Nghiên cứu hệ thống nhận dạng điều khiển

Nguyễn Doãn Phước & Phan Xuân Minh NHẬN DẠNG H Ệ THỐNG Đ I ỀU KHIỂN (IN LẦN THỨ HAI, CÓ SỬA ĐỔI VÀ BỔ SUNG) NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI ( 2005) Author: Nguyen Doan Phuoc Assoc Prof of Department of Automatic Control, Hanoi University of Technology Phan Xuan Minh Assoc Prof of Department of Automatic Control, Hanoi University of Technology Title: Identìication Control Systems This book aims to provide basic knowledges of systems modelling such as modell−estimation, idetification K Many examples are given in the book to illustrate the theory This book is the product of several courses given by the authors at the Hanoi University of Technology (HUT) It is written for control engineering students and master students in Universities as a course− and self study textbook Chịu trách nhiệm xuất bản: PGS TS Tơ Đăng Hải Biên tập: Nguyễn Đăng Trình bày chế bản: Tác giả Vẽ bìa: Trần Thắng In 1000 khổ 16×24 cm Xưởng in NXB Văn hóa Dân tộc Quyết định xuất số 75−2005/CXB/55−02/KHKT In xong nộp lưu chiểu tháng 9−2005 Lời nói đầu Nhận dạng hệ thống công việc phải thực giải toán Điều khiển Tự động Lý đơn giản khơng thể phân tích, tổng hợp hệ thống khơng có mơ hình tốn học mơ tả hệ thống Trong q trình xây dựng mơ hình hệ thống phương diện lý thuyết người ta thường khảo sát ảnh hưởng môi trường đến tính động học hệ thống tác động qua lại bên hệ thống cách xác tuyệt đối Rất nhiều yếu tố bị bỏ qua xem xét đến tác động ngẫu nhiên Bởi vậy, nói cách chặt chẽ hiểu biết lý thuyết ban đầu hệ thống giúp người ta khoanh vùng lớp mơ hình thích hợp Để có mơ hình cụ thể có chất lượng phù hợp với tốn điều khiển đặt lớp mơ hình thích hợp phải sử dụng phương pháp nhận dạng Thời điểm đời chuyên ngành Nhận dạng xem vào khoảng cuối thập niên 50 Tuy đời muộn Nhận dạng phát triển nhanh có thành tựu vượt bậc Nguyên nhân phát triển vuợt bậc phần từ u cầu thực tế, song có lẽ phần nhờ có hỗ trợ tích cực ngành khoa học liên quan, đặc biệt Xử lý tín hiệu Tin học Sự phát triển Nhận dạng lĩnh vực Điều khiển tự động từ năm 1960 đến chia làm ba giai đoạn phát triển sau: − Giai đoạn khoảng từ năm 1960 đến 1975 đánh dấu nhận dạng mơ hình khơng tham số cho đối tượng điều khiển tuyến tính mà trọng tâm chủ yếu thiết lập hàm trọng lượng hay hàm đặc tính tần biên−pha dạng dãy giá trị (phức) Kiến thức lý thuyết cần thiết cho giai đoạn phần lớn xây dựng sở lý thuyết hàm phức phân tích phổ tín hiệu − Giai đoạn hai đặc trưng đời lớp mô hình động liên tục rời rạc có tham số gọi giai đoạn nhận dạng tham số mơ hình Thơng tin lý thuyết ban đầu hệ thống v ừa đủ để người ta lựa chọn bậc (hay cấu trúc) cho mơ hình liên tục rời rạc Nhiệm vụ nhận dạng giai đoạn xác định giá trị tham số mơ hình với hướng nghiên cứu tập trung xét tính hội tụ phương pháp ảnh hưởng nhiễu vào kết − Giai đoạn ba khoảng từ năm 1990 trở lại đánh dấu nhận dạng mô hình động học liên tục phi tuyến nhận dạng mơ hình tham số