Đang tải... (xem toàn văn)
Nhằm chuẩn bị và nâng cao kiến thức để bước vào kì thi sắp diễn ra, mời các bạn học sinh lớp 11 cùng tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2022 có đáp án” được chia sẻ dưới đây để ôn tập cũng như rèn luyện kỹ năng trả lời câu hỏi đề thi. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn thi: Tốn – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I. (4,0 điêm ̉ ) x3 - x + x + m có đồ thị là ( C ) Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M có x M = chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng Cho hàm số y = Câu II. (6,0 điêm ̉ ) 1) Giải phương trình � p� = sin x + cos x - � 4� 2) Tìm số nguyên dương lẻ n sao cho C n1 - 2.2C n2 + 3.22C n3 - 4.23C n4 + + n 2n - 1C nn = 2022 sin 2x - 3) Tính giới hạn I = lim x Câu III. (4,0 điêm ̉ ) 2022(2023 - x ) - 2022 x- 1) Giải phương trình: 2x + + x + = 3x - 16 + 2x + 5x + x - y + 3x + 6x - 3y + = 2) Giải hệ phương trình: ( x , y R) 4x + + 2x + 4y - = x + 2y + Câu IV. (4,0 điêm ̉ ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng A BCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x + 2y - = , điểm M ( 1;1) thuộc cạnh B D biết rằng chình chiếu vng góc của điểm M trên cạnh A B , A D đều nằm trên đường thẳng D : x + y - = Tìm tọa độ đỉnh C 2) Cho hình vng A BCD cạnh a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên nửa đưởng thẳng ? Ox vng góc với mặt phẳng chứa hình vng, ta lấy điểm S sao cho góc SCB = 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD Câu V. (2,0 điêm ̉ ) Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b2 = 25; c2 + d = 16 và ac + bd 20 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + d Hết Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn: Tốn – Lớp 11 Câu 1(4,0 điểm) Lời giải sơ lược Điể m Ta có y ' = x − 2x +1 Theo giả thiết ta có M(3;3 + m) (C), phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là: 2,0 y = y '(3)(x − 3) + + m � y = 4(x − 3) + + m � y = 4x − + m (Δ) �9 − m � ;0 �4 �� A Gọi AΔ= Ox � Oy �; B = ∆ �� � Diện tích tam giác OAB: SOAB = Theo giả thiết: SOAB = � B ( 0; m − ) 1 9−m (m − 9) OA.OB = m−9 = 2 2,0 m = 13 (m − 9) = � (m − 9) = 16 � m=5 Vậy m = 5;m = 13 � � p� = sin x + cos x - (1) 4� 2.1 (2 điểm) sin 2x - (1) sin x − cos x = sin x + cos x − � sin x − sin x = cos x + cos x − � 2sin x cos x − sin x = 2cos x + cos x − � sin x(2cos x − 1) = (2cosx − 1)(cosx + 1) � (2cos x − 1)(sinx − cos x − 1) = 0,5 (a) sin x − cos x = 1(b) cos x = 1,0 π (a ) � x = � + k 2π π π = + k 2π � π� 4 (b) � sin �x − �= � π π � � x− = + k 2π 4 2.2 (2 điểm). π + k 2π x = π + k 2π x− 0,5 x= n Ta có ( + x ) = C n0 + C n1x + C n2x + C n3x + + C nn x n Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n ( + x ) n- 1 n n n n n = C + 2C x + 3C x + + C x Cho x = - � n (- 1)n - = C n1 - 2C n2 + 3C n3 22 - + nC nn ( - 2) + I = lim x = lim ( − 2022 ( + x ) 2023 − x + 2022 Vậy I = −1 x 3.1 (2 điểm) ) 2023 − x − 2022 = lim x ( x − 1) x −1 = −2 2022 = −1 2022 ( 1,0 n- 1,0 Vì n lẻ nên ta có: n = C n1 - 2C n2 + 3C n3 22 - + n 2n - 1C nn = 2022 Vậy n = 2022 2.3 (2 điểm) 2022 n- 2022 ( − x ) 2023 − x + 2022 ) 1,0 1,0 ĐKXĐ: x - Đặt t = 2x + + x + , đk: t > � t = 3x + + 2x + 5x + � 3x + 2x + 5x + = t - 1,0 t = - �t = PT trở thành: t = t - - 16 � t - t - 20 = � t = Với t = � 2x + + x + = � 3x + + 2x + 5x + = 25 21 - 3x � 2x + 5x + = 21 - 