HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG - - BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A2) Biên soạn : Ts LÊ BÁ LONG Ths ĐỖ PHI NGA Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 LỜI NĨI ĐẦU Tốn cao cấp A1, A2, A3 chương trình tốn đại cương dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật Nội dung toán cao cấp A1, A3 chủ yếu phép tính vi tích phân hàm nhiều biến, cịn tốn cao cấp A2 cấu trúc đại số đại số tuyến tính Có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết chủ đề Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có đặc thù riêng, địi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho mơn học Tập tài liệu hướng dẫn học mơn tốn cao cấp A2 biên soạn nhằm mục đích Tập tài liệu biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng Nội dung sách bám sát giáo trình trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ qui Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thông biên soạn năm 2001 theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trường, ngành đại học cao đẳng Giáo trình trình bày theo cách thích hợp người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu chương mục đích chương (trong sách Hướng dẫn học tập Toán A2 kèm) để thấy mục đích ý nghĩa, yêu cầu chương Trong chương, nội dung, người đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt chứng minh rõ ràng Đặc biệt bạn đọc nên ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu mở rộng tổng quát kết Hầu hết toán xây dựng theo lược đồ: Đặt toán, chứng minh tồn lời giải lý thuyết cuối nêu thuật toán giải tốn Các ví dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp người đọc dễ dàng tiếp thu học Giáo trình gồm chương tương ứng với đơn vị học trình (60 tiết): Chương I: Lơ gích tốn học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số Chương II: Không gian véc tơ Chương III: Ma trận Chương IV: Định thức Chương V: Hệ phương trình tuyến tính Chương VI: Ánh xạ tuyến tính Chương VII: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương Ngồi vai trị cơng cụ cho ngành khoa học khác, tốn học cịn xem ngành khoa học có phương pháp tư lập luận xác chặt chẽ Vì việc học toán giúp ta rèn luyện phương pháp tư Các phương pháp giảng dạy cung cấp bước trình học tập phổ thông, chương I vấn đề hệ thống hoá lại Nội dung chương I xem sở, ngơn ngữ tốn học đại Một vài nội dung chương học phổ thông với mức độ đơn giản Các cấu trúc đại số hồn tồn trừu tượng địi hỏi học viên phải đọc lại nhiều lần tiếp thu Các chương cịn lại giáo trình đại số tuyến tính Kiến thức chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết chương công cụ chương khác Vì học viên cần thấy mối liên hệ Đặc điểm môn học tính khái qt hố trừu tượng cao Các khái niệm thường khái quát hoá từ kết hình học giải tích phổ thơng Khi học ta nên liên hệ đến kết Tuy tác giả cố gắng, song thời gian bị hạn hẹp với yêu cầu cấp bách Học viện, thiếu sót cịn tồn giáo trình điều khó tránh khỏi Tác giả mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần xin cám ơn điều Cuối chúng tơi bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thơng bạn bè đồng nghiệp khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệi Hà Nội, cuối năm 2004 Ts Lê Bá Long Khoa Học Viện Công nghệ Bưu Viễn thơng Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.1 SƠ LƯỢC VỀ LƠGÍC MỆNH ĐỀ 1.1.1 Mệnh đề Lơgíc mệnh đề hệ thống lơgích đơn giản nhất, với đơn vị mệnh đề mang nội dung phán đoán, phán đoán giả thiết có giá trị chân lý định sai Để mệnh đề chưa xác định ta dùng chữ p, q, r gọi chúng biến p ta cho p nhận giá trị p sai ta cho nhận giá trị Giá trị gọi thể p mệnh đề Nếu mệnh đề Mệnh đề phức hợp xây dựng từ mệnh đề đơn gián phép liên kết lơgích mệnh đề 1.1.2 Các phép liên kết lơgíc mệnh đề Phép phủ định (negation): Phủ định mệnh đề không p Mệnh đề p p sai p sai p Phép hội (conjunction): Hội hai mệnh đề p mệnh đề ký hiệu p, đọc p, q mệnh đề ký