BÀI GIẢNG CƠ HỌC BÀI GIẢNG CƠ HỌC CHƯƠNG II ĐỘNG HỌC VẬT RẮN § 1 Các đặc trưng động học của vật rắn 1 Xác định vị trí vật rắn 1 1 Hình 2 1 (1 1a) (1 1b) (1 1 c) 1 2 Ma trận cosin chỉ phương 1 2 1 Chín[.]
BÀI GIẢNG CƠ HỌC CHƯƠNG II ĐỘNG HỌC VẬT RẮN § Các đặc trưng động học vật rắn Xác định vị trí vật rắn 1.1 zo R z y ez ey (S) O ezo Ro Oo exo ex eyo yo x xo Hình 2.1 { { { } } } e x = cos(e x , e x0 ), cos(e x , e y0 ), cos(e x , e z0 ) e y = cos(e y , e x0 ), cos(e y , e y0 ), cos(e y , e z0 ) e z = cos(e z , e x0 ), cos(e z , e y0 ), cos(e z , e z0 ) (1.1a) (1.1b) (1.1.c) 1.2 Ma trận cosin phương 1.2.1 Chín thành phần nói vectơ đơn vị lập thành ma trận vuông cấp ba: a11 A = a 21 a31 Hay a12 a 22 a32 a13 a 23 = a33 cos(e x , e xo ) cos(e y , e x0 ) cos(e z , e x0 ) 0 0 0 cos(ex , ey ) cos(ey , ey ) cos(ez , ey ) cos(e x , e z0 ) cos(e y , e z0 ) cos(e z , e z0 ) (1.2) o 0 a11 a12 a13 (e x , e x ) (e y , e x ) A = a 21 a 22 a 23 = (e x , e y0 ) (e y , e y0 ) a31 a32 a 33 (e x , e z0 ) (e y , e z0 ) 0 eα , eβ tích vơ hướng vectơ eα ( ) (e z , e x0 ) (e z , e y0 ) (e z , e z0 ) o eβ (1.3) Ký hiệu ma trận cột vectơ: a11 a12 a13 a a e1 = 21 , e2 = 22 , e3 = a 23 a31 a32 a33 ma trận A cịn viết dạng A = [e1 e2 e3] 1.2.2 Các hệ thức cô sin phương 2 a112 + a 21 + a 31 =1 a +a +a 12 22 32 =1 2 a132 + a 23 + a33 =1 a11 a12 + a 21 a 22 + a31 a32 = a11 a13 + a 21 a 23 + a31 a33 = a12 a13 + a 22 a 23 + a32 a33 = (1.4.a) (1.4.b) (1.4.c) (1.4.d) (1.4.e) (1.4.f) 1.2.3.Tính chất Ma trận sin phương Tính chất Định thức A đơn vị: det A = Chứng minh.Tích hỗn hợp ba vectơ a , b c : a x bx c x a b × c = a y by c y , a z bz c z ( (1.5) ) đó, a11 det A = a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 = e x (e y × e z ) = a33 Do e y × e z = e x ; e x e x = , nên ta suy tính đắn cơng thức (1.5) Tính chất Ma trận cô sin phương ma trận trực giao Chứng minh Theo định nghĩa, ma trận trực giao ma trận A −1 = AT cách áp dụng công thức (1.4) kiểm tra trực tiếp tích AT A A AT ta có AT A = A A T = I , I ma trận đơn vị Tính chất Ma trận sin phương có giá trị riêng đơn vị Chứng minh • Dễ dàng thấy rằng, tất giá trị riêng có mơ đun đơn vị Thật vậy, theo định nghĩa: Ae = λ e đó, (Ae).(Ae) = (Ae)T(Ae) = eTATAe = eT e = e Mặt khác (Ae).(Ae) = ( λ e) ( λ e) = λ2 (e.e) = λ2 e nên λ2 = , λ = • Ta cịn phải chứng minh có giá trị riêng Theo tính chất giá trị riêng ma trận thực det A = λ1λ2 λ3 = phải có giá trị riêng thực, nên giá trị riêng này, chẳng hạn λ1 , phải là − Nếu λ1 = định lý chứng minh, cịn λ1 = −1 λ2 λ3 = −1 Từ ta lại thấy giá trị riêng λ2 , λ3 khơng thể nhận giá trị phức chúng phải số phức liên hợp tích chúng dương Do vậy, ta suy hai giá trị riêng λ2 , λ3 phải Tính chất chứng minh Ví dụ ma trận cô sin phương Xét hai hệ toạ độ R0 R Nếu hai hệ có hai trục trùng (chẳng hạn O0 z trùng với Oz ) trục lệch tương ứng góc