BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A1) Biên soạn: TS VŨ GIA TÊ Ths ĐỖ PHI NGA Chương 1: Giới hạn dãy số CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 SỐ THỰC 1.1.1 Các tính chất tập số thực A Sự cần thiết mở rộng tập số hữu tỉ Q Do nhu cầu đòi hỏi sống,tập số tự nhiên N={0,1,2, }, sở phép đếm mở rộng sang tập số nguyên Z={0, ± 1, ± 2, } Sau đó, Z khơng có phần tử mà tích với 1, nên nguời ta xây dựng tập số hữu tỉ Q, tập gồm số biểu diễn tỉ số hai số nguyên, tức số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn Nếu dừng lại tập Q tốn học gặp phải nhiều điều hạn chế, đặc biệt gặp khó khăn việc giải thích tượng sống Chẳng hạn việc tính đường chéo hình vng có kích thước đơn vị Đường chéo khơng thể mô tả số hữu tỉ Thật m = ∈ Q ƯSCLN(m, n)=1 m2=2n2 ⇒ m=2p 4p2=2n2 ⇒ n=2q Điều vô n lí lúc m, n có ước chung Chứng tỏ ∉ Q Những số xuất dùng thường xuyên giải tích e, π số hữu tỉ B Số vô tỉ Một số biểu diễn dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn,hay khơng thể biểu diễn dạng tỉ số hai số nguyên gọi số vô tỉ C Số thực Tất số hữu tỉ số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực Kí hiệu tập số thực R Vậy tập số vơ tỉ R\Q Người ta xây dựng tập số thực R nhờ vào hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vào hệ tiên đề.Chúng ta khơng trình bày mà coi tập hợp số thực R quen thuộc kiểm tra lại thoả mãn tiên đề Chúng ta coi tính chất tập hợp R Tính chất 1: Tập R truờng giao hoán với hai phép cộng nhân: (R, + , ) ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R ∀a, b, c ∈ R, ( a + b) + c = a + (b + c ), ( a.b)c = a (bc ) ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba R có phần tử trung hoà phép cộng phép nhân ∀a ∈ R , a + = + a = a Chương 1: Giới hạn dãy số a.1 = 1.a = a Phân phối phép cộng ∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac (b + c ) a = ba + ca Tồn phần tử đối phép cộng ∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = Tồn phần tủ nghịch đảo phép nhân ∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = Tính chất 2: Tập R xếp thứ tự tồn phần đóng kín số thực dương ∀a, b ∈ R, a < b a = b a > b ∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+ Tính chất 3: Tập R đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập X không rỗng R bị chặn R có cận thuộc R tập không rỗng X R bị chặn R có cận thuộc R Cho X ⊂ R a ∈ R Gọi a cận X R x ≤ a, ∀x ∈ X Gọi a cận X R x ≥ a, ∀x ∈ X Gọi X bị chặn R(bị chặn dưới) tồn cận (cận dưới) X R Gọi số nhỏ cận X R cận X R, kí hiệu số M* hay SupX (đọc Suprémum X) Gọi số lớn cận X R cận X R, kí hiệu số m* hay InfX (đọc Infimum X) Nếu M* ∈ X nói M* phần tử lớn X, kí hiệu M*=SupX=MaxX Nếu m* ∈ X nói m* phần tử nhỏ X, kí hiệu m*=InfX= MinX Gọi X bị chặn R X bị chặn bị chặn R Chú ý: Tập R\Q không ổn định phép cộng phép nhân, chẳng hạn Chương 1: Giới hạn dãy số ± ∈ R \ Q + (− ) ∉ R \ Q 2 ∉ R \ Q ∀x ∈ R \ Q, ∀y ∈ Q, x + y ∈ R \ Q xy ∈ R \ Q ∈R\Q x Nếu M cận tập X SupX ≤ M m cận tập X InfM ≥ m Nếu M*=SupX ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ M * − ε < α Nếu m*=InfX ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ m * + ε > α Ví dụ 1: Chứng minh ( + + ) ∈ R \ Q Giải: Giả sử q= + + ∈ Q ⇒ ( + ) = ( q − ) hay q + = 2( q + 1) , dễ dàng chứng minh ∉ Q (tưong tự chứng minh q2+1=0 Điều mâu thuẫn Vậy q ∉ Q ∉ Q ) Theo ý suy q+1=0 Ví dụ 2: Tìm cận cận R chúng