ĐẠI HỌC CẦN THƠ TIN HỌC LÝ THUYẾT Võ Huỳnh Trâm Năm 2007 Chương I : Bổ túc toán Chương I BỔ TÚC TỐN Nội dung : Trong chương này, nhắc lại cách khái quát thuật ngữ kiến thức toán học dùng đến suốt giáo trình Đó kiến thức liên quan đến đồ thị, cây, tập hợp, quan hệ vài phương pháp chứng minh toán học thông thường Nếu khái niệm bạn, bạn nên xem lại cách cẩn thận Ngược lại, chúng khơng mới, bạn đọc lướt nhanh qua chương này, chắn nắm rõ chúng Mục tiêu cần đạt : Sau chương này, sinh viên : ¾ Xác định tập hợp phép toán tập hợp ¾ Định nghĩa quan hệ, lớp quan hệ tính chất quan hệ ¾ Xác định quan hệ tương đương phép bao đóng ¾ Chứng minh phát biểu tốn học theo phương pháp quy nạp ¾ Nắm vững khái niệm đồ thị Kiến thức : Các kiến thức Tốn có liên quan Tài liệu tham khảo : [1] John E Hopcroft, Jeffrey D.Ullman – Introduction to Automata Theory, Languages and Computation – Addison – Wesley Publishing Company, Inc – 1979 (trang – trang 12) [2] V.J Rayward-Smith – A First course in Formal Language Theory (Second Editor) – McGraw-Hill Book Company Europe – 1995 (Chapter 1: Mathematical Prerequisites) [3] Các giáo trình Tốn rời rạc I TẬP HỢP (Sets) Một tập hợp tập đối tượng khơng có lặp lại Mỗi đối tượng tập hợp gọi phần tử (element) tập hợp 1.1 Ký hiệu tập hợp Chương I : Bổ túc toán Nếu số phần tử tập hợp khơng q lớn, hay nói cách khác – tập hợp hữu hạn, tập hợp đặc tả cách liệt kê phần tử Thí dụ 1.1 : D xác định tập hợp ngày tuần : D = { Mon, Tues, Wed, Thurs, Fri, Sat, Sun } Các phần tử tập hợp viết cách dấu “, “ đặt cặp dấu { } Khơng có bắt buộc thứ tự liệt kê phần tử tập hợp Chẳng hạn, tập hợp D tương đương với tập hợp sau : D = { Mon, Wed, Fri, Thurs, Sun, Tues, Sat } Nếu phần tử x thành phần tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc x thuộc A), x không phần tử A, ta viết x ∉ A (đọc x không thuộc A) Chẳng hạn : Mon ∈ D Kippers ∉ D Nếu tập hợp chứa số lớn phần tử hay chí số vơ hạn, người ta khơng liệt kê tất phần tử mà đặc tả tập hợp theo số tính chất đặc trưng Thí dụ 1.2 : D = { x | x ngày tuần } P = { y | y số nguyên tố } X={x⏐x>2} Mọi tập hợp chứa phần tử thuộc vào không gian xác định đó, ký hiệu U Khơng gian tương ứng định nghĩa tập số nguyên, số thực, … Một trường hợp đặc biệt tập hợp tập hợp rỗng (empty set) Tập hợp khơng có chứa phần tử nào, ký hiệu ∅ { } Ta nói tập hợp A tập hợp (subset) tập hợp B phần tử A thành phần B ( ký hiệu A ⊆ B) Ngược lại, A không tập B (A ⊄ B ) Thí dụ 1.3 : { 1, 2, } ⊆ { 1, 2, 3, 4, } { 2, 4, } ⊄ { 1, 2, 3, 4, } Có thể suy tập hợp A ⊆ U ∅ ⊆ A, ∀A Hai tập hợp A B gọi (A = B), A ⊆ B B ⊆ A Thí dụ 1.4 : { 1, 2, 3, } = { 2, 1, 4, } { 1, 2, 3, } ≠ { 2, 1, 3, } Tập hợp tất tập hợp tập A gọi tập lũy thừa (power set) A xác định 2A Thí dụ 1.5 : Giả sử A = { 1, 2, } Thì 2A = { ∅, {1 }, {2 }, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} } 1.2 Các phép toán tập hợp Các toán tử tập hợp bao gồm tốn tử ngơi (unary) hai (binary) sau : Chương I : Bổ túc toán 1) Phép phần bù (complement) : A' = {x | x ∈ A } 2) Phép hợp (union) : A ∪ B = {x | x ∈A x ∈B} 3) Phép giao (intersection) : A ∩ B = {x | x ∈A x ∈B} 4) Phép trừ (difference) : A \ B = {x | x ∈A x ∉B} 5) Tích Đecac : A × B = {(a,b) | a ∈A b∈B} Thí dụ 1.6 : Cho A = {1, 2} B = {2, 3} Ta có : A ∪ B = {1, 2, 3} A ∩ B = {2} A \ B = {1} A × B = {(1, ), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} 2A = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} Lưu ý : Nếu A B có số phần tử n m tập hợp A × B có n × m phần tử tập 2A có 2n phần tử II QUAN HỆ (Relations) Cho hai tập hợp A B Một quan hệ hai R A B tập