SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO KỲ THỊ CHỌN ĐỘI TUYẾN DỰ THỊ HỌC SINH GIỎI
HA TINH QUOC GIA THPT NĂM HỌC 2022 - 2023
DE THI CHINH THUC Mơn thỉ: TỐN -
R - Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kê thời gian giao đà) (Đề thị cĩ | trang, gém 4 bai) Ngay thi thir nhat: 22/9/2022
Bài I (5 điểm) Cho dãy số (u, ) xác định bởi u,=1 va fig =a Wan |
a) Chứng mình rằng dãy số (u„) cĩ giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đĩ
b) Chimg minh ring ui <2n, Wn eet
Bài 2 (5 điểm) Cho trước a,b N” thỏa mãn aˆ +62 là tích của các số nguyên tổ phân biệt, và
mỗi số nguyên tơ đĩ đều cĩ dạng 8k—3, keN”
a) Gia sir tn tai p=8/~—3 (7 eN`) là một ước nguyên tố của a* +“ Chứng minh rằng p
là ước của cả a và 6
b) Tìm tất cả các cặp (m,n) với m,ncZ mà am +bn và an -bm là các số chính phương Bài 3 (5 điểm) Cho tam giác 4BC nhọn (4B< AC), nội tiếp đường trịn (Ø) Gọi / là tâm đường trịn nội tiếp tam giác 48C Đường thẳng 47 cắt 8C tại D va cit lai (O) tai M
Đường thẳng vuơng gĩc với 4/ tại / cắt đường thẳng BC tại K Các đường thẳng K4, KM cất lại (O) lần lượt tại E, Ƒ' Các đường thằng #7, FD cắt lại (O) lần lượt tại X, P
3) Chứng mình rằng MN 1a trung trực của EP
b) Gọi L là giao điểm của EF va AM Chimg minh ring KL vuơng gĩc với Oï
Bài 4 (5 điểm) Với nỗi cặp số nguyên đương (m;n) , giả sử ban dau cé m+n hop được đánh
số từ 1 đến m+n, trong đĩ m hộp đầu tiên mỗi hộp chứa 1 bi đen và ø hộp cịn lại mỗi hộp chứa l bị trắng
Trong mỗi bước, ta được quyền chuyển một bỉ đen từ hộp ¡ sang hộp ¡+1 và một bì rằng từ
hộp / sang hộp j —1 với điều kiện ¡— 7 là một số chẵn Ở đây giả sử rằng mỗi hộp đều đủ lớn để cĩ thể chứa tồn bộ số bi
Cặp số (m;n) được gọi là tốt nếu sau hữu hạn bước chuyển thì m hộp đầu tiên mỗi hộp chứa 1
bi trắng và m hộp cịn lại mỗi hộp chứa | bi đen Nếu trái lại thì ta nĩi (m;n) là cập xấu
a) Chứng mình rằng cặp (I:2021) là cặp xấu
b) Tìm số cặp số nguyên dương (m;n) tốt trong mỗi trường hợp m+n=2022 và m+n=2023
Trang 2KY THI CHON DOI TUYEN
SO GIAO DUC VA DAO TAO
HA TINH DU THI HOC SINH GIOI QUOC GIA THPT
NĂM HỌC 2022 -
ĐỀ THỊ CHÍNH THỨC Mơn thí: TỐN MỸ NUNG
tối: : Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao để)
(ORI CĨ RUN) SVNN”E DỐI) Ngày thi thứ hai: 23/0/2022 Bài 5 (ố điểm) Cho hàm số ƒ :ÏR —> ïR thỏa mãn f(x#(x+y))= /((x))+x?, Vx,yeR a) Chứng minh rằng ƒ là đơn ánh b) Tìm tất cả các hàm số ƒ thỏa mãn điều kiện trên Bài 6 (7 điểm)
Cho tam giác 48C nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (Ø) và cĩ đường cao 4H Gọi ï là trung điểm BC Duong thing 8C cắt (AO/) tại D khác 7 Lấy E trên đường thing
AC sao cho ÐE vuơng gĩc với ÁC Lấy F sao cho HF song song véi AB va HF vuơng gĩc với DF’
a) Chimg minh rang (HEF) di qua trung điểm 4H
b) Goi AH cat DF tai M, BM cit DE tai N.Chimg minh ring DO đi qua trưng
diém MN
Bài 7 (7 điểm)
An và Bình đến cửa hàng mua kẹo Trong cửa hàng cĩ các túi kẹo loại | chiếc, 2 chiếc, 4
chiếc, ., 2”' chiếc Mỗi loại cĩ nhiều túi Mỗi bạn chọn mua một số túi ở nhiều loại và mỗi
loại cĩ thể mua nhiều túi
a) Số túi ít nhất An cần phải mua để cĩ đúng 1000 chiếc kẹo là bao nhiêu?
b) Cĩ bao nhiêu cách chọn 5 túi kẹo đơi một khác loại sao cho tơng số chiếc kẹo được
chọn khơng vượt quá 2023 và nếu túi loai 2” duge chon (me N, 0< 29) thì túi loại 2"*!' khơng được chọn?
c) Gia su sau khi mua, An và Bình lần lượt cĩ ø và 0+1 (neĐ, 0<<2023) chiếc
kẹo, đơng thời An cĩ nhiêu hơn Bình 7 túi kẹo Cĩ bao nhiêu giá trị z4 thỏa mãn các
điều kiện trên, biết An và Bình luơn mua ít túi nhất cĩ thẻ?