Nghiên Cứu Mô Hình Truyền Sóng Của Phương Trình Schrodinger Có Nhiễu Phi Tuyến Và Các Mô Hình Sóng Liên Quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN =======o0o======= HUỲNH THANH TOÀN NGHIấN CU Mễ HèNH TRUYN SểNG ă CA PHNG TRèNH SCHRODINGER CĨ NHIỄU PHI TUYẾN VÀ CÁC MƠ HÌNH SĨNG LIÊN QUAN TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - Năm 2022 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Người hướng dẫn khoa học: HDC: TS Nguyễn Minh Quân HDP: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện độc lập 1: PGS.TS Lê Thị Phương Ngọc Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Anh Triết Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, vào hồi 00, ngày 19 tháng 03 năm 2022 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM LỜI NĨI ĐẦU Luận án nghiên cứu mơ hình truyền sóng tuyến tính phi tuyến loại vật liệu nhân tạo (silicon, silica, v.v.) ứng dụng kỹ thuật thông tin quang Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng lớp phương trình khuch tỏn phi tuyn nh Schrăodinger phi tuyn (NLS), Ginzburg-Landau (GL) hay Korteweg-de Vries (KdV) đóng vai trị quan trọng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học Vật lý nhiều năm qua [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] Trong mơ hình này, cân trình khuếch tán (dispersion) phi tuyến (nonlinearity) dẫn đến tồn nghiệm sóng đơn độc (solitary waves) hay nghiệm sóng soliton Nghiệm soliton có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật nhờ tính chất bảo tồn hình dạng chúng truyền dẫn sau va chạm với soliton khác [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] Chẳng hạn sóng soliton dùng bit thông tin truyền tải hệ quang dẫn, mơ tả sóng mặt nước, mơ tả đám mây nguyên tử cô đọng Bose-Einstein (BEC) hay mô tả dao động thiết bị Nanoelectromechanical (NEM) [10, 11, 12, 13] Năm 1973, A Hasegawa F Tappert tồn soliton ống quang dẫn mơ tả phương trình NLS [14] Sau đó, năm 1980, L F Mollenhauer thực thành cơng thí nghiệm truyền dẫn soliton ống quang dẫn phịng thí nghiệm Bell (Hoa Kỳ) [12, 13] Ngồi soliton, số hàm sóng Gaussian, Hyperbolic-Secant, v.v ca phng trỡnh Schrăodinger tuyn tớnh cng c dựng để biểu diễn bit thông tin công nghệ laser [12] Các ứng dụng dẫn đến phát triển bùng nổ công nghệ truyền tin sợi quang ba thập kỷ qua Trong kỹ thuật thông tin quang, tốc độ truyền tin tăng lên đáng kể nhờ kỹ thuật truyền sóng đa kênh [12, 13, 15, 16] Trong hệ đa kênh, tương tác soliton vật liệu ống quang dẫn làm xuất nhiễu phi tuyến ngẫu nhiên [12, 13, 17] Chẳng hạn, nhiễu suy hao phi tuyến (nonlinear loss) hình thành hấp thụ nhiều photon ánh sáng (multiphoton absorption) ống quang dẫn silicon [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25] Các trình nhiễu gây thay đổi lượng tần số soliton truyền dẫn va chạm gây sai số truyền tin Chẳng hạn, hai soliton tham gia va chạm suy hao lượng tác động nhiễu suy hao phi tuyến [12, 13, 19, 21, 22, 23] hay lượng soliton tần số cao truyền sang soliton tần số thấp tác động tán xạ Raman ống quang dẫn silica [12, 13, 17] Trong hệ đa kênh, chuỗi soliton truyền tải ống quang dẫn với hiệu tần số lớn (|∆β| 1), tức có hiệu vận tốc lớn Do trình va chạm soliton nhanh xảy liên tục [12, 13, 16, 26, 27, 28] Trong công bố gần đây, chẳng hạn [17, 19, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 32, 33, 34], tác giả nghiên cứu số toán quan trọng truyền dẫn va chạm Các tài liệu tham khảo tóm tắt luận án trình bày tương ứng với tài liệu tham khảo luận án sóng soliton mơi trường quang dẫn silicon silica, mô tả mô hình (1+1)D NLS bậc ba (viết tắt CNLS) có nhiễu phi tuyến yếu Trong luận án này, (n +1)D có nghĩa mơ hình với số chiều tiến hóa (evolution) số chiều biến không gian n Chẳng hạn, tác giả thiết lập biểu thức tính thay đổi tham số nghiệm soliton (biên độ, tần số) va chạm nhanh (tức |∆β| 1) với soliton khác tác động trình nhiễu phi tuyến yếu tán xạ Raman với hệ số nhiễu < [17], suy hao bậc ba với hệ số nhiễu < R 2m +1 tổng quát với hệ số nhiễu < 2m+1 [19] suy hao bậc [21] Bên cạnh đó, tác giả xây dựng mơ hình hệ phương trình vi phân thường (ODEs) mơ tả động lực biên độ soliton mơ hình NLS có nhiễu suy hao bậc ba [19], nhiễu Raman [32] hay nhiễu dạng GL [30, 31] Các biểu thức tính mức lượng cần cung cấp cho máy khuếch đại lượng nhằm bồi thường tác hại hiệu ứng nhiễu để trì truyền dẫn soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa xây dựng Hiện nay, lĩnh vực trên, nhiều tốn mở quan trọng có ứng dụng Vật lý kỹ thuật Trong luận án này, quan tâm đến nội dung sau Nội dung thứ Nội dung trình bày Chương Chúng tơi đề xuất phương pháp nghiên cứu dịch chuyển tần số cho 1D CNLS soliton ứng dụng nghiên cứu số toán điều khiển biên độ soliton Bên cạnh đó, chúng tơi cải tiến mơ hình NLS nhằm truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa (hàng nghìn km) hệ quang dẫn Trước tiên, khảo sát mơ hình (1+1)D CNLS mơ tả truyền dẫn soliton môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba lý tưởng (khơng có nhiễu) [2]: i ∂z ψ + ∂2t ψ + ψ ψ = 0, (1) với ψ(t , z) hàm sóng soliton, t thời gian z khoảng cách truyền dẫn sóng Trong [12, 17, 32], tác giả soliton bị thay đổi tần số truyền dẫn va chạm tác động nhiễu Raman Trong [35], tác giả xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số soliton cách sử dụng hệ thống quang dẫn có nhiễu Raman hàm khuếch đại lượng phụ thuộc tần số Tuy nhiên, phương pháp [35] có hạn chế khơng dịch chuyển xạ tương ứng không áp dụng dịch chuyển lượng ∆β khoảng cách truyền dẫn Phương pháp cải tiến giải vấn đề Phương pháp dựa phép biến đổi Fourier cho nghiệm soliton tính chất bảo tồn hình dạng soliton lý tưởng Chúng "phân rã" lượng tần số ∆β xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số khác cho đại lượng tần số phân rã Tiếp theo, nghiên cứu cải tiến mơ hình NLS truyền thống nhằm truyền dẫn soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa hệ quang dẫn Cụ thể, đề xuất mơ hình lai ghép gồm hệ N phương trình NLS có nhiễu Raman suy hao/lợi nhiễu phi tuyến [30, 31, 32]: i ∂z ψ j + ∂2t ψ j + ψ j ψ j + N k=1 − R ψ j ∂t ψj N − R − δjk i − δ j k ψk ψ j = g j ψ j + i L |ψ j |2 ψ j ψ j ∂ t ψk k=1 2 + ψk ∂t ψ j ψ∗k , ≤ j ≤ N, (2) ψ∗j liên hợp ψ j , R hệ số nhiễu Raman, δ j k hàm Kronecker delta, L |ψ j |2 đa thức theo |ψ j |2 , g j hiệu trình khuếch đại lượng suy hao tuyến tính gây vật liệu ống dẫn sóng Trong ứng dụng, toán xác định mức lượng dùng cho máy khuếch đại lượng theo tham số nhiễu thông qua hệ số g j , nhằm truyền tải soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa, khó dựa vào mơ hình phương trình đạo hàm riêng (2) [1, 12] Trong nghiên cứu này, chúng tơi thiết lập mơ hình ODEs mơ tả động lực biên