cho hệ nhiều chiều, hướng nghiên cứu xét tính nhận dạng hệ nhiều chiều Dần dần, giai đoạn người ta chuyển hướng vào nhận dạng hệ thống suy biến (singular systems) Trong phương pháp nhận dạng hệ thống dùng rộng rãi, chúng tơi chọn lọc giới thiệu vài phương pháp đặc trưng làm đại diện Phương hướng chọn lựa từ mơ hình khơng tham số với cơng cụ phân tích phổ tín hiệu (chương 2) để làm cho công việc nhận dạng tham số mơ hình liên tục tuyến tính mơ hình rời rạc tuyến tính sau (chương chương 4) Như sách có nội dung chủ yếu giới thiệu phương pháp nhận dạng hình thành giai đoạn Một phần lý phương pháp trở thành chuẩn mực cài đặt chương trình tiện dụng MATLAB giúp bạn đọc sử dụng chúng để kiểm nghiệm lại điều đọc Phần phương pháp giai đoạn chưa có nhiều sức thuyết phục ứng dụng mong muốn Cuốn sách viết với mục đích cung cấp thêm tài liệu hỗ trợ việc tự học cho sinh viên ngành Điều khiển Tự động học môn Lý thuyết Điều khiển nâng cao, sinh viên ngành Điện, ngành khác có liên quan tới việc xây dựng mơ hình hệ thống Ngồi ra, sách cịn có mục đích xa giới thiệu với người công tác lĩnh vực phân tích tổng hợp hệ thống kỹ thuật tài liệu tra cứu, tham khảo công việc xây dựng mơ hình hệ thống Mặc dù, kể từ lần xuất vào năm 2001, sách Nhận dạng hệ thống điều khiển tái nhiều lần, song tránh khỏi cịn thiếu sót Để đạt chất lượng hoàn thiện hơn, tác giả mong nhận góp ý sửa đổi hay bổ sung thêm từ phía bạn đọc Thư góp ý xin gửi về: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Điện, Bộ môn Điều khiển Tự động Số Đại Cồ Việt C9/ 305− − 306 Hà Nội, ngày 28.5.2005 Các tác giả Mục lục Nhập môn 1.1 Tại phải nhận dạng 1.1.1 Định nghĩa .2 1.1.2 Lớp mơ hình thích hợp 1.1.3 Mô tả sai lệch mô hình đối tượng thực 1.2 Phân lớp toán nhận dạng 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Các tham số trình ngẫu nhiên 1.3.3 Đại lượng đánh giá lượng thơng tin có nguồn phát tín hiệu ngẫu nhiên .2 Nhận dạng mơ hình khơng tham số nhờ phân tích phổ tín hiệu 2.1 Tốn tử Fourier rời rạc (DFT) 2.1.1 Hàm mở rộng dirac 2.1.2 Mơ hình hóa q trình rời rạc tín hiệu 2.1.3 ảnh Fourier hàm mở rộng 2.1.4 Quan hệ X(jω) Xa(jω) .2 2.1.5 Hiệu ứng trùng phổ định lý Shannon 2.1.6 Hiệu ứng rò rỉ (leakage) kỹ thuật hàm cửa sổ 2.1.7 Kết luận DFT thuật toán FFT 2.1.8 Toán tử DFT ngược .2 2.2 Nhận dạng mật độ phổ tín hiệu 2.2.1 Nhận dạng hàm tương quan 2.2.2 Nhận dạng mật độ phổ 2.3 Nhận dạng mơ hình khơng tham số 2.3.1 Xác định đường đặc tính tần biên pha 2.3.2 Xác định hàm trọng lượng từ đường đặc tính tần Câu hỏi ôn tập tập Nhận dạng mơ hình liên tục, tuyến tính có tham số từ mơ hình khơng tham số 3.1 Xác định tham số mơ hình từ hàm q độ 3.1.1 Những kết luận tổng quát 3.1.2 Xác định tham số mơ hình qn tính bậc 3.1.3 Xác định tham số cho mô hình tích phân qn tính 3.1.4 Xác định tham số mơ hình qn tính bậc cao 3.1.5 Xác định tham số mơ hình Lead/Lag 3.1.6 Xác định tham số mơ hình đối tượng dao động bậc hai tắt dần 3.2 Xác định tham số mơ hình từ giá trị