3x 4(2x + 5x + 3) = 441 - 126x + 9x x x �x =3 x - 146x + 429 = x = 143 �x = Vậy phương trình có nghiệm là x = 1,0 x - y + 3x + 6x - 3y + = (1) 3.2 (2 điểm) Giải hệ phương trình: ( x , y R) 4x + + 2x + 4y - = x + 2y + (2) x - / Điều kiện 2x + 4y - Phương trình (1) tương đương với ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y � (x + − y) � ( x + 1) + ( x + 1) y + y + 3� � �= (*) Vì ( x + 1) + ( x + 1) y + y + > 0, ∀x, y nên (*) � x + − y = � y = x + Thay vào phương trình (2) của hệ ta được 4x + + 6x − = 3x + � �� 4x + − ( 2x + ) � 6x − − (x + 2) � � �+ � �= −4(x − 2) −(x − 2) (x + 10) � + =0 4x + + 2x + (6x − 4) + 2(x + 2) 6x − + (x + 2) (x − 2) = � x = 2(tm) � y = 3(tm) −4 −(x + 10) + = 0(**) 2x + + x + 12 (6x − 4) + 2(x + 2) 6x − + (x + 2) 2 Nhận xét: Với x −1 / ,vế trái của phương trình (**) ln âm , nên (**) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2;3) 4.1 (2 điểm) 0,5 0,5 1,0 H A B I K Gọi H và K là hình chiếu vng góc của M trên AB và AD; Gọi N là giao điểm của KM và BC, gọi I là giao điểm của CM và HK. Ta có ∆DKM vng tại K và MDK = 450 KM = KD=NC N M Lại có MH = MN (do MHBN là hình vng) suy ra Mà NMC ∆KMH = ∆CNM � HKM = MCN = IMK nên IMK + HKM = NMC + NCM = 900 1,0 � CI ⊥ HK C D Đường thẳng CI qua M(1;1) vng góc với đường thẳng d nên có phương trình: −( x − 1) + ( y − 1) = � x − y = . Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng ∆ nên �x − y = tọa độ điểm C là nghiệm hệ pt � �x + y − = �x = � �y = 1,0 Vậy C(2;2) 4.2 (2 điểm) Gọi I, H là trung điểm của BC và SD Ta có SO là trục hình vng và SCB = 600 SA=SB=SC=SD=CB=a và BC//mp(SCD) nên d ( BC , SD ) = d ( I , mp(SAD)) S Ta lại có AD ⊥ ( SIH ) � ( SIH ) ⊥ ( SAD ) theo giao tuyến SH. Trong mặt phẳng (SIH) dựng IJ ⊥ SH � IJ ⊥ ( SAD ) � d ( I ,( SAD )) = IJ J A H D B O 60 1,0 I C a SO.HI a a = = Tam giác SIH có: IJ = SH a 1,0 a a , b , c , d 5 (2 điểm) Cho là các số thực thoả mãn a + b2 = 25; c2 + d = 16 và ac + bd 20 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + d a = 5sin α ; b = 5cos α Từ a + b2 = 25; c2 + d = 16 tồn tại hai góc α ; β sao cho c = cos β ; d = 4sin β Vậy d ( BC , SD) = Khi đó biểu thức ac + bd 20 có dạng sin a cos b + cos a sin b hay sin ( a + b) , 1,0 p nên sin ( a + b) = do đó b = - a + k 2p, k ? Vậy sin b = cos a Ta có P = 5sin α + 4sin β = 5sin α + 4cos α 41 � Pmax = 41 1,0 Vậy giá trị lớn nhất của P là 41 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được tính điểm tối đa Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khơng được vượt q số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong q trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ Điểm tồn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, khơng làm trịn điểm ... + I = lim x = lim ( − 2022 ( + x ) 2023 − x + 2022 Vậy I = −1 x 3.1 (2 điểm) ) 2023 − x − 2022 = lim x ( x − 1) x −1 = −2 2022 = −1 2022 ( 1,0 n- 1,0 Vì n lẻ nên ta? ?có: n = C n1 - 2C n2 +... lẻ nên ta? ?có: n = C n1 - 2C n2 + 3C n3 22 - + n 2n - 1C nn = 2022 Vậy n = 2022 2.3 (2 điểm) 2022 n- 2022 ( − x ) 2023 − x + 2022 ) 1,0 1,0 ĐKXĐ: x - Đặt t = 2x + + x + , đk: t > � t =... Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của? ?học? ?sinh? ?phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được tính điểm tối đa Với các cách giải đúng nhưng khác? ?đáp? ?án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khơng