độ soliton mơ hình NLS (2) Bằng cách khảo sát tính ổn định điểm cân ODEs sử dụng hàm Lyapunov kỹ thuật tuyến tính hóa, chúng tơi xác định tham số nhiễu vật lý đồng thời tính mức lượng dùng cho máy khuếch đại nghiên cứu truyền dẫn soliton đến khoảng cách xa thực chuyển kênh động (tắt/bật nhiều kênh dẫn sóng) Các kết công bố 02 báo [A1, A3] Nội dung thứ hai Nội dung trình bày Chương Chúng tơi xây dựng phương pháp tính nhiễu cho 2D NLS soliton định lượng thay đổi tham số biên độ soliton va chạm nhanh với soliton khác mơi trường quang dẫn phi tuyến bão hịa có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Ngồi ra, chúng tơi nghiên cứu động lực biên độ va chạm nhanh sóng khơng soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Các kết nghiên cứu phát triển nghiên cứu 1D soliton [17, 19, 21] Trước tiên, xét va chạm nhanh hai soliton mơ hình (2+1)D SNLS [5, 21, 37]: i ∂ z ψ j + ∆⊥ ψ j + γ(|ψ j |2 + |ψl |2 ) + (|ψ j |2 + |ψl |2 )/I với ≤ j , l ≤ 2, j = l , m ≥ 1, bk,m = ψ j = −i 2m+1 |ψ j | 2m ψj − i m 2m+1 b k,m |ψl |2k |ψ j |2(m−k) ψ j ,(3) k=1 m!(m+1)! (k!)2 (m+1−k)!(m−k)! [21], ∆⊥ = ∂2x + ∂2y , ψ j tương ứng với trường sóng soliton j , (x, y) tọa độ không gian, z khoảng cách truyền sóng, γ tương ứng với cường độ phi tuyến môi trường quang dẫn, I tham số phi tuyến bão hòa phi tuyến bậc 2m + với < 2m+1 2m+1 hệ số nhiễu suy hao Trong nghiên cứu gần đây, chẳng hạn [17, 19, 21, 33], biểu thức mô tả tác động nhiễu phi tuyến lên biên độ tần số nghiệm 1D soliton va chạm nhanh thiết lập thành công nhờ yếu tố quan trọng sau: (1) Tính khả tích mơ hình (1+1)D CNLS lý tưởng; (2) Tính ổn định (bảo tồn hình dạng biên độ) nghiệm 1D soliton lý tưởng truyền dẫn va chạm với soliton khác; (3) Kỹ thuật tính nhiễu phát triển dựa vào phương pháp tính nhiễu quanh soliton lý tưởng Kaup [36] sử dụng nghiệm soliton giải tích dạng sech-soliton Tuy nhiên, soliton có số chiều lớn thường khơng ổn định [38] Gần đây, có nhiều nghiên cứu cho 2D 3D soliton 2D 3D soliton tồn truyền dẫn ổn định môi trường quang dẫn với phi tuyến bão hòa [5, 41], phi tuyến cạnh tranh [42, 43] hay phi tuyến bậc ba [38, 44] Tuy nhiên, mơ hình (2 + 1)D (3+1)D NLS mô tả truyền dẫn soliton môi trường khơng khả tích [38, 45] Do đó, khó để áp dụng phương pháp tính nhiễu Kaup Trong nghiên cứu này, chúng tơi phát triển phương pháp tính nhiễu cho 2D SNLS soliton dựa tính tốn cân lượng xấp xỉ thay đổi hình dạng soliton va chạm có nhiễu Chúng tơi sử dụng nghiệm 2D soliton có nhiễu thay cho phương pháp tính nhiễu [17, 19, 21, 33] sử dụng nghiệm soliton dạng giải tích Từ đó, chúng tơi tính thay đổi biên độ 2D soliton va chạm mà khơng cần dạng giải tích nghiệm soliton lý tưởng Tiếp theo, nghiên cứu động lực biên độ va chạm nhanh sóng khơng soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Chúng tơi bắt đầu với tốn va chạm nhanh hai súng c mụ t bi mụ hỡnh Schrăodinger tuyn tính có nhiễu suy hao bậc ba yếu[12, 19, 46]: i ∂z ψ1 − sgn(β˜2 )∂2t ψ1 = −i ψ1 − i |ψ1 | i ∂z ψ2 + i d ∂t ψ2 − sgn(β˜2 )∂2t ψ2 = −i ψ1 − 2i |ψ2 | ψ2 − i |ψ2 | 2 ψ1 , ψ2 − 2i |ψ1 | ψ2 , (4) với ψ j sóng j , z khoảng cách truyền sóng, t thời gian, d1 hệ số vận tốc nhóm hai sóng, β˜2 hệ số tán sắc bậc hai, hệ số nhiễu suy hao tuyến tính bậc ba, < 1, Trong [17, 19, 21], biểu thức mô tả thay đổi tham số nghiệm 1D soliton va chạm thiết lập thành công nhờ tính chất bảo tồn hình dạng soliton truyền dẫn va chạm Tuy nhiên, sóng tuyến tính (4) khơng có tính chất bảo tồn hình dạng truyền dẫn va chạm soliton Do đó, khó để vận dụng kỹ thuật tính nhiễu Kaup Trong phần này, cải tiến kỹ thuật tính nhiễu cho 1D soliton [17, 19, 21] phát triển số kỹ thuật tính nhiễu dựa tính tốn tác động nhiễu lên trường sóng Từ chúng tơi thiết lập biểu thức mơ tả thay đổi tham số biên độ nghiệm sóng sau va chạm nhanh có nhiễu nghiên cứu tính chất tương tự soliton (soliton-like) va chạm nhanh hai sóng (4) Ngồi ra, mở rộng phương pháp tính nhiễu cho sóng (4), chúng tơi nghiên cứu động lực biên độ va chạm nhanh sóng mơ tả mơ hình tải-khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao bậc hai yếu: ∂t u = ∂2x u − u1 − u1 − u1 u2 , ∂t u = ∂2x u − v d ∂x u − u2 − u2 − u1 u2 , (5) u j nồng độ chất j , t thời gian, x tọa độ không gian, v d hệ số vận tốc nhóm hai sóng, hệ số nhiễu suy hao tuyến tính hệ số nhiễu suy hao bậc hai với < 1, Các kết công bố 02 báo [A2, A4] Nội dung thứ ba Nội dung trình bày Chương Chúng định lượng tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu lên thay đổi tham số biên độ soliton va chạm nhanh với soliton khác môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba-năm mơ tả mơ hình (n + 1)D CQNLS, n = 1, 2, 3, (n +1)D CQNLS lý tưởng khả tích với n = khơng khả tích với n = 2, Mơ hình (n +1)D CQNLS mơ tả truyền dẫn xung (n = 1), chùm sáng (n = 2) đạn ánh sáng (n = 3) [5, 47, 48, 49] Trước tiên, xét va chạm nhanh hai soliton mơ hình (1+1)D CQNLS [21, 29]: i ∂z ψ j + ∂2t ψ j + 2|ψ j |2 ψ j + 4|ψl |2 ψ j − ν|ψ j |4 ψ j − 3ν|ψl |4 ψ j − 6ν|ψl |2 |ψ j |2 ψ j = −i 2m ψj − i 2m+1 |ψ j | m 2m+1 b k,m |ψl |2k |ψ j |2(m−k) ψ j , ≤ j , l ≤ 2, j = l , m ≥ 1, k=1 (6) với bk,m = m!(m+1)! (k!)2 (m+1−k)!(m−k)! [21], ψ j tương ứng với soliton j , t thời gian, z khoảng cách truyền sóng, ν > hệ số phi tuyến bậc năm, 2m+1 hệ số nhiễu suy hao bậc 2m + với < 2m+1 Trong quang học, 1D CQNLS soliton có tên gọi riêng soliton đỉnh phẳng có nhiều ứng dụng mơ tả truyền sóng sợi quang pha chất bán dẫn, tương tác laser-plasma khóa laser (mode-locked lasers) [50] Trong [21], tác giả nghiên cứu tác động nhiễu ngẫu nhiên lên tham số biên độ 1D CQNLS soliton Tác động nhiễu suy hao phi tuyến lên động lực biên độ va chạm 1D CNLS soliton nghiên cứu [19, 21, 33] Tuy nhiên đến nay, tác động nhiễu suy hao phi tuyến lên thay đổi biên độ va chạm 1D CQNLS soliton, đặc biệt va chạm 2D 3D CQNLS soliton, cịn tốn mở Trong phần này, cải tiến kỹ thuật tính nhiễu cho 1D CNLS soliton [17, 19, 21, 33] cho 2D SNLS soliton nội dung thứ hai luận án Cụ thể, sử dụng tính tốn cân lượng cải tiến tính tốn xấp xỉ thay đổi hình dạng soliton va chạm có nhiễu Từ thiết lập biểu thức mô tả thay đổi biên độ 1D CQNLS soliton va chạm nhanh với soliton khác tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu Tiếp theo, mở rộng kỹ thuật tính nhiễu 1D CQNLS soliton để nghiên cứu động lực biên độ va chạm nhanh 2D 3D CQNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Các kết nghiên cứu công bố [A5] Về mô kiểm chứng kết tính tốn lý thuyết Chúng tơi xây dựng mã chương trình ngơn ngữ C++ Matlab để thực mô truyền dẫn va chạm sóng nhằm kiểm chứng kết tính tốn lý thuyết Chúng sử dụng phương pháp giả phổ cho mơ truyền sóng mơ hình phương trình đạo hàm riêng (PDEs) Cụ thể, mơ hình PDEs giải số phương pháp tách bước Fourier (splitstep Fourier method, viết tắt SSFM), tốc độ tính tốn tối ưu hóa nhờ phép biến đổi Fourier nhanh [12, 44, 52, 53] Hệ mơ hình ODEs phi tuyến tính tốn lý thuyết giải phương pháp Runge-Kutta bậc Ngoài ra, chúng tơi cịn sử dụng phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian ảo (accelerated imaginary-time evolution method, viết tắt AITEM) mơ tìm nghiệm soliton lý tưởng mơ hình NLS khơng khả tích, hàm biên độ soliton hàm ẩn xác định phương trình elliptic [44, 54] Nội dung luận án gồm 05 chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị sở lý thuyết phương pháp nghiên cứu dùng luận án: Giới thiệu tổng quan mơ hình NLS soliton quang học, phương pháp tính nhiễu, tính ổn định Lyapunov phương pháp giải số dùng mơ mơ hình PDEs Chương 2: Nghiên cứu toán truyền dẫn soliton mơ hình (1+1)D CNLS có nhiễu Chương 3: Xây dựng phương pháp tính nhiễu nghiên cứu động lực biên độ va chạm nhanh 2D SNLS soliton sóng tuyến tính có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Chương 4: Nghiên cứu va chạm nhanh soliton mơ hình (n + 1)D CQNLS có nhiễu suy hao phi tuyến yếu, n = 1, 2, Chương 5: Kết luận kiến nghị Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị sở lý thuyết phương pháp nghiên cứu dùng luận án Cụ thể, chúng tơi giới thiệu tổng quan mơ hình NLS, soliton quang học, phương pháp tính nhiễu quanh soliton lý tưởng, số kết biến đổi Fourier cho NLS soliton, tính ổn định Lyapunov phương pháp giải số dùng mơ mơ hình PDEs Chng ă TRUYN DN SOLITON CA Mễ HèNH (1+1)D SCHRODINGER PHI TUYẾN BẬC BA CÓ NHIỄU Trong chương này, xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số cho soliton đơn chuỗi soliton truyền tải môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba Cụ thể dùng kỹ thuật "phân rã" tần số xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số khác cho đại lượng tần số phân rã Đồng thời, chúng tơi nghiên cứu số tốn ứng dụng điều khiển tần số biên độ soliton môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba Các kết chương công bố 02 báo [A1, A3] Trước tiên, nghiên cứu phương pháp dịch chuyển tần số soliton 2.1 Dịch chuyển tần số soliton Xét toán truyền dẫn soliton (1) Chúng xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số cho soliton đơn chuỗi soliton (1) lượng ∆β = khoảng cách truyền dẫn z bất kỳ, tham số khác (biên độ, vị trí) soliton giữ nguyên Gọi β(z) tần số soliton z βn (z) = β(z) + ∆β tần số soliton sau phép dịch chuyển tần số Các kết sau 2.1.1 Dịch chuyển tần số cho soliton đơn Xét soliton đơn ban đầu ψ(t , 0) = ψs1 (t , 0) với biên độ η(0), tần số β(0), pha α(0) vị trí y(0): ψs1 (t , 0) = η(0) exp i [β(0) t − y(0) + α(0)] cosh η(0)[t − y(0)] (2.1) Đặt: (T1 ) ψˆ s1 (ω, z) = FT [ψs1 (t , z)]; (T2 ) ψˆ s1,n (ω, z) = ψˆ s1 (ω − ∆β, z); (T3 ) ψs1,n (t , z) = FT−1 [ψˆ s1,n (ω, z)] Định lý 2.1.1 Xét phương trình (1) điều kiện đầu (2.1) Cho trước ∆β = Thực phép biến đổi (T1 ) - (T3 ) Khi đó, soliton ψs1,n (t , z) có tần số βn (z) = β(z) + ∆β Hơn nữa, ψs1,n (t , z) có biên độ vị trí với ψs1 (t , z) 2.1.2 Dịch chuyển tần số cho chuỗi soliton Xét điều kiện đầu chuỗi (2J + 1) soliton ψ(t , 0) = ψsq (t , 0) với ψsq (t , 0) = η(0)e i α(0) J exp{i β(0) t − y(0) − kT } k=−J cosh{η(0) t − y(0) − kT } , (2.2) η(0), β(0), α(0) tương ứng giá trị ban đầu biên độ, tần số, pha y(0) vị trí ban đầu soliton thứ k = Hằng số T độ rộng khe thời gian soliton thành phần 15 15 (a) 10 10 5 -20 -10 10 20 (b) 10 15 Hình 2.1: (a) Dịch chuyển tần số chuỗi soliton với ∆β1 = 94π/T Các hình vng xanh lá, ngơi tím kim cương ˆ (num) ˆ (t h) xanh dương tương ứng với |ψˆ (num) |, | ψ sq sq,n1 | |ψsq,n1 | (b) Dịch chuyển tần số với ∆β2 = 0.3258 Các hình ngơi ˆ (num) ˆ (t h) tím, hình trịn đỏ kim cương xanh dương ltương ứng với |ψˆ (num) sq,n1 |, |ψsq,n | |ψsq,n | Đường cong đen đứt nét đường cong nâu đứt nét có chấm V˜ (num) V˜n(num) , với V˜ (num) = (2J + 1)V (num) V˜n(num) = (2J + 1)Vn(num) Đặt: (T4 ) ψˆ sq (ω, z) = FT [ψsq (t , z)]; (T5 ) ψˆ sq,n (ω, z) = ψˆ sq (ω − ∆β, z); (T6 ) ψsq,n (t , z) = FT−1 [ψˆ sq,n (ω, z)] Định lý 2.1.2 Xét phương trình (1) điều kiện đầu (2.2) Cho trước ∆β = 2mπ/T với = m ∈ Z Thực (T4 ) - (T6 ) Khi đó, soliton ψsq,n (t , z) có tần số βn (z) = β(z) + ∆β Hơn nữa, ψsq,n (t , z) có biên độ vị trí với ψsq (t , z) Nhận xét 2.1.3 Định lý 2.1.2 áp dụng cho ∆β = 2mπ/T , m ∈ Z Do hạn chế định lý 2.1.2, cần nghiên cứu phương pháp dịch chuyển tần số chuỗi soliton Trước tiên, ta xét chuỗi soliton ψˆ sq (ω, z) = FT [ψsq (t , z)] dạng: ˆ sq (ω, z) = V (ω, z)W (ω)e iU (ω,z) , ψ V (ω, z) = (π/2)1/2 sech π ω − β(z) /(2η(z)) , U (ω, z) = θ(z) − ωy(z) W (ω) = J k=1 (2.3) J k=−J e −i kT ω = + cos(kT ω) Ta xây dựng phép biến đổi sau: (T7 ) Vn (ω, z) = V (ω−∆β, z) Un (ω, z) = U (ω−∆β, z); (T8 ) ψˆ sq,n (ω, z) = Vn (ω, z)W (ω)e iUn (ω,z) ; (T9 ) ψsq,n (t , z) = FT−1 [ψˆ sq,n (ω, z)] Định lý 2.1.4 Xét phương trình (1), điều kiện đầu (2.2) ∆β = cho trước Thực biến đổi (T4 ) (T7 ) - (T9 ) Khi đó, soliton ψsq,n (t , z) có tần số βn (z) = β(z) + ∆β Hơn nữa, ψsq,n (t , z) có biên độ vị trí với ψsq (t , z) Nhận xét 2.1.5 Định lý 2.1.4 thực với độ xác cao cho |∆β| L/2, L chọn cho tính tốn W (ω) (2.3) có sai số nhỏ giải số, chẳng hạn 15 ≤ L ≤ 40 Dựa phân tích ưu điểm hạn chế từ định lý 2.1.2 2.1.4, phân rã tần số ∆β xây dựng thuật toán dịch chuyển tần số cho chuỗi soliton sau * Bước Phân tích ∆β = ∆β1 + ∆β2 với ∆β1 = 2mπ/T, m ∈ Z −2π/T < ∆β2 < 2π/T ˆ (num) (ω − ∆β(num) * Bước Đo ψˆ (num) , z) sử dụng định lý 2.1.2 sq,n1 (ω, z) = ψsq (num) ˆ (num) * Bước Đo ψˆ (num) sq,n (ω, z) từ ψ sq,n1 (ω, z) sử dụng định lý 2.1.4 với ∆β2 −1 ˆ (num) * Bước Xác định ψ(num) sq,n (t , z) = F T ψ sq,n (ω, z) Mô minh họa thuật toán dịch chuyển tần số chuỗi soliton Xét điều kiện đầu chuỗi (2J +1) soliton tuần hoàn (2.2) Thực dịch chuyển tần số soliton lượng ∆β = 20 z = z s = Các tham số mô phỏng: β(0) = −10, η(0) = 1, y(0) = −5, α(0) = 0, T = 15, J = 4, L = 15, t max = 67.5, F (η j ) = F1 η j = (1) 3 ηj − 16 15 5η j tương ứng L = L (|ψ j |2 ) F (η j ) = F2 η j = − 43 (2) ηj tương ứng L = L (|ψ j |2 ) Nhận xét 2.3.2 Trong kỹ thuật thông tin quang, chuỗi soliton thường yêu cầu có biên độ (eq) số Vì vậy, xét trạng thái cân (2.11) η j = η > 0, ≤ j ≤ N , ta được: N g j = −F (η) −C R η (2.12) (k − j ) k=1 Khi đó, phương trình (2.11) viết lại dạng: dηj dz = η j F (η j ) − F (η) +C N R (k − j )(η k − η) (2.13) k=1 Trong kỹ thuật thơng tin quang, soliton u cầu có biên độ ổn định (η, η, , η) sóng nhiễu phát sinh truyền dẫn yêu cầu có biên độ nhỏ Yêu cầu đặt tốn nghiên cứu tính chất điểm cân (η, η, , η) (0, 0, , 0) mơ hình LV Ta có định lý sau Định lý 2.3.3 Xét LV (2.13) với F = F1 