TRẦN ĐỨC HUYÊN (Chủ biên)
Trang 4LOI NOI DAU
Cùng với Sách giáo khoa Toản 10 và Sách giáo viên Toán 10 (Bộ sách
Chân trời sảng tạo), nhóm tác giả biên soạn Bải tập Toán 10 (tập một, tập hai)
nhằm giúp học sinh rèn luyện kiên thức và các kĩ năng cơ bản phù hợp với
Chương trình Giáo đục pho thông mơn Tốn của Bộ Giáo duc và Đào tao
ban hành năm 2018
Nội đung sách Bài tập Toán 10 thê hiện tỉnh thần tắch hợp, phát triển phẩm chat
và năng lực của học sinh
Câu trúc sách tương ứng với Sách giáo khoa Toán 10 (Bộ sách Chân trời
sang tạo) Bài tập Toán 10, tập một bao gồm sáu chương:
Ở Chương I Mệnh đề và tập hợp
Ở Chương II Bất phương trình và hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn Ở Chương III Hàm số bậc hai và đồ thị
Ở Chương IV Hệ thức lượng trong tam giác
Ở Chương V Vectơ
Ở Chương VI Thống kê
Mỗi chương bao gồm nhiều bài học Mỗi bài học gồm các phần như sau:
+ KIÊN THỨC CÂN NHỚ;
+ BAI TAP MAU;
+ BÀI TẬP
Cuối mỗi chương là phần LỜI GIẢI - HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Rât mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh dé Bộ sách ngày càng hoàn thiện hơn
Trang 5MUC LUC
Lời nói đầu
Phần ĐẠI Số VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH Chương I MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP
Bài 1 Mệnh để
Bài 2 Tập hop
Bài 3 (ác phép toán trên tập hợp
Bài tập cuối chương l
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Chương II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bài tập cuối chương II
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Chương III.HẦM Số BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
Bài 1 Hàm số và đồ thị Bài 2 Hàm số bậc hai
Bài tập cuối chương III
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số Trang 14 18 19 24 24 28 34 37 42 42 47 56 59 Phần HÌNH HỌC VÀ Đ0 LƯỜNG
Chương IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc từ 0ồ đến 180ồ Bài 2 Định lắ côsin và định lắ sin
Bài 3 Giải tam giác và ứng dụng thực tế Bài tập cuối chương IV
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Chương V VECT0
Bài 1 Khái niệm vectơ
Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 3 Tắch của một số với một vectơ
Bài 4 Tắch vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương V
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số Phần THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Chương VI THỐNG KÊ Bài 1 Số gần đúng và sai số Bài 2 Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Bài 3 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
của mẫu số liệu
Bài 4 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán
của mẫu số liệu
Bài tập cuối chương VI
Trang 6Phần ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH Chương I MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Bai 1 MENH DE A KIEN THUC CAN NHO 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến ~Ở Mệnh để là một khẳng định đúng hoặc sai Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng
Một khẳng định sai goi la ménh dé sai
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai
Ở Mệnh dé chứa biến không phải là mệnh đả, nhưng khi thay biến bởi giá trị
nào đó thì nó trở thành mệnh đê
Cư ý: Người ta thường sử đụng các chữ cái in hoa P, O, R, để kắ hiệu mệnh đề
2 Mệnh để phủ định
Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề ỘKhông phải PỢ, kắ hiệu P Mệnh đề P đứng
khi P sai và P sai khi P đúng
3 Mệnh để kéo theo
Ở Mệnh đề ỘNêu P thi ửỢ được gọi là mệnh để kéo theo, kắ hiệuP Ở= Q Mệnh đề
P => OQ chỉ sai khi P đúng và Q sai
ỞNéu ménh dé P = @ đúng (định lắ) thi ta noi: +P la gid thiét, Ola két uén cta dinh li; + P la diéu kién dit dé 6 O;
+ Q là điều kiện cần đễ có P
Chit y:
a) Mệnh a8 P > Q con được phát biểu là ỘP kéo theo @Ợ hoặc ỘTừ P suy ra ỞỢ b) Đề xét tắnh đúng sai của mệnh đề P > Q, ta chi can Xét trường hợp P đúng Khi đó, nêu Ó đúng thì mệnh đê đúng, nêu Ó sai thì mệnh đề sai
4 Mệnh để đảo, hai mệnh để tương đương
Ở Mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo P > @là mệnh đề Q=P
Chi ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhât thiết là đúng
Trang 7ỞNéu cả hai mệnh dé P > Q va Q > P déu ding thi ta noi P va Q la hai mệnh đề
tương đương, ki hiệu làP ẹ Q
~ Khi đó, P là điều kiện cần và đũ đễ có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ đề có P)
Chi ý: Hai mệnh đề P và Ó tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai
5 Mệnh đề chứa kắ hiệu V, 3
Ở Mệnh đề ỘVx e M, P(x)Ợ đúng nêu với mọi xạc Ả⁄, P(x,) là mệnh đề đúng Ở Mệnh đề Ộ3x Ạ M, P(x)Ợ ding nếu có x, Ạ M sao cho P(x,) la mệnh đề đúng B BÀI TẬP MẪU Bài 1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? a)2+2=5; b) 10ồ> 9%" c) Hãy chứng tỏ 2/2 là số vô tỉ; đ) 2* là sô rất lớn Giải a) La khang định sai Nó là một mệnh đề
b) Là câu khẳng định, chắc chắn chỉ có thê hoặc đúng hoặc sai Nó là một mệnh đề
c) La câu mệnh lệnh, không phải là câu khẳng định Nó không là mệnh đề đ) Là câu khẳng định, nhưng không có tắnh chất hoặc đúng hoặc sai, do không rõ tiêu chắ thê nào là sô lớn Nó không phải là mệnh đề
Bài 2 Trong mỗi cặp mệnh đề P và Q sau đây, hãy phát biểu mệnh đề P = ử và xét tắnh đúng sai của nó P có phải là điều kiện đủ để có @ không?
a) P: Ộa va b la hai s6 chinỢ, Q: Ộa+b la sé chinỢ (a, b là hai số tự nhiên);
b)P: ỘTứ giác 4BCĐ có bốn cạnh bằng nhauỢ, @: ỘTứ giác 4BỂD là một hình vuôngỢ
Giải
a) P > Q: ỘNéu a va b la hai s6 chin thi a + b 1a s6 chinỢ
Ta biết rằng, tổng của hai sô chẵn là một số chin, nén P đúng thì Q ding
Trang 8b) P = O: ỘNếu tứ giác 4BCD có bỗn cạnh bằng nhau thì nó là hình vuôngỢ Có những tứ giác có bỗn cạnh bằng nhau nhưng không là hình vuông (chẳng hạn như hình thoi có một góc khác 90ồ) Khi tứ giác 48C?D như vậy thì P đúng, Q sai
Do đó, mệnh đề P > O sai
Cũng vì vay, P không phải là điều kiện đủ đề có Ó
Bai 3 Cho ttt giac ABCD, xét hai mệnh đề:
P: ỘTứ giác ABCD có tông hai góc đối bằng 180ồỢ, Ó: ỘTứ giác 4BCD là tứ giác nội tiếpỢ
a) Phat biểu ménh dé P = O và xét tắnh đúng sai của nó
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P => Ạ và xét tắnh đúng sai của mệnh đề
đảo đó
e) Mệnh đề P là điều kiện gì của mệnh đề ử2
Giải
a) P => Q: ỘNếu tứ giác ABCD có tông hai góc đổi bằng 180ồ thì nó là tứ giác
ndi tiépỢ, la một mệnh đê đúng
b)Q=P: ỘNếu tứ giác4BCD là tứ giác nội tiếp thì tổng hai góc đôi của nó bằng 180ỢỢ, là một mệnh đề đúng c) Tit trén ta thay, P và ử là hai mệnh đề tương đương Do đó, P là điều kiện cần và đủ đề có Ó Bài 4 Sử dụng kắ hiệu V hoặc 3, viết lại các mệnh đề sau Viết mệnh đề phú định của mỗi mệnh đề đó
Trang 9a
BÀI TẬP
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) Số 2'ồ có 50 chữ số khi viết trong hệ thập phan,
b) 0,0001 là số rât bé;
e2 V5 >5;
d) 2x+1>0;
e) Virus SARS-CoV-2 rat nguy hiểm, đúng không?
Hãy viết ba câu là mệnh đề, ba câu không phải là mệnh đẻ
Phát biểu mệnh dé phủ định của các mệnh đề sau đây và xét tắnh đúng sai của các mệnh đề phủ định đó
a) P: ỘNam 2020 là năm nhuậnỢ; b) Q: ỘV2 không phải là số vô tỉỢ;
c) R: ỘPhuong trinh x* + 1 = 0 có nghiệmỢ
Với mỗi cặp mệnh đề P và Ó sau đây, hãy phát biểu mệnh đề P Ở @ và xét tắnh đúng sai của nó
a) P: ỘHai tam giác ABC va DEF bang nhauỢ,
Q: ỘHai tam giac ABC va DEF dong dangỢ b) P: Ộb? > 4acỢ; OQ: ỘPhuong trinh a? + bx + c= 0 v6 nghiémỢ (a, b, e là ba số thực nào đó, ụ # 0) Ta có thể phát biểu lại mệnh đề: ỘMỗi hình thơi là một hình bình hànhỢ thành mệnh đề kéo theo:
ỘNếu một tứ giác là hình thơi thì nó là một hình bình hànhỢ
Hãy phát biểu lại mỗi mệnh để sau thành mệnh đề kéo theo:
a) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau;
b) Tổng của hai số hữu tỉ là một sô hữu tỉ;
ẹ) Lập phương của một số âm là một số âm
Phát biểu mệnh dé dao của các mệnh đề sau và xét tắnh đúng sai của mệnh đề đáo đó
a) Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3;
b) Nếu tam giác ⁄4BC có 4B = AC thì tam giác 48C cân;
Trang 107 Sử dụng cáo thuật ngữ Ộđiều kiện cần 4 Ộđiều kiện đủỢ, Ộđiều kiện cần và đủỢ và cặp mệnh đề P, @ sau đây để thành lập một mệnh đề đúng
a) P: Ộa= bồ Q: Ộa?= bỢỢ (a, b là hai số thực nào đó)
b)P: ỘTứ giác 4BCD có hai đường chéo bằng nhauỢ, Ó: ỘTứ giác 4BC?D là hình thang cânỢ
ẹ)P: ỘTam giác 4BC có hai góc bằng 45ồỢ, Ó: ỘTam giác 4BC vuông cânỢ
8 Dùng kắ hiệu V hoặc 3 để viết các mệnh đề sau và xét tắnh đúng sai của chúng a) Mọi số thực khác 0 nhân với nghịch đảo của nó bằng 1
b) Có số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 20
c) Binh phương của mọi sô thực đều đương
đ) Có ba số tự nhiên khác 0 sao cho tổng bình phương của hai số bằng bình phương
của sô còn lại
9, Xét tắnh đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) 3xeứ,2x?+x=l; b) VxeỉR,x?+ 5 > 4x Bài 2 TẬP HỢP A KIẾN THỨC CAN NHO 1 Tập hợp và phần tử
Ở Mỗi tập hợp có các phần tử hoàn toàn xác định
~Ở Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kắ hiệu ử
ỞDé chỉ ụ là phần tử của tp hop A, ta viét a Ạ A; ngược lại, ta viết z # 4
_ Người ta thường biểu thị tập hợp dưới dạng /iệt kê các phẩn tử hoặc chi ra tắnh chất đặc trưng của các phân tử