α ( ∠(O0 x0 , Ox) = α ), ∠(O0 y , Oy ) = α ) Ta nói hệ R thực phép quay hệ R góc α a) Phép quay quanh trục O0 x0 góc ϕ Trong trường hợp ma trận sin phương có dạng 0 1 Ax0 (ϕ ) = 0 cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ b) Phép quay quanh trục O0 y góc ψ Trong trường hợp ma trận cô sin phương có dạng z zo zo z zo z y y y yo x xo x xo yo yo xo (a) (b) x (c) Hình 2.2 Các phép quay cosψ sinψ Ay0 (ψ ) = − sinψ cosψ c) Phép quay quanh trục O0 z góc ϑ Trong trường hợp ma trận sin phương có dạng cos ϑ − sin ϑ 0 Az0 (ϑ ) = sin ϑ cos ϑ 0 0 1 Vận tốc góc vật rắn 2.1 Các hệ thức đạo hàm vectơ đơn vị: e y2 = , e x2 = , ex e y = , ex ez = , Đạo hàm đẳng thức đầu, ta rút ra: e z2 = , e y ez = (1.6.a) (1.6.b) de z ⊥ ez , ⊥ ey , dt dt Nên phân tích theo trục: e y , e z , e z , e x , e x , e y de x = ϖ xy e y + ϖ xz e z ; dt de y = ϖ yz e z + ϖ yx e x ; dt de z = ϖ zx e x + ϖ zy e y dt (1.7.a) de x ⊥ ex , dt de y (1.7.b) (1.7.c) Đạo hàm theo t3đẳng thức (1.6b) d (ex e y ) dt de x de y = e y + e x = dt dt (1.8.a) d ( e x e z ) de x de z = e z + e x = (1.8.b) dt dt dt d ( e y e z ) de y de z = e z + e y = (1.8.c) dt dt dt de x de y de z , , Thay biểu thức đạo hàm vào đẳng thức cuối dt dt dt này, ta (ϖ xy e y + ϖ xz e z )e y + e x (ϖ yz e z + ϖ yx e x ) = ; (ϖ xy e y + ϖ xz e z )e z + e x (ϖ zx e x + ϖ zy e y ) = ; (ϖ yz e z + ϖ yx e x )e z + e y (ϖ zx e x + ϖ zy e y ) = Thực phép nhân, ta nhận ϖ xy + ϖ yx = , ϖ xz + ϖ zx = , Đặt ω x = ϖ yz = −ϖ zy ; ϖ yz + ϖ zy = (1.9) (1.10.a) (1.10.b) (1.10.c) ω y = ϖ zx = −ϖ xz ω z = ϖ xy = −ϖ yx 2.2 Định nghĩa vận tốc góc vật rắn Ta gọi vectơ ω = ω x ex + ω y e y + ω z ez , (1.11) thành phần ω x , ω y , ω z xác định từ biểu thức (1.10) vận tốc góc vật rắn 2.3 Tính chất vận tốc góc vật rắn Định lý Đạo hàm vectơ đơn vị phương e x , e y , e z theo thời gian tích có hướng vectơ vận tốc góc vectơ de x = ω × ex , dt de y dt = ω × ey , de z = ω × ez dt (1.12) Hơn nữa, đạo hàm vectơ c gắn chặt vào vật rắn tích có hướng vectơ vận tốc góc với vectơ dc =ω×c dt (1.13) Nói cách khác, đạo hàm vectơ có mơ đun khơng đổi tích có hướng vectơ vận tốc góc với vectơ Cách phát biểu khác gọi định lý Euler Chứng minh Từ đẳng thức de y de x = ϖ xy e y + ϖ xz e z , dt dt de z = ϖ zx e x + ϖ zy e y dt = ϖ yz e z + ϖ yx e x , Thay giá trị theo (1.10), ta de x = ω z e y − ω y ez , dt de y dt de z = ω y ex − ω x e y dt = ω x ez − ω z ex , Theo định nghĩa tích có hướng hai vectơ ta rút ω × ex = ω z e y − ω y ez , ω × e y = ω x ez − ω z ex , ω × ez = ω y ex − ω x e y t.l công thức (1.12) chứng minh Vectơ c hệ R biểu diễn dạng c = c x ex + c y e y + c z ez , c x , c y , c z số Đạo hàm hai vế đẳng thức vừa viết ý đến (1.11) ta rút (1.13) Gia tốc góc vật rắn Định nghĩa Gia tốc góc vật rắn, ký hiệu ε đạo hàm bậc theo thời gian vận tốc góc ω dω ε = dt (1.14) ω ε zo z y O Oo x xo Hình 2.3 