Hướng dẫn giải ứng dụng tích phân

Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng Diện tích hình phẳng giới hạn Bài 1: Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số: y = − x đường thẳng y = − x nghiệm phương trình: − x = − x ⇔ x = x − x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x=  2 x = x − 4x + x − 5x + = ( ) Diện tích hình phẳng H giới hạn: S = ∫ xdx + ∫ − x + x dx  2 3 x2   16  10 = x  +  2x − + x  = +  − 2− ÷=  3 3 ÷ 3      ( ) ( ) x x Phương trình hồnh độ giao điểm : ( e + 1) x = 1+ e x ⇔ x e − e = x = x = ⇔ x ⇔ e = e  x = Diện tích hình phẳng H giới hạn: ( ) ( ) S = ∫ ( e + 1) x − 1+ ex xdx = ∫ x e − ex dx 0 ( ) x Với ∀x ∈ 0;1 , ta ln có: x e − e ≥ ( x Vậy, S = ∫  x e − e  )  dx u = x  du = dx ⇒ Đặt  x x dv = e − e dx v = ex − e ( ) 1  ex2   e   e S =  x ex − ex  − ∫ ex − ex dx = −  − ex  = −  − e÷− ( −1)  = −        0 Bài 1: Phương trình hồnh độ giao điểm: 5x x2 + = x3 + 9x ( ) ( ) ⇔ x x2 + 9. − x2 + ÷ = ⇔ x = 0,x = ±4   58 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả ( ) Hơn hàm số y = 5x x + − x + 9x liên tục −  4;0 , 0;4 , diện tích cần tính là: S= ∫ ( −4 = ) ∫ 5x x2 + − x3 + 9x dx = ( )  ∫ 5x x + − x + 9x −4 2 S = ∫ ( ) x x +1 −4 ( ) ( ) dx = − 823 + 823 = 164 dx +  5x x2 + − x3 + 9x ∫   dx , với ∀x ∈ 1;2 ⇒ ( ) x x3 + >0 ( x + 1) − x dx =  − x ÷dx ⇒ S= ∫ =∫ ∫  x x + 1÷ x( x + 1) x ( x + 1)      1 3x  1 ( x + 1) ' ÷   =  − − dx = ln x − ln x ÷dx = 2 ∫ x 1 dx 3 2 x3 + 1÷  3 3 ∫ x x3 + ÷ ÷  1  (    + 1 1     =  ln2 − ln9÷−  − ln2÷ Vậy, S = ln2 − ln9 3 3     xln ( x + 2) x = = 0⇔  Suy hình phẳng cần  x = −1 − x2 tính diện tích hình phẳng giới hạn đường xln ( x + 2) y= , y = 0, x = −1, x = 4− x Ta có phương trình : Diện tích hình phẳng S = ∫ −1 Đặt u = ln ( x + 2) , dv = xln ( x + 2) − x2 dx = ∫ −1 −xln ( x + 2) − x2 dx −x dx Khi du = dx , v = − x2 x+ 4− x Theo cơng thức tích phân phần ta có S = − x2 ln ( x + 2) −1 − ∫ −1 − x2 − x2 dx = 2ln2 − ∫ dx x+ x + −1 π Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt Khi x = −1⇒ t = − ; x = ⇒ t = 59 ) 5x x2 + − x3 + 9x dx + ∫ 5x x2 + − x3 + 9x dx Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt I= − x2 dx = x+ ∫ −1 0 4cos2 t ∫ 2sint + 2dt = ∫ ( 1− sint) dt = 2( t + cost) π π − − − π = 2+ π − 3 Phương trình tiếp tuyến M : y = 6x − y+9 ⇔ 36y = y2 + 18y + 81 Phương trình tuyng độ giao điểm: y = Vậy, S = ∫ y− y+9 dy Với ∀y ∈ 0;9 y− y+9 ≤  3  y+9  y 9y y ÷ 27 27 S= ∫ − y ÷dy =  + − = + − 18 =  ÷ 12 4  0  0 Bài 3: Bảng xét dấu x y − + ( ) ( ) ( ) S = − ∫ − x2 + 4x − dx + ∫ −x2 + 4x − dx ( ) S = − ∫ − x2 + 4x − dx + ∫ −x2 + 4x − dx 1  x3   x3  = − − + 2x2 + 3x ÷ +  − + 2x2 + 3x ÷ =  ÷  ÷  0  1 Vậy S = (đvdt) ( ) 3 2 Đặt h ( x) = x + 11x − − 6x = x − 6x + 11x − h ( x) = ⇔ x = 1∨ x = ∨ x = (loại) Bảng xét dấu x − h ( x) ( ) ( + ) S = − ∫ x3 − 6x2 + 11x − dx + ∫ x3 − 6x2 + 11x − dx 1  x4   x4  11x2 11x2 = − − 2x3 + − 6x ÷ +  − 2x3 + − 6x ÷ =  ÷  ÷ 2  0  1 60 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (đvdt) Phương trình hồnh độ giao điểm: Vậy S =  t =  x =  x = ±1 ⇔ ⇔ x2 − x + = ⇔ t2 − 4t + = 0, t = x ≥ ⇔   t =  x =  x = ±3 ⇒ S= ∫ −3 x2 − x + dx = 2∫ x2 − 4x + dx  = 2 ∫ x2 − 4x + dx + 0  ( ) ∫( x  − 4x + dx    ) 3    x3   16 x 2 = 2  − 2x + 3x ÷ +  − 2x + 3x ÷  =  ÷  ÷      1  16 Vậy S = (đvdt) Phương trình hoành độ giao điểm: x + ≥  x = x2 − 4x + = x + ⇔   x2 − 4x + = x + ⇔  x =    x − 4x + = − x − Bảng xét dấu x + x2 − 4x + ⇒ S= ∫( x ) ( − ) ( ) − 5x dx + ∫ −x2 + 3x − dx + ∫ x2 − 5x dx 1 3  x3 5x2   − x3 3x2   x3 5x2  109 = − + − 6x ÷ +  − ÷ + ÷ =  ÷  ÷  ÷  3      109 (đvdt) Giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành: x = x = xlnx = ⇔  ⇔  lnx =  x = Vậy S = Nhận xét: xlnx ≥ ,∀x ∈ 1;e 61 + Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt e e 1 Gọi S diện tích cần tìm : S = ∫ xlnxdx = ∫ xlnxdx  dx du = x u = lnx ⇒ Đặt:  dv = xdx v = x  e e e e e x2 x2 e2 + (đvdt) S = ∫ xlnxdx = lnx − ∫ xdx = lnx − x2 = 2 4 1 1 Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình: x = x2 − 3x + = x − ⇔ x2 − 4x + = ⇔  x = 3 ( ) 2 Gọi S diện tích cần tìm: S = ∫ x − 3x + − ( x − 1) dx = ∫ x − 4x + 3dx 1 Cách ( Dựa vào đồ thị ) x2 − 3x + ≤ x − ⇔ x2 − 4x + ≤ 0,∀x ∈ 1;3 3  x4  S = ∫ −x + 4x − dx =  − + 2x2 − 3x ÷ = (đvdt)  ÷  1 Cách ( Không dựa vào đồ thị ) ( ) S = ∫ x − 4x + dx = 3 ∫(  x4  4 x − 4x + dx =  − 2x2 + 3x ÷ = − =  ÷ 3  1 ) e Gọi Slà diện tích cần tìm S = ∫ Vì đoạn 1;e :lnx ≥ ⇒ lnx x = lnx x lnx x dx e nên S = ∫ lnx 12 x dx u = lnx   du = dx ⇒ x Đặt  dx  dv = x v = x  e e Khi S = x lnx − ∫ 1 x dx = x ( x lnx − x ) e = − e ( đvdt ) Ta có f1 ( x) − f2 ( x) = ⇔ cosx − sinx = ⇔ x = π ∈ 0; π  62 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả π Vậy diện tich cần tính S = ∫ cosx − sinx dx π π ∫ ( cosx − sinx) dx + ∫ ( cosx − sinx) dx = π π π = ( sinx − cosx) + ( sinx − cosx) π = 2 PTHĐ giao điểm hai đồ thị y = x3 + 3x y = −x + x3 + 3x = − x + ⇔ x3 + 4x − = ⇔ (x − 1)(x2 + x + 5) = ⇔ x = 1 Diện tích cầ tính là: SD = ∫ x3 + 4x − dx = −2 ∫ (5 − 4x − x )dx −2  x4  99 (đvdt) =  5x − 2x2 − ÷ =  4÷   −2 x2 10 Xét PTHĐ giao điểm hai đồ thị y = − x y = : 4 4− x2 x2 x2 x4 = ⇔ 4− = ⇔ x2 = ⇔ x = ±2 4 32 Trên  −2 2;2 2 , ta có: 4− x2 x2 nên diện tích cần tính là: ≥ 4 2 2  2   − x − x ÷dx = 16 − x dx − x2dx ∫  ∫ ∫ 4 2÷ 2 0 −2   2 SD = Ta có: 2 ∫ x3 x dx = 2 = 16 Đặt x = 4sint ⇒ dx = 4costdt Khi đó: 2 ∫ π π 0 16 − x2dx = 16∫ cos2 tdt = 8∫ (1+ cos2x)dx = 2π + 4 11 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cho là: Vậy: SD = 2π + (e + 1)x = (1+ ex )x ⇔ x = 0;x = 63 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 0 x x Diện tích cần tính là: SD = ∫| xe − xe | dx = e∫ xdx − ∫ xe dx Ta có: ∫ xdx = u = x du = dx 1 x x ⇒ ⇒ xe dx = xe − ∫ exdx = Đặt   ∫ x x dv = e dx v = e 0 e ⇒ SD = − (đvdt) 12 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cho  π 2 x = x(2 + tan2 x) ⇔ x = x(2 + tan x) − x = x(1+ tan x) ≥ ∀x ∈ 0;   4 π nên diện tích cần tính là: S = x(1+ tan2 x)dx D ∫ u = x du = dx ⇒ Đặt  dv = (1+ tan x)dx v = tanx ⇒ SD = π π xtanx π π π − ∫ tanxdx = + ln| cosx| = − ln2 4 Bài 4: Ta có: y' = x2 + 2mx − Do y'(0) = −2 < 0;y'(2) = 4m + > ⇒ y' = có nghiệm x0 ∈ (0;2) Bảng biến thiên x x0 y' − + y Do y(0) = −2m −  5 < 0;y(2) = 2m − < ∀m ∈  0; ÷⇒ y < ∀x ∈ (0;2) 3  6  ⇒ SD = ∫  − x3 − mx2 + 2x + 2m + 0 1 4m + 10 ÷dx = 3 Bài 5: Đường thẳng ∆ qua A , hệ số góc k có phương trình : ⇒ SD = ⇔ 4m + 10 = 12 ⇔ m = 64 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả y = k(x − 1) + = kx − k + Phương trình hồnh độ giao điểm (P) ∆ : x2 = kx − k + ⇔ x2 − kx + k − = (1) Dễ thấy (1) ln có hai nghiệm x1 < x2 Khi đó, diện tích (H) là: x2 k x3  S = ∫ (kx − k + − x )dx =  x2 + (4 − k)x − ÷ 2 3÷   x1 x2 x1 k (x2 − x12) + (4 − k)(x2 − x1) − (x23 − x13) x2 − x1  x −x = 3k(x1 + x2) + 6(4 − k) − 2(x1 + x2)2 + 2x1x2  = (k2 − 4k + 16)   = Ta có: (x2 − x1)2 = (x2 + x1)2 − 4x1x2 = (k − 2)2 + 12 ≥ 12 12 = Đẳng thức xảy ⇔ k = Vậy k = giá trị cần tìm ⇒ S≥ Dạng Thể tích hình phẳng giới hạn Bài 1: Phương trình hoành độ giao điểm: xlnx = ⇒ x = e e 2 Vậy, VOx = π ∫ ( xlnx) dx = π ∫ x ln xdx = πI 1  2lnx du = dx u = ln2 x  