Khi đó: (1) < κ ≤ 4η2 /5 (η, , η) ổn định tiệm cận toàn cục; (2) 4η2 /5 < κ < 8η2 /5 (η, , η) ổn định tiệm cận với miền hấp thụ (5κ/4 − η2 )1/2 , ∞ ; (3) κ > 8η2 /5 (η, , η) không ổn định Định lý 2.3.4 Xét LV (2.13) với F = F1 Khi (0, 0, , 0) ổn định với κ > 4η2 /5 + 3C R N (N − 1)/(8 η) Định lý 2.3.5 Xét LV (2.13) với F = F2 Khi (η, , η) ổn định tiệm cận toàn cục (0, , 0) không ổn định Nhận xét 2.3.6 Trong truyền dẫn soliton ổn định biên độ, ta chọn tham số nhiễu thỏa 4η2 /5 + 3C R N (N − 1)/(8 η) < κ < 8η2 /5 η j > (5κ/4 − η2 )1/2 Khi đó, biên độ soliton dần hội tụ điểm cân ổn định (η, , η) biên độ sóng nhiễu dần hội tụ điểm cân ổn định (0, , 0) Nhận xét 2.3.7 Trong truyền dẫn tắt kênh soliton, giả sử cần tắt M kênh với ≤ M < N , ta chọn tham số nhiễu cho (η, , η) không ổn định, (0, , 0) ổn định, điểm cân khác ổn định tiệm cận Điểm cân có M thành phần nhỏ giá trị ngưỡng cho trước η t h N − M thành phần lớn η t h Mô truyền dẫn soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa với L = L (|ψ j |2 ) Ta chọn tham số mô phỏng: η = 1, R = 0.0006, κ = 1.2, α j = 0, y j = T /2 − ( j − 1)T /N với N = 2, 3, kênh dẫn sóng Chọn hệ số nhiễu suy hao bậc năm: = 0.25 cho N = Chọn η j (0) thỏa η j (0) > η(0) j = 0.1 cho N = 2; = 0.15 cho N = 3; = (5κ/4 − η2 )1/2 = 0.7071, biên độ η j (z) dần hội tụ η = Cụ thể, (η 10 , η 20 ) = (0.75, 1.2) với N = 2; (η 10 , η 20 , η 30 ) = (0.8, 0.9, 1.2) với N = 3; (η 10 , η 20 , η 30 , η 40 ) = (0.8, 0.9, 1.1, 1.2) với N = 4; Chọn tần số ban đầu: (β10 , β20 ) = (−7.5, 7.5) với N = 2; (β10 , β20 , β30 ) = (−15, 0, 15) với N = 3; (β10 , β20 , β30 , β40 ) = (−22.5, −7.5, 7.5, 22.5) với N = 4; Các mô thực đến khoảng cách truyền dẫn z = z f N cho chuỗi soliton bị biến dạng quan sát rõ Gọi (0, z p N ] khoảng truyền dẫn mà biên độ soliton dần hội tụ η = (z p N , z r N ] khoảng truyền dẫn mà soliton ổn định biên độ η Ta quan sát biên độ soliton đo từ LV (2.13) phù hợp với biên độ soliton đo từ mô [0, z r N ] Các kết mô sau: (1) Với N = 2: Ta đo z p = 70, z r = 36000 z f = 36110; (2) Với N = 3: Ta đo z p = 40, z r = 21270 z f = 21320; (3) Với N = 4: Ta đo z p = 25, z r = 5300 z f = 5350 11 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 (b) (a) 0.8 0.6 0.4 0.2 -15 -10 1000 2000 3000 4000 5000 Hình 2.3: Mơ chuyển kênh động (a) Biên độ soliton η j (z) [0, z f -5 10 15 = 5000] Các đường cong nâu liền nét, xám đứt nét đen đứt nét có chấm tương ứng kênh 1, 2, thu từ LV (2.13) Các hình trịn đỏ, hình vng xanh tam giác xanh dương tương ứng kênh 1, 2, thu từ mô (1) (b) Soliton z f Các đường cong đỏ liền nét, xanh đứt nét có chấm xanh dương dấu nhân tương ứng kênh 1, 2, từ mô Mô toán chuyển kênh động (bật/tắt chuỗi soliton) Gọi A , A B tương ứng mơ hình truyền dẫn soliton ổn định biên độ, tắt kênh bật lại kênh tắt Chúng thiết kế tốn chuyển kênh động mơ hình A -(A B A )- -(A B A ), với (A B A ) lặp lại n lần Cụ thể, xét hệ N = kênh thực tắt/bật kênh tuần hoàn với n = lần Chọn ngưỡng biên độ η t h = 0.35 tắt kênh η t h = 0.65 bật kênh Các tham số mô phỏng: α j = 0, y j = T /2 − ( j − 1)T /3, (β10 , β20 , β30 ) = (−15, 0, 15) (η 10 , η 20 , η 30 ) = (0.8, 0.9, 1.2) Các tham số khác: (1) Mơ hình A : η = 1, R = 0.024, κ = 2.2 (3) Mơ hình B : η = 1, = 0.0006, R = 0.15, κ = 1.2 (2) Mơ hình A : η = 1.15, = 0.0006, (2) R = 0.0024, = 0.02 Trong mơ phỏng, mơ hình A bắt đầu z = z = z 3m = 100 + 700m , ≤ m ≤ A bắt đầu z = z 3m+1 = 700(m + 1), ≤ m ≤ Mơ hình B bắt đầu z = z 3m+2 = 50 + 700(m + 1), ≤ m ≤ Chọn z f = 5000 Kết mô mô tả hình 2.3 với trình tắt/bật kênh j = lặp lại n = lần Hình 2.3(a) cho thấy dự đoán lý thuyết cho biên độ η j (z) mơ hình LV phù hợp với mơ cho mơ hình NLS Bên cạnh đó, hình 2.3(b) cho thấy soliton z f = 5000 bảo tồn hình dạng 2.4 Kết luận chương Chương tổng hợp kết công bố [A1, A3] với nội dung sau: • Xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số cho soliton đơn cho chuỗi soliton lượng khoảng cách truyền dẫn dựa phép biến đổi Fourier cho nghiệm soliton kỹ thuật "phân rã" tần số • Xây dựng phương pháp điều khiển tần số biên độ soliton sử dụng hàm khuếch đại lượng phụ thuộc tần số phép dịch chuyển tần số soliton • Đưa phương pháp kiểm chứng suy hao lượng va chạm hai soliton hệ quang dẫn cách thay đổi tần số để va chạm lặp lại nhiều lần • Cải tiến mơ hình truyền dẫn soliton sử dụng mơ hình lai ghép (1) Chúng tơi xác định tham số nhiễu mức lượng cung cấp cho máy khuếch đại truyền dẫn soliton ổn định biên độ bật/tắt kênh hiệu so với mơ hình [19, 31, 32] 12 Chương VA CHẠM CỦA 2D SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN BÃO HỊA VÀ CỦA SĨNG TUYẾN TÍNH CĨ NHIỄU Chương này, chúng tơi xây dựng phương pháp tính nhiễu nghiên cứu động lực biên độ va chạm cho 2D NLS soliton môi trường quang dẫn phi tuyến bão hịa Cụ thể, chúng tơi phát triển phương pháp tính nhiễu dựa kỹ thuật cân lượng tính tốn xấp xỉ thay đổi hình dạng soliton va chạm có nhiễu Từ đó, thiết lập biểu thức mô tả thay đổi biên độ 2D SNLS soliton va chạm nhanh tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu dạng tổng qt, (2+1)D SNLS mơ hình khơng khả tích Kết nghiên cứu phát triển nghiên cứu 1D soliton [17, 19, 21] Bên cạnh đó, chúng tơi xây dựng phương pháp tính nhiễu nghiên cứu động lực biên độ va chạm nhanh sóng khơng soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Chúng tơi cải tiến kỹ thuật tính nhiễu truyền thống cho 1D soliton [17, 19, 21] phát triển số kỹ thuật tính nhiễu dựa tính tốn tác động nhiễu lên trường sóng tuyến tính Từ đó, chúng tơi thiết lập biểu thức mô tả tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu lên tham số biên độ nghiệm sóng va chạm nhanh nghiên cứu tính chất tương tự soliton va chạm nhanh sóng Các kết chương chúng tơi công bố 02 báo [A2, A4] Chúng bắt đầu với toán va chạm nhanh hai sóng 2D SNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu 3.1 Va chạm 2D SNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến Xét va chạm nhanh hai soliton mô tả (3) Gọi z c khoảng cách truyền dẫn mà hai soliton va chạm, nghĩa đỉnh hai sóng xác định vị trí miền khảo sát z = z c , gọi z f khoảng cách truyền dẫn mà hai soliton kết thúc va chạm Ta thành lập giả thiết sau: (H˜ ) Va chạm toàn phần; ( H˜ ) Hai soliton tách z = z = z f ; (H˜ ) [z c − ∆z c , z c + ∆z c ] với ∆z c 1; ( H˜ ) Va chạm đàn hồi, tức soliton lý tưởng bảo tồn hình dạng sau va chạm 3.1.1 Tính tốn lý thuyết Trước tiên, chúng tơi nghiên cứu tốn truyền sóng soliton đơn j ( j = 1, 2): i ∂z ψ j + (∂2x + ∂2y )ψ j + γ|ψ j |2 + |ψ j |2 /I ψ j = −i 2m+1 |ψ j | 2m ψj (3.1) Đặt d j = (d j , d j ) vận tốc soliton j với d j d j vận tốc thành phần theo hướng x y , X j = x − x j − d j z , Y j = y − y j − d j z , X˜ j = x − x j − d˜j z , Y˜ j = y − y j − d˜j z , χ j = d˜j X˜ j + d˜j Y˜ j với 13 Hình 3.1: Một va chạm hai sóng 2D SNLS soliton thu từ mô (3) với = 0.01 d 11 = 20 Hình ảnh soliton z = (a, b), z = z i = 0.6 (c, d) z = z f = (b, d, f ) Phổ màu soliton tương ứng (a, c, e) d˜j = d j /2, d˜j = d j /2, (x j , y j ) vị trí ban đầu soliton α j tương ứng với pha sóng Khi 2m+1 = 0, (3.1) có nghiệm 2D soliton lý tưởng: ˜ j (x, y, z) = U˜ j (X j , Y j ) exp(i µ j z) exp i α j + i χ j ( X˜ j , Y˜ j ) , ψ (3.2) với µ j số truyền sóng U˜ j hàm biên độ giá trị thực thỏa [5]: (∂2x + ∂2y )U˜ j γU˜ j3 + + U˜ j2 /I = µ j U˜ j (3.3) Xét điều kiện đầu (3.1) dạng ψ j (x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (x, y, 0), với A j (0) tham số biên độ ban đầu ψ˜ j (x, y, 0) xác định (3.2) Với < 2m+1 1, ta tìm nghiệm (3.1) dạng ψ j (x, y, z) = ˜ j (x, y, z), với A j (z) tham số biên độ có nhiễu ψ ˜ j (x, y, z) xác định (3.2) Đặt I 2, j (z) = A j (z)ψ ∞ ∞ ˜ −∞ −∞ ψ j (x, y, z)| d xd y I 2m+2, j (z) = ∞ ∞ 2m+2 ˜ d xd y −∞ −∞ ψ j (x, y, z)| Ta có bổ đề định lý sau Bổ đề 3.1.1 Xét mơ hình (3.1) điều kiện đầu ψ j (x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (x, y, 0) Giả sử < 2m+1 Khi A j (0) A j (z) = + 2m 2m 2m+1 I 2m+2, j (0)/I 2, j (0)A j (0)z 1/(2m) (3.4) Định lý 3.1.2 Xét toán (3) điều kiện đầu ψ j (x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (x, y, 0) Giả sử < 2m+1 (H˜ )-(H˜ ) thỏa Khi đó, lượng suy hao biên độ soliton va chạm với soliton là: ∆A (c) =− m 2m+1 /I 2,1 (0) k=1 − 2(m−k)+1 − b k,m A 2k (z c )P k,m , (z c )A A j (z c− ) = lim− A j (z) với A j (z) xác định (3.4) P k,m = z→z c zf (3.5) ∞ ∞ ˜ 2k ˜ 2(m−k)+2 d xd yd z −∞ −∞ U2 U1 3.1.2 Kết mô số Trước tiên, nghiên cứu phụ thuộc ∆A (c) vào vận tốc soliton mô cho (3) với 2m+1 = 0.01 2m+1 = 0.02 Các tham số khác sau: (x 10 , y 10 ) = (−10, 9), 14 (x 20 , y 20 ) = (9, 8), z f = 2z c , d1 = (d 11 , −0.9d 11 ) d2 = (−0.9d 11 , −0.8d 11 ) với ≤ d 11 ≤ 80 Khi z c = 10/|d 11 | cos θ = −0.1111 Kết sau: (1) Với m = 1, ta có E ∆ ≤ 0.31 ≤ d 11 < 10 E ∆ ≤ 0.07 10 ≤ |d11 | ≤ 80; (2) Với m = 2, ta có E ∆ ≤ 0.39 ≤ d11 < 12 E ∆ ≤ 0.1 12 ≤ |d11 | ≤ 80 Hình 3.1 minh họa va chạm hai soliton với d11 = 20 = 0.01 Tiếp theo nghiên cứu phụ thuộc ∆A (c) vào góc va chạm θ với 2m+1 = 0.01 2m+1 = 0.02 Tham số mô phỏng: (x 10 , y 10 ) = (18 cos(9π/12), 18 sin(9π/12)) (x 20 , y 20 ) = (2 cos(kπ/12), sin(kπ/12)), với k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, · · · , Ngồi ra, chúng tơi sử dụng d11 = 25, d12 = y 10 d11 /x 10 , d21 = x 20 d11 /x 10 , d 22 = y 20 d 11 /x 10 , z f = 2z c Kết mô số sau: (1) Với m = 1, sai số tương đối đo ∆A 1(c) [0, π] E ∆ ≤ 0.02 cho [0, π] E ∆ ≤ 0.039 cho = 0.01 E ∆ ≤ 0.038 cho = 0.01 E ∆ ≤ 0.071 cho = 0.002; (2) Với m = 2, sai số tương đối đo ∆A 1(c) = 0.002 Ta quan sát kết từ phân tích lý thuyết mô cho ∆A (c) phù hợp cho va chạm nhanh nhiễu suy hao phi tuyến yếu Tức là, định lý 3.1.2 kiểm chứng 3.2 Va chạm sóng tuyến tính có nhiễu suy hao phi tuyến Trong phần này, xây dựng phương pháp tính nhiễu nghiên cứu định lượng thay đổi biên độ va chạm nhanh hai sóng mơ tả mơ hình (4) v (5) 3.2.1 Mụ hỡnh Schră odinger tuyn tớnh cú nhiễu suy hao bậc ba Động lực biên độ va chạm sóng Xét tốn va chạm hai sóng quang mơ tả (4) với điều kiện đầu dạng tổng quát: ψ j (t , 0) = A j (0)h j (t − y j )/W j exp(i α j ), j = 1, 2, với h j (s) hàm giá trị thực thỏa lim h j (s) = đủ nhanh s→±∞ ∞ −∞ h j (s)d s (3.6) < +∞ Các tham số A j (0), y j , W j α j (3.6) tương ứng giá trị ban đầu biên độ, vị trí, độ rộng pha sóng thứ j Giả sử xét va chạm hai sóng dạng Gauss Khi (3.6) có h j (s) thỏa h j (s) = exp(−s /2) Gọi z c khoảng cách truyền dẫn hai sóng va chạm z f khoảng cách truyền dẫn kết thúc va chạm Ta thành lập giả thiết sau: ( H¯ ) Hai sóng tách z = z = z f ; (H¯ ) Va chạm nhanh, tức va chạm diễn khoảng truyền dẫn nhỏ [z c − ∆z c , z c + ∆z c ] với ∆z c Trước tiên, chúng tơi xét mơ hình truyền sóng đơn: i ∂z ψ j + i d ∂t ψ j − sgn(β˜2 )∂2t ψ j = −i Với = ˜ j (t , z) = = 0, phương trình (3.7) có nghiệm ψ 1ψ j −i |ψ j | ψj exp (i π/4) ∞ −i (t −d z−ξ)2 1/2 −∞ ψ j (ξ, 0) exp ˜ sgn(β˜2 )z 4π sgn(β2 )z (3.7) d ξ Ta ˜ j (t , z) exp i χ j (t , z) Ψ ˜ j (t , z) = viết lại ψ˜ j dạng ψ˜ j (t , z) = A j (0)ψ˜ j (t , z), ψ˜ j (t , z) = Ψ ˜ j (t , z)| Với |ψ > 0, ˜ j (t , z), với A j (z) tham số biên > 0, ta tìm nghiệm (3.7) dạng ψ j (t , z) = A j (z)ψ độ sóng j Ta có bổ đề định lý sau Bổ đề 3.2.1 Xét toán (3.7) điều kiện đầu (3.6) Giả sử < A j (z) = A j (0)e − với I˜4 j (z , z ) = 1z 1, / + I˜4 j (0, z)/I j (0)A 2j (0) z −2 z ∞ ˜2 I j (z)d z , I j (z) = −∞ Ψ (t , z)d t z1 e j0 15 I j (z) = Khi đó, 1/2 , ∞ ˜4 −∞ Ψ j (t , z)d t (3.8) (b) -0.001 -0.002 -0.003 -60 -40 -20 20 40 -60 Hình 3.2: Kết mơ (4) cho va chạm hai sóng Gauss (a) Phổ màu sóng [0, z f va chạm thu từ mô với d1 = 20 Ta có va chạm xảy z c = (b) Sự phụ thuộc tốc d1 Các hình trịn đỏ tương ứng với ∆A (num) Các đường cong xanh dương tương ứng với Định lý 3.2.2 Xét mơ hình (4) điều kiện đầu (3.6) Giả sử < h) ∆A (t = 2] ∆A (c) vào vận (3.9) giả thiết ( H¯ ) - ( H¯ ) 1, thỏa Khi đó, lượng suy hao biên độ sóng va chạm với sóng là: ∆A (c) = −C P C P = ∞ −∞ h (s)d s − − W20 A (z c )A (z c )/|d |, (3.9) A j (z c− ) = lim− A j (z) với A j (z) xác định từ phương trình (3.8) z→z c Nhận xét 3.2.3 Trong (3.9), C P = 2π 1/2 với trường hợp va chạm hai sóng Gauss Biểu thức (3.9) có dạng với biểu thức mô tả suy hao biên độ soliton va chạm với soliton khác mơ tả mơ hình (1+1)D CNLS có nhiễu suy hao bậc ba [19] Như tính chất tương tự soliton va chạm nhanh sóng tuyến tính mô tả (4) chứng minh Kết mô số Chúng kiểm chứng định lý 3.2.2 mô cho (4) sử dụng SSFM với điều kiện đầu (3.6) Xét va chạm hai sóng Gauss với tham số mô phỏng: = 0.01, = 0.01, sgn(β˜2 ) = 1, A (0) = A (0) = 1, W10 = W20 = 4, α10 = α20 = 0, y 10 = 0, y 20 = ±20 z f ≥ 2z c Ta quan sát sai số tương đối đo ∆A (c) (3.9) nhỏ 0.02 cho |d | > 20, nhỏ 0.1 cho 10 < |d | ≤ 20 nhỏ 0.25 cho ≤ |d | ≤ 10 Như kết từ định lý 3.2.2 phù hợp với kết từ mô cho trường hợp va chạm nhanh nhiễu suy hao bậc ba yếu Các kết mô thể hình 3.2 3.2.2 Mơ hình tải-khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao bậc hai Động lực biên độ va chạm sóng Xét tốn va chạm hai sóng mơ tả mơ hình (5) với điều kiện đầu tổng quát: u j (x, 0) = A j (0)h j (x − y j )/W j , j = 1, 2, với h j (s) hàm giá trị thực, lim h j (s) = đủ nhanh s→±∞ ∞ −∞ h j (s)d s (3.10) < +∞ Các tham số A j (0), y j , W j tương ứng giá trị ban đầu biên độ, vị trí độ rộng sóng thứ j Xét va chạm hai sóng dạng Gauss Khi điều kiện đầu (3.10) có h j (s) thỏa h j (s) = exp(−s /2) Gọi t c thời điểm hai sóng va chạm t f thời điểm kết thúc va