hợp chứa tất tập hợp A × B mà thành phần thứ A gọi miền xác định (domain) R, B gọi miền giá trị (range) R (có thể trùng với miền xác định) Chúng ta thường dùng quan hệ hai mà miền xác định miền giá trị thuộc tập hợp S Trong trường hợp này, ta gọi quan hệ S Nếu R quan hệ (a,b) cặp R ta viết aRb Thí dụ 1.7 : Cho S = { 0, 1, 2, 3} Quan hệ "thứ tự nhỏ hơn" S xác định tập : L = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} Quan hệ "bằng" S xác định tập : E = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Quan hệ "chẵn lẻ" S xác định tập : P = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} Các tính chất quan hệ Ta gọi quan hệ R tập S là: Phản xạ (reflexive) : aRa ∀a ∈ S • Đối xứng (symmetric) : aRb bRa • Bắc cầu (transitive) : aRb bRc aRc • Thí dụ 1.8 : L khơng quan hệ phản xạ S (0, 0) ∉ L, E P quan hệ mang tính phản xạ L khơng quan hệ đối xứng S (0, 1) ∈ L (1, 0) ∉ L, nhiên E P mang tính đối xứng Chương I : Bổ túc toán Cả L, E P quan hệ mang tính bắc cầu, X = {(1, 0),(0, 3)} khơng (1, 3) ∉ X 2.1 Quan hệ tương đương Một quan hệ R tập S có đủ tính chất phản xạ, đối xứng bắt cầu gọi quan hệ tương đương Thí dụ 1.9 : E P quan hệ tương đương, cịn L X khơng quan hệ tương đương S Một tính chất quan trọng quan hệ tương đương R quan hệ tương đương tập S R phân hoạch tập S thành lớp tương đương (equivalence class) Si không rỗng rời nhau, tức S = S1 ∪ S2 ∪ với i ≠ j ta có : + Si ∩ Sj = ∅ + Với a,b thuộc Si aRb + Với a ∈ Si b ∈ Sj aRb sai Lưu ý số lớp tương đương vơ hạn Vậy R quan hệ tương S a ∈ S, ta có : Si = [a] = {b ∈ S ⏐ aRb} Thí dụ 1.10 : E có lớp tương đương khác nhau: [0] = {0}, [1] = {1}, [2] = {2} [3] = {3} P có lớp tương đương khác nhau: [0] = [2] = {0, 2} [1] = [3] = {1, 3} 2.2 Bao đóng quan hệ Giả sử P tập hợp số tính chất quan hệ, bao đóng P (P - closure) quan hệ R tập S quan hệ nhỏ có chứa tất cặp R thoả mãn tính chất P • • Bao đóng bắc cầu R+ R xác định sau : i) Nếu (a,b) thuộc R (a,b) thuộc R+ ii) Nếu (a,b) thuộc R+ (b,c) thuộc R (a,c) thuộc R+ iii) Khơng cịn thêm R+ Bao đóng phản xạ bắc cầu R* R xác định sau : R* = R+ ∪ {(a, a)⏐ a ∈ S} Thí dụ 1.11 : Cho quan hệ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} tập hợp S = {1, 2, 3} Khi ta có : R+ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)} R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} Chương I : Bổ túc toán III PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP Phần lớn định lý giáo trình chứng minh phương pháp quy nạp toán học : Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề P(n) với n số nguyên không âm Nguyên lý quy nạp toán học cho P(n) chứng minh theo bước sau : i) P (0) , ii) P( n - 1) kéo theo P (n), ∀n ≥ Bước (i) gọi sở quy nạp, bước (ii) gọi bước quy nạp với P(n-1) giả thiết quy nạp Thí dụ 1.12 : Dùng quy nạp, chứng minh biểu thức : n ∑i = i =0 n( n + 1)( 2n + 1) Cơ sở quy nạp : Thay n = vế phải biểu thức nhận thấy vế ⇒ P (0) Bước quy nạp : Thay n n - để có giả thiết quy nạp P(n-1), sau tìm cách để chứng minh P(n), tức chứng minh ∀n ≥ 1, ta có : n -1 ∑i2 = i =0 n n (n + 1)(2n + 1) ( n - 1) n (2n - 1) ⇒ ∑i2 = i =0 6 Ta có nhận xét : n ∑i i =0 n -1 = ∑ i + n2 i =0 Vậy ta vận dụng giả thiết quy nạp cịn phải chứng minh biểu thức : (n - 1) n (2n - 1) n (n + 1) (2n + 1) + n2 = 6 Với vài phép biến đổi đại số đơn giản, biểu thức chứng minh dễ dàng Hay P(n) chứng minh, ∀n Chương I : Bổ túc toán IV ĐỒ THỊ VÀ CÂY 4.1 Đồ thị (Graph) Một đồ thị, ký hiệu G = (V, E), bao gồm tập hữu hạn đỉnh V (còn gọi nút) tập cạnh E nối nút Thí dụ 1.13 : Đồ thị cho : V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {(n, m) | n + m = n + m = 7} Hình 1.1 - Ví dụ đồ thị Một đường (path) đồ thị dãy đỉnh v1, v2 , , vk, k ≥ 1, cho có cạnh (vi ,vi +1) cho i, ≤ i < k Độ dài đường k - Nếu v1 = vk đường chu trình Chẳng hạn : 1, 3, đường đồ thị Đồ thị có hướng (directed graph) Một đồ thị có hướng dạng đồ thị xác định G = (V, E), V tập đỉnh, cịn E tập đỉnh có thứ tự gọi cung (hay đường nối có hướng đỉnh) Ký hiệu cung từ v đến w có dạng v → w Thí dụ 1.14 : Đồ thị có hướng G = ({1, 2, 3, }, { i → j | i < j }) Hình 1.2 - Một đồ thị có hướng Một đường đồ thị có hướng dãy đỉnh v1, v2 , , vk, k ≥ 1, cho với i, ≤ i < k, có cung từ vi đến vi +1 Chẳng hạn → → → đường đồ thị định hướng (từ đến 4) Chương I : Bổ túc toán 4.2 Cây (trees) Cây (cây định hướng có thứ tự) đồ thị có hướng với tính chất sau : i) Có nút đỉnh gọi nút gốc ii) Mỗi nút lại dẫn từ nút cha : - Các nút có dẫn nút sau gọi nút trung gian hay nút - Các nút không dẫn nút gọi nút iii) Thứ tự duyệt từ trái sang phải Trong cây, người ta thường dùng khái niệm nút cha nút để thứ tự trước sau phát sinh nút từ nút gốc Nếu có đường từ nút v1 đến nút v2 v1 gọi nút cha v2 ngược lại, v2 nút nút v1 Ta thường vẽ với nút gốc cung xuống phía dưới, ký hiệu mũi tên trở nên khơng cịn cần thiết Các nút nút vẽ từ trái qua phải theo thứ tự xác định Thí dụ 1.15 : Cây minh họa cấu trúc cú pháp câu đơn ngôn ngữ tiếng Việt "An sinh viên giỏi" < Câu đơn > < Chủ ngữ > < Danh từ > An < Vị ngữ > < Động từ > < Bổ ngữ > < Danh từ > < Tính từ > sinh viên giỏi Hình 1.3 - Cây minh họa câu đơn Chương I : Bổ túc toán BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1 Nếu không gian tập hợp tập số nguyên dương nhỏ 20 Hãy viết rõ phần tử tập hợp xác định sau : a) { x ⏐ x + < 10} b) { x ⏐ x số nguyên tố } c) { x ⏐ x = x2} d) { x ⏐ 2x = 1} e) { x ⏐ 3x < 20} 1.2 Cho tập hợp S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hãy viết rõ phần tử tập hợp xác định sau : f) { x ⏐ x ∈ S x chẳn } g) { x ⏐ x ∈ S x ≥ x2 + } 1.3 Cho A = {0, 1, 2} B = {0, 3, 4} Hãy viết rõ tập hợp sau : A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B ; A x B 2A 1.4 Cho ví dụ quan hệ : a) Phản xạ đối xứng, không bắc cầu b) Phản xạ bắc cầu, không đối xứng c) Đối xứng bắc cầu, không phản xạ Trong trường hợp trên, rõ tập hợp quan hệ xác định 1.5 Chứng minh quan hệ sau quan hệ tương đương cho lớp tương đương chúng a) Quan hệ R1 số nguyên định nghĩa : iR1j i = j b) Quan hệ R2 tập thể người định nghĩa : pR2q p, q sinh ngày năm 1.6 Cho tập hữu hạn A Hãy tìm quan hệ tương đương A có số lớp tương đương lớn hay nhỏ 1.7 Cho hai tập hợp sau A = {2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} Giả sử R quan hệ : R = {(x, y) ∈ A × B | x < y} Chương I : Bổ túc toán Hãy liệt kê cặp quan hệ thứ tự R 1.8 Tìm bao đóng bắc cầu, bao đóng phản xạ bắc cầu quan hệ cho sau S = { 1, 2, 3, 4, 5}: {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 4)} 1.9 Cho S = {0, 1, 2} R = {(0, 1), (1, 2)} Tìm R* R+ ... MINH QUY NẠP Phần lớn định lý giáo trình chứng minh phương pháp quy nạp toán học : Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề P(n) với n số nguyên không âm Nguyên lý quy nạp toán học cho P(n) chứng minh theo... cách khái quát thuật ngữ kiến thức toán học dùng đến suốt giáo trình Đó kiến thức liên quan đến đồ thị, cây, tập hợp, quan hệ vài phương pháp chứng minh tốn học thơng thường Nếu khái niệm bạn, bạn... quan hệ tính chất quan hệ ¾ Xác định quan hệ tương đương phép bao đóng ¾ Chứng minh phát biểu toán học theo phương pháp quy nạp ¾ Nắm vững khái niệm đồ thị Kiến thức : Các kiến thức Tốn có liên quan