x ⇒ Đặt:  dv = x dx v = x2dx = x ∫  e e e  x3  e3 2 I =  ln2 x − ∫ x2 lnxdx = − I với I = ∫ x lnxdx 3 3   1  dx du = x u = lnx ⇒ Đặt:  dv = x dx v = x  e e e  x3  e3  x3  e3  e3  2e3 + I =  lnx − ∫ x2dx = −  = −  − ÷=    9 ÷   1 65 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ( )  e3 2e3 + 1 π 5e − Vậy, VOx = π  − ( đvtt ) =  27  3 Bài 2: Phương trình hoành độ giao điểm x = Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn y = x , trục Ox x = thể tích khối trịn sinh là: V1 = π∫ xdx = π Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn y = − x , trục Ox x = thể tích khối trịn sinh là: V2 = π∫ ( − x) dx = Vậy, thể tich khối trịn xoay cần tìm V = V1 + V2 = Phương trình hồnh độ giao điểm: π VOx = π ∫ ( ) π π x sinx dx = π∫ xsin2 xdx = π∫ x 0 π 5π x sinx = ⇔ x = x = π 1− cos2x dx π = π π  πx2  π π π π3 π xdx − xcos2xdx = − I = − I   ∫0 0∫   du = dx u = x  ⇒ Đặt:  dv = cos2xdx v = sin2x  π π x  1  I =  sin2x − ∫ sin2xdx = −  cos2x =0 2  20 4 0 π3 Phương trình hồnh độ giao điểm: − x2 = − x ⇔ x2 − x − = ⇔ x = −1 x = Vậy, VOx = ( VOx = π ∫ − x2 −1 ) 2 ( ) ( ) − ( − x) dx = π ∫ 25 − 10x2 + x4 − − 6x + x2 dx −1 = π ∫ x4 − 11x2 + 6x + 16dx , với ∀x ∈ −  1;2 , x − 11x + 6x + 16 ≥ −1 VOx = π ∫ ( −1  x5 11x3  x − 11x + 6x + 16 dx = π  − + 3x2 + 16x ÷  ÷   −1 ) 66 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  32 88   11   153π = π  − + 44÷−  − + − 13÷ =     Ta tích khối trịn xoay cần tính là: π π 0 ( ) π π 0 V = π ∫ y2dx = π ∫ xcosx + sin2 x dx = π ∫ xcosxdx + π ∫ sin2 xdx π π Ta có: sin2 xdx = 1− cos2x dx =  x − sin2x  ( )  ÷ ∫ ∫0 2  π u = x du = dx ⇒ Đặt  ⇒ ∫ xcosxdx = xsinx dv = cosxdx  v = sinx π π π  π π ( 3π + 4) Vậy V = π  + 1÷+ π = 4 2  = π π − ∫ sinxdx = π +1 2 2x Thể tích khối trịn xoay cần tính là: V = ∫ x e dx du = 2x u = x2  ⇒ Đặt  2x 2x dv = e dx v = e ⇒V= 1 2x e2 xe − ∫ xe2xdx = − ∫ xe2xdx 2 0 du = dx u = x  ⇒ Đặt  2x 2x dv = e dx v = e dx  1 ⇒ ∫ xe dx = xe2x ⇒V= 2x 2 1 e2 e2x − ∫ e2xdx = − 2 1 = e2 + e e +1 e −1 − = 4 ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường y = x ln 1+ x2 ( ) y = : x ln 1+ x2 = ⇔ x = ( ) 2 Thể tích cần tính: V = π ∫ x ln 1+ x dx 67 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  2x dx u = ln 1+ x2 du =   + x ⇒ Đặt  dv = x2dx v = x  ( ( ) ) ( x3 ⇒ ∫ x ln 1+ x dx = ln 1+ x2 2 ) 1 − x4 dx ∫0 1+ x2 1  ln2   ln2  x3 dx = − ∫  x − 1+ dx = − − x −  ÷ ÷ ∫ ÷ 3 0 3  1+ x2   1+ x ln2 π 12ln2 + 16 − 6π + − = (đvtt) 36 Bài 3: = Hoành độ giao điểm − − x2 = − ∫ ⇒V=π − ( 4− x ) x4 2π − dx = 9 ∫( x2 ⇔ x2 = ⇔ x = ± 3 ) 2π 36 − 3x − x dx =  x5   36x − 3x3 − ÷  5÷  0 Vậy V = 28π (đvtt)  y = −1 2 Tung độ giao điểm: − y + = − y ⇔  y = 2 ( ) ⇒ V = π ∫ − y2 + − ( − y ) dy = π −1 2 ∫(y ) − 11y2 + 6y + 16 dy −1  y5 11y3  153π =π − + 3y2 + 16y ÷ =  ÷   −1 Vậy V = 153π (đvtt) ( ) x Gọi V thể tích cần tìm: V = π ∫ xe 2 dx = π∫ x2e2xdx du = 2xdx u = x2  ⇒ Đặt:  2x 2x dv = e dx v = e 68 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả πx2e2x V= 2 2 − π∫ xe dx = 2πe − π ∫ xe2xdx 2x 0 du = dx u = x  ⇒ Đặt:   2x 2x dv = e dx v = e  2x 2x  πxe V = 2πe − π ∫ xe dx = 2πe −    π 2x  − ∫ e dx  20  2  π π π 2x   = 2πe − πe − e = 2πe4 − πe4 + e4 − = 5e4 − (đvtt) 4  0   Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường: y = x2 − 4,y = 2x − 4,x = 0,x = quay quanh trục Ox ( 2 ) ( )  4x3  32π Gọi V2 V1 = π∫ ( 2x − 4) dx = π ∫ 4x − 16x + 16 dx = π  − 8x2 + 16x ÷ =  ÷  0 0 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường: y = x2 − 4,y = 2x − 4,x = 0,x = quay quanh trục Ox 2 ( ) 2  x5 8x3  256π V2 = π∫ x − dx = π ∫ x − 8x + 16 dx = π  − + 16x ÷ =  ÷ 15  0 0 Gọi V thể tích cần tìm: 256π 32π 32π V = V2 − V1 = − = (đvtt) 15 Bài 4: Hoành độ giao điểm hai đường y = x2 − 4x + Ox ( ) ( ) x = x = Ta có: y = x2 − 4x + ⇔ ( x − 2) = y + 1⇒ x = ± y + với y ≥ −1 Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn x1 = − y + 1, Oy, y = −1, y = sinh khối trịn xoay tích V1 = π ∫ ( x1 ) dx −1 Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn x2 = + y + 1, Oy, y = −1, y = sinh khối trịn xoay tích V2 = π ∫ ( x2 ) dx −1 Vậy, thể tích cần tìm V = V2 − V1 = 69 16π ... sinh khối trịn xoay tích V1 = π ∫ ( x1 ) dx −1 Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn x2 = + y + 1, Oy, y = −1, y = sinh khối trịn xoay tích V2 = π ∫ ( x2 ) dx −1 Vậy, thể tích cần tìm V = V2... 2) − x2 dx = ∫ −1 −xln ( x + 2) − x2 dx −x dx Khi du = dx , v = − x2 x+ 4− x Theo cơng thức tích phân phần ta có S = − x2 ln ( x + 2) −1 − ∫ −1 − x2 − x2 dx = 2ln2 − ∫ dx x+ x + −1 π Đặt x =... hình phẳng giới hạn y = x , trục Ox x = thể tích khối trịn sinh là: V1 = π∫ xdx = π Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn y = − x , trục Ox x = thể tích khối tròn sinh là: V2 = π∫ ( − x) dx