chạm Ta thành lập giả thiết: (H¯ ) Hai sóng tách t = t = t f ; (H¯ ) Va chạm nhanh, tức va chạm diễn khoảng thời gian nhỏ [t c − ∆t c , t c + ∆t c ] với ∆t c 16 Trước tiên, chúng tơi xét mơ hình truyền sóng đơn: ∂t u j = ∂2x u j − v d ∂x u j − Với = 1u j = 0, phương trình (3.11) có nghiệm u˜ j (x, t ) = lại u˜ j (x, t ) dạng u˜ j (x, t ) = A j (0)u˜ j (x, t ) Với > 0, − 2u j , (3.11) j = 1, −(x−v d t −ξ)2 ∞ u (ξ, 0) exp 4t (4πt )1/2 −∞ j d ξ Ta viết > 0, ta tìm nghiệm xấp xỉ (3.11) dạng u j (x, t ) = A j (t )u˜ j (x, t ), A j (t ) tham số biên độ Ta có bổ đề định lý sau Bổ đề 3.2.4 Xét mơ hình (3.11) điều kiện đầu (3.10) Giả sử < A j (t ) = A j (0)e − với J˜2 j (t , t ) = 1t / 1+ t2 − t ∞ J j (t )d t , J j (t ) = −∞ u˜ j (x, t )d x t1 e ˜ J j (0, t )/J j (0)A j (0) J j (t ) = Khi đó, 1, , (3.12) ∞ ˜ 2j (x, t )d x −∞ u Định lý 3.2.5 Xét mơ hình (5) điều kiện đầu (3.10) Giả sử < 1, giả thiết ( H¯ )-( H¯ ) thỏa Khi đó, lượng suy hao biên độ sóng va chạm với sóng là: − − ∆A (c) = −C D W20 A (t c )A (t c )/|v d |, C D = ∞ −∞ h (s)d s (3.13) A j (t c− ) = lim− A j (t ) với A j (t ) xác định từ phương trình (3.12) t →t c 1/2 Nhận xét 3.2.6 Trong (3.13), C D = (8π) cho trường hợp va chạm hai sóng Gauss Biểu thức (3.13) có dạng với (3.9) Như vậy, tính chất tương tự soliton va chạm nhanh sóng mơ tả (5) chứng minh Kết mô số Chúng kiểm chứng định lý 3.2.5 mô cho (5) sử dụng SSFM với điều kiện đầu (3.10) Xét va chạm hai sóng Gauss với: = 0.01, = 0.01, A (0) = A (0) = 1, W10 = W20 = 4, x 10 = 0, x 20 = ±20 t f ≥ 2t c Ta quan sát sai số tương đối đo ∆A (c) (3.13) nhỏ 0.03 cho |v d | > 20, nhỏ 0.09 cho 10 < |v d | ≤ 20 nhỏ 0.20 cho ≤ |v d | ≤ 10 Như kết từ định lý 3.2.5 phù hợp với kết từ mô cho va chạm nhanh nhiễu suy hao bậc hai yếu 3.3 Kết luận chương Chương tổng hợp kết công bố [A2, A4] với nội dung sau: • Xây dựng phương pháp tính nhiễu cho 2D soliton định lượng thay đổi biên độ soliton truyền dẫn đơn va chạm nhanh với soliton khác môi trường quang dẫn phi tuyến bão hịa có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Phương pháp tính nhiễu dựa kỹ thuật cân lượng thay đổi hình dạng sóng va chạm có nhiễu Kết nghiên cứu phát triển nghiên cứu 1D soliton [17, 19, 21] • Xây dựng phương pháp tính nhiễu cho sóng tuyến tính (sóng khơng soliton) ca lp phng trỡnh Schrăodinger tuyn tớnh v ti-khuch tỏn tuyến tính đồng thời chứng minh tính chất tương tự soliton va chạm nhanh sóng tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu Đây phát thú vị sóng tuyến tính sóng khơng có tính chất bảo tồn hình dạng truyền dn v va chm nh soliton 17 Chng ă VA CHẠM CỦA SOLITON TRONG MƠ HÌNH (n + 1)D SHCRODINGER PHI TUYẾN BẬC BA-NĂM CÓ NHIỄU Chương này, nghiên cứu động lực biên độ va chạm n D NLS soliton môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm (CQNLS soliton), n =1, 2, Chúng tơi cải tiến kỹ thuật tính nhiễu cho 1D CNLS soliton [17, 19, 21, 33] 2D SNLS soliton Chương Cụ thể, sử dụng tính tốn cân lượng, cải tiến tính tốn xấp xỉ thay đổi hình dạng soliton va chạm có nhiễu xấp xỉ tích phân theo thành phần biến đổi nhanh Từ chúng tơi thiết lập biểu thức mơ tả thay đổi biên độ 1D CQNLS soliton va chạm nhanh tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu Tiếp theo, mở rộng kết nghiên cứu cho 1D CQNLS lên 2D 3D CQNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Chương tổng hợp kết công bố [A5] Để thuận tiện, sử dụng giả thiết ( H˜ )-(H˜ ) Chương Chúng tơi bắt đầu với tốn va chạm nhanh hai sóng 1D CQNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu 4.1 Động lực biên độ va chạm 1D soliton 4.1.1 Tính tốn lý thuyết Xét va chạm hai soliton mô tả mô hình (1+1)D CQNLS (6) Trước tiên, chúng tơi xét tốn truyền sóng soliton đơn thứ j ( j = 1, 2) [21, 29]: i ∂z ψ j + ∂2t ψ j + |ψ j |2 ψ j − ν|ψ j |4 ψ j = −i Khi 2m+1 ˜ j (t , z) = = 0, (4.1) có nghiệm soliton lý tưởng ψ 2m+1 |ψ j | 2m ψj (4.1) 2η j (1 − η2j /η2max )1/2 cosh(2x j ) + −1/2 exp(i χ j ), η max ≡ (4ν/3)−1/2 > η j , x j = η j (t − y j − 2β j z), χ j = α j + β j (t − y j ) + (η2j − β2j )z tham số η j , β j , y j , α j tương ứng biên độ, tần số, vị trí ban đầu pha soliton j Nhận xét ˜ j (t , z) trở nên rộng "phẳng" Với η j → η max , đỉnh soliton ψ 2m+1 > 0, nghiệm soliton (4.1) xác định ψ j (t , z) = ψ˜ j (t , z) với biên độ η j (z) xác định bổ đề sau Bổ đề 4.1.1 Xét mơ hình (4.1) điều kiện đầu ψ j (t , 0) = ψ˜ j (t , 0) Giả sử < d η j (z) dz =− 2m+1 η2max − η2j ∞ η2max −∞ với Ψ j (t , z) = |ψ j (t , z)| = 2η j (1 − η2j /η2max )1/2 cosh(2x j ) + Ψ2m+2 dt, j0 −1/2 2m+1 Khi (4.2) Ta có định lý tính mức suy hao biên độ soliton ∆η(c) va chạm với soliton sau 18 (b) 1.5 0.5 -7 Hình 4.1: (a) Soliton [0, z f ν = 0.75, = 0.25] thu từ mô (6) va chạm với tham số = 0.01 β = 80 (b) Soliton z = z f Đường cong đứt nét đỏ liền nét xanh dương có ngơi tương ứng soliton thu từ mơ hình dạng lý thuyết Đường cong xanh liền nét minh họa CNLS soliton Định lý 4.1.2 Xét mơ hình (6) điều kiện đầu ψ j (t , 0) = ψ˜ j (t , 0) Giả sử < 2m+1 ( H˜ )-( H˜ ) thỏa Khi đó, ∆η(c) = với A 0m = arctanh [a10 (z c )] − 2η2m+1 max m k=1 2η max tanh(A 0m ) tanh2 (A 0m ) + − η 10 (z c ), (4.3) b k,m L k,m , a 10 (z) = {η max − [η2max − η210 (z)]1/2 }/η 10 (z), η j (z) biên độ soliton ψ j (t , z), L k,m = 2|β21−β1 | ∞ ∞ 2(m−k)+2 2k (t , z c )d t −∞ Ψ20 (t , z c )d t −∞ Ψ10 Ψ j (t , z) = |ψ j (t , z)| 4.1.2 Kết mô số Định lý 4.1.2 kiểm chứng mô (6) sử dụng SSFM với: η max − δ0 với < δ0 β2 (0) = β với |β| cho η j (0) 2m+1 = 0.01, η (0) = η (0) = η max Các tham số khác: y (0) = 0, y (0) = ±20, β1 (0) = 0, 1, α j (0) = z f = 2z c Chọn ν = 0.75 Khi η max = (4ν/3)−1/2 = Chọn δ0 = 10−4 (c) =0.01 Ta có sai số tương đối đo ∆η ∆η(c) từ phân tích lý thuyết mơ nhỏ 0.04 cho 70 ≤ |β| ≤ 250 Như vậy, kết đo phù hợp cho va chạm nhanh nhiễu suy hao phi tuyến yếu Tức là, định lý 4.1.2 kiểm chứng Hình 4.1(a) minh họa trình va chạm hai soliton với β = 80 Hình 4.1(b) minh họa soliton z = z f Ngồi ra, hình 4.1(b) hiển thị CNLS soliton vị trí biên độ với CQNLS soliton 4.2 Động lực biên độ va chạm 2D soliton Xét va chạm hai soliton mơ tả mơ hình (2+1)D CQNLS [43, 45, 49, 68, 69]: i ∂z ψ j + (∂2x + ∂2y )ψ j + |ψ j |2 ψ j + 2|ψl |2 ψ j − ν|ψ j |4 ψ j − 3ν|ψl |4 ψ j − 6ν|ψl |2 |ψ j |2 ψ j = −i 2m ψj − i 2m+1 |ψ j | m 2m+1 b k,m |ψl |2k |ψ j |2(m−k) ψ j , ≤ j , l ≤ 2, j = l , m ≥ 1, (4.4) k=1 với (x, y) tọa độ không gian, z khoảng cách truyền sóng số hạng khác mơ tả (6) 4.2.1 Tính tốn lý thuyết Trước tiên, chúng tơi xét tốn truyền sóng soliton đơn thứ j ( j = 1, 2): i ∂z ψ j + (∂2x + ∂2y )ψ j + |ψ j |2 ψ j − ν|ψ j |4 ψ j = −i 19 2m+1 |ψ j | 2m ψj (4.5) Khi 2m+1 = 0, phương trình (4.5) có nghiệm 2D soliton lý tưởng dạng [44, 68]: ˜ j (x, y, z) = U˜ j (X j , Y j ) exp(i µ j z) exp i α j + i χ j ( X˜ j , Y˜ j ) , ψ (4.6) d j = (d j , d j ) vận tốc soliton j với d j d j vận tốc thành phần theo hướng x y , X j = x − x j − d j z , Y j = y − y j − d j z , X˜ j = x − x j − d˜j z , Y˜j = y − y j − d˜j z , χ j = d j X˜ j + d j Y˜j , d˜j = d j /2, d˜j = d j /2, U˜ j hàm biên độ giá trị thực, µ j số truyền sóng, α j tương ứng với pha, (x j , y j ) vị trí ban đầu soliton Thế (4.6) vào (4.5) với 2m+1 = 0, ta [44, 68]: (∂x + ∂2y )U˜ j + U˜ j3 − νU˜ j5 = µ j U˜ j (4.7) Ta xét điều kiện đầu (4.5) dạng ψ j (x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (x, y, 0), A j (0) tham số biên độ ban đầu ψ˜ j (x, y, 0) xác định (4.6) Với < 2m+1 1, ta tìm nghiệm (4.5) dạng ˜ j (x, y, z), A j (z) tham số biên độ ψ ˜ j (x, y, z) xác định (4.6) Đặt ψ j (x, y, z) = A j (z)ψ ∞ C 2k+2, j = ∞ −∞ −∞ ˜ j (x, y, 0)|2k+2 d xd y, |ψ (4.8) với k = 0, 1, 2, · · · , m đặt V˜ j (x, y, z) = |ψ˜ j (x, y, z)| Ta có bổ đề định lý sau Bổ đề 4.2.1 Xét mơ hình (4.5) điều kiện đầu ψ j (x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (x, y, 0) Giả sử < 2m+1 Khi A j (z) = A j (0) + 2m 2m −1 2m+1C 2, j C 2m+2, j A j (0)z −1/(2m) (4.9) , C 2, j C 2m+2, j xác định (4.8), j = 1, Định lý 4.2.2 Xét toán (4.4) điều kiện đầu ψ j (x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (x, y, 0) Giả sử < 2m+1 giả thiết ( H˜ )-(H˜ ) thỏa Khi đó, lượng suy hao biên độ soliton va chạm với soliton 2: ∆A (c) =− −1 2m+1C 2,1 m k=1 2(m−k)+1 b k,m A 2k (z c )Nk,m , (z c )A C 2,1 xác định (4.8), A j (z c ) xác định (4.9) Nk,m = zf (4.10) ∞ ∞ ˜ 2k ˜ 2(m−k)+2 d xd yd z −∞ −∞ V2 V1 4.2.2 Kết mô số Chúng kiểm chứng định lý 4.2.2 nghiên cứu phụ thuộc ∆A (c) vào vận tốc soliton mô cho (4.4) với: 2m+1 = 0.01, (x 10 , y 10 ) = (−10, 9.5), (x 20 , y 20 ) = (9.5, 9), d1 = (d 11 , −0.95d 11 ), d2 = (−0.95d11 , −0.9d11 ), ≤ d11 ≤ 120, z f = 2z c Ta có: (1) Với ≤ d11 < 15, sai số tương đối đo ∆A 1(c) E ∆ ≤ 0.14 cho m = E ∆ ≤ 0.13 với m = 2; (2) Với va chạm nhanh 15 ≤ |d11 | ≤ 120, E ∆ ≤ 0.055 (m = 1) E ∆ ≤ 0.065 (m = 2) Như vậy, kết đo từ phân tích lý thuyết từ mô cho ∆A (c) phù hợp cho va chạm nhanh nhiễu suy hao phi tuyến yếu Tức là, định lý 4.2.2 kiểm chứng 4.3 Động lực biên độ va chạm 3D soliton Chúng khảo sát va chạm hai soliton mô tả mơ hình (3+1)D CQNLS [5, 45, 71]: 1 i ∂z ψ j + ∂2τ ψ j + (∂2x + ∂2y )ψ j + |ψ j |2 ψ j + 2|ψl |2 ψ j − ν|ψ j |4 ψ j − 3ν|ψl |4 ψ j − 6ν|ψl |2 |ψ j |2 ψ j 2 = −i 2m ψj − i 2m+1 |ψ j | m 2m+1 b k,m |ψl |2k |ψ j |2(m−k) ψ j , ≤ j , l ≤ 2, j = l , m ≥ 1, (4.11) k=1 (x, y) tọa độ không gian, τ tương ứng với thời gian số hạng khác mô tả (6) 20 4.3.1 Tính tốn lý thuyết Trước tiên, chúng tơi xét tốn truyền sóng soliton đơn thứ j ( j = 1, 2) [5, 45, 71]: 1 i ∂z ψ j + ∂2τ ψ j + ∆⊥ ψ j + |ψ j |2 ψ j − ν|ψ j |4 ψ j = −i 2 Khi 2m+1 2m+1 |ψ j | 2m ψj (4.12) = 0, phương trình (4.12) có nghiệm 3D soliton lý tưởng dạng: ˜ j (τ, x, y, z) = U˜ j (T j , X j , Y j ) exp(i µ j z) exp i α j + i χ j (T˜ j , X˜ j , Y˜ j ) , ψ (4.13) d j = (d j , d j , d j ) vận tốc soliton j , T j = τ−τ j −d j z , X j = x − x j −d j z , Y j = y − y j −d j z , T˜ j = τ−τ j − d˜j z X˜ j = x −x j − d˜j z , Y˜ j = y −y j − d˜j z , χ j = d j T˜ j +d j X˜ j +d j Y˜ j , d˜j = d j /2, d˜j = d j /2, d˜j = d j /2, U˜ j hàm biên độ giá trị thực, µ j số truyền sóng, α j tương ứng với pha, τ j thời gian ban đầu (x j , y j ) tọa độ không gian ban đầu soliton j Thế (4.13) vào (4.12) với 2m+1 = 0, ta được: ∂τU˜ j + (∂2x + ∂2y )U˜ j + U˜ j30 − νU˜ j5 = µ j U˜ j 2 (4.14) Tương tự phần 4.2.1, ta xét điều kiện đầu (4.12) dạng ψ j (τ, x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (τ, x, y, 0), A j (0) tham số biên độ ban đầu ψ˜ j (τ, x, y, 0) xác định (4.13) Với 2m+1 > 0, nghiệm (4.12) tìm dạng ψ j (τ, x, y, z) = A j (z)ψ˜ j (τ, x, y, z), với A j (z) tham số biên độ ψ˜ j (τ, x, y, z) xác định (4.13) Đặt ∞ D 2k+2, j = ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ˜ j (τ, x, y, 0)|2k+2 d τd xd y, |ψ (4.15) ˜ j (τ, x, y, z) = |ψ ˜ j (τ, x, y, z)| Ta có bổ đề định lý sau với k = 0, 1, 2, · · · , m đặt W Bổ đề 4.3.1 Xét (4.12) điều kiện đầu ψ j (τ, x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (τ, x, y, 0), Giả sử < A j (z) = A j (0) + 2m −1 2m 2m+1 D 2, j D 2m+2, j A j (0)z −1/(2m) 2m+1 Khi , (4.16) D 2, j D 2m+2, j xác định (4.15), j = 1, Định lý 4.3.2 Xét mơ hình (4.11) điều kiện đầu ψ j (τ, x, y, 0) = A j (0)ψ˜ j (τ, x, y, 0), Giả sử < 2m+1 ( H˜ )-( H˜ ) thỏa Khi đó, lượng suy hao biên độ soliton va chạm với soliton là: ∆A (c) =− −1 2m+1 D 2,1 m k=1 2(m−k)+1 (z c )N¯ k,m , b k,m A 2k (z c )A D 2,1 xác định (4.15), A j (z c ) xác định (4.16) N¯ k,m = zf (4.17) ∞ ∞ ∞ ˜ 2k ˜ 2(m−k)+2 d τd xd yd z −∞ −∞ −∞ W2 W1 4.3.2 Kết mô số Chúng kiểm chứng định lý 4.3.2 nghiên cứu phụ thuộc ∆A (c) vào vận tốc soliton mô (4.11) với: 2m+1 = 0.01, (τ10 , x 10 , y 10 ) = (−8, 7.5, 7), (τ20 , x 20 , y 20 ) = (8, 7.5, 7), z f = 2z c , d1 = (d11 , −0.9375d11 , −0.875d11 ), d2 = (−d11 , −0.9375d11 , −0.875d11 ), ≤ d11 ≤ 40 Kết quả: (1) Với ≤ d 11 < 14, ta có E ∆ ≤ 0.143 cho m = E ∆ ≤ 0.126 với m = 2; (2) Với va chạm nhanh 14 ≤ |d 11 | ≤ 40, ta có E ∆ ≤ 0.06 cho m = E ∆ ≤ 0.063 cho m = Như vậy, ∆A (c) đo từ phân tích lý thuyết từ mô phù hợp cho va chạm nhanh nhiễu suy hao phi tuyến yếu Tức là, định lý 4.3.2 kiểm chứng Hình 4.2 minh họa va chạm hai soliton với 21 2m+1 = 0.01 d 11 = 25 Hình 4.2: Một va chạm hai sóng 3D soliton từ mô (4.11) với = 0.01 d 11 = 25 Cột trái: Hình ảnh soliton |ψ j (τ, x, y, z)|, j = 1, 2, hiển thị phổ màu ba mặt phẳng đặc biệt z = (a), z = z i = 0.38 (b) (τ j (z)) z = z f = 0.64 (c) Tại z , C τ (x j (z)) C x hiển thị giá trị |ψ j (τ, x, y, z)| mặt phẳng τ = τ j (z) x = x j (z) Cột phải: Hình ảnh soliton |ψ j (τ, x, y, z)|, j = 1, 2, hiển thị ba mặt cong đồng mức z = (d), z = z i = 0.38 (e) hiển thị giá trị |ψ j (τ, x, y, z)| thỏa |ψ j (τ, x, y, z)| = v với v = 0.1, v = 0.25 v = 0.75 z = z f = 0.64 (f ) Tại z , S (v) j 4.4 Kết luận chương Chương tổng hợp kết công bố [A5] với nội dung sau: • Cải tiến kỹ thuật tính nhiễu cho 1D CNLS soliton [17, 19, 21] cho 2D SNLS soliton Chương qua định lượng tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu lên biên độ 1D NLS soliton truyền dẫn đơn va chạm nhanh với soliton khác môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm • Mở rộng kết nghiên cứu cho 1D NLS soliton (xung) lên 2D NLS soliton (chùm sáng) 3D NLS soliton (đạn ánh sáng) môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm có nhiễu suy hao phi tuyến yếu • Cải tiến bổ sung cho phương pháp tính nhiễu quanh soliton lý tưởng Kaup sử dụng [17, 19, 21] Phương pháp Kaup yêu cầu dạng giải tích nghiệm NLS