TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP I PGS.TS NGUYỄN HẢI THANH TỐN ỨNG DỤNG (Giáo trình Sau đại học) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Mã số: 01.01.1/121 ĐH 2005 Mục lục Mở đầu CHƯƠNG I MỘT SỐ MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU Mơ hình quy hoạch tuyến tính 1.1 Các bước cần thiết áp dụng phương pháp mơ hình hố 1.2 Mơ hình quy hoạch tuyến tính 1.3 Phương pháp đơn hình 1.4 Giải mơ hình quy hoạch tuyến tính phần mềm tính tốn 1.5 Một số ứng dụng phương pháp đơn hình 7 7 11 14 16 Bổ sung thêm phương pháp đơn hình 2.1 Đưa BTQHTT dạng tắc 2.2 Phương pháp đơn hình mở rộng 17 17 19 Mơ hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 3.1 Các khái niệm 3.2 Một số phương pháp giải BTQHTT đa mục tiêu 3.3 Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT đa mục tiêu 21 21 23 25 Mơ hình tối ưu phi tuyến đơn đa mục tiêu 4.1 Một số khái niệm 4.2 Một số phương pháp phần mềm giải toán tối ưu phi tuyến đơn mục tiêu 4.3 Một số phương pháp giải toán tối ưu phi tuyến đa mục tiêu 29 29 31 37 CHƯƠNG II CÁC MƠ HÌNH MẠNG 41 Mơ hình mạng vận tải 1.1 Phát biểu toán vận tải 1.2 Tạo phương án vận tải xuất phát 1.3 Phương pháp phân phối giải toán vận tải 1.4 Phương pháp phân phối cải biên giải toán vận tải 41 41 42 44 48 Mơ hình mạng PERT 2.1 Các khái niệm PERT 2.2 Sơ đồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 2.3 Điều chỉnh dự án kế hoạch số hoạt động bị phá vỡ 2.4 Tính thời gian rút gọn tối ưu phương pháp đơn hình 2.5 Áp dụng mạng PERT phân tích chi phí quản lí tài dự án 51 51 56 57 59 59 Một số mơ hình mạng khác 3.1 Bài toán khung tối thiểu 3.2 Bài toán tìm đường ngắn quy hoạch động 3.3 Áp dụng quy hoạch động cho số toán ngành điện 62 62 64 67 CHƯƠNG III GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MƠ PHỎNG VÀ MƠ HÌNH HÀNG CHỜ 73 Mục đích cơng cụ mơ 1.1 Khái niệm mô ngẫu nhiên 1.2 Các công cụ chủ yếu mô 1.3 Mô số phân phối xác suất 73 73 73 74 Áp dụng mô ngẫu nhiên 2.1 Vai trị phương pháp mơ 2.2 Các bước cần tiến hành áp dụng mô 2.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp mơ 78 78 78 79 Một số vấn đề mô hình hàng chờ 3.1 Một số yếu tố hệ thống hàng chờ 3.2 Các số cần khảo sát 3.3 Tính tốn số 3.4 Áp dụng mô cho số hệ thống hàng chờ 88 88 92 92 94 CHƯƠNG IV PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 105 Các khái niệm xích Markov 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Ma trận xác suất chuyển trạng thái phân phối dừng 1.3 Các tính chất định lí 105 105 106 111 Một số ứng dụng phân tích Markov 2.1 Tìm cân thị phần 2.2 Chính sách thay vật tư thiết bị 2.3 Phân tích Markov dự báo thất thu cho hợp đồng thực trước 2.4 Tìm phân phối giới hạn cho hệ thống kĩ thuật 2.5 Một ứng dụng trình sinh−tử cho hệ thống hàng chờ 111 112 112 113 116 120 Mơ xích Markov 3.1 Mơ xích Markov thời gian rời rạc 3.2 Mơ xích Markov thời gian liên tục 123 123 124 Phần tập Phần phụ lục Tài liệu tham khảo 126 137 145 Mở đầu Trong vài năm gần đây, mơn học Tốn − Tin ứng dụng đưa vào chương trình đào tạo Sau đại học cho số chuyên ngành kinh tế − kĩ thuật Quản trị kinh doanh, Quản lí đất đai, Cơng nghệ thông tin, Sinh học … số trường đại học nước Các môn học này, số đơn vị học trình chưa nhiều giúp cho học viên cao học nghiên cứu sinh có kiến thức sở nâng