yo Tóm tắt Chụyển động vật rắn không gian hệ R0 đặc trưng vị trí, vận tốc góc gia tốc góc zo R z y e z ey (S) O ezo Ro Oo exo ex eyo yo x xo - Vị trí vật xác định gốc toạ độ R gắn chặt với vật ma trận cô sin phương, a11 a12 A = a 21 a 22 a31 a32 a13 a 23 = a33 (e x , e xo ) (e y , e x0 ) (e z , e x0 ) 0 0 0 (ex , ey ) (ey , ey ) (ez , ey ) (e x , e z0 ) (e y , e z0 ) (e z , e z0 ) (1.3) - Vận tốc góc định nghĩa cơng thức ω = ω x ex + ω y e y + ω z ez , thành phần xác định từ cơng thức ω x = ϖ yz = −ϖ zy ; ω y = ϖ zx = −ϖ xz ω z = ϖ xy = −ϖ yx (1.11) (1.10.a) (1.10.b) (1.10.c) Gia tốc góc định nghĩa cơng thức dω ε = dt (1.14) Chú ý để tính thành phần vận tốc góc ta phải sử dụng công thức de x = ϖ xy e y + ϖ xz e z ; dt de y = ϖ yz e z + ϖ yx e x ; dt de z = ϖ zx e x + ϖ zy e y dt (1.7.a) (1.7.b) (1.7.c) § Đặc trưng động học điểm thuộc vật Phương trình chuyển động điểm O0 M = O0 O + OM , 0 0 0 O0 M = x e x + y e y + z e z , OM = xe x + ye y + ze z , (1.15) O0 O = X e x0 + Y0 e y0 + Z e z0 Từ đó, ta dễ dàng nhận x0 = X + a11 x + a12 y + a13 z , y = Y0 + a 21 x + a 22 y + a 23 z , z = Z + a31 x + a32 y + a33 z (1.16a) (1.16b) (1.16c) Hệ phương trình (1.16) hệ phương trình chuyển động điểm M Hay x0 = X0 + A x (1.17) x0 x0 = y0 , z X0 X = Y0 , Z Vận tốc điểm 2.1 v= d d X0 + (Ax) dt dt x x = y z (1.18) 2.2 Ta đưa vào ký hiệu O0 M = rM , OM = rOM , O0 O = rO , Phương trình (2.1) viết lại dạng rM = r0 + rOM (1.15’) Đạo hàm hai vế (1.15’) theo thời gian ta rM = rO + rOM rOM = ω × OM Nếu ta ký hiệu vận tốc điểm M hệ R0 v M , vận tốc điểm gốc O (trong hệ R0) vO , rOM v MO Theo định nghĩa vận tốc điểm, ta thu v M = v0 + v MO , v MO = ω × OM 2.3 Định lý 2.1 Tại thời điểm vận tốc hai điểm A B thuộc vật rắn liên hệ với qua công thức v A = v B + v AB (1.17) v AB = ω × BA (1.18) Chứng minh Các cơng thức định lý suy trực tiếp từ công thức v M = v0 + v MO v MO = ω × OM với ý điểm O M điểm thuộc vật rắn Do đó, ta ký hiệu thay cho O A thay cho M B ta có cơng thức định lý ω (S) vB A vA vA vBA B Hình 2.4 Liên hệ vận tốc hai điểm 2.3 Định lý 2.2 Hình chiếu vận tốc hai điểm vật rắn lên phương nối hai điểm hc AB v A = hc AB v B (1.19) Chứng minh Do v AB = ω × BA nên v AB ⊥ AB , suy hình chiếu v AB lên phương AB không Từ ta suy tính đắn cơng thức (1.17) Gia tốc chụyển động điểm 3.1 Cũng vận tốc để tính gia tốc ta đạo hàm theo thời gian biểu thức vận tốc tính chương sau cho trường hợp cụ thể Cần nhấn mạnh công cụ sử dụng phổ biến để tính tốn hệ học phức tạp chứa nhiều vật rắn 3.2 Đạo hàm theo thời gian công thức (1.17), ta dv A = dt = ω × BA , dv B dv AB + , dt dt ý v AB đồng thời theo công thức Euler đạo hàm vectơ có mơ đun không đổi dBA dω dv AB d × BA + ω × = ε × BA + ω × ω × BA = ( ω × BA) = dt dt dt dt Ta đưa vào ký hiệu q w AB = ε × BA r r r ht wAB = ω × ω × AB (1.20a) (1.20b) quy ước gọi tương ứng gia tốc