G(jnΩ Ωλ) có 3.2.1 Thuật tốn Cholesky 3.2.2 Nhận dạng tham số mơ hình 3.2.3 Nhận dạng lặp tham số mô hình Câu hỏi ôn tập tập Nhận dạng tham số mơ hình ARMA 4.1 Đặt vấn đề 4.1.1 Phát biểu tốn nhận dạng mơ hình ARMA 4.1.2 Chuyển thành toán tương đương có hệ số khuếch đại mơ hình 4.2 Nhận dạng chủ động tham số mơ hình AR 4.2.1 Phương pháp Yule−Walker 4.2.2 Sai số dự báo tuyến tính phương pháp Yule−Walker 4.2.3 Giải phương trình Yule−Walker nhờ thuật tốn Levinson 4.2.4 Phương pháp dự báo điều hịa thuật tốn Burg 4.2.5 Kết luận 4.3 Nhận dạng chủ động tham số mơ hình MA 4.3.1 Thay mơ hình MA mơ hình AR tương đương 4.3.2 Thuật toán nhận dạng cho trường hợp s=2nb 4.3.3 Thuật toán nhận dạng cho trường hợp s>2nb 4.4 Nhận dạng chủ động tham số mơ hình ARMA 4.4.1 Nhận dạng tham số AR mơ hình ARMA 4.4.2 Nhận dạng tham số MA mơ hình ARMA 4.4.3 Thuật tốn nhận dạng tham số mơ hình ARMA 4.5 Nhận dạng bị động tham số mơ hình ARMA 4.5.1 Nhận dạng bị động tín hiệu vào tiền định 4.5.2 Nhận dạng bị động với tín hiệu vào ngẫu nhiên 4.5.3 Chuyển toán nhận dạng chủ động Câu hỏi ôn tập tập 2 Những kỹ thuật bổ trợ 5.1 DFT thời gian ngắn (SFT) 5.1.1 Tư tưởng phương pháp 5.1.2 Thuật toán SFT với hàm cửa sổ Bartlett 5.1.3 Thuật toán SFT với hàm cửa sổ 5.1.4 ứng dụng để nhận dạng mơ hình có tham số thay đổi .2 5.2 Nội suy 5.2.1 Nội suy cổ điển 5.2.2 Nội suy spline 5.2.3 Nội suy B−spline .2 5.2.4 Sai số phổ nội suy B−spline 5.3 Ngoại suy 5.3.1 Cực đại entropie loại 5.3.2 Cực đại entropie loại 5.4 Lý thuyết hàm mở rộng 5.4.1 Định nghĩa .2 5.4.2 Tính chất 5.4.3 Toán tử Fourier mở rộng Câu hỏi ôn tập tập Tài liệu tham khảo Nhập môn 1.1 Tại phải nhận dạng Xét toán điều khiển theo nguyên tắc phản hồi đầu hình 1.1 Muốn tổng hợp điều khiển cho đối tượng để hệ kín có chất lượng mong muốn trước tiên cần phải hiểu biết đối tượng, tức cần phải có mơ hình tốn học mơ tả đối tượng Không thể điều khiển đối tượng khơng hiểu biết hiểu sai lệch Kết tổng hợp điều khiển phụ thuộc nhiều vào mơ hình mơ tả đối tượng Mơ hình xác, hiệu suất cơng việc cao w Hình 1.1: Điều khiển theo nguyên tắc phản hồi đầu e Bộ điều khiển u Đối tượng y điều khiển Việc xây dựng mơ hình cho đối tượng gọi mơ hình hóa Người ta thường phân chia phương pháp mơ hình hóa làm hai loại: − phương pháp lý thuyết − phương pháp thực nghiệm Phương pháp lý thuyết phương pháp thiết lập mô hình dựa định luật có sẵn quan hệ vật lý bên quan hệ giao tiếp với mơi trường bên ngồi đối tượng Các quan hệ mơ tả theo quy luật lý−hóa, quy luật cân bằng, K dạng phương trình tốn học Trong trường hợp mà hiểu biết quy luật giao tiếp bên đối tượng mối quan hệ đối tượng với mơi trường bên ngồi khơng đầy đủ để xây dựng mơ hình hồn chỉnh, từ cho biết thơng tin ban đầu dạng mơ hình người ta phải áp dụng phương pháp thực nghiệm để hồn thiện nốt việc xây dựng mơ hình đối tượng sở quan sát tín hiệu vào u(t) y(t) đối tượng cho mơ hình thu phương pháp thực nghiệm thỏa mãn yêu cầu phương pháp lý thuyết đề Phương