cao Toán học Tin học, đặc biệt phương pháp tính tốn khoa học (Scientific Computing Methods), vấn đề cần thiết cho đề tài nghiên cứu khoa học họ Điều phù hợp với xu chung đào tạo Sau đại học trường đại học nước ngồi, với mơn học Toán – Tin nâng cao cho học viên cao học, thường chiếm thời lượng lớn tới khoảng 200 đến 250 tiết bao gồm nhiều nội dung phong phú cấp thiết Xuất phát từ lí dựa kinh nghiệm tích luỹ q trình dạy số mơn học cho chương trình Cao học Quản lí đất đai Cao học Điện (Trường Đại học Nơng nghiệp I), Cao học Tốn − Tin ứng dụng (Trường Đại học Bách khoa Hà Nội), Cao học Quản trị kinh doanh (tại số trường đại học khác), chúng tơi biên soạn giáo trình với mong muốn việc ứng dụng phương pháp toán học, phương pháp vận trù học triển khai rộng rãi mang lại hiệu thiết thực Giáo trình với thời lượng từ 45 tới 60 tiết, trước hết, dành cho học viên cao học ngành Điện, với nội dung Khoa Cơ điện Khoa Sau đại học, Trường Đại học Nông nghiệp I, thông qua Các chủ đề giáo trình bao gồm: số mơ hình phương pháp tối ưu, toán mạng, giới thiệu quy hoạch động, số ứng dụng lí thuyết hàng chờ (Waiting Line Theory) mô ngẫu nhiên (Stochastic Simulation), khái niệm ứng dụng trình ngẫu nhiên Markov Đây chủ đề Tốn ứng dụng Vận trù học mà học viên cao học nhiều chuyên ngành kinh tế – kĩ thuật trường đại học nước ngồi bắt buộc phải học Các chủ đề giúp ích khơng cho vấn đề quản lí – sử dụng điện mà cho vấn đề thiết kế xây dựng hệ thống kĩ thuật điện Giáo trình lấy làm tài liệu tham khảo phương pháp toán ứng dụng hay mơ hình hố cho chương trình Cao học chun ngành như: Quản lí đất đai, Kinh tế nơng nghiệp số chuyên ngành kinh tế − kĩ thuật khác Khi biên soạn giáo trình, chúng tơi ln ý nhấn mạnh khía cạnh ứng dụng phương pháp tốn học khía cạnh tính tốn khoa học với ví dụ minh hoạ chọn lọc, nhằm giúp cho học viên hiểu rõ nên áp dụng phương pháp vào vấn đề nghiên cứu áp dụng chúng cho số trường hợp cụ thể Do thời lượng mơn học, giáo trình khơng sâu vào vấn đề chứng minh tốn học phương pháp ứng dụng tổng quát chúng hệ thống lớn Hi vọng rằng, học viên cao học quan tâm tới phương pháp tốn học trình bày giáo trình tự tiếp tục có nghiên cứu chuyên sâu sau Chẳng hạn, với kiến thức quy hoạch động phương pháp tối ưu phi tuyến mà giáo trình cung cấp, người đọc tiếp tục nghiên cứu phương pháp quy hoạch động nhằm áp dụng vào hệ điều khiển tối ưu tự động hố Cịn với số chủ đề xích Markov ứng dụng mơ xích Markov, người đọc tiếp tục nghiên cứu mơ hình ngẫu nhiên q trình sinh−tử hay q trình hồi phục có nhiều ứng dụng rộng rãi ngành Điện, Điện tử Viễn thông hay Công nghệ thông tin Đây số khơng nhiều giáo trình Tốn ứng dụng dành cho chương trình Sau đại học chuyên ngành kinh tế – kĩ thuật trường đại học nước, nên cố gắng trình biên soạn, chắn giáo trình khơng tránh khỏi cịn tồn điểm hạn chế Chúng mong nhận ý kiến đóng góp nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, học viên cao học, tiến sĩ để giáo trình hồn chỉnh, xác sinh động Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Sau đại học Khoa Cơ điện, Trường Đại học Nông nghiệp I giúp đỡ quý báu trình biên soạn; cảm ơn Bộ mơn Tốn, giảng viên Đặng Xn Hà Bộ mơn Tin học, học viên cao học chuyên ngành Điện khố 10 11, Trường Đại học Nơng nghiệp I; kĩ sư Phan Văn Tiến học viên cao học chuyên