soliton lý tưởng áp dụng cho mơ hình NLS lý tưởng khả tích, phương pháp tính nhiễu áp dụng cho mơ hình (n +1)D CQNLS lý tưởng khả tích (n = 1) khơng khả tích (n = 3) 22 Chương KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 Kết luận chung Trong luận án này, đạt kết nghiên cứu sau: Kết thứ nhất: Xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số cho soliton mô hình (1+1)D CNLS lượng khoảng cách truyền dẫn dựa phép biến đổi Fourier cho nghiệm soliton lý tưởng, tính chất bảo tồn hình dạng soliton lý tưởng kỹ thuật phân rã tần số Phương pháp dịch chuyển tần số sau áp dụng để nghiên cứu số tốn thí nghiệm kỹ thuật: (1) Đưa phương pháp kiểm chứng suy hao lượng va chạm hai soliton cách thay đổi tần số để va chạm lặp lại nhiều lần (nhằm tăng độ lớn đại lượng cần đo); (2) Nghiên cứu tính ổn định truyền dẫn soliton tác động q trình suy hao/lợi nhiễu tuyến tính sử dụng hàm khuếch đại lượng phụ thuộc tần số Kết thứ hai: Cải tiến mơ hình truyền sóng soliton hệ quang dẫn đa kênh sử dụng mơ hình NLS lai ghép, nghĩa thay đổi môi trường (chất liệu) truyền sóng nhằm thay đổi số hạng hệ số nhiễu Chúng xấp xỉ biên độ soliton mơ hình NLS mơ hình ODEs nghiên cứu tính ổn định ODEs sử dụng hàm Lyapunov phép tuyến tính hóa Từ đó, chúng tơi tìm tham số nhiễu xác định mức lượng cung cấp cho máy khuếch đại lượng truyền dẫn soliton ổn định biên độ bật/tắt (on/off switching) kênh dẫn sóng Chúng tơi chứng tỏ nhiễu gây mơ hình truyền sóng [19, 31, 32] bị triệt tiêu suy biến truyền tải mô hình lai ghép Và soliton hệ quang dẫn lai ghép truyền tải ổn định biên độ (tức ổn định lượng) xa thực bật/tắt kênh dẫn sóng hiệu so với mơ hình [19, 31, 32] Kết thứ ba: Xây dựng phương pháp tính nhiễu cho 2D soliton định lượng tác động nhiễu lên biên độ soliton truyền dẫn va chạm nhanh với soliton khác môi trường quang dẫn phi tuyến bão hịa có nhiễu suy hao phi tuyến yếu dựa kỹ thuật cân lượng thay đổi hình dạng sóng soliton có nhiễu Kết nghiên cứu phát triển nghiên cứu 1D soliton [17, 19, 21] Phương pháp tính nhiễu xây dựng cho 2D SNLS soliton cải tiến bổ sung cho phương pháp tính nhiễu quanh soliton lý tưởng Kaup sử dụng [17, 19, 21] Phương pháp Kaup yêu cầu dạng giải tích nghiệm NLS soliton lý tưởng phương pháp tính nhiễu áp dụng cho mơ hình (2+1)D SNLS lý tưởng khơng khả tích 23 Kết thứ tư: Xây dựng phương pháp tính nhiễu cho súng khụng l soliton ca lp phng trỡnh Schrăodinger tuyn tính có nhiễu suy hao bậc ba yếu tải-khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao bậc hai yếu Đồng thời, chúng tơi chứng minh tính chất tương tự soliton va chạm nhanh sóng dạng Cụ thể, thiết lập biểu thức mô tả thay đổi tham số biên độ sóng va chạm nhanh tác động nhiễu suy hao phi tuyến yếu biểu thức dạng với biểu thức mô tả suy hao biên độ va chạm nhanh hai soliton mơ tả mơ hình (1+1)D NLS có nhiễu suy hao bậc ba yếu [19] Đây phát thú vị sóng tuyến tính sóng khơng có tính chất bảo tồn hình dạng truyền dẫn va chạm soliton Kết thứ năm: Thiết lập biểu thức mô tả thay đổi biên độ va chạm nhanh soliton môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm mô tả mơ hình (1 + 1)D CQNLS có nhiễu suy hao phi tuyến yếu bậc 2m + Phương pháp tính nhiễu dựa sở cải tiến kỹ thuật tính nhiễu cho 1D CNLS soliton [17, 19, 21] cho 2D SNLS soliton nội dung thứ ba Cụ thể, chúng tơi sử dụng tính tốn cân lượng, cải tiến tính tốn xấp xỉ thay đổi hình dạng soliton va chạm có nhiễu tính tốn xấp xỉ tích phân theo thành phần biến đổi nhanh Tiếp theo, mở rộng nghiên cứu cho 1D soliton lên 2D soliton (chùm sáng) 3D soliton (đạn ánh sáng) mơi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba-năm có nhiễu Từ kết nghiên cứu cho 2D soliton với phi tuyến bão hòa Chương cho n D soliton với phi tuyến bậc ba-năm Chương (n = 1, 2, 3), chúng tơi chứng minh tính hiệu phương pháp tính nhiễu nghiên cứu động lực biên độ va chạm nghiệm NLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu nhiều môi trường quang dẫn phi tuyến khác nhau, phương trình mơ tả truyền dẫn soliton đơn lý tưởng khả tích (với (1+1)D CQNLS) khơng khả tích (với (2+1)D SNLS, (2+1)D CQNLS (3+1)D CQNLS) Kết luận án công bố 05 báo SCI/SCIE 5.2 Kiến nghị Trong thời gian tới nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tính chất nghiệm soliton mụ hỡnh Schrăodinger phi tuyn, GinzburgLandau, Korteweg-de Vries, Gross-Pitaevskii di tác động nhiễu xác định ngẫu nhiên Nghiên cứu tính chất nghiệm soliton truyền dẫn loại vật liệu nhân tạo (với trình nhiễu mới) Nghiên cứu tác động trình nhiễu lên tham số khác 2D 3D soliton (pha, vị trí, tần số (vận tốc) soliton) Nghiên cứu động lực biên độ va chạm sóng tuyến tính có số chiều lớn tác động trình nhiễu phi tuyến Nghiên cứu lược đồ số giải phương trình NLS có nhiễu phi tuyến tách bước CrankNicolson (split-step Crank-Nicolson) sai phân hữu hạn miền thời gian (finite-difference timedomain) 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [A1] Avner Peleg, Quan M Nguyen, and Toan T Huynh (2017) Stable scalable control of soliton propagation in broadband nonlinear optical waveguides, European Physical Journal D, 71, 30 (Hội Vật lý châu Âu, SCI-Q3, IF=1.425, H-index =89 (2020)) [A2] Avner Peleg, Quan M Nguyen, and Toan T Huynh (2017) Soliton-like behavior in fast twopulse collisions in weakly perturbed linear physical systems, European Physical Journal D, 71, 315 (Hội Vật lý châu Âu, SCI-Q3, IF=1.425, H-index =89 (2020)) [A3] Quan M Nguyen and Toan T Huynh (2019) Frequency shifting for solitons based on transformations in the Fourier domain and applications, Applied Mathematical Modelling, 72, 306 (SCIE-Q1, IF = 5.129, H-index =112 (2020)) [A4] Quan M Nguyen and Toan T Huynh (2021) Collision-induced amplitude dynamics of fast 2D solitons in saturable nonlinear media with weak nonlinear loss, Nonlinear Dynamics, 104, 4339 (SCI-Q1, IF = 5.022, H-index=118 (2020)) [A5] Toan T Huynh and Quan M Nguyen (2021) Fast soliton interactions in cubic-quintic nonlinear media with weak dissipation, Applied Mathematical Modelling, 97, 650 (SCIE-Q1, IF = 5.129, H-index =112 (2020)) 25 ... môi trường quang dẫn phi tuyến bão hịa có nhiễu suy hao phi tuyến yếu Phương pháp tính nhiễu dựa kỹ thuật cân lượng thay đổi hình dạng sóng va chạm có nhiễu Kết nghiên cứu phát triển nghiên cứu. .. trường quang dẫn phi tuyến bão hịa có nhiễu suy hao phi tuyến yếu dựa kỹ thuật cân lượng thay đổi hình dạng sóng soliton có nhiễu Kết nghiên cứu phát triển nghiên cứu 1D soliton [17, 19, 21] Phương. .. tính hiệu phương pháp tính nhiễu nghiên cứu động lực biên độ va chạm nghiệm NLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến yếu nhiều môi trường quang dẫn phi tuyến khác nhau, phương trình mơ tả truyền dẫn