tồn tập ⎧ (−1) n ⎫ X =⎨ n + , n ∈ N * ⎬ = un , n ∈ N * n ⎩2 ⎭ { } Giải: ∀p ∈ N * có 1 + ⇒ < u2 p ≤ u2 = 2p 2p 1 1 1 u p +1 = p +1 − ⇒− ≤− ≤ u p +1 ≤ p +1 ≤ p +1 p +1 2 u1 = − u2 p = suy ∀n ∈ N * có − = u1 ≤ u n ≤ u = InfX=minX= − , SupX=maxX= Ví dụ 3: Cho A, B hai tập không rỗng R bị chặn a Chứng minh Sup ( A ∪ B )=Max(Sup(A), Sup(B)) b Gọi A+B= {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a + b} , chứng minh Chương 1: Giới hạn dãy số Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B) Giải: a Kí hiệu α = SupA, β = SupB , γ = Max (α , β ) Vậy tập hợp cận A ∪ B X= {x, x ≥ α x ≥ β } hay X= {x, x ≥ γ } Vậy γ = Sup ( A ∪ B ) b ∀a ∈ A, a ≤ SupA ∀b ∈ B, b ≤ SupB ⇒ ∀a + b ∈ A + B, a + b ≤ SupA + SupB ⇒ M * = Sup( A + B) ∀ε > ∃a ∈ A, a > SupA − ∃b ∈ B, b > SupB − ε ε ⇒ ∃a + b ∈ A + B, a + b > SupA + SupB − ε ⇒ ∃M * = SupA + SupB = Sup( A + B) 1.1.2 Tập số thực mở rộng Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu − ∞ + ∞ Tập số thực mở rộng kí hiệu R R = R ∪ {− ∞,+∞}, phép toán + , quan hệ thứ tự định nghĩa sau: ∀x ∈ R x + ( +∞ ) = ( +∞) + x = +∞ x + ( −∞ ) = ( −∞) + x = −∞ (+∞) + (+∞ ) = +∞ ( −∞) + (−∞ ) = −∞ ∀x ∈ R+* , R+* = {x ∈ R, x > 0} x( +∞ ) = (+∞ ) x = +∞ x( −∞ ) = (−∞ ) x = −∞ ∀x ∈ R−* , R−* = {x ∈ R, x < 0} x(+∞ ) = (+∞ ) x = −∞ x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞ (+∞ )(+∞) = ( −∞ )(−∞) = +∞ (+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞ ∀x ∈ R Chương 1: Giới hạn dãy số − ∞ < x < +∞ − ∞ ≤ −∞ + ∞ ≤ +∞ 1.1.3 Các khoảng số thực Cho a, b ∈ R a ≤ b Trong R có chín loại khoảng sau đây: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} gọi đoạn hay khoảng đóng bị chặn [a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b} gọi khoảng nửa đóng nửa mở (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} [a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x} (− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a} (a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} gọi khoảng mở (a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x} (− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a} Các số thực a,b gọi mút khoảng 1.1.4 Giá trị tuyệt đối số thực A Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số thực x, kí hiệu x số thực không âm xác định sau ⎧ ⎪x ⎪ x =⎨ ⎪− x ⎪⎩ x ≥ x ≤ B Tính chất ∀x ∈ R, x = Max( x,− x) x = ⇔ x = ∀x, y ∈ R, * ∀n ∈ N , xy = x y n n i =1 i =1 ∀x1 , x , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi ∀x ∈ R, x n = x n Chương 1: Giới hạn dãy số ∀x ∈ R * , 1 = x x ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y ∀n ∈ N * , ∀x1 , x ,K, x n ∈ R, n n i =1 i =1 ∑ xi ≤ ∑ xi ∀x, y ∈ R, Max( x, y ) = (x + y + x − y ) Min( x, y ) = (x + y − x − y ) ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x− y 1.1.5 Khoảng cách thông thường R A Định nghĩa: Khoảng cách R ánh xạ d : R× R → R ( x, y ) a x− y Đó hình ảnh trực quan khoảng cách điểm x y đường thẳng trục số thực R B Tính chất d ( x, y ) = ⇔ x = y ∀x, y ∈ R, d ( x, y ) = d ( y , x ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, y ) − d ( x, z ) ≤ d ( y, z ) Chương 1: Giới hạn dãy số 1.2 SỐ PHỨC Chúng ta biết trường số thực R khơng thể phân tích thành thừa số tam thức bậc hai ax + bx + c Δ = b − 4ac < Tuy nhiên tiện lợi thừa số hố tam thức thành dạng a(x − α )( x − β ) α , β ∉ R Nhằm mục đích thêm vào R phần tử mới, kí hiệu i (gọi đơn