Chưi ý: Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một sô chú ý sau đây: a) Cac phan ti có thê được viết theo thứ tự tuỳ ý
b) Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần
e) Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng Ộ Ợ mà không nhat thiết việt ra tat cả các phân tử của tập hợp
Trang 112 Tap con va hai tap hop bang nhau
ỞA la tap con cla B néu moi phan tử của ⁄4 đều là phần tử của B, kắ hiệu 4c B
Chủ ý:
+ACAva @ CA voi moi tap hop A
+ Nếu 4 không phải là tập con của đ thì ta kắ hiệu 4 ằ B (đọc là 4 không chứa trong B hoặc B không chứa A)
+ Nếu4c 8 hoặc 8 C 4 thì ta nói 4 và B có quan hệ bao hàm
~ Hai tập hợp 4 và đ gọi là bằng nhau, kắ hiệu 4 = B, nếu 4C 8 và B c4 3 Một số tập con của tập số thực Sau này ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây (2 và b là các số thực, a<b): Tp s6 thie (0; +0) | R mmỪ
Doan [a; 5] {xe Rl|a<x<b} with A yi Khoang (a; b) {xe R|a<x<b} 7H! ặ MA Nitta khoang [a; 5) {xe Rla<x<b} 4W Ổiin Nita khoang (a; 5] {xe Rla<x<b} 2W 10H a b
Nửa khoảng (Ởụ; a] {xe R|x<a} ỞỞỞỞỞỞỞMWWMME
Nửa khoảng [a;+o) |{xe3|x>a} i nd
Khoảng (Ởs; a) {xe R|x<a} MB
Khoảng (4; +) {xe R|x>a} it 8B
Trong các kắ hiệu trên, kắ hiệu ỞỦ đọc là âm vô cc (âm vô cùng), kắ hiệu +Ủ doc
là đương vô cực (dương vô cùng)
Trang 12
B BÀI TẬP MẪU Bài 1 Viết các tập hợp sau đây đưới dạng liệt kê các phần tử: m a) A= {x|x=2k-3,k e Nk <3}; 02=| m+5 |meZ,|m K3): c)C= {ye N|y=7-x,xẠ N}; ệ@D=({Ể&:y)|xeứ,yeNứ,x+y<3) Giải a)4= {-3.,-Ở1; 1;3} b) Cac gia trị của z thoả man m Ạ Z, || < 3 là 3; Ở2; Ởl; 0; 1; 2; 3 Thay lần lượt 3 2 1 l2 3 ỘỞ ta được B= lỌ mg DU là 3} các giá trị này vào biểu thức m+5 3.4 678 c) Viy=7-x e Nnén7-x=>0 hayx<7 Mà x e ứ nên x chỉ nhận các giá trị 0; 1;2; 3; 4; 5; 6; 7 Từ đó, y nhận các giá trị tương ứng 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 Vay C= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
đVixeứ,ye ứ,x+y< 3 nên x< 3 Ứng với mỗi giá trị x e{0; 1; 2; 3}, ta tìm các giá trị y e ứ thoả mãn x + y < 3, ta được bảng sau: x 0 1 2 3 y 01;2;3| 0;1;2 0-1 0 Từ đó, Đ = {(; 0); (0; 1); (0; 2); (0; 3); (1; 0); Ể; 1); Ể; 2); @; 0); @; 1); G; 0)} Bài 2 Viết các tập hợp sau đây bằng cách chỉ ra tắnh chất đặc trưng của các phần tử: a) A= {15 2; 4; 7; 14; 28}; b) B= {0; 3; 6; 9; 12; }; ciốs Lệ rô: } PP Pep 4) D là tập hợp các số tự nhiên ap hop ụ lẻ h Giải a)4= {xc ứ|x là ước của 28}
b)đ= {xe ứ | x là bội của 3} hoặc 8= {x| x= 3k, & Ạ N}
c)C= ỞineNn2} hoae C= x|x=Ở nenỖ
n+l n+l
d) D= {x Ạ N|x1as61é} hoặc D = {x|x=2&+ 1,& e ứ)
Bài 3 Viết các tập hợp con của các tập hợp sau đây:
a) @; b) {0};
ẹ) Tập nghiệm của phương trình x(?Ở 1) = 0
Trang 13Giải a) Tập rỗng ử chỉ có đúng một tập hợp con là chắnh nó b) {0} có hai tập hợp con là ử và {0} c) Tập nghiệm của phương trình x(x? Ở 1) = 0 là⁄4= {-Ở1; 0; 1} Các tập hợp con cua A la: + Có không phần tử: ử; + Có một phần tử: {Ở1}, {0}, {1}; + Có hai phần tử: {Ở1; 0}, {Ở1: 1}, (0: 1}; + Có ba phần tử: {-1, 0; 1} Vậy tập hợp 4! có 8 tập hợp con
Bài 4 Biểu đồ ở Hình 1 biểu diễn quan hệ bao hàm giữa các tập hợp ỘHọc sinh của trườngỢ, ỘHọc sinh nữ
của trườngỢ, ỘHọc sinh khôi 10Ợ, ỘHọc sinh khối 11Ợ,
ỘHọc sinh lớp 10AỢ Viet chu thich cac tap hop A, B, C, D, E cho biểu đồ và viết các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp đó Giải 4l là tập hợp các học sinh của trường; B là tập hợp các học sinh khối 10; Ạ là tập hợp các học sinh lớp 10A; D là tập hợp các học sinh khối 11; E la tập hợp các học sinh nữ của trường OS Hinh 1 Ta co cac quan hé bao ham: CC B CA; DCA, ECA Biết rằng 44 = B, hãy xac dinh a va b Giải
ai 5 Cho hai tap hop A = {1; a; 5}, B= {a + 2; 3; b} voi a, b la cac số thực
Vì 3 c Bvà4= B nênta có 3 Ạ A= {1; a; 5}, do dd, a=3 Kin do, 8= {5; 3; 0} Vị I ce44và4= B nên ta có l e 8= {Ế;3; đ} Suy ra, ta có 6 = 1