pháp thực nghiệm gọi nhận dạng hệ thống điều khiển Như vậy, khái niệm nhận dạng hệ thống điều khiển hiểu bổ sung cho việc mơ hình hóa đối tượng mà lượng thông tin ban đầu đối tượng điều khiển không đầy đủ Các thơng tin ban đầu có tên gọi chung thơng tin A−priori Ví dụ 1: Chẳng hạn ta phải xây dựng mơ hình cho đối tượng xe chuyển hàng Tín hiệu đầu vào tác động để đẩy xe lực u(t) Dưới tác động lực u(t) xe quãng đường ký hiệu y(t) my dy u(t) m Hình 1.2: Xây dựng mơ hình cho đối tượng xe chuyển hàng y(t) Khi chuyển động có hai lực cản trở chuyển động xe (bỏ qua ma sát tĩnh) Thứ lực ma sát động xác định bởi: Fs = d dy , d hệ số ma sát động dt thứ hai lực cản trở thay đổi tốc độ Fgt = m d y dt , m khối lượng xe Theo nguyên lý cân lực ta có mơ hình mơ tả đối tượng, tức mơ tả quan hệ tín hiệu vào u(t) tín hiệu y(t) sau: m d2 y dt k = 10 +d dy =u dt d T= ⇒ m d G(s) = k s(1 + Ts ) (1.1a) công thức xác định hệ số λm Ta đến thuật toán nhận dạng mật độ phổ Sx(ω) x(t) từ dãy {xk}, k = 0, 1, K , N−1 theo nguyên tắc cực đại entropie loại sau: 1) Sử dụng hàm spec() giới thiệu chương để xác định ~ Sx ( nΩλ ) n=0,1, K , λ−1 với λ=2N−1 số Lag M=N−1 2) Tính C(nΩλ) = ln S~x ( nΩλ ) , n=0,1, K , λ−1 3) Chuyển ngược dãy {C(nΩλ)} nhờ hàm invdt() để có {cm}, m=− N+1, K , N−1 4) Xác định ⎧1 + c0 m = ⎪ λm = ⎨ c m m = 1, L , N − ⎪λ ⎩ − m m < 5) Tính Sx( ω) theo công thức (5.44) Tiếp tục, theo định lý 5.3 cho mật độ phổ Sx(ω), tức là: Sx(ω) = Ta X a( jω ) p với ⎧ N nÕu nhËn d¹ng bias rx ( mTa ) p = ⎪⎨ ⎪⎩ N − m nÕu nhËn d¹ng unbias rx (mTa ) N Wu đưa tài liệu [18] mối quan hệ cm xk x0 > sau: cm xk m = ⎧ln x0 ⎪ m − kc x = ⎨ xm k m −k m > ⎪ x − ∑ mx ⎩ k=0 ⎧e c0 k = ⎪ k −1 mc x =⎨ m k− m k > ⎪c kx + ∑ k m=0 ⎩ Sử dụng quan hệ ta có thuật toán ngoại suy xk , k ≥N gồm bước: 1) Xác định ~ S x ( nΩ λ ) n=0,1, K , λ−1 nhờ hàm spec()với λ =2N−1 số Lag M=N−1 233 2) Tính C(nΩλ ) = ln S~x (nΩλ ) , n=0,1, K , λ−1 chuyển ngược dãy {C(nΩλ)} sang miền thời gian nhờ hàm invdt() để có {cm}, m=− N+1, K , N−1 3) Ngoại suy xk với k = N, N+1, K theo công thức k −1 xk = ∑ m=0 mcm xk− m k với cm=0 m ≥N Lý thuyết hàm mở rộng 5.4 5.4.1 Định nghĩa Ngay đầu chương ta khẳng định nhờ có lý thuyết hàm mở rộng mà chất tốn học "hàm số" dirac ฀(t) hiểu cách chặt chẽ tổng quát Khái niệm "hàm số" ฀(t) không định nghĩa tốn học kinh điển (nên viết dấu ngoặc kép) Thực chất ฀(t) phiếm hàm (functional) liên tục, tuyến tính D฀C ฀ (R), hay cịn gọi hàm mở rộng, C฀ (R) ký hiệu tập hợp hàm thực liên tục, có đạo hàm vơ hạn lần R D tập C฀ (R) gồm hàm có thời gian sống hữu hạn, tức hàm có supp ϕ(t)={ t ∈R⏐ ϕ (t) ≠ 0} giới nội Ví dụ hàm ⎧ ⎛ ⎞ ⎟ t ≤ b ⎪⎪a exp⎜⎜ 2⎟ ϕ(t ) = ⎨ ⎝t − b ⎠ ⎪ t > b ⎪⎩0 (5.46) phần tử D Ví dụ chứng tỏ D khơng rỗng Theo thuật ngữ kỹ thuật hàm mở rộng xem q trình biến đổi tín hiệu ϕ(t)∈D thành số Định nghĩa 5.1: Gọi D tập C฀ (R) gồm hàm có thời gian sống hữu hạn Khi phiếm hàm liên tục, tuyến tính r(t): D → R gọi hàm mở rộng hội tụ ϕn(t)→ ϕ(t) dãy { ϕn(t)} D