ngành Toán – Tin ứng dụng, khoá 2, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, dành ý kiến đóng góp tham gia hồn chỉnh số nội dung giáo trình Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến phản biện q báu ơng Trưởng mơn Tốn, Trường Đại học Nơng nghiệp I Trưởng khoa Tốn – Tin ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2005 PGS.TS Nguyễn Hải Thanh Chương I MỘT SỐ MƠ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU Mơ hình quy hoạch tuyến tính 1.1 Các bước cần thiết áp dụng phương pháp mơ hình hố − Trước hết phải khảo sát, phát vấn đề cần giải − Phát biểu điều kiện ràng buộc, mục tiêu tốn dạng định tính Sau lựa chọn biến định / ẩn số xây dựng mơ hình định lượng (cịn gọi mơ hình tốn học) − Thu thập số liệu, xác định phương pháp giải − Định quy trình giải / thuật giải Có thể giải mơ hình cách tính tốn thơng thường Đối với mơ hình lớn, gồm nhiều biến nhiều điều kiện ràng buộc cần lập trình giải mơ hình máy tính − Đánh giá kết Trong trường hợp phát thấy có kết bất thường kết không phù hợp với thực tế, cần kiểm tra chỉnh sửa lại quy trình giải mơ hình − Triển khai phương án tìm thực tế Các thuật ngữ sau thường gặp áp dụng phương pháp mơ hình hố: − Ứng dụng toán / Toán ứng dụng (Mathematical Applications hay Applied Mathematics) − Vận trù học (Operations Research viết tắt OR) − Khoa học quản lí (Management Science viết tắt MS) 1.2 Mơ hình quy hoạch tuyến tính Phát biểu mơ hình Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mơ hình tốn học sau đây, cịn gọi mơ hình quy hoạch tuyến tính hay tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà muốn tối ưu hoá (cực đại hoá hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu: z = c1x1 + c2x2 + cnxn → Max (Min) với điều kiện ràng buộc: a11x1 + a12x2 + +a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + +a2nxn ≤ b2 am1x1 + am2x2 + +amnxn ≤ bm x1, x2, , xn ≥ (điều kiện khơng âm) Ví dụ: z = 8x1 + 6x2 → Max với ràng buộc: 4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x , x2 ≥ Cần tìm giá trị biến định x1, x2 để ràng buộc thoả mãn hàm mục tiêu đạt giá trị lớn Bài tốn có ý nghĩa kinh tế sau: Giả sử xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm I cần có đơn vị nguyên liệu loại A đơn vị nguyên liệu loại B, tiêu cho đơn vị sản phẩm loại II Lượng nguyên liệu dự trữ loại A B có 60 48 (đơn vị) Hãy xác định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận đơn vị sản phẩm bán (đơn vị tiền tệ) cho sản phẩm loại I II Phương pháp đồ thị Phương pháp đồ thị có ý nghĩa minh hoạ giúp hiểu chất vấn đề Bước 1: Vẽ miền ràng buộc / miền phương án khả thi, tập hợp phương án khả thi (các phương án, nói cách ngắn gọn) Mỗi phương án thể qua số (x1, x2) gọi véc tơ nghiệm, thoả mãn tất ràng buộc có (xem hình I.1) − Trước hết vẽ đồ thị 4x1 + 2x2 = 60 cách xác định hai điểm đồ thị: (x1 = 0, x2 = 30) (x2 = 0, x1 = 15) x2 30 4x1 + 2x2 = 60 12 A B 2x1 + 4x2 = 48 C O 15 24 x1 Hình I.1 Phương pháp đồ thị giải tốn quy hoạch tuyến tính Đồ thị đường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa mặt phẳng: phần gồm điểm (x1, x2) thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60; phần thoả mãn 4x1 + 2x2 ≥ 60 Ta tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60 − Tương tự, vẽ đồ thị 2x1 + 4x2 = 48 cách xác định hai điểm thuộc