vị ảo) kết hợp với cặp số thực ( x, y ) ∈ R để tạo số phức 1.2.1 Định nghĩa dạng số phức A Định nghĩa: Cho ( x, y ) ∈ R , số biểu diễn dạng z=x+iy, i = −1 gọi số phức Tập số phức kí hiệu C Gọi x phần thực z, kí hiệu Rez =x y phần ảo z, kí hiệu Imz =y Gọi mơđun z,kí hiệu z xác định số thực khơng âm z = x2 + y2 = r ≥ Gọi Acgumen z , kí hiệu Argz xác định số thực ⎧ Argz= θ ∈ R; ⎨θ ∈ R; cos θ ⎩ = x y ⎫⎪ sin θ = ⎬ , với z ≠ z ⎪⎭ z Như Acgumen z sai khác k 2π , k ∈ Z Arg0 không xác định Vậy số phức z có dạng viết: z =x+iy gọi dạng tắc hay dạng đại số số phức z z = r (cos θ + i sin θ ) gọi dạng lượng giác số phức z B Biểu diễn hình học số phức y M(z) y r θ x x Chương 1: Giới hạn dãy số Xét mặt phẳng 0xy với hệ toạ độ trực chuẩn Ánh xạ ϕ : C → xy đặt số phức z=x+iy ứng với điểm M có toạ độ (x,y) mặt phẳng 0xy.Vậy ϕ song ánh.Gọi mặt phẳng 0xy mặt phẳng phức ∀z ∈ C , ϕ ( z ) gọi ảnh z 0xy → ∀M ∈ xy, ϕ −1 (M ) gọi toạ vị M, số phức z ∈ C Ngoài OM gọi véctơ biểu diễn số phức z Như OM = z ⎛→ → ⎞ ⎜ Ox, OM ⎟ =Argz ⎝ ⎠ Trên mặt phẳng phức 0xy nhận thấy: Trục 0x biểu diễn số thực z = x ∈ R , trục gọi trục thực,còn trục 0y biểu diễn số phức z = iy, y ∈ R gọi số ảo tuý,người ta gọi trục 0y trục ảo 1.2.2 Các phép toán tập C A Phép so sánh ( ) ⎧⎪ x = x x + iy = x ' + iy ' ⇔ ⎨ ⎪⎩ y = y ' ' ∀ x, y , x ' , y ' ∈ R , B Phép lấy liên hợp Cho z = x + iy ∈ C , liên hợp z, kí hiệu z cho z = x − iy C Phép lấy số phức đối Cho z=x+iy ∈ C, số phức đối z, kí hiệu –z (đọc trừ z ) xác định: -z = -x-iy D Phép cộng Cho z = x+iy, z’= x’+iy’,tổng z z’, kí hiệu z+z’ xác định sau: z+z’=(x+x’)+i(y+y’) E Phép nhân Cho z=x+iy z’=x’+iy’, tích z z’, kí hiệu z.z’ xác định sau: z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y) F Phép trừ phép chia Là phép tính ngược phép cộng phép nhân z − z ' = z + (− z ' ) z = z" ⇔ z = z '.z" z' 10 Chương 1: Giới hạn dãy số Từ phép tốn trên, nhận tính chất đây: ∀z ∈ C , z = z ∀( z , z ') ∈ C , z + z' = z + z' ∀(z , z ') ∈ C , z z ' = z z ' n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 ∑ zi = ∑ zi , ∀n ∈ N * , ∀z1 , z ,K, z n ∈ C , ∏ zi = ∏ zi ∀z ∈ C , ∀z '∈ C * , C * = C \ {0} ⎛z⎞ z ⎜ ⎟= ⎝ z' ⎠ z' ∀z ∈ C , z = z ⇔ z∈R z = − z ⇔ z ∈ iR , iR = {iy , y ∈ R} ∀z ∈ C z z = z G Phép luỹ thừa, công thức Moavrờ ( Moivre) Cho z = r (cosθ + i sin θ ), ∀k ∈ Z Gọi z k luỹ thừa bậc k z Bằng qui nạp, dễ chứng minh z k = r k (cos kθ + i sin kθ ) (1.1) Gọi (1.1) công thức Moivre H Phép khai bậc n z ∈ C * Cho n ∈ N * , z = r (cosθ + i sin θ ) Gọi ς ∈ C * bậc n z, kí hiệu sau: n z ,xác định ςn = z ⎧ρ n = r θ + kπ ρ = r n Φ= với Nếu gọi ρ = ς Φ = Arg ς ⎨ n Φ = + n θ k π ⎩ k = 0,1,2, , n − Vậy số z có n bậc n, số phức có dạng: ⎛ ⎝ ς = r n ⎜ cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ ⎞ n ⎟ ⎠ k = 0,1,2, , n − (1.2) 11 ... tập số thực R hai phần tử kí hiệu − ∞ + ∞ Tập số thực mở rộng kí hiệu R R = R ∪ {− ∞,+∞}, phép toán + , quan hệ thứ tự định nghĩa sau: ∀x ∈ R x + ( +∞ ) = ( +∞) + x = +∞ x + ( −∞ ) = ( −∞) +... trục 0y biểu diễn số phức z = iy, y ∈ R gọi số ảo tuý,người ta gọi trục 0y trục ảo 1.2.2 Các phép toán tập C A Phép so sánh ( ) ⎧⎪ x = x x + iy = x ' + iy ' ⇔ ⎨ ⎪⎩ y = y ' ' ∀ x, y , x ' , y ' ∈... cộng phép nhân z − z ' = z + (− z ' ) z = z" ⇔ z = z '.z" z' 10 Chương 1: Giới hạn dãy số Từ phép toán trên, nhận tính chất đây: ∀z ∈ C , z = z ∀( z , z ') ∈ C , z + z' = z + z' ∀(z , z ') ∈ C ,