quay hướng trục điểm A quanh điểm B Như ta nhận q ht w A = wB + w AB + w AB (1.21) Như ta có định lý gia tốc 2.3 Định lý 2.1 Tại thời điểm vận tốc hai điểm A B thuộc vật rắn liên hệ với qua công thức v A = v B + v AB (1.17) v AB = ω × BA (1.18) ω vB A (S) vA vA vBA B Hình 2.4 Liên hệ vận tốc hai điểm 2.3 Định lý 2.2 Hình chiếu vận tốc hai điểm vật rắn lên phương nối hai điểm hc AB v A = hc AB v B (1.19) Gia tốc chụyển động điểm q ε ω wBA A dε B dω ht wBA Hình 2.5 Liên hệ gia tốc hai điểm A B thuộc vật rắn Định lý 2.3 Tại thời điểm, gia tốc hai điểm A B thuộc vật chuyển động lien hệ với qua công thức q ht w A = wB + w AB + w AB (1.21) q ht thành phần w AB w AB xác định theo công thức q w AB = ε × BA r r r ht wAB = ω × ω × AB (1.20a) (1.20b) CHƯƠNG III TRƯỜNG HỢP RIÊNG: CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN VÀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH CỦA VẬT RẮN Trong chương hai chương ta áp dụng lý thuyết trình bày chương trước vào trường hợp riêng quan trọng kỹ thuật Đó chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay vật xung quanh trục cố định, chuyển động song phẳng chuyển động quay xung quanh điểm cố định vật rắn § Chuyển động tịnh tiến vật rắn Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến vật rắn chuyển động đoạn thẳng vẽ vật luôn song song với phương ban đầu Tính chất động học vật chuyển động tịnh tiến Định lý Ma trận côsin phương vật chụyển động tịnh tiến ma trận đơn vị Vận tốc góc gia tốc góc vật khơng 1 0 A = 0 0 , 0 1 ω =0, ε =0 (1.1) Chứng minh Ta gắn vào vật hệ toạ độ (R): Oxyz cho trục song song với trục tương ứng hệ trục (R0): O0 x0 y z Do vật chuyển động tịnh tiến nên trục có hướng khơng đổi, nên 0, α ≠ β cos(eα , e β ) = , 1, α = β α , β = x, y, z Từ ta nhận ma trận côsin phương vật chuyển động tịnh tiến ma trận đơn vị Do vectơ đơn vị phương hệ trục R không đổi phương độ dài, nên đạo hàm chúng theo thời gian khơng, từ suy ω = Từ ta lại suy ε = Định lý chứng minh Định lý Trong chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo điểm giống hệt nhau, vận tốc gia tốc chúng tương ứng nhau: v A = vB , w A = wB (1.2) Chứng minh B A rA rB Hình 3.1 Ta có rB = rA + AB Do vectơ AB khơng đổi, nên vị trí điểm B ln ln tìm cách tịnh tiến vị trí điểm A vectơ AB khơng đổi Từ suy quỹ đạo điểm B nhận cách tịnh tiến quỹ đạo điểm A vectơ AB Các công thức (1.2) thu cách áp dụng trực tiếp công thức (2.3), (2.4) (2.6), (2.7) chương II Định lý chứng minh § Chuyển động quay vật rắn xung quanh trục cố định Định nghĩa Chuyển động quay vật rắn xung quanh trục cố định chuyển động vật ln có điểm cố định, có đường thẳng nối hai điểm cố định Đường thẳng nối hai điểm gọi trục quay vật z, z0 x0 φ y φ x y0 Hình 3.2 Các đặc trưng động học vật quay xung quanh trục cố định 2.1 Phương trình chuyển động vật - Hệ R R0 có chung gốc O trục Oz trùng với Oz0 - Ma trận cơsin phương có dạng cos ϕ A = sin ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0 1 (1.3) ϕ = ϕ (t ) (1.4) Phương trình vừa viết (1.4) gọi phương trình chuyển động vật rắn quay xung quanh trục cố định 2.2 Vận tốc góc gia tốc góc vật rắn 2.2.1 Vận tốc góc Theo định nghĩa, thành phần vectơ vận tốc góc tính theo cơng thức (1.10), (1.7), § chương II Áp dụng cơng thức này, ta có e x = cos ϕ e x0 + sin ϕ e y0 , e y = − sin ϕ e x0 + cos ϕ e y0 e z = e z0 Đạo hàm đẳng thức theo thời gian, ta e x = −ϕ (sin ϕ e x0 − cos ϕ e y0 ) = = −ϕ [sin ϕ ( cos ϕe x − sin ϕe y ) − cos ϕ ( sin ϕe x + cos ϕe y ) ] = ϕ e y = ϖ xy e y + ϖ xz e z ; e y = −ϕ (cos ϕ e x0 − sin ϕ e y0 ) = [ ] = −ϕ cos ϕ ( cos ϕe x − sin ϕe y ) − sin ϕ ( sin ϕe x + cos ϕe y ) = −ϕ e y = ϖ yz e z + ϖ zx e x e z = So sánh với công thức (1.7), ta ω x = ϖ yz = ; ω y = ϖ zx = ; ω z = ϖ xy = ϕ Vậy, vận tốc góc vật quay xung quanh trục cố định ω = ϕ e z (1.5) Trong tính tốn thực hành, để đơn giản ta thường hiểu vận tốc góc vật quay xung quanh trục cố định đại lượng đại số, ký hiệu ω đạo hàm bậc theo thời gian góc quay ϕ , t.l ω = ϕ (1.6) Và biểu diễn mũi tên vịng (Hìn 3.3) ε ωω ε Hình 3.3 2.2.2 Gia tốc góc vật ε = ϕe z = ϕe z0 = ω e z (1.7) Trong tính tốn thực hành ta cịn hiểu gia tốc góc vật quay xung quanh trục cố định đại lượng đại số, ký hiệu ε , tính đạo hàm bậc theo thời gian vận tốc góc (đại số) ε = ω = ϕ (1.8) 2.3 Khảo sát tính chất chuyển động vật quay xung quanh trục cố định Định nghĩa Chuyển động quay vật gọi nhanh dần trị số vận tốc góc tăng chậm dần trị số vận tốc góc giảm Định lý Điều kiện để vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) vectơ vận tốc góc gia tốc góc chiều (ngược chiều), t.l ( ω.ε < 0) ω.ε > , (1.9) hay ϕ ϕ > , (ϕ ϕ < 0) (1.9’) ω ω ε ε Nhanh dần Chậm dần Hình 3.4 Chứng minh Từ điều kiện ω tăng (giảm), ta suy bình phương ω tăng (giảm) Chú ý ω = ω , nên đạo hàm theo thời gian dựa vào tính chất đạo hàm hàm tăng (giảm) ta suy kết luận định lý Các chuyển động quay biến đổi Trong thực tiễn thường xảy chuyển động quay biến đổi Chuyển động vật quay xung quanh trục cố định gọi biến đổi gia tốc góc khơng đổi Khơng giảm tính tổng qt, ta giả thiết vật quay theo chiều dương Khi đó, vật quay nhanh dần gia tốc góc có giá trị dương ε > chậm dần gia tốc góc âm − ε < Vận tốc góc vật vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) ω = ∫ εdt + C = ε t + C , (ω = − ∫ εdt + C = − ε t + C ) C xác định từ điều kiện ban đầu Giả sử t = , ω (0) = ω Khi phương trình trở thành ω = εt + ω , ( ω = −εt + ω ) Từ suy phương trình chuyển động quay nhanh dần (chậm dần) vật 1 ϕ = ∫ ω (t)dt = εt + ω t + C ' , (ϕ = − εt + ω t + C ' ) , 2 số C ' xác định từ điều kiện ban đầu t = 0, ϕ (0) = ϕ Cuối cùng, ta có 1 ϕ = εt + ω t + ϕ , ϕ = − εt + ω t + ϕ 2 Các đặc trưng động học điểm thuộc vật chuyển động quay xung quanh