thỏa mãn: 234 a) với k ∈N tùy ý hợp tất k miền thời gian sống suppϕ n(t) hàm ϕ n(t); n =1,2, , k giới nội R, b) ϕ n(t)→ϕ(t) ⇔ dm dtm dm dt m ϕn(t) → dm dtm ϕ(t) ; ∀m nguyên m ≥ 0, ký hiệu đạo hàm bậc m hàm thường (hội tụ đều), Tập hợp tất phiếm hàm liên tục, tuyến tính D ký hiệu D' (hay không gian đối ngẫu) Khái niệm hội tụ D cần thiết, có định nghĩa liên tục phiếm hàm D Định nghĩa 5.2: Một hàm mở rộng r(t)฀ D' có phép biến đổi giống tích phân ( ) ∞ r t ϕ( t ) ⎯⎯ ⎯→ ∫ r( t )ϕ(t )dt ; ∀ϕ(t ) ∈ D (5.47) −∞ gọi hàm mở rộng (regular) Chú ý dấu tích phân cơng thức (5.47) có ý nghĩa hình thức Nó sử dụng để nói r(t) có phép biến đổi, phép cộng, phép lấy đạo hàm K , giống phép biến đổi tích phân, thân khơng phải tích phân theo nghĩa tốn học thơng thường tích phân Riemann hay tích phân Lebesgue Xét hàm Heaviside 1(t) Với tích phân ∞ ∞ −∞ ∫ 1( t )ϕ ( t )dt = ∫ ϕ ( t ) < ∞ ; ∀ϕ ( t ) ∈ D rõ ràng hàm Heaviside 1(t) hàm mở rộng Từ suy hàm thực khác, liên tục đoạn bị chặn, xem hàm mở rộng đều, tức thuộc D' ∞ Định nghĩa 5.3: Một hàm mở rộng r(t), ∫ r(t )ϕ ( t )dt = −∞ 235 a) với ϕ(t)=0 có a ≤ t ≤ b gọi có miền xác định a ≤ t ≤ b (đồng ngồi khoảng kín [a , b]), b) với ϕ (t)=0 có t ∉ [ a , b] gọi đồng khoảng kín [a , b] Định nghĩa 5.4: Hàm mở rộng dirac ฀(t) hàm mở rộng thỏa mãn tính chất ∞ ∫ δ ( t )ϕ ( t ) dt −∞ = ϕ (0) , ∀ϕ(t)∈D (5.48) Từ sau hàm mở rộng dirac ฀(t) gọi đơn giản hàm delta Với hàm ϕ(t)∈D có ϕ(0) = ∞ ∫ δ ( t )ϕ ( t ) dt −∞ = ϕ(0) = 0, mà hàm delta, theo định nghĩa 5.4, có thời gian sống hữu hạn (miền xác định hàm delta chứa có điểm 0) Định nghĩa 5.5: Đạo hàm dr dt hàm mở rộng r(t) hàm mở rộng D' thỏa mãn ∞ dr( t) ϕ ( t )dt − ∞ dt ∫ =− ∞ ∫ r(t ) -∞ d ϕ( t) dt dt , ∀ ϕ(t)∈D (5.49) Với định nghĩa hàm liên tục đoạn bị chặn có đạo hàm (cịn gọi đạo hàm tổng quát, hay đạo hàm Sobolew), theo ý nghĩa đạo hàm kinh điển, đạo hàm chúng khơng có khơng xác định hay nhiều điểm Ví dụ : Theo định nghĩa 5.5 từ ∞ & ∫ 1(t )ϕ ( t )dt −∞ ∞ = − ∫ 1( t )ϕ& ( t )dt = − ϕ ( t ) ∞0 =ϕ (0) = ∞ ∫ δ (t )ϕ ( t ) dt −∞ , ∀ϕ(t)∈D ta có đạo hàm (tổng qt) hàm Heaviside hàm delta ฀(t) Tiếp theo, đạo hàm δ(&t ) hàm delta có giá trị 236 ∞ & ∫ δ(t )ϕ( t )dt = −∞ 5.4.2 − ∞ ο ∫ δ (t )ϕ& ( t )dt = −ϕ&(0 ) −∞ Tính chất Do khn khổ áp dụng vào kỹ thuật thường làm việc với hàm mở rộng đều, nên từ sau, hàm mở rộng gọi ngắn gọn hàm mở rộng Từ định nghĩa 5.2 có: a) Tổng hai hàm mở rộng r(t) = r1 (t)+r2(t) hàm mở rộng xác định phép tính tổng tích phân, tức ∞ ∫ r(t )ϕ (t )dt −∞ = ∞ ∞ −∞ -∞ ∫ r1 (t )ϕ (t )dt + ∫ r2 (t )ϕ (t )dt với ϕ (t)∈D b) Phép tịnh tiến khoảng thời gian τ trục thời gian hàm mở rộng r(t) cho hàm mở rộng r(t−τ) biểu diễn thành ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ r( t − τ )ϕ ( t )dt = ∫ r( t )ϕ( t + τ)dt c) Hàm mở rộng r(at), a∈R xác định từ r(t) nhờ phép biến đổi ∞ ∫ r( at )ϕ( t )dt = −∞ ∞ ⎛t⎞ ∫ r( t) ϕ⎜ ⎟dt , a −∞ ⎝a⎠ ∀ϕ(t)∈D d) Tích r(t)γ(t) hàm mở rộng r(t) với hàm thường γ (t)∈C฀ (R) hàm mở rộng xác định ∞ ∫ [r( t )γ ( t )]ϕ( t )dt −∞ = ∞ ∫ r( t )[γ ( t )ϕ ( t ) ]dt (5.50a) −∞ Vế phải hoàn toàn có nghĩa, γ(t) ϕ(t)∈D e) Nếu cơng thức (5.50a) ta thay hàm delta δ(t−Ta) vào vị trí hàm mở rộng r(t) tín hiệu x(t), liên tục Ta vào vị trí γ (t) có cơng thức lấy giá trị tín hiệu x(t) thời điểm Ta sau: ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ [δ ( t − T a )x(t )]ϕ (t )dt = x (Ta )ϕ (Ta ) = x( Ta ) ∫ δ ( t − Ta )ϕ ( t ) dt (5.50b) 237 Tín hiệu x(t) khơng cần phải có đạo hàm vơ hạn lần γ(t), mà cần hàm thường liên tục Ta đủ Sau này, mà khái niệm tín hiệu định nghĩa cách rõ ràng nhầm lẫn tín hiệu với hàm mở rộng hồn tồn bị loại bỏ cơng thức (5.50b) viết ngắn gọn thành x(t )δ ( t − Ta ) = x(Ta )δ ( t − Ta ) (5.50c) Ví dụ 1: Để làm quen với cách viết này, ta thử tính giá trị tích x (t ) dδ( t) dt Trước hết, theo định nghĩa 5.5 đạo hàm hàm mở rộng (đều) ∞ ∫ x( t) −∞ ∞ ∫ δ ( t) − −∞ dδ ( t) ϕ (t )dt dt =− ∞ ∫ δ ( t) −∞ dx (t )ϕ (t ) dt = dt ∞ dϕ ( t) dx (t ) ϕ (t )dt − ∫ δ (t ) x(t ) dt dt dt −∞ Từ đó, với định nghĩa 5.4, có ∞ dx(0 ) dϕ (0 ) d δ (t ) ⎤ ⎡ ϕ (0 ) − x (0 ) ϕ ( t) dt = − ∫ ⎢ x( t ) dt dt dt ⎥⎦ −∞ ⎣ =− ∞ dδ ( t) dx(0 ) ∞ ϕ (t )dt ∫ δ ( t)ϕ( t) dt + x(0 ) ∫ dt − ∞ − ∞ dt cuối cùng, theo cách viết gọn (5.50c) x( t ) d δ (t ) dδ (t) dx(0 ) δ ( t) + x(0 ) =− dt dt dt (5.50d) Từ công thức (5.5d), với x(t)=t, có phương trình lý thú sau: t d δ ( t) = −δ ( t ) dt (5.50e) Ví dụ 2: Gọi r(t) hàm mở rộng, tồn ảnh Laplace R(s), R( s) = ∞ ∫ r( t)e − st dt ~ R( s) −∞ Vậy từ định nghĩa 5.4 có 238 dr( t) dt đạo hàm Giả sử tiếp chúng, tức ~ R( s) = ∞ ∫ −∞ dr(t ) − st e dt dt ~ R( s) ∞ ⎡ d ∞ ⎤ dr (t ) − st ⎤ e dt⎥ϕ( s) ds = − ∫ r( t)⎢ ϕ( s)e −st ds⎥ dt ∫ ⎢⎣ dt −∞ ⎥⎦ ⎥⎦ −∞ − ∞ ⎢⎣ − ∞ dt ∞ ⎡ ∞ = ∫⎢∫ ⎡ ∞ ⎤ −st ⎢s ∫ r (t )e dt ⎥ϕ (s )ds = ⎥⎦ −∞ ⎢⎣ −∞ ∞ =∫ ο sR(s) f) Cho trước hai hàm mở rộng r1 (t) r 2(t) Tích chập r1(t)*r2 (t) chúng hiểu ∞ ⎡∞ ⎤ ∫ [r1 ( t ) ∗ r2 ( t )]ϕ ( t )dt = ∫ r1 ( t )⎢ ∫ r2 (τ )ϕ ( t + τ )dτ ⎥ dt −∞ −∞ ⎣− ∞ ⎦ ∞ (5.51) Tuy nhiên, cần phải xét xem tích phân bên phải (5.51) có nghĩa (tức tích phân có tồn hay khơng?, theo nghĩa hàm mở rộng tích chập hàm mở rộng) Nói cách khác phải xét xem, có ∞ ∫ r2 (τ )ϕ ( t + τ ) dτ −∞ ∈D Căn theo định nghĩa 5.3, có điều kiện này, tồn miền giới nội cho r2(t) đồng ngồi miền đó, hay r2 (t) có thời gian sống hữu hạn Ngồi ra, theo định nghĩa 5.2 tích chập có tính giao hốn r1(t)*r2(t) = r 2(t)*r 1(t), tích chập hai hàm mở rộng hàm mở rộng, hai hàm mở rộng có thời gian sống hữu hạn Cho hàm mở rộng r(t) Vì hàm delta có thời gian sống hữu hạn nên giá trị tích chập r(t)*δ(t) hàm mở rộng ∞ ⎡∞ ⎤ ∫ r( t) ⎢ ∫ δ (τ )ϕ( t + τ ) dτ ⎥ dt = ∫ r(t )ϕ ( t ) dt −∞ −∞ ⎣− ∞ ⎦ ∞ , ∀ϕ(t)∈D (5.52a) nói cách khác r(t)*δ(t)= δ(t)*r(t) = r(t) ( Như vậy, không gian D' với quan hệ tích chập có δ(t) phần tử đơn vị Cũng từ công thức (5.51) dễ dàng chứng minh r(t)*δ(t−t0) = r(t−t 0) ( 239 g) Khái niệm giới hạn dãy hàm mở rộng xây dựng thơng qua dấu tích phân Giả sử có D' dãy hàm mở rộng {rn(t)} hội tụ tới r(t), tức rn(t) → r(t) n → ∞, hội tụ hiểu theo nghĩa ∞ ∞ lim ∫ rn (t )ϕ (t )dt ∫ r( t )ϕ ( t )dt , n→∞− ∞ −∞ ∀ϕ(t)∈D (5.53) (hội tụ đều) Nhớ đến định lý Steinhaus: "Nếu E không gian Banach, F không gian chuẩn Tn : E → F dãy ánh xạ liên tục tuyến tính thoả mãn lim Tn x = Tx với x∈E T liên n→ ∞ tục, tuyến tính", có r(t)∈D', hay r(t) hàm mở rộng 5.4.3 Toán tử Fourier mở rộng mục 5.4.1 5.4.2 ta đề cập đến khái niệm hàm mở rộng từ định nghĩa, tính chất, phép biến đổi xây dựng giả thiết chúng Những khái niệm hoàn toàn xây dựng cách tương tự cho không gian R n, tức với hàm ϕ ∈C∞ (Rn) có thời gian sống hữu hạn Tuy nhiên, để áp dụng chúng vào việc mơ hình hóa phân tích hệ thống, phục vụ điều khiển kỹ thuật miền phức (nhất hệ suy biến - singular systems), cịn thiếu khái niệm ảnh Fourier hàm mở rộng mà vài tài liệu khác gọi Toán tử Fourier mở rộng Cho trước hàm mở rộng r(t) Giả sử tồn R(jω) ảnh Fourier r(t) Nếu R(jω) hàm mở rộng với hàm ϕ(ω)∈D phải có ∞ ∫ R( jω )ϕ ( ω ) dω −∞ = ⎤ ⎡∞ − j ωt dt ϕ (ω ) dω ∫ ⎢ ∫ r( t) e ⎥ − ∞ ⎣− ∞ ⎦ ∞ = ∞ ∫ r( t )φ ( jt ) dt , −∞ (5.54a) φ (jt) ảnh Fourier hàm số ϕ(ω) phải thuộc D, tức φ(jt) = 240 ∞ ∫ϕ (ω ) e− jωt dω −∞ ∈ D (5.54b) Chú ý dấu tích phân cơng thức (5.54b) tích phân dấu ngoặc vng cơng thức (5.54a) tích phân tốn tử Fourier liên tục tích phân tốn học thơng thường (tích phân Riemann), tích phân cịn lại ký hiệu hàm mở rộng Định nghĩa rõ ràng vậy, có câu hỏi đặt R(jω)≠0 có tồn hay khơng? (theo nghĩa hàm mở rộng), ta trả lời với giả thiết xây dựng R(jω) tồn được, φ(jt) khơng thuộc D Hàm φ(jt)≠0 có đạo hàm vô hạn lần giống ϕ(ω ), thời gian sống vơ hạn (ảnh Fourier hàm có miền xác định giới nội xác định toàn trục số), φ(jt)∉D Nhớ lại phép biến đổi Fourier thơng thường trình bày chương hàm ϕ( ω) có suppϕ( ω) giới nội, ảnh Fourier φ (jt) có suppφ(jt) gần tồn trường số thực, nói cách khác thời gian sống φ(jt) hữu hạn ϕ(ω)≡0 Bởi vậy, để có R(jω) cần phải mở rộng D Ta xét tập E tất hàm C฀ (R) khơng bắt buộc phải có thời gian sống hữu hạn mà cần tiến tới t → ±∞ nhanh −1 đa thức khác t Định nghĩa 5.6: Một hàm mở rộng (đều), xác định E với a) D ⊂ E , b) Sự hội tụ dãy {ϕm (t)} E định nghĩa D , c) n lim t ϕ ( t) = t →∞ với n nguyên, gọi hàm mở rộng yếu Tập hợp tất hàm mở rộng yếu ký hiệu E' Định nghĩa 5.7: ảnh Fourier R(jω) hàm mở rộng yếu r(t) hàm mở rộng yếu xác định từ r(t) sau: ∞ ∫ R( jω )ϕ ( ω ) dω −∞ = ∞ ∫ r( t )φ ( jt )dt , −∞ ∀ϕ(t)∈D, ( 241 φ(jt) ảnh Fourier hàm số ϕ(ω ) Từ sau ký hiệu F sử dụng toán tử Fourier, φ(jω)=F{ϕ(t)} ảnh Fourier ϕ(t) hàm mở rộng (đều) nói đến hàm mở rộng yếu Bây giờ, giả sử r(t) hàm thường có ảnh Fourier, tức tồn F[r(t)] Với ký hiệu dm để phép lấy đạo hàm bậc thứ m hàm mở rộng r(t) hàm mở rộng nên theo định nghĩa 5.5 5.7 có m ∞ ⎡ d m m ∫ d r( t)φ( jt) dt = ( −1) ∫ ⎢ r( t) m dt −∞ − ∞ ⎢⎣ ∞ ⎛ ∞ − j ωt ⎞⎤ ⎜⎜ ∫ e ϕ ( ω ) dω ⎟⎟⎥ dt ⎝−∞ ⎠⎥⎦ Suy ∞ ⎡ ⎤ m ∫ ⎢ r( t) ∫ ( jω ) e− j ωt ϕ (ω )dω ⎥dt −∞ ⎣ −∞ ⎦ ∞ ⎛ ∞ ⎞ = ∫ ⎜⎜ ( j ω )m ϕ( ω ) ∫ r(t )e − jωt dt ⎟⎟ d ω , −∞⎝ −∞ ⎠ F [dm r(t)] = ∞ hay nói cách khác F [dm r(t)] = (jω) m F[ r(t)] Cũng tương tự cho dm{ F[ r(t)]} có ∞ ∫ dm F[r (t )]ϕ (ω )d ω −∞ m d ⎡ ∞r t e j ωtdt ⎤ ( ) ⎥ϕ( ω )d ω m⎢ ∫ − ∞ dω ⎣ − ∞ ⎦ ∞ ∞ ⎡ ⎤ = ∫ ( − jt )m r(t )⎢ ∫ ϕ (ω )e jωtdt ⎥dω −∞ ⎣− ∞ ⎦ = ∞ ∫ Suy dm{ F[r(t)]} = F [(jt)mr(t)] Tổng quát lên cho E' ta đến: Định lý 5.5: Với hàm mở rộng r(t)∈E' có a) F [dm r(t)] = (jω) m F[ r(t)], b) dm{ F[ r(t)]} = F [(jt)m r(t)] 242 Bên cạnh định lý ảnh đạo hàm đạo hàm ảnh, ta cịn có kết luận ảnh tích chập cần thiết nhận dạng phát biểu sau: Định lý 5.6: Giả sử r(t), r1 (t), r2 (t) ∈E' , a) F [r(t−T)] = F [r(t)] e−j ωT b) F[r1 (t)*r2 (t)] = F[r1 (t)]F[r2(t)] tồn tích chập [r1(t)*r (t)] Chứng minh: a) Vì ∞ ∫ r( t − T )φ( jt )dt −∞ = ∞ ∞ ⎡ ∞ − j t + T)ω ⎤ ϕ( ω)d ω ⎥dt ∫ r( t )φ [ j( t + T )]dt = ∫ r( t )⎢ ∫ e ( −∞ −∞ ⎣− ∞ ⎦ nên F [r(t−T)] = e − jω T ∞ ∞ ⎡∞ ⎤ − jωT ∫ r( t) ⎢ ∫ e − jtω ϕ (ω ) dω ⎥ dt = e ∫ r (t )φ ( jt )dt −∞ −∞ ⎣− ∞ ⎦ đ.p.c.m thứ b) Do phép tính tích chập có tính giao hốn, nên khơng tính tổng qt giả thiết thêm r2(t) có thời gian sống hữu hạn Khi đó, với (5.51) có F[r1 (t)*r2 (t)] = ∞ ⎡∞ ⎤ ∫ [r1( t) * r2( t ) ]φ ( jt ) dt = ∫ r1 (t ) ⎢ ∫ r2 (τ )φ ( j (t + τ )d τ ⎥dt −∞ −∞ ⎣− ∞ ⎦ ∞ áp dụng cơng thức tốn tử Fourier cho cho φ (j(t+τ)) F[r1 (t)*r2 (t)] = ⎡∞ ⎞ ⎤ ⎛ ∞ − j (t + τ )ω ϕ (ω )d ω ⎟⎟d τ ⎥ dt ∫ r1( t) ⎢ ∫ r2 (τ )⎜⎜ ∫ e −∞ ⎠ ⎦⎥ ⎝−∞ ⎣⎢− ∞ ∞ cuối điều phải chứng minh thứ hai F[r1 (t)*r2 (t)] = ∞ ⎡⎛ ∞ ⎤ − jtω dt ⎞⎟ ⎛⎜ r (τ ) − jτω dτ ⎞⎟ ϕ (ω )dω ∫ ⎢⎜⎜ ∫ r1 (t )e ⎟⎜ ∫ e ⎟⎥ − ∞ ⎣⎢⎝ − ∞ ⎠ ⎝− ∞ ⎠⎦⎥ ∞ θ Từ định lý với r1 (t)= δ(t) dễ dàng thu F[r2 (t)] = F[δ (t)]F[r2(t)] hay F[δ(t)] = 243 phải hiểu hàm mở rộng Bằng lời, định lý 5.2 diễn tả thành: "ảnh tích chập, chúng tồn tại, tích hai ảnh" Do F isomorphism E ảnh Fourier R(jω) hàm mở rộng r(t) định nghĩa nhờ ảnh hàm ϕ( ω)∈E nên điều ngược lại đúng: "ảnh tích tích chập hai ảnh, tồn tích chập đó", tức F[r1(t)r2 (t)] = 2π F[r 1(t)]*F[r (t)] (5.56) Khác với định lý 5.6, cơng thức (5.56) cịn có thêm hệ số 2π định nghĩa toán tử Fourier ngược sinh Có thể dễ dàng kiểm chứng lại tính đắn công thức (5.56) tương tự làm với định lý 5.6 Nếu ϕ(t)∈E, tồn ảnh Fourier φ(jω) Xuất phát từ cơng thức tốn tử Fourier ngược hàm ϕ(t) có ϕ(0)= = ∞ ∫ φ ( jω ) dω 2π − ∞ ⎤ ∞ ⎡∞ − ∫ ⎢ ∫ ϕ (t ) e jω t dt ⎥dω 2π − ∞ ⎣ − ∞ ⎦ = ⎡ ∞ − j ωt ⎤ d ω ⎥ϕ(t )dt ∫e ∫ ⎢ − ∞ ⎣ 2π − ∞ ⎦ ∞ Do đẳng thức với hàm ϕ (t) thuộc E (tức với hàm ϕ(t)∈D) nên theo định nghĩa 5.4 hàm δ(t) thu δ(t) = ∞ − jωt dω ∫e 2π − ∞ = ∞ ∫ cos(ω t ) dω 2π − ∞ = ∞ j ωt ∫ e dω 2π − ∞ (5.57a) để ý sử dụng công thức e−jωt = cos(ωt) − jsin(ωt) (công thức Euler) sin(ωt) hàm chẵn Từ suy δ(t) = ∞ ∫ c os(ωt ) dω 2π − ∞ sin( at ) a ∫ cos(ω t) dω = lim πt a → ∞ 2π −a a→∞ = lim (5.57b) Các công thức (5.57a) (5.57b) hai công thức bản, sử dụng nhiều công việc nghiên cứu ứng dụng khác hàm δ(t) 244 Câu hỏi ôn tập tập Hãy hàm đặc tính tần G(jω) khối D/A theo kỹ thuật B−spline bậc 0, 1,3 hàm bị chặn, tức |G(jω)|