đồ thị (x1 = 0, x2 = 12) (x2 = 0, x1 = 24) Sau tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 2x1 + 4x2 ≤ 48 − Lúc này, giao hai nửa mặt phẳng tìm cho ta tập hợp điểm (x1, x2) thoả mãn hai ràng buộc Tuy nhiên, để thoả mãn điều kiện không âm biến, ta xét điểm nằm góc phần tư thứ Vậy miền phương án khả thi miền giới hạn tứ giác OABC (cịn gọi đơn hình miền tạo nên giao nửa mặt phẳng) Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm điểm (x1, x2) cho z = 8x1 + 6x2 đạt giá trị lớn Cách 1: Dùng đường đồng mức Tùy theo giá trị x1, x2 mà z có mức giá trị khác − Vẽ đường đồng mức: 8x1 + 6x2 = c mức c = 24, (ta chọn giá trị c bất kì, chọn c = 24 bội số chung để việc tìm toạ độ điểm cắt hai trục toạ độ thuận lợi hơn) Dễ dàng tìm hai điểm nằm đường đồng mức (x1 = 0, x2 = 4) (x2 = 0, x1 = 3) Các điểm nằm đường đồng mức cho giá trị hàm mục tiêu z = 24 − Tương tự, vẽ đường đồng mức thứ hai: 8x1 + 6x2 = 48 qua hai điểm (x1 = 0, x2 = 8) (x2 = 0, x1 = 6) Chúng ta nhận thấy, tịnh tiến song song đường đồng mức G lên theo hướng véc tơ pháp tuyến n (8, 6) giá trị hàm mục tiêu z = 8x1 + 6x2 tăng lên Vậy giá trị z lớn đạt đường đồng mức qua điểm B(12, 6) (tìm x1 = 12, x2 = cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x2 = 60 2x1 + 4x2 = 48) Kết luận: Trong phương án khả thi phương án tối ưu (x1 = 12, x2 = 6) Tại phương án này, giá trị hàm mục tiêu lớn zmax = × 12 + × = 132 Nhận xét: Phương án tối ưu toán (hay BTQHTT khác, có) ln đạt đỉnh đơn hình hay cịn gọi điểm cực biên đơn hình (chính xác hơn, điểm cực biên điểm thuộc đơn hình, mà khơng thể tìm đoạn thẳng thuộc đơn hình nhận điểm điểm trong) Nhận xét định lí tốn học chứng minh cách tổng qt Nói cách hình ảnh, muốn đạt phương án tối ưu cho BTQHTT cần phải “mạo hiểm” xét điểm cực biên miền phương án Cách 2: Từ nhận xét trên, để tìm phương án tối ưu ta cần so sánh giá trị hàm mục tiêu điểm cực biên miền phương án Tính giá trị z O(0, 0): z(0, 0) = 0; A(0, 12): z(0, 12) = 72; C(15,0): z(15, 0) = 120; B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)} Vậy zmax = 132 Nhận xét: Muốn tìm phương án tối ưu BTQHTT ta xuất phát từ điểm cực biên đó, tìm cách cải thiện hàm mục tiêu cách tới điểm cực biên kề Tiếp tục tìm phương án tối ưu Trong trường hợp BTQHTT có phương án tối ưu quy trình giải bao gồm hữu hạn bước (do số điểm cực biên hữu hạn) Đối với BTQHTT xét, quy trình giải minh hoạ sau: O(0, 0) → A(0,12) → B(12,6) dừng z=0 → z = 72 → z = 132 O(0, 0) → C(15, 0) → B(12, 6) dừng z=0 → z = 120 → z = 132 hoặc: Sơ đồ khối Bắt đầu Nhập liệu Tìm điểm cực biên xuất phát Kiểm tra điều kiện tối ưu Sai Đúng In lưu trữ kết Dừng Hình I.2 Sơ đồ khối giải BTQHTT 10 Tìm điểm cực biên kề tốt ... nhiều ứng dụng rộng rãi ngành Điện, Điện tử Viễn thông hay Công nghệ thông tin Đây số không nhiều giáo trình Tốn ứng dụng dành cho chương trình Sau đại học chuyên ngành kinh tế – kĩ thuật trường đại. .. số trường đại học khác), chúng tơi biên soạn giáo trình với mong muốn việc ứng dụng phương pháp toán học, phương pháp vận trù học triển khai rộng rãi mang lại hiệu thiết thực Giáo trình với thời... Khoa Cơ điện Khoa Sau đại học, Trường Đại học Nông nghiệp I, thông qua Các chủ đề giáo trình bao gồm: số mơ hình phương pháp tối ưu, tốn mạng, giới thiệu quy hoạch động, số ứng dụng lí thuyết hàng