa tìm m để phương trình m 3t 2t có hai nghiệm phân biệt thuộc t 1 đoạn 5; Từ bảng biến thiên ta có m 7; thỏa yêu cầu toán Câu 39: Chọn C log 23 x log 23 x m * Điều kiện: x Đặt t log 23 x 1, ta có t t m t t 2m 1 với x 1; Vậy phương trình * có nghiệm thuộc 1; 15 15 t 1; 1 có nghiệm thuộc 1; Đặt f t t t Ta có bảng biến thiên sau Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 167 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Phương trình 1 có nghiệm 2m 20 m Vậy m 1; 2; 8;9 Câu 40: Chọn A Đặt t 3x , t , với x 1; t 3; 27 Khi phương trình cho trở thành: t t 2m 1 t m t t 2m t m u cầu tốn ta có 29 Vậy m 3; 4; 13;14 m 27 m 2 Câu 41: Chọn D log 23 x 3log x m 1 Điều kiện: x Đặt t log x x 3t phương trình tương đương t 3t m 1 có hai nghiệm phân biệt có 2m 8m 37 m nghiệm phân biệt 37 Giả sử có nghiệm t1 log x1 , t2 log x2 x1 x2 3( t t ) 27 Suy x1 x2 9 x1 x2 x1 x2 9 x1 x2 12 Vậy x1 , x2 nghiệm phương trình x 12 x 27 x x (thỏa) Với x suy log 23 3log 3 m m (thỏa) Vậy m Với x suy log 23 3log m m Câu 42: Chọn A x 1 x Điều kiện: x 2m Ta có log x 2m m log x 2m 2m x t 2m 2x x 2t t 1 Đặt t log x 2m ta có t x 2m u Do hàm số f u u đồng biến nên ta có 1 t x x x Khi x 2m 2m x (thỏa điều kiện) x Xét hàm số g x x g x x ln x log ln 168 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Bảng biến thiên: Từ phương trình cho có nghiệm 2m g log ln m g log ln 0, 457 Vậy m 1; 2; ;19 Câu 43: Chọn C log x Phương trình: log 22 x ( m 1) log x m log x 1 log x m log x m Ta có: log x x (thỏa mãn) m Yêu cầu toán (do x 1;8 m log x 0; ) m 0; Câu 44: Chọn B Phương trình: log x m log 23 x (2 m 3)log x m 3m log x m 1 log x m log x m m m m 1; Do x 1; log x 0; nên yêu cầu toán m 0; 3 m 2;1 m 0; m 1;1 Câu 45: Chọn D 2x x 5 5 Chia hai vế bất phương trình cho ( ), ta (1 m) m 3 3 2x x x 5 Đặt t 3 5 Với x 0 ;1 t 1 ; , ta có bất phương trình bậc hai t (1 m)t m 3 5 Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình: t (1 m)t m , t 1 ; 3 t (1 m)t m 0, t 1 ; Vì t 0, t 1 ; 5 t 1 t m 0, t 1 ; 5 , nên * t m 0, t 1 ; 3 5 * 5 11 2m0 m 3 3 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 169 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 46: Chọn B Đặt: t log x Điều kiện: x x t log x log 1 2 1 f t m 1 t 2m 1 t m (1) có nghiệm thõa mãn: x x có nghiệm t , t 2 thõa 1 t1 t2 m m af 1 m 1 m m m1 S 4m m m 1 0 m Vậy: m m Câu 47: Chọn B 4log (3 x) (m 1)log (9 x) m (log x 1)2 ( m 1)(log x 2) m log x 2log x m log x log x m m log x 1 log x m log x log x m (log x 1)(log x m) log x m Với log x 1 x (tm) Với log x m x 3 m (*) 1 Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc ; pt (*) có nghiệm thuộc 3 1 khác hay 3 m 31 3 m 32 2 m m Z m 2; 1;0} 3 Câu 48: Chọn A Điều kiện: x Ta có: log 23 x log x m log 23 x log x m 1 Đặt: log x t Phương trình 1 trở thành: t 2t m 1 ;9 2 x Phương trình m 0; 2018 có m e e x nghiệm phân biệt x 2016 pt 2017 có 2018 x nghiệm phân biệt 2019 đồ thị hàm số D m e x e có x giao điểm phân x biệt với e t Xét hàm số m t t f t t Có m max f t ; * 0; Bảng biến thiên 170 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT t3 Dựa vào BBT, ycbt f t t 1 1 - Câu 49: Điều kiện: x Ta có: log 22 x log x m log 22 x 2log x m Đặt log x t ( x 1;8 t 0; ) Phương trình trở thành: t 2t m Xét hàm số f t t 2t , với t 0; f t 2t , f t 2t t Bảng biến thiên: Để phương trình log 22 x log x m có nghiệm x 1; phương trình: t 2t m có nghiệm t 0; Do đồ thị hàm số y f t phải cắt đường thẳng y m Từ bảng biến thiên ta thấy m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 50: Chọn C Ta có x1 x m x 1 2.2 x 1 m 1 Đặt x1 t Phương trình 1 trở thành t 2t m 0.(2) Để phương trình 1 có nghiệm phương trình có nghiệm t t1 t Ycbt phương trình có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1 t ' 0, P 0, S 0 m m P m Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 171 ... m.n = 1 1 6 3 a+ b a6 + b6 a6 + b6 3 3 2 Câu 15 : Chọn D Ta có 1 = 3 = 10 30 = 5 + 1 + 10 30 11 = 15 m 11 m = 11 = P = m2 + n2 = 11 2 + 15 2 = 346 n 15 n = 15 Câu 16 : Chọn A 11 Ta có:... phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” D 19 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT BẢNG ĐÁP ÁN 1. C 11 .C 2.D 12 .B 3.A 13 .C 4.A 14 .B 5.A 15 .A 6.A 16 .A 7.B 17 .D 8.A 18 .C 9.D 19 .D 10 .A 20.A 21. D 31. A 41. C 22.A 32.D 42.A... TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT ( Vì vậy: a = 2x , b = y x , y + ) ( z − 1) 10 03 − x = 91 − 11 11 Do đó: x − = 11 k x = 11 k + y = 92 − 2k 2 x b11y = 210 03 x + 11 y = 10 03 y = Do