trục cố định 3.1 Phương trình chuyển động r x0 M y φ x y0 Hình 3.5 Xét điểm M thuộc vật, vectơ r = OM nối từ gốc O hệ toạ độ đến điểm M xác định vị trí M hệ động R có thành phần tương ứng x, y, z Trong trường hợp X = Y0 = Z = Áp dụng phương trình (1.17) chương II với ma trận sin phương (1.3) ta tìm x0 = x cos ϕ − y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Nhớ rằng, x, y số ϕ = ϕ (t ) , ta khử t từ hai phương trình cách bình phương hai vế cộng lại, ta x02 + y 02 = x + y = ρ = const Như quỹ đạo điểm thuộc vật quay xung quanh trục cố định đường tròn tâm O' - giao điểm trục quay với mặt phẳng chứa điểm M vng góc với trục quay- , bán kính ρ - khoảng cách từ M đến trục quay 3.2 Vận tốc điểm M Định lý Tại thời điểm vận tốc điểm M thuộc vật tích có hướng vectơ vận tốc góc ω vật vectơ định vị điểm r : v =ω×r (1.10) Nói cách khác, vận tốc điểm M vng góc với đường thẳng vng góc hạ từ M vào trục quay, có chiều phù hợp với chiều quay vật có trị số tích vận tốc góc với khoảng cách từ M đến trục quay v ⊥ MO' , v = ω.ρ (1.10’) Chứng minh Thật vậy, áp dụng công thức (1.17), (1.18) ch.II, với ký hiệu O thay cho B, M thay cho A, vO = , ta có cơng thức (1.10) Cách phát biểu khác định lý diễn tả cụ thể phương, chiều, mơ đun vectơ tích Định lý chứng minh vM ω M M ω vM Hình 3.6 3.3 Gia tốc điểm M Định lý Tại thời điểm gia tốc điểm gồm hai thành phần: Gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến w = wτ + wn (1.11) Gia tốc tiếp tuyến wτ tiếp xúc với quỹ đạo điểm đó, có chiều phù hợp với chiềugia tốc góc ε có trị số wτ = ε ρ (1.12a) Gia tốc pháp tuyến ln hướng từ M vào O’ có trị số wn = ω ρ (1.12b) Chứng minh Áp dụng công thức (1.20), (1.21) ch.II với ý ta ký hiệu lại O thay cho B, M thay cho A, wO = , ta wM = ε × r + ω × ω × r Bây ta đưa vào ký hiệu: wτ = ε × r , wn = ω × ω × r (1.13) thu biểu thức gia tốc M wM = wτ + wn Wτ ε ε Wn Hình 3.7 Wτ Wn Trực tiếp áp dụng định nghĩa tích có hướng ε r ta suy kết luận vectơ gia tốc tiếp tuyến Đối với gia tốc pháp tuyến ta có dãy tính tốn sau (theo định nghĩa tích vectơ kép) wn = ω × ω × r = ω ( ω.r ) − r ( ω.ω ) = ω r cos( r , ω ) e z − ω r Từ công thức cuối này, ta thấy wn hiệu hai vectơ OO'−OM ; t.l wn = ω MO' , Vậy wn hướng từ M vào O’ có trị số wn = MO' = ω r sin ( r , e z ) = ω ρ Định lý chứng minh Ví dụ Lập phương trình chuyển động, tính vận tốc gia tốc cần cam tịnh tiến hình vẽ Cam nửa vịng trịn bán kính r = 25cm chụyển động quanh O theo quy luật x = sin 3πt cm , t tính giây Khoảng cách từ O đến trục cần a = 2cm Cơ cấu cam cấu dùng để biến đổi chuyển động nhằm đạt chuyển động có dạng đặc biệt: phổ biến biến chuyển động đặn thành chuyển động dừng đoạn - chuyển động bước Do thường có mặt máy tự động Bộ phận cấu cam cam cần Cần tỳ bề mặt cam quy luật chuyển động phụ thuộc vào hình dạng cam - gọi biên dạng cam Bài giải Chọn trục toạ độ có gốc O