Khi đó,4= 8= (1; 3; 5}
Vậy các giá trị cần tìm là ụ= 3, b = I
Trang 14N wn BÀI TẬP Viết các tập hợp sau đây đưới đạng liệt kê các phần tử: a) A= {x |x? -2x-15= 0}; b) B= {ve Z|-3<x<2}, 0) C= { JU inen, <nsal; 3Đ= (GỂ;9)|x<2,y<2,x,veN) j Ở Viết các tập hợp sau đây bằng cách chi ra tinh chất đặc trưng của các phần tử: a) A= {Ở4, -3, 2; -1, 0; 15 2; 3, 4}; b) B= {0; 2; 4; 6; 8; 10}; c)C= bose 3 2345
đ) Tập hợp D cac số thực lớn hơn hoặc bằng 3 và bé hơn 8 Điển kắ hiệu (c, #, c, ơ, =) thắch hợp vào chỗ châm
a) 0 {0; 1; 2}; b) {05 1} Z
0) 0 {x |x? = 0}; d) {0} {x|ồ =x};
e) OD {ve R|xồ+ 4= 0}; g) {4,1} (x |xồ-Sx+4= 0};
h) {n; a, m} {m,a,n}; 1) {nam} {n; am)
Dién ki hiéu (<, >, =) thắch hợp vào chỗ chấm
a) {x |x(x-1)@+ 1) =0} (| be] < 2, x ẠZ}; b){3;:6; 9} (xe ứ| x là ước của 18);
c) {x|x=5k,k EN} {xe ứ| x là bội của 5}; d) {4k | k e ứ} {x|x= 2m, m EN} Hãy chỉ ra các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau và vẽ biểu đồ Ven đề biểu điển các quan hệ đó: A= {x|x là tứ giác}; B= {x| xlà hình vuông); Ể= {x| x là hình chữ nhật}; D= ({x | x là hình bình hành} 6 Tìm tất câ các tập hop.4 thoả mãn điều kiện {ụ; b} C⁄4C {a; b; e; đ}
Cho các tập hợp 4= {1; 2; 3; 4; 5} và 8 = {1; 3; 5; 7; 9} Hay tim tap hop M co
nhiều phần tử nhât thoá mãn M C <4 và AC B
Viết các tập hợp sau đây đưới dạng liệt kê các phần tử:
6 6-x
a) A= {ve N|y=10-x,x Ạ N}, bB={ren| en};
c)C= {ve N| 2x-3 20 va 7-x22},d D= {@y) |x EN ve N,x+2y=8} 9 Cho hai tap hop A = {(2k+ 1 |k Ạ Z} vaB= {67 + 3 | ¡ e Z} Chứng minh rằng
BCA
10 Cho hai tap hop A = {1; 2; a} va B = {1; a} Tim tật cả các giá trị của a sao
choB cA
Trang 15Bài 3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
A KIEN THUC CAN NHO 1 Hợp của hai tập hợp (Hình 1) AUB={x|xe A hoaicxe B} () AUB Hình 1 2 Giao của hai tập hợp (Hình 2) ANB={x|xeAvaxe B} 3 Công thức tắnh số phan tir Nếu 4 và B là các tập hợp hữu hạn thì n1 L)B) = nẠ4) + n(B) Ở nỂ1 Đ B) Hình2 4 Hiệu của hai tập hợp (Hình 3) A B 4\đ=({x|xe 4vàxe B} Ộỷ) Hình 3 5 Phần bù của tập hợp con (Hình 4) U Cy4=UVXA={x|xe Ú và x e A} (A la tap con cua UV) CyA Hinh 4 B BÀI TẬP MẪU
Bài 1 Kắ hiệu 4 là tập hợp các học sinh của một trường trung học pho thong, Bila tap hop cac hoe sinh nit ctia trong, C, D lân lượt là tập hợp các học sinh khôi 10,
khôi 11 của trường
a) Hãy vẽ biểu đồ Ven biêu điễn các tập hợp 4, B, C, D b) Hãy mô tả các tập hợp sau đây:
M=BoC, N=CuUD,; P=A\C,
R=C,B; S=C\B; T=A\(CUD)
Trang 16Gidi
a) Biểu đồ biểu diễn các tập hop 4, B, C, Dnhw HinhS ƑT
b) 1 là tập hợp các học sinh nữ khối 10 của trường > C3
Nà tập hợp các học sinh khôi 10 và khối 11 của trường CS P là tập hợp các học sinh khối 11 và khôi 12 của trường
R là tập hợp các học sinh nam của trường Hình 5
S la tập hợp các học sinh nam khôi 10 của trường
7 là tập hợp các học sinh khối 12 của trường
Bài 2 Trong các số tự nhiên từ 1 đến 30, có bao nhiêu số là bội của 4 hoặc 52 Giải Kắ hiệu.4, Z lần lượt là tập hợp các số là bội của 4, bội của 5 trong các số tự nhiên từ 1 đến 30 Ta có: A= {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}; B={5; 10; 15; 20; 25; 30} Tập hợp các số là bội của 4 hoặc 5 (trong các số từ 1 đến 30) là 4UB= {4; 5; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 25; 28; 30}
Ta thấy 44 ẹ2 8 có 12 phần tứ Vậy, trong các số tự nhiên từ 1 đến 30, có 12 số là
bội của 4 hoặc 5
Nhận xét: Ta có thé giải theo cách khác như sau:
Ta có: 4ể 8= {20}, n4) = 7, n(B) = 6, nƯ1 S B) = 1 Từ đó nỂ1 (2B) = nỂĐ + nỂ) Ở nƯtL B)= 7+6Ở1= 12
Bài 3 Trong một cuộc khảo sát người tiêu dùng, trong 100 người uống cà phê được khảo sát, có 5Ế người thêm đường, 65 người thêm sữa và 30 người thêm cả đường và sữa Trong số 100 người đó,
8) có bao nhiêu người thêm ắt nhât đường hoặc sữa? b) có bao nhiêu người không thêm đường hoặc sữa?
