Những dạng phương trình lượng giác thường thi đại học

Trang Trang M CL C … ∗ … I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N II M T S D NG PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC ƠN GI N .10 III.PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC T NG QUÁT 29 IV.PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CĨ CH A THAM S 35 V PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC GI I PHƯƠNG TRÌNH I S 42 VI.TR C NGHI M .4 Trang PH N I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N … … I.PHƯƠNG PHÁP GI I Cơ s c a phương pháp bi n i sơ c p phương trình lư ng giác c a v m t b n d ng chu n sau c chia thành lo i: 1.Phương trình lư ng giác b n: Có b n d ng: sin x = m, cos x = m, tan x = m,cot x = m Công th c nghi m; k ∈ Z Phương trình i u ki n có nghi m D ng Sinx = m −1 ≤ m ≤ x = (−1) k arcsin m + k π Cosx = m −1 ≤ m ≤ x = ± arc cos m + k 2π Tanx = m Cotx = m ∗Chú ý: ∀m; x ≠ π + kπ ∀m; x ≠ k π sin x = ⇔ x = π x = arc cot m + k π  x = α + k 2π   x = π − α + k 2π (m = sin α) x = ±α + k 2π (m = cos α) x = α + kπ (m = tan α) x = α + kπ (m = cot α) + k 2π;cos x = ⇔ x = k 2π sin x = ⇔ x = k π;cos x = ⇔ x = sin x = −1 ⇔ x = − x = arctan m + k π D ng π π + kπ + k 2π;cos x = −1 ⇔ x = −π + k 2π 2.Phương trình lư ng giác thu c d ng b n: Có m t d ng sau: Sin[f(x)] = m; cos[f(x)] =m; tan[f(x)] = m; cot[f(x)] = m v i f(x) bi u th c ch a bi n x Ho c : sin[f(x)] = sin[g(x)]; cos[f(x)] = cos[g(x)] Tan[f(x)] = tan[g(x)]; cot[f(x)] = cot[g(x)] Ta s d ng công th c nghi m Trang II.VÍ D : Gi i phương trình: Ví d tan x = tan x x = x + kπ ⇔ x = x + k 2π ⇔ x = − k 2π ( k ∈ Ζ) V y phương trình có h nghi m x = −k 2π Ví d sin x = sin x + cos x ⇔ (k ∈ Z ) ⇔ sin x = sin x − cos x π  ⇔ sin x = sin  x −  4  π  ⇔ sin x = sin  x −  4   π  5 x =  x −  + k 2π   ⇔ (k ∈ Z)  π  5 x = π −  x −  4   π  x = − + k 2π  16 ⇔ x = π + k π  24  (k ∈ Z) π   x = + k 2π V y phương trình có h nghi m  x = π + k π  24  (k ∈ Z ) Trang Ví d cos x ⇔ sin x + − = 2 ⇔ sin x − cos x = sin x + sin x = sin x = cos x ⇔ tan x = ⇔ ⇔ x = arctan + kπ 1 ⇔ x = arctan + kπ 2 (k ∈ Z) (k ∈ Z) 1 V y phương trình có h nghi m x = arctan + kπ 2 Ví d sin x − cos x + 2sin x = ⇔ (k ∈ Z) sin x − cos x + sin 3x = 2 ⇔ sin π sin x − cos π cos x + sin x = π  ⇔ − cos  x +  + sin x = 3  π  ⇔ cos  x +  = sin 3x 3  π  π  ⇔ cos  x +  = cos  − x  3  2   π π  x + = − 3x + k 2π ⇔  x + π = 3x − π + k 2π   π kπ   x = 24 + ⇔ (k ∈ Z) 5π x = − kπ  12  Trang π kπ   x = 24 + V y phương trình có h nghi m   x = 5π − kπ   12 Ví d + tan x = 2 sin x (k ∈ Z) (1) π + kπ sin x V i i u ki n (1) ⇔ + = 2 sin x cos x i u ki n : cosx ≠ ⇔ x ≠ ⇔ cos x + sin x = 2 sin x.cos x π  ⇔ sin x  x +  = sin x 4  π  x = x + + k 2π  ⇔  x = π −  x + π  + k 2π    4   π  x = + k 2π (loaï ) i  (k ∈ Z) ⇔ π k 2π x = +   π k 2π ⇔x= + (k ∈ Z ) V y phương trình có m t h nghi m ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z) Trang Ví d sin x.cos3 x + cos3 x.sin x = sin x ⇔ sin x(4 cos3 x − 3cos x) + cos3 x(3sin x − 4sin x) = sin x ⇔ 4sin x.cos3 x − 3sin x.cos x + 3sin x.cos3 x − 4sin x.cos3 x = sin x ⇔ 3sin x.cos x(cos x − sin x) = sin x sin x.cos x = 4sin x ⇔ 3sin x = 4sin x ⇔ ⇔ 3sin x − 4sin x = ⇔ sin12 x = kπ ⇔x= (k ∈ Z) 12 V y phương trình có m t h nghi m x = kπ 12 (k ∈ Z) Ví d sin x cot x = (1) cos x kπ  5 x ≠ kπ x ≠ sin x ≠   i u ki n :  ⇔ ⇔ (k ∈ Z) π π kπ x ≠ + kπ cos x ≠  x ≠ +   18  cos x = cos x sin x ⇔ sin x.cos5 x = cos x.sin x ⇔ sin x − sin x = sin14 x − sin x (1) ⇔ sin x ⇔ sin14 x = sin x 14 x = x + k 2π ⇔ 14 x = π − x + k 2π 8 x = k 2π ⇔  20 x = π + k  x = ⇔ x =   kπ π kπ + 20 10 (k ∈ Z ) Trang  x = V y phương trình có h nghi m  x =   kπ π kπ + 20 10 ( k ∈ Z) III.BÀI T P NGH Gi i phương trình sau: 1) tan 3x − = 2π   2)sin  x −  = cos x   3) cos x − sin x = 4)2sin x − cos x = − 5) sin x + cos x = + sin x 6)2 tan x + cot x = + sin x sin x + cos x = (tan x + cot x) sin x 8) cos x − sin x = cos3 x 7) 1 + = sin x cos x sin x 10) cos10 x + cos x + 6cos3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 3x 11) tan x + cot x = 2(sin x + cos x) 9) cot x − tan x 12) = 16(1 + cos x) cos x Trang IV.HƯ NG D N VÀ ÁP S π kπ 1) +  7π k 2π 7π π  n n 2) + ;− + k 2π  Hướg daã : cos x = sin  − x   18 2   3) ± arc cos + kπ 4) π + k 2π ; −  2π + k 2π  Hướg dẫ : n n  π  −1 = sin  12  2 k 2π n ( Hướg dẫ : ĐK 1+ sinx ≠ , đưa pt ng 2(sin2x + cos x) = ) n  π  6) + kπ  Hướg daã : tanx + cotx = n n  sin x   5) − π − cos x   n n  Hướg daã : sin x =    + 7)Vô nghiệ m 8) π + kπ ; − π 16 n n ( Hướg dẫ : ĐK sin x ≠ 0,sin + x + cos x = − 2sin x.cos x ) kπ  π    Hướg dẫ : cos x − sin x =  x +   n n    9)Vô nghiệ ( Hướg dẫ : ĐK sin2x ≠ 0, sin x + cos x = − 2sin x cos x ) m n n 10) k 2π ( Hướg dẫ : chuyệ vế t nhâ tửchung,á dụ g côg thứ cos 3x = 4cos3 x − 3cos x ) n n n ñaë n p n n c k π π kπ   ; +  Hướg dẫ : Tìm ĐK, phương trình ⇔ n n = 2(sin2x + cos2x)   sin x  4cos x π kπ   12) +  Hướg dẫ : Viếvế i dướdạ g n n t trá i n , vế i dướdạ g 32 cos 2 x  phaû i n 16  sin x.cos x  11) π + Trang 10 PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC GI I PHƯƠNG TRÌNH IS PH N V … … I PHƯƠNG PHÁP GI I M c ích:nh m tr c bi u th c có b c hai mà không c n lu th a  x = sin α X2+Y2=1 t  α ∈ [0; 2π ]  y = cosα X2+Y2 = a2(a > 0) t {  x = asin α α ∈ [0; 2π ]   y = b sin α  π π  x = sin α α ∈[− ; ] x≤ t   x = cosα α ∈[0;π ]  π π x = m sin α α ∈[− ; ] x ≤ m t 2 x = m cos α α ∈[0; π ] [ [ π 3π α ∈ [0; ) ∪ [π ; ) cos α 2 m π 3π x≥ m ho c tốn có ch a x − m t x = α ∈ [0; ) ∪ [π ; ) cos α 2 N u không ràng bu c i u ki n cho bi n s tốn có ch a bi u th c x ≥ ho c tốn có ch a x + x − π π tx= t x= tan α, α ∈ (− ; ) ho c ch a 2 x + Μ t π π x = tan α, α ∈ (− ; ) 2 Trang 45 II VÍ D Ví d 1.Gi i phương trình − x = 4x3-3x (1) i u ki n − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ t x = cos α v i α ∈ [0; π ] ó th vào chương trình (1) ⇔ − cos α = cos3 α − 3cos α ⇔ sin α = cos3 α − 3cos α ⇔ sin α = cos3α π  ⇔ cos3α = cos  − α  2  π π kπ 3α = − π + k 2π α= + ⇔ [ 3α = α − π ⇔ + k 2π [ α=− π (k ∈ Z) + kπ π 5π 3π Do α ∈ [0; π ], k ∈ z nên α ∈{ ; ; } 8 π 3π 3π ⇔ x ∈ {cos ;cos ;cos } 8 − ⇔ x ∈ { + ;; − 2+ 2; } 2 Ví d 2.GI i phương trình: − cos α = x − + x − x 1− x ≥ x ≤1 i u ki n ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 − x2 ≥ x2 ≤ t x = cos α , α ∈ (0; π ) thay vào phương trình { (1) { (1) ⇔ − cos α = cos α − + cos α − cos α ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ α = cos 2α + cos α sin α α sin = cos 2α + cos α sin α α π sin = sin(2α + ) π 4Kπ 3α π α=− + = − + Kπ ⇔ 5π 3π 3π K π = + Kπ α= + 10 2sin [ Do α ∈ (0; π ), K ∈ Z nên α = [ (k ∈ Z) 3π 3π 10 − ⇔ x= cos = 10 10 Trang 46 Ví d 3.Gi i phương trình 8x(1-2x2)(8x4-8x2+1)=1 N u x > ho c x < (1) > ⇒ vơ nghi m x t x= cos α α ∈ [0; π ] , ó (1) (1) ⇔ cos α (1 − cos α )(8cos α − cos α +1) = ⇔ −8cos α cos 2α cos 4α = (2) Do sin α =o khơng nghi m c a phương trình nên nhân v c a (2) v i sin α ≠ thu c phương trình − sin 8α = sin α Kπ α= 8α = −α + K π ⇔ ⇔ π 2Kπ 8α = α + π + K π α= + 7 2π 4π 2π 8π π 3π 5π Do sin α ≠ nên α ∈ (0; π ) mà k ∈ Ζ ⇒ α ∈{ ; ; ; ; ; ; } 9 7 2π 4π 2π 8π π 3π 5π x ∈{cos ; cos ;cos ; cos ;cos ; cos ;cos } 9 7 [ [ Ví d Gi i phương trình + − x [ (1 − x)3 − (1 + x)3 ] = + (1 − x (1) { i u ki n t x= cos t − x ≥ 0,1 + x ≥ 1− x ≥ ⇔ -1 ≤ x ≤ t ∈ [0;1] ⇒ − sin t = sin t ó (1) ⇔ + sin t [ (1 − cos t )3 − (1 + cos t )3] = + sin t t t t t (sin + cos ) [ (2 sin )3 − (2 cos )3] = + sin t 2 2 t t t t ⇔ ( sin + cos )2 2(sin − cos3 ) = + sin t 2 2 t t t t t t ⇔ 2(sin + cos )2(sin + sin cos + cos ) = + sin t 2 2 2 t t ⇔ 2(sin + cos )(2 + sin t ) = + sin t 2 ⇔ − cos t = 1 ⇔ cos t = − ⇔ x=− ⇔ Trang 47 III BÀI T P NGH 3 1) x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) 2) x + x x −1 = 35 12 3) 64 x − 112 x + 56 x − = − x 2 4) x − 3x − = Trang 48 IV HƯ NG D N VÀ ÁP S 1) i u ki n −1 ≤ x ≤ π π t x= sin α ; α ∈ [− ; ] 2 (− x) = cos α = cos α 2 Phương trình ⇔ sin α + cos3 α = sin α cos α t ti p t= sin α + cos α ∈[− 2; 2] t −1 ⇒ sin α cos α = 2 t −1 t −1 Phương trình ⇔ t − = 2 ⇔ (t − 2)(t + − 1)(t + + 1) = • (t + + 1) = ⇒ t = −(1 + 2) • (t − 2) = • (t + − 1) = ⇒ x + − x = − ∉[− 2; 2] (lo i) π π ⇒ t = cos(α − ) = α ⇒ α = ⇒ x = 4 (1 − 2) − x ≥ { − x = [(1 − ⇔ { x ≤ 1− { ⇔ x − (1 − 2) x + (1 − 2) = D a vào di u ki n ⇒ x = 2) i u ki n x > 2) − x] x ≤ 1− x= 1− ± 2 −1 (1 − 2) − 2 − π (1) α ∈ (0; ) cos α 1 35 (1) ⇔ + = cos α cos α sin α 12 cos α 1 ⇔ + cos α sin α t x= Phương trình (2)b ng cách qui = 35 12 (2) ng m u s t t = sin α + cos α ∈ (1; 2] 12 Ta có: t = ⇒ sin α cos α = 5 25 ⇒ = cos α sin α 12 { Trang 49 1 35 + = ⇒ cos α sin α 12 1 25 − = cos α sin α 12 5 x= = ⇒ cos α ⇔ 5 = x= cos α 4 3) Bi n i cos 7α = 64 cos α − 112 cos α + 56 cos3 α − cos α t x = cos t t ∈ (0; π ) [ 64 cos t − 112 cos t + 56 cos t − = − cos t Nhân hai v v i cos t ≠ ⇒ cos 7t = sin 2t ⇔ 4) [ ⇔ [ 7t = π − 2t + 2kπ 7t = 2t − π + kπ ⇔ [ kπ 18 π kπ t=− + 10 t= π + (k ∈ Z ) π 5π 9π 13π 17π 7π 3π t ∈ [0; π ] nên t ∈ { ; ; ; ; ; ; } 18 18 18 18 18 18 10 π 9π Vì cos t ≠ nên t ≠ hay t ≠ 18 π 5π 13π 17π 3π 7π S = {cos ;cos ;cos ; cos ; cos ; cos } 18 18 18 18 10 10 t cos α = x (α ∈ [0; x]) (1) Phương trình (1) ⇔ cos3 α − 3cos α = ⇔ cos 3α = k 2π 18 π k 2π α=− + 18 α= π + [ ⇔ k 2π 18 π k 2π α=− + 18 α= π + π kπ ) ⇔ x = cos ( + 18 Trang 50 TR C NGHI M PH N VI … I … − cos x sin x = 2sin x + cos x A Vô nghi m B X= (−1) k C X= π π + kπ + k 2π π + k 2π (k ∈ Z ) Cos2x − (2m + 1)cosx + m + = 0.Tìm m i giá tr c a m π 3π nghi m x thu c [ ; ] 2 A −2 < m < −1 B −1 ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D m > − sin x Các iêm mà hàm s y= không xác nh là: + cos x A x = k 2π D X= π phương trình có k 2π B x= C x = π + k 2π π + k 2π C p hàm s sau ây có t p