Vị trí cam xác định toạ độ y điểm A Tại thời điểm t tâm cam đến vị trí O1 Theo đầu ta có OO1 = x Vậy y = CA = O1 A − CO12 = O1 A − (OC − OO1 ) = r − (a − x) , A O Hình 3.8 x = sin 3πt cm Phương trình chuyển động cần cam y = r − (a − sin 5πt ) Ta đưa vào tính tốn MAPLE sau > y:=t->sqrt(25^2-(2-5*sin(3*Pi*t))^2); > v(t):=diff(y(t),t); > w(t):=diff(v(t),t); > solve(v(t)=0,{t}); > M1:=evalf(subs(t=1/6,y(t))); > M2:=evalf(subs(t=arctan(2/sqrt(21)/3*Pi),y(t))); > M3:=evalf(subs(t=-(arctan(2/sqrt(21))+Pi/3*Pi),y(t))); > with(plots); Warning, the name changecoords has been redefined > plot(y(t),t=0 1); > plot(v(t),t=0 1); Ví dụ Để nâng vật nặng A người ta sử dụng cấu tời hình vẽ Cho biết vật nặng A chuyển động theo luật s = + 70t , (s tính cm, t - giây); R2 = 50cm ; r2 = 30cm ; R3 = 60cm Tính vận tốc góc, gia tốc góc bánh vận tốc, gia tốc điểm M cách trục quay khoảng r3 = 40cm thời điểm vật nặng A di chuyển đoạn s1 = 40 cm Cơ cấu khảo sát ví dụ cấu truyền động dây đai Sợi dây (hay gọi dây đai) nối phải đảm bảo đủ nhám để không xảy trượt dây bề mặt tiếp xúc với đĩa (còn gọi bánh xe) dây đai coi khơng dãn Với giả thiết vận tốc điểm biên đĩa tiếp xúc với dây đai vận tốc điểm dây Bài giải I K A Hình 3.12 Thoạt tiên ta xét vật A Vận tốc gia tốc A là: v A = s = 140t cm / s ; w A = s = 140cm / s ; thời gian di chuyển đoạn đường 40 cm tìm từ phương trình + 70t = 40 40 − 19 Suy t = = s 70 35 14 Như thế, v A = v E ; v E = ω r2 , ta suy ω = 140t / 30 = t / s có chiều quay dương (ngược chiều kim đồng hồ) 14 700 v K = v I = R2ω = 50 t = t cm / s 3 700 35 v K = ω R3 , nên ω = t / 60 = t / s Vận tốc góc bánh có chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ) 35 19 = 2,87/s Tại thời điểm vật A 40 cm vận tốc góc bánh ω t = 19 = 35 35 Gia tốc góc bánh 35 ε = ω = / s =3,89 /s2 có chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ) Vận tốc gia tốc điểm M nằm bánh cách trục quay khoảng 35 19 35 19 v M = ω r3 = 30 = 10 = 85,96cm / s 35 35 35 wτM = ε r3 = 30 = 110,67cm / s ; wM = wτM + wMn ; 35 19 n wM = ω r3 = 30 = 240,63cm / s 35 Các vectơ vận tốc gia tốc điểm M có chiều hình vẽ Bài tập Một vật quay nhanh dần từ trạng thái nghỉ Lúc t = 1s , điểm M cách trục quay khoảng r = 2m có gia tốc wM = a = 2m / s Tìm gia tốc điểm cách trục quay khoảng R = 4m thời điểm t = s Gia tốc điểm vành vơ lăng làm với bán kính góc 60 Gia tốc tiếp thời điểm wτ = 10 3m / s (hình vẽ) Tìm gia tốc pháp điểm cách trục quay khoảng r = 0,5m Cho biết bán kính vơ lăng 1m Cơ cấu cam gồm bánh quay lệch tâm có bán kính r Trục quay cách tâm cam khoảng OC = d Cam quay với vận tốc góc ω = const Tìm phương trình chuyển động, vận tốc gia tốc cần AB cam Cơ cấu tay quay truyền gồm tay quay OA độ dài r quay với vận tốc góc ω xung quanh trục O Thanh truyền AB có độ dài l gắn lề với tay quay A với trượt B Giả thiết tỷ số độ dài tay quay OA r =