hiệu p ∧ q (đọc p q ) Mệnh đề p ∧ q p q Phép tuyển (disjunction): Tuyển hai mệnh đề (đọc p, q mệnh đề ký hiệu p ∨ q p q ) p ∨ q sai p q sai Phép kéo theo (implication): Mệnh đề p kéo theo sai q , ký hiệu p ⇒ q , mệnh đề p q sai Phép tương đương (equivalence): Mệnh đề ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) gọi mệnh đề p tương đương q , ký hiệu p ⇔ q Một công thức gồm biến mệnh đề phép liên kết mệnh đề gọi công thức mệnh đề Bảng liệt kê thể công thức mệnh đề gọi bảng chân trị Từ định nghĩa phép liên kết mệnh đề ta có bảng chân trị sau Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số p q p q 1 0 p∧q p∨q p p 1 1 0 1 0 0 0 p⇒q p q 1 1 0 p⇒q q⇒ p 1 1 1 Như p ⇔ q mệnh đề hai mệnh đề p⇔q 0 p q sai mệnh đề p ⇔ q sai trường hợp ngược lại Một công thức mệnh đề gọi ln nhận giá trị thể biến mệnh đề có cơng thức Ta ký hiệu mệnh đề tương đương " ≡ " thay cho " ⇔ " 1.1.3 Các tính chất Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề sau: 1) p≡ p luật phủ định kép 2) ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) 3) p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p 4) p ∧ (q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q) ∨ r luật giao hoán luật kết hợp 5) [ p ∧ (q ∨ r )] ≡ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )] [ p ∨ (q ∧ r )] ≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] luật phân phối p ∨ p luật chung 6) Mệnh đề p ∧ p sai 7) p∨q≡ p∧q p∧q≡ p∨q luật mâu thuẫn luật De Morgan Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số 8) p⇒q≡q ⇒ p luật phản chứng 9) p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p luật lũy đẳng 10) 1.2 1.2.1 p ∨ ( p ∧ q) ≡ p ; p ∧ ( p ∨ q) ≡ p luật hấp thu TẬP HỢP Khái niệm tập hợp Khái niệm tập hợp phần tử khái niệm toán học, định nghĩa qua khái niệm biết Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét mối quan hệ phân tử tập hợp lý thuyết tập hợp giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" quan hệ điểm đường thẳng xét hình học Nói cách nơm na, ta xem tập hợp tụ tập vật, đối tượng mà vật hay đối tượng phần tử tập hợp Có thể lấy ví dụ tập hợp có nội dung tốn học khơng tốn học Chẳng hạn: tập hợp số tự nhiên tập hợp mà phần tử số 1,2,3 , cịn tập hợp sách thư viện Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng tập hợp mà phần tử sách A, B, X ,Y , phần tử chữ thường x, y, Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x ∈ A , x không thuộc A ta ký hiệu x ∉ A Ta nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp" Ta thường ký hiệu tập hợp chữ in hoa 1.2.2 Cách mô tả tập hợp Ta thường mô tả tập hợp theo hai cách sau: a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ 1.1: Tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10 Tập hợp nghiệm phương trình {1, 3, 5, 7, } x − = {− 1,1} b) Nêu đặc trưng tính chất phần tử tạo thành tập hợp Ví dụ 1.2: Tập hợp số tự nhiên chẵn Hàm mệnh đề tập hợp P = {n ∈ n = 2m, m ∈ } D mệnh đề S (x) phụ thuộc vào biến x ∈ D Khi cho biến x giá trị cụ thể ta mệnh đề lơgích (mệnh đề nhận hai giá trị hoặc sai) Nếu S (x) mệnh đề tập hợp D tập hợp phần tử x ∈ D cho S (x ) ký hiệu {x ∈ D S (x)} gọi miền hàm mệnh đề S (x) S (x) xác định tập số tự nhiên : " x + số nguyên tố" S (1), S ( 2) S (3), S ( 4) sai i) Xét hàm mệnh đề Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số ii) Mỗi phương trình hàm mệnh đề {x∈ } x − = = {− 1, 1} Để có hình ảnh trực quan tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong khép kín khơng tự cắt gọi giản đồ Ven c) Một số tập hợp số thường gặp - Tập số tự nhiên = { 0, 1, 2, } - Tập số nguyên = { 0, ± 1, ± 2, } - Tập số hữu tỉ = { p q q ≠ 0, p, q ∈ - Tập số thực { } = z = x + iy x, y ∈ ; i = −1 - Tập số phức 1.2.3 } Tập Định nghĩa 1.1: Tập A gọi tập của B , ta ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A Khi chứa A B phần tử A phần tử A tập B ta cịn nói A bao hàm B hay B bao hàm A hay B Ta có: ⊂ ⊂ ⊂ Định nghĩa 1.2: Hai tập ⊂ A , B nhau, ký hiệu A = B, A ⊂ B B ⊂ A A ⊂ B ta cần chứng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B chứng minh A = B ta cần chứng minh x ∈ A ⇔ x ∈ B Như để chứng minh Định nghĩa 1.3: Tập rỗng tập không chứa phần tử nào, ký hiệu φ Một cách hình thức ta xem tập rỗng tập tập hợp A ∈ ( X ) A ⊂ X Tập X tập nên phần tử lớn φ phần tử bé Tập hợp tất tập X ký hiệu P (X ) Vậy P P (X ) Ví dụ 1.3: X = {a, b, c} có P ( X ) = {φ ,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a}, X } Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số P (X ) có 23 = phần tử Ta chứng minh tổng quát Ta thấy X có phần tử 1.2.4 X có n phần tử P (X ) có 2n phần tử Các phép tốn tập hợp Phép hợp: Hợp hai tập hai tập A , B A B , ký hiệu A ∪ B , tập gồm phần tử thuộc (x ∈ A ∪ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B )) Vậy Phép giao: Giao hai tập đồng thời hai tập A , B A B , ký hiệu A ∩ B , tập gồm phần tử thuộc (x ∈ A ∩ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B )) Vậy Hiệu hai tập: Hiệu hai tập phần tử thuộc A không thuộc B (x ∈ A \ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∉ B )) Vậy Đặc biệt A B , ký hiệu A \ B hay A − B , tập gồm B ⊂ X tập X \ B gọi phần bù B X ký hiệu C XB Nếu tập X cố định không sợ nhầm lẫn ta ký hiệu B thay cho C XB Ta minh hoạ phép toán giản đồ Ven: A∩ B A∪ B C XB Áp dụng lơgích mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại tính chất sau: A ∪ B = B ∪ A, A∩ B = B∩ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C tính giao hốn tính kết hợp A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) , Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) Giả sử 1.2.5 tính phân bố A, B hai tập X thì: A = A; A ∪ φ = A; A ∩ X = A A∪ A = X; A∩ A =φ A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B luật De Morgan A \ B = A ∩ B = A ∩ A ∩ B = A \ ( A ∩ B) = C AA∩ B ( ) Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Giả sử S (x) hàm mệnh đề xác định tập D có miền DS ( x) = {x ∈ D S ( x)} Khi đó: a) Mệnh đề ∀x ∈ D , S ( x) (đọc với x ∈ D , S ( x) ) mệnh đề DS ( x ) = D sai trường hợp ngược lại Ký hiệu Khi ∀ (đọc với mọi) gọi lượng từ phổ biến D xác định ta thường viết tắt ∀x , S ( x) hay (∀x ), S ( x) b) Mệnh đề ∃x ∈ D , S ( x) (đọc tồn x ∈ D , S ( x) ) mệnh đề DS (x ) ≠ φ sai trường hợp ngược lại Ký hiệu ∃ (đọc tồn tại) gọi lượng từ tồn Để chứng minh mệnh đề với lượng từ phổ biến ta phải chứng minh trường hợp, với mệnh đề tồn ta cần trường hợp c) Người ta mở rộng khái niệm lượng tử tồn với ký hiệu ∃! x ∈ D, S ( x) (đọc tồn x ∈ D, S ( x) ) DS (x ) có phần tử d) Phép phủ định lượng từ ( ) ∃x ∈ D, S ( x) ⇔ ( ∀x ∈ D, S ( x) ) ∀x ∈ D, S ( x) ⇔ ∃x ∈ D, S ( x) (1.1) Ví dụ 1.4: Theo định nghĩa giới hạn lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃δ > ; ∀x : < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε x →a 10 Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số Sử dụng tính chất ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) (xem tính chất 1.3) ta có < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε tương đương với (( x − a ≥ δ ) ∨ (x = a ))∨ ( f ( x) − L < ε ) Vậy phủ định lim f ( x) = L x→a ∃ε > , ∀δ > ; ∃x : 1.2.6 ( < x − a < δ ) ∧ ( f ( x) − L ≥ ε ) Phép hợp giao suy rộng Giả sử ( Ai )i∈I họ tập hợp Ta định nghĩa U Ai tập gồm phần tử thuộc i∈I tập Ai I Ai tập gồm phần tử thuộc tập Ai i∈I (x ∈ Ui∈I Ai ) ⇔ (∃i0 ∈ I ; x ∈ Ai ) (x ∈ Ii∈I Ai ) ⇔ (∀i ∈ I ; x ∈ Ai ) Vậy An = {x ∈ Ví dụ 1.5: Bn = {x ∈ (1.2) ≤ x ≤ n (n + 1)} − (n + 1) ≤ x < + (n + 1)} ∞ ∞ U A = [0 ; 1) , I B = [0 ; 1] n n =1 1.2.7 n n =1 Quan hệ 1.2.7.1 Tích Đề tập hợp Định nghĩa 1.4: Tích Đề hai tập dạng X , Y tập, ký hiệu X × Y , gồm phần tử có ( x, y ) x ∈ X y ∈ Y Vậy Ví dụ 1.6: X × Y = {( x, y ) x ∈ X vµ y ∈ Y } (1.3) X = {a, b, c}, Y = {1, 2} X × Y = {( a,1), (b,1), (c,1), ( a,2), (b,2), (c,2)} n×m Ta dễ dàng chứng minh phần tử X có n phần tử, Y có m phần tử X × Y có 11