Giải
Kắ hiệu là tập hợp 100 người được khảo sát,
A la tap hop người thêm đường, ử là tập hợp người thêm sữa (trong số 100 người đó)
Khi do, 4 đ là tập hợp người thêm cả đường
và sữa, 4 LJ 8 là tập hợp người thêm ắt nhất
đường hoặc sữa Hình 6
Trang 17
Theo giả thiết ta có n(4) = 55, n(B) = 65, n4 ể B) = 30 a) Số người thêm ắt nhất đường hoặc sữa là
n(4 UB) = n1) + n(B) Ở n1 B) = 55 + 65 Ở 30 = 90
b) Số người không thêm đường hoặc sữa là
n(U) ~ n4 UB) = 100-90 = 10
Bài 4 Cho hai tap hop 4 = {1, 2; 2aỞ 1}, B = {0; b; 2b Ở 5} với a, b là những số
thực Biết rằng 4 ẹ 8 = (1; 3}, hãy tìm giá trị của a và b
16
Giải
ViA OB= {1;3} nén3 Ạ A= {1; 2; 2a-1}, do do, 2aỞ1=3 hay a=2 Cling vi A 7B = {1; 3} nén {1; 3} C B= {0; b; 2b Ở 5} Điều này xây ra trong hai trường hợp sau đây: b=1 b=l Truong hgp 1: op sea ồ teas (v6 nghiém) b=3 2 b=3 2b-5=1 Trường hợp 2: { Khi a= 2, b=3 taco A= {1; 2; 3}, B= {0; 3; 1} va AN B= {1; 3} Vậy a= 2, b=3 là các giá trị cần tìm BÀI TẬP
Xac dinh A 7B, A UB, A\B, B\A trong cac trudng hop sau:
aA= {a,b c,d}, B= (a,c; e};
b) A= {x |x -5x-6 = 0}, B= {x|#= 1};
c)A= {xe N|xlas6lé, x< 8}, B= {xe ứ | x là các ước của 12}
Ấ Cho hai tập hợp 4 = {Ể: y) | 3xTỞ 2y = 11}, 8= {(; y) | 2x + 3y = 3} Hãy xác
định tập hợp 4đ
Cho cac tap hop A = {1; 3; 5; 7; 9}, B= {1;2; 3; 4), C= {3; 4; 5; 6} Hãy xác
dinh cac tap hop:
a) (AUB)AC, b)4ểỂa@Ủ);
Trang 18a
Kắ hiệu 44 là tập hợp các học sinh nữ của
trường, 8 là tập hợp các học sinh khôi 10
cua trong; C, D lan lượt là tập hợp các học sinh nữ, các học sinh nam khôi 10 của
trường (Hình 7) Hãy điên kắ hiệu tập hợp
thắch hợp vào chỗ châm
aAnBe= ; b)CUD= ; C D
c) B\A= ; DBAC= 5 Hình 7
e)C\A= 5 g)D\A=
Cho 4 là tập hợp tuỳ ý Hãy điền kắ hiệu tập hợp thắch hợp vào chỗ châm
aAnA= ; b)4U4= ; ÀẶA4Anử= ; ệ4Uử= ;
e)4\4= 84\ử= ; h)ử\4=
Cho A, B là hai tập hợp tuỳ ý Hãy điển kắ hiệu tập hợp thắch hợp vào chỗ châm a) Nếu 8 C44 thì.4 ểB= ,.4\2B= và BL4= ;
b) Nếu 44 ể 8 = ử thì⁄4\B = và B\4=
Cho các tập con.4 = [-1, 3] va B =[0; 5) cia tap s6 thực IR
Hay xac dinh A 4 B,A UB, A\B, B\A
Lop 10E co 18 ban choi cau lông, 15 bạn chơi cờ vua, 10 bạn chơi cả hai môn và
12 bạn không chơi môn nào trong hai môn thê thao này
a) Lớp 10E có bao nhiêu bạn chơi ắt nhất một môn thể thao trên?
b) Lớp 10E có bao nhiêu học sinh?
Biết rằng tập hợp Ả⁄Z thoả mãn M ể (1: 3} = (1},AZẹ {5; 7} = {5},
Mo {9; 11) = {9} và C {1; 3; 5; 7; 9; 11} Hãy tìm M
10 Cho tap hop A = {1; 2; 3},
a) tim tat ca các tập hop B sao choA UB =A; b) tim tat ca cac tap hop C sao cho ⁄4 ể C= Ể
11 Cho U= {3; 5; @}, A= {3; a+ 4} Tim gia tri cla a sao cho CA = {1}
Trang 19BAI TAP CUOI CHUONG I
A TRAC NGHIEM
1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.0={0); B.0e {0}; C.0c {0}; D.0=ử;
hs Biếtrằng P = Ó là mệnh đề đúng Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.P là điều kiện cần đề có Ó; B Pla điều kiện đủ đề có Ó; C Ola điều kiện cần và đú đề có P; _D Ó là điều kiện đủ để có.P
3 Cho số thực x Mệnh đề nào sau đây là điều kiện đủ của Ộ+ > 1Ợ2 A.x>0; B.zz1Ư <1 Dix? 2: 4 Ménh dé nao sau day sai? (1) ẹ Ạ {0}; (2) {1} < (0; 1; 2}; (3) {0} = ẹ; (4) {0} & {x |x? = 5} A (1) va (3); B (1) va (4); C (2) va (4); D (2) va (3) Cho tap hop M= {x Ạ N|x=5Ởm,m e ứ} Số phần tử của M bằng: A.4; Bi 5; C 6; D 10 tn 6 Tập hợp {y e ứ |y= 5Ở +, x e ứ} có bao nhiêu tập con? A.3; B 4; C 8; D 16 7 Cho.4 = {-2;-1; 0; 1,2},B = {x|x+ 1 <0} Tap hop A\B bằng: A {0; 1; 2}; B {-1}, Ạ.{-2;-l}; D.{-2} 8 Cho các tập hop 4 = {-1;0; 1; 2}, 8= {x|xỞ 1 > 0} Tap hop.4\B bang A {2}, B {-1;0;1}; C {1; 2}; D {-1; 0} 9 Choxl= {x |x là hình bình hành}, 8= {x |x là hình chữ nhật}, C= {x |x là hình thoi},
D= {zx| xlà hình vuông} Mệnh đề nào sau đây sai?
A.BnC=D, B.CAD=D;, C.BUC=D,; D.BOAD=D
10 Cho tap hop A = {x |x >a}, B= {x|1<x<2}.DéAau (C,B) =R, điều kiện
cần và đủ là
Trang 20B TỰ LUẬN 4 w ny Cho ba tap hop 4, B, C thoa mina Ở Ể, 8 C C và 4l 5.8 = Ơ Xét tắnh đúng sai của các mệnh đề sau a) Nêu x e 41 thủ x e Ể, B)x e 44là điều kiện cần đề x e C; e)xe là điều kiện đủ để x e C; d) Néux eA thixằ B;
e)xe Bla dieukién da đề xé 4L
Cho tập hợp 4= {1; 2} Tim tất cả các tập hop B thoả mãn 4 Ềẹ2 8= {1; 2; 3}
3 Cho hai tap hop A = {1, 2; 3; 4}, B = {3: 4; 5} Tim tât câ các tập hợp Ả⁄Z thoả mãn
McAvaMaB=ẹ
Một lớp học có 36 học sinh, trong đó 20 người thắch bong 16, 14 ngwoi thắch bóng bản và 10 người không thắch môn nào trong hai mỏn thê thao này
a) Có bao nhiêu học sinh của lớp thắch câ hai môn trên?
b) Có bao nhiêu học sinh của lớp thắch bóng rổ nhưng không thắch bóng bàn? LỜI GIẢI - HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bai 1 MENH DE
8) và ẹ) la ménh dé; d) la ménh đẻ chứa biến
a) P: ỘNăm 2020 không phải là năm nhuậnỢ, là mệnh: đề sai
bì ử: Ộ42 là số vô tỉỢ, là mệnh đề đúng
e) R: ỘPhuong trinh x + 1= 0 vô nghiệmỢ, là mệnh đẻ đúng
a)P= Ó: ỘNếu hai tam giác 48C và DEF bằng nhau thì chủng đồng đạngỢ Mệnh đề này đúng
b)P>O:
Ménh dé nay sai
éu b* = 4ac thi phurong trinh av + bx + e = 0 vô nghiệmỢ a) Néu mét tir giae 1a hình chữ nhật thì nó eó hai đường chéo bằng nhau b) Nếu hai số nào đó đều là số hữu tỉ thủ tông của chủng cũng là số hữm tỉ e) Nêu một số nào đó là số âm tủ lập phương của nó cững là số âm
Trang 216 a) Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6 Ménh dé nay sai
20
b) Néu tam giac_4BC can thi AB = AC Ménh dé nay sai
c) Néu tam giac ABC déu thi no co hai gdc bang 60ồ Mệnh đề này đúng
a) Ta có khi P đúng thì ử đúng Do do, ménh dé P = ử đúng
Phát biểu: ỘVới a và đ là hai số thực nào do,a=b la diéu kién da dé a? = b2Ợ
(hoặc Ộ4ồ = đồ là điều kiện cần dé a = bỢ)
b) Ta có khi Ó đúng thì P đúng Do đó, mệnh để O = P ding
Phát biểu: ỘTứ giác 48CD có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần đề nó
là hình thang cânỢ (hoặc ỘTw giac ABCD 1a hinh thang cân là điều kiện đú để nó
có hai đường chéo bằng nhauỢ)
c) P va Q là hai mệnh đề tương đương
Phát biểu: ỘĐề tam giác vuông cân, điều kiện cần và đủ là nó có hai góc bằng 45Ợ 8) VxẠlR,x0,x 1 _ sau # b) 3x e ứ, xồ= 20 Mệnh đề sai c) Vx e R,x? >0 Mệnh đề sai đ) 3x, y,z e ứ',x?+ yồ= z? Mệnh đề đúng a) Xét phương trình 2x?+x= 1< 2x?+ xỞ1=0
Phương trình bậc hai này có hai nghiệm x= Ởl và x= ; Nhưng hai nghiệm đều
không phải là sô tự nhiên Do đó, mệnh đê sai Mệnh đề phú định là: Vx Ạ N, 2x7 +x# 1 b) Voi moi sé thie x, ta co x7 - 4x + 5=3?-Ở4x +44 1=(xỞ-2)?+1>0 Do đó, x? + 5 > 4x Suy ra mệnh đề Vx e lR,x?+5 >4x dung Ménh dé phủ định: 3x e ỉR, x? + 5 < 4x Bai 2 TAP HOP Ừ A= {-3, 5}, b) B= {-2;-1; 0; 1; 2}, _ [2.3.4] f8: BÀ: 7861 3sff: 8 BSB: Bi Bs jes {Be}: a) D= {(0; 0); (0; 1); (15 0); (5 1); 25 0); 2; D}
Trang 22w ens c)C= {ein=t 2; 3; 4; | hoac C= {rix-t.nen, ins}, n n d)D= {xe R|3<x< 8} a)Ạ; bic c)Ạ; VG ẹ)=; Đ=: h= Nc a) =; b)c; Ộ= da BeCeDead {a,b}, {a,b,c}, a,b; d}, {a; b,c; d} M= {1; 3; 5} a) A= {1; 6; 9; 10}; b) B= {0; 3; 4; 5}; c) C= {2 3, 4; 5}; ệD= {@; 0), (6; 1), (4; 2), (2; 3), (0; 4)}
Lay phan tử x tuỳ ý của B, ta có x= 6ỳ + 3,7 e Z
Ta viếtx= 2.3/+2+1=2@/+ 1)+1=2&+ 1 với k= 3/ + 1 e Z Suy ra xe 4
Vay, voi moi x Ạ B ta đều có x e 4 Do do, BCA
10 Ta có C44 nêu # = 1 hoặc a?= 2 hoac a?= a
Từ đó tìm được các giá trị của a là: sự =T 0z! a
Bai 3 CAC PHEP TOAN TREN TAP HOP
a)ANB= {a,c}, AU B= {a; b,c: d, e}, A\B = {b; d}, B\A= {e}
b)4= (-1; 6}, B= (415 1}, AN B= (-1}, 4 B= Ạ1; 1; 6}, A\B = {6},
B\A= {1}
c) A= {1; 3; 5; 7}, B= {1; 2; 3; 4; 6; 12}, AN B= {1; 3},
Trang 23wn
9: 10
Thay x = 3 vào (1) ta được 9 Ở 2y = 11 Từ đây tìm được y = Ở1
Vậy, hệ phương trình () có một nghiệm là (3; Ở1) Từ đó, 4 ể 8 = {;-Ở1)} a)4UB=(1;2;3;4;5;7;9},(12B)ểC= (3:4: 5}
b) BN C= {3;4},4nể(Bể@= {3}
c)A\(B OC) = {1; 5; 7, 9}
d) A\B = {5; 7; 9}, A\C= {1; 7; 9}, (A\B) U A\C) = {1; 5; 7; 9} ~AQANB=C, b) CUD=B,; c) B\A=D;
ệ8aC=C, e)Ể\4=ử, g)D\A=D
Ừ AA NA=A; b)4U4=4; ẹ4nử=ử, ệ4Uử=4;
e)4\4= ử; 84\ử=4; h) ử\4=ử .a)4B=B;AUB=4A;,B\1= ử,
b)4\8=4;B\4= 8
AO B= [0; 3], A U B= [-1; 5), A\B = [-1; 0), B\A = (3; 5)
Ki hiệu 4 là tập hợp các học sinh của lớp 10E, B A
B= {x Ạ A|x chơi cầu lông},
C= {x Ạ A |x choi co vua},
D= {x ẠA|xkh6ng choi cau léng, cting khéng chơi cờ vua}
Theo giả thiết, n(8) = 18, n(C) = 15, n(B ể C) = 10 va D n(D) = 12 Hình 1 a) Số học sinh của lớp 10E chơi ắt nhất một môn thể thao: n(B O ẠỂ)= n(B) + n(C)Ở n(B SCỂ)= 18+ 15 Ở10= 23 b) Số học sinh của lớp: ụ(4) = ụỂ +2 Ạ) + n(D) = 23+ 12 = 35 M= {1; 5; 9} a) AU B= Akhi va chi khi B la tap con cia A Cac tap hop cần tim la: ẹ, {1}, {2}, {3}, {15 2}, 1:3), 2:3), (1; 2; 3}
b) A C=C khi va chi khi C la tap con cia 4l Kêt quả như trên
11 Dé C,A = {1}, trước hết ta phải có 1 ẹ U= (3; 5; a7} Suy rad =1 néna=1
22
hoac a=-l
Voi a= 1, taco U= {1; 3, 5} vad = {3; 5} Khi đó, Ể⁄4 = {1} (thoả mãn) Voi a=Ởl, tacd U= {1; 3; 5} vad = {3} Khi do, C,.4 = {1; 5} (khong thoa main)
Trang 24BAI TAP CUOI CHUONG I
A.TRAC NGHIEM
1.B/2.B]3.D |] 4A a a 6.C | 7.A | 8.D | 9.C |10.B
B TỰ LUẬN
1 a) Ding; b) Sai; c) Dung; d) Ding; e) Đúng
2 Cần tìm các tập hợp 8 sao cho 3 e 8và8 C {1;2;3} Cac tap hop B thoả mãnlà: {3},
{1; 3}, {2; 3}, (1; 2; 3}
3.M= ẹ, M= {1}, M= {2}, M= {1, 2}
4 Kắ hiệu <4 là tập hợp các học sinh của lớp,
B= {x Ạ A|x thich bong rổ); B A
C= {x Ạ A |x thich bong ban}; Cc D= {x Ạ A| x khong thich mon nao trong hai mdn}
Trang 25Chương II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ _
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1 BAT PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN
A KIEN THUC CAN NHO
1 Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bắt phương trình bậc nhdt hai dn x, y là bất phương trình có một trong các dang ax + by+c<0;axt+by+e>0;ax+by+c<0;ax+by+c20,
trong đó a, b, c la nhitng số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 va x, y là các ấn
2 Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ân
Xét bật phương trình ax +by+e<0 Mỗi cặp số (xạ;yụ) thoả mãn ụw, + by + e < 0
goi la mot nghiém cua bat phuong tinh da cho
Chi y: Nghiém cia cac bat phương trình ax + by + e >0, ax + by +c <0,
ax + by + c > 0 duge dinh nghia trong tu
3 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai an
Ở Trong mặt phẳng toạ độ (xy, tập hợp các diém (x;y) sao cho ax, + byạ + e < 0 được gọi là miên nghiệm của bât phương trình ax + by + c <0
~Ở Để biểu điễn miền nghiệm của bất phương tinh ax + by + e < 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy, ta làm như sau:
+ Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thang A: av + by + ằ =0 + Bước 2: Lây một điểm (xo; Yo) khong thuộc A Tắnh ax, + by, + e
+ Bước 3: Kết luận
e Nếu ax, + by, + ằ < 0 thì miễn nghiệm là nửa mặt phẳng (không kề bờ A) chứa điểm (x,;,)
e Nếu ax, + by, + e > 0 thì miễn nghiệm là nửa mặt phẳng (không kề bờ A) không chứa điểm (lo; J0)
Chu ý: Đôi với các bât phương trình bậc nhất hai ân dang ax + by + ằ < 0
(hoặc ax + ựy + e >0) thì miễn nghiệm là miễn nghiệm của bât phương trình
ax + by+ c< 0 (hoặc av + by +c > 0) ké ca bo
Trang 26
B BÀI TẬP MẪU
Bài 1 Bạn Hoa để dành được 420 nghìn đồng Trong một dot ting ho trẻ em khuyét
tat, Hoa da ting ho x tờ tién loai 10 nghin dong, y tờ tiên loại 20 nghìn đông a) Tinh tong sô tiền bạn Hoa đã ủng hé theo x, y
b) Giải thắch tại sao ta lại có bât phương trình 10x + 20y < 420 Giải
a) Tổng sô tiền bạn Hoa đã ủng hộ là 10x + 20y
b) Vi ban Hoa chỉ có tất cả là 420 nghìn đồng, nên tổng sô tiền bạn Hoa đã ủng hộ không thê vượt quá 420 nghìn đồng Vậy ta có 10x + 20y < 420
Bài 2 Tìm bất phương trình bậc nhất hai ân trong các bất phương trình sau: a)9xỞ7yỞ5 <0; b)y>9x+9;
e)y+2022 >0; ệx-Ừ+1>0
Giải
Các bắt phương trình a), b), e) là các bât phương trình bậc nhất hai ân
Bât phương trình đ) không là bất phương trình bậc nhất hai ân vì có chứa yồ
Bài 3 Cặp số nào sau đây là nghiệm của bât phương trình 10x+ 20y < 420? a) (9; 5); b) (2; 400) Gidi a) Taco: 10.9+20.5=190 < 420 Vay (9; 5) là nghiệm của bát phương trình 10x + 20y < 420 b) Ta co: 10.2 + 20 400 = 8 020 > 420
Vay (2; 400) không phải là nghiệm của bất phương trình 10x + 20y < 420 Bài 4 Cho biết 226 g thịt bò chứa khoảng 59g protein Một quả trứng nặng 46g có chứa khoảng 6g protein (nguén: BO Nong nghiệp Hoa Kỳ) Giả Sử có một người moi ngay can không qua 60g protein Gọi sô gam thịt bò và sô gam trứng mà người đó ăn trong một ngày lân lượt là x, y
a) Lập bất phương trình theo x, y điễn tả giới hạn về lượng protein mà người đó cân mỗi ngày
b) Ding bat phương trình ở câu a) đề trả lời hai câu hỏi sau:
Ở Nêu người đó ăn 150g thịt bò và 2 quả trứng, mỗi qua 46g, trong một ngày thi có phù hợp không?
Ở Nêu người đó ăn 200g thịt bò và 2 quả trứng, mỗi qua 46g, trong một ngày thi có phù hợp không?
Trang 27Bai 26 Giải a) Bat phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein mà người đó cần mỗi ngày là: Dog 4 gu 35 <60 226 23 b) Ta co: 2 150+ 4.2.46.% 51,16 < 60; 226 23 2) 9904+ 2.2.46Ừ 64,21 > 60 226 23 Suy ra:
~Ở Nếu người đó ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng trong một ngày thì phù hợp Ở Nêu người đó ăn 200 g thịt bò và 2 quả trứng trong một ngày thì không phủ hợp i 5 Biéu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a)2x+3yỞ6>0; b)x+2y-8 <0; c)y-3<0 Gidi a) Vẽ đường thẳng đ;: 2x + 3y = 6 đi qua hai điểm 4(3; 0) va B(O; 2) Xét gốc toa d6 O(0; 0) TP Ta thay O @ d, va 2.0 +3.0-6 <0 Do do, >
miễn nghiệm của bât phương trình là nửa mặt 7
Trang 28hai điểm Z(0; 3) và F(1; 3) Xét gốc toa dd O(0; 0) lỳÌ Ta thấy ửặ đ, và 0 = 3< 0 Do T4 TT Tự đó, miền nghiệm của bất phương ì trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ đ., chứa gôc toạ độ 2 (miền không gạch chéo trên Hình 3) e) Vẽ đường thẳng d,: y=3 di qua | BÀI TẬP
Cho bất phương trình bậc nhất hai ân: 2xỞ 5y + 10 > 0
a) Biéu điễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng Oxy b)(1; 3) có phải là nghiệm của bat phương trình trên không?
ẹ) Chỉ ra 2 cặp sô (x; y) thoả mãn bất phương trình trên
Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ân sau trên mặt
phang toa d6 Oxy:
a)xtyỞ1>0; b) v1 0: c)Ởy+2<0
Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng toa d6 Oxy: a) 3x+2y<xỞy+8; b)2+xỞ1l)+3(yỞ2)> 2
Bạn Ngamuốn pha hai loại nước rửa xe Đề pha một lắt loại I can 600 ml dung dich chat tay rửa, còn loại II chỉ cần 400 ml Goi x va y lần lượt là số lắt nước rửa xe
loại I va II pha chế được và biết rằng Nga chi con 2 400 ml chât tây rửa, hãy lập các bất phương trình mô tâ số lắt nước rửa xe loại I và II mà bạn Nga có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của từng bât phương trình đó trên mặt phẳng
toa dd Oxy
Trang 29Bài 2 HỆ BÁT PHƯƠNG TRÌNH BAC NHÁT HAI AN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Khái niệm hệ bắt phương trình bậc nhất hai ân
Hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẫn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình
bậc nhất hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung của tât cả các bât phương trình đó được
gọi là một ụghiệm của hệ bắt phương trình đã cho
Trên mặt phẳng toa d6 Oxy, tap hop cac điểm (xƯ; yạ) có toa độ là nghiệm của hệ bắt phương trình bậc nhất hai ân được gọi là miễn nghiệm của hệ bất phương
trình đó
2 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Để biểu diễn miễn nghiệm của hệ bat phuong trinh bac nhất hai ân trên mặt phẳng toa dé Oxy, ta thực hiện như sau:
Ở Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu điễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình
của hệ
Ở Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình Chui 3: Mién mặt phẳng toạ độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một zmiễn đa giác
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biéu thire F = ax + by trén
mot mien da giac
Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế đề tìm ra cách
giải quyết tối ưu, các bài toán này thường được đưa về việc tìm giá trị lớn nhật (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức # =ax + by trên một miền đa giác
Vĩ dụ Một người dùng ba loại nguyên liệu 41, 8, Ể dé san xuất ra hai loại sản
pham P va Q Dé san xuat 1 kg mỗi loại san pham P hoặc @ phải đùng một sô kilôgam nguyên liệu khác nhau Tông số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết đề sản xuât ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:
Trang 30
ee Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần để Loại nguyên liệu số oem - sản xuất 1 kg sản phẩm
nguyên liệu đang có P Q A 10 2: 2 B 0 2 G 12 2 4
Biết 1 kg sân pham P lãi 3 triệu đồng và 1 kg sản phẩm Ọ lãi 5 triệu đồng Hãy lập phương án sân xuât hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất
Phương pháp giải
Đề giải bài tốn tìm phương án tơi ưu ở trên, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Đặt biễn số +, y cho các đôi tượng cần tìm
V7 dụ Đặt x là số kilôgam sản phẩmỢ và y là số kilôgam sản phẩm Q can san xuat
Bước 2 Lập các hệ bắt phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc 2x+2y<10 xã? <3: 2y<4 yS2 Vắ dụ 42x+4y<12%>4x+2y<6 () x>0 x20 Ấ>0 3Ấ> 0
Bước 3 Xây dựng hàm mục tiêu cho giả trị mà ta muốn đạt gia tr tối ưu
Vắ dụ F = 3x + 5y (Tiền lãi của phương án sản xuất mà ta muôn đạt lớn nhật)
Bước 4 Biêu dién miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên hệ trục toạ độ
ửxy ta được một đa giác Tìm toạ độ các đỉnh của đa giác
Trang 31Bước 5 Do người ta đã chứng minh được F dat GTLN hoac GTNN tai mot
trong các đỉnh của đa giác nên ta chỉ cần tắnh các giá trị của hàm mục tiêu F
tại các đỉnh của đa giác Tìm ra đỉnh tại đó # đạt GTLN hoặc GTNN Toạ độ
của đỉnh này là phương án tôi wu cần tìm
Vi du Tinh gia trị của Z tại các đỉnh:
Tai O(0; 0): F=3