xác A y = cos x y = cot x + sin x B y = tan x y = cot x cos x C y = tan x y = sin x D y = tan x y = cot x D x=− Nghi m c a phương trình sin(2 x + π )= nh: là: Trang 51 π + k 2π (k ∈ Z ) A x= B x = kπ , x = π C + kπ (k ∈ Ζ) x = kπ ( k ∈ Z ) D x= π + kπ (k ∈ Ζ) (k ∈ Ζ) Nghi m c a phương trình cosx+sinx = −1 là: A x = k 2π (k ∈ Z ) B x = kπ (k ∈ Z ) C x=− π + kπ ( k ∈ Z ) D x = π + k 2π , x = − A x = (−1) m B x= C π + k 2π (k ∈ Z ) sin10 x + cos10 x sin x + cos x Gi i phương trình: = 4 cos x + sin x x = mπ π + mπ m (m ∈ Z) π + mπ Gi i phương trình:cosx + sinx = −1 : D x= A x = (2k + 1) B x = k 2π C x = (2k + 1)π , x = − π π π + k 2π (k ∈ Z) + kπ Gi i tanx + cotx = −2 : A x = π + k 2π D x= B x= π + kπ (k ∈ Z) Trang 52 C x= π + k 2π π + kπ 10 Các h nghi m c a phương trình sin15 x + cos 40 x = là:  π  x = + k2π A   x = k 'π  D x=− B  π  x = + kπ   x = k '2π  C  π  x = + (2κ +1)π   x = 2k ' π  D 11 12 13 14 K t qu khác cos x Xét phương trình = o n [0;3π ) : 2sin x − A Có nghi m B Có nghi m C Có nghi m D T t c u sai 5sin x cos x Gi i 6sin x − 2cos3 x = : cos x A Vô nghi m B x = kπ C x = + k 2π ( k ∈ Z) D x = k 2π cos x − cos x Thu g n : sin x − sin x A − tan4x B tan4x C tan3x D − tan4x 5sin x cos x Gi i phương trình 6sin x − 2cos 3x = 2cos x Trang 53 A x= π + kπ π + k 2π C x = k 2π D Vô nghi m 15 Gi i sin 2( x − π ) − sin(3 x − π ) = sin x : B x= A x = (2k + 1) B x=− C x = kπ x = 17 18 19 kπ + κπ π + k 2π + κ2π Phương trình cos x + 3cos x + = có nghi m thu c [0; 2π ] là: A B C D Trong phương trình sau phương trình vơ nghi m: A tan x + cot x = B sin x + cos x = C sin x = cos x D tan x = cot x Phương trình 3sin x − cos x = 5m vô nghi m khi: A m≤ B m< C m> D m≤ M t nghi m c a phương trình sin x + sin 2 x + sin x = là: D 16 π π A B C D x= π π π π Trang 54 x π 20 S nghi m c a phương trình cos( + ) =0thu c kho ng (π ;8π ) là: A B C D 21 S nghi m c a phươgn trình sin x = thu c o n (2π ; 4π ) là: cos x + A B C D 22 Gi i 4cos x − 2cos x − cos x = π A x= B x=− C x=− + kπ , x = k 2π π π + kπ + k 2π D x = kπ 23 Gi i cos3 x = cos3 x cos3 x + sin x sin x kπ A x = B x=± π π + kπ + k 2π kπ D x = 24 cos x − (2m + 1) cos x + m + = Tìm giá tr m ∈ R phương trình có π 3π nghi m x ∈ [ ; ] 2 A −1 ≤ m ≤ B m > C -2 < m < D ≤ m ≤ 25 nh m phương trình sin x + m cos x = vô nghi m: C x= Trang 55 A < m < B m > C m < D m ∈ ∅ 26 nh m phương trình sau có nghi m: sin x + cos x = m : A − ≤ m ≤ B −2 < m < − C