Bài giảng lý thuyết xác suất chương 3 các quy luật phân phối xác suất thông dụng 5

Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối siêu bội phân phối nhị thức Ta có X ∼ H(N, m, 5) với N số lọ lô thuốc m số lọ m hỏng Do N lớn = 0.2 nên ta xấp xỉ X phân phối N nhị thức: X ∼ B(5, 0.2) Khi đó: p(x) = P(X = x) = C5x (0.2)x (0.8)5−x , ∀x = 0, 61 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối siêu bội phân phối nhị thức Bảng phân phối xác suất X có dạng : X P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032 62 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Xét biến ngẫu nhiên X với phân phối nhị thức X ∼ B(n, p) cỡ mẫu n lớn p nhỏ, người ta thường xấp xỉ phân phối X phân phối Poisson: X ∼ P(λ) với λ = np 63 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Xấp xỉ phân phối nhị thức B(n = 118, p = 0.26) (màu đỏ) phân phối Poisson P(λ = 118 × 0.26 = 30.09) (màu xanh) 64 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Ví dụ minh họa Phân phối nhị thức B(20; 05) xấp xỉ phân phối Poisson với λ = 20 × 0.05 = 1, thông qua bảng so sánh xác suất thành phần sau: X B 0.358 0.378 0.189 0.059 0.013 0.003 0.000 0.000 P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.003 0.001 0.000 65 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức Poisson phân phối chuẩn Định lý (Định lý giới hạn trung tâm) Cho X1 , X2 , , Xn , dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối với kỳ vọng phương sai hữu hạn: E(Xk ) = µ, Var(Xk ) = σ , ∀k ∈ N 66 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức Poisson phân phối chuẩn Định lý (Định lý giới hạn trung tâm (tiếp)) Khi đó, quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên: Unc = Un − E(Un ) Var(Un ) n , với Un = Xk k=1 hội tụ tới quy luật chuẩn tắc N(0, 1) n → ∞ 67 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức Poisson phân phối chuẩn Tức là: lim n→∞ P(Unc < x) = √ 2π x e − t2 dt −∞ Ví dụ minh họa Chọn ngẫu nhiên 192 số đoạn [0, 1] Xác suất để tổng số điểm thu nằm khoảng (88, 104) bao nhiêu? 68 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức Poisson phân phối chuẩn Đặt X đại lượng ngẫu nhiên tổng số điểm thu Khi ta có, X = 192 i=1 Xi , đại lượng ngẫu nhiên X1 độc lập tuân theo phân phối liên tục tên khoảng (0, 1) Do đó, E(Xi ) = 0.5, Var(Xi ) = ∀i = 1, 192 12 69 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức Poisson phân phối chuẩn Từ ta tính được: E(X ) = 96, Var(X ) = Do đó, áp dụng định lý giới hạn trung tâm ta có: 104 − 96 = 2Φ(2) = 0.9544 P(88 < X < 104) = Φ −Φ 88 − 96 70 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Khi sử dụng quy luật phân phối nhị thức, n lớn p không gần gần 1, ta xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn với µ = np phương sai σ = np(1 − p) P(a ≤ X ≤ b) = Φ b − np np(1 − p) −Φ a − np np(1 − p) đó, f hàm mật độ Gauss Φ hàm phân phối Gauss 71 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Ví dụ minh họa Theo Experian Automotive, số gia đình sở hữu xe Mỹ, có 35% gia đình để từ đến ôtô nhà Xét mẫu gồm 400 gia đình sở hữu xe Mỹ Tìm xác suất số có: a Ít 150 gia đình để từ đến nhà b Ít 160 gia đình để từ đến nhà 72 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Trong số 400 gia đình sở hữu xe Mỹ, gọi X số gia đình có từ đến xe nhà Khi đó, X có phân phối nhị thức X ∼ B(400, 0.35) Ta xấp xỉ phân phối X √ phân phối chuẩn với µ = np = 140 σ = np(1 − p) = 91 150 − 140 √ a P(X < 150) = Φ = 0.8531 91 160 − 140 √ b P(X ≥ 160) = − P(X < 160) = − Φ = 0.0179 91 73 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Poisson phân phối chuẩn Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với λ ≥ Khi đó, xấp xỉ X phân phối chuẩn với µ = λ σ = λ Ví dụ minh họa Số tai nạn lao động trung bình năm nhà máy 6.5 vụ Tính xác suất năm đó: a Có tối đa vụ tai nạn lao động b Ít vụ tai nạn lao động 74 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Xấp xỉ phân phối Poisson phân phối chuẩn 75 / 77 ... B(20; 05) xấp xỉ phân phối Poisson với λ = 20 × 0. 05 = 1, thơng qua bảng so sánh xác suất thành phần sau: X B 0 . 35 8 0 .37 8 0.189 0. 059 0.0 13 0.0 03 0.000 0.000 P 0 .36 8 0 .36 8 0.184 0.061 0.0 15 0.0 03. .. B(400, 0 . 35 ) Ta xấp xỉ phân phối X √ phân phối chuẩn với µ = np = 140 σ = np(1 − p) = 91 150 − 140 √ a P(X < 150 ) = Φ = 0.8 53 1 91 160 − 140 √ b P(X ≥ 160) = − P(X < 160) = − Φ = 0.0179 91 73 / 77... Bảng phân phối xác suất X có dạng : X P 0 .32 768 0.4096 0.2048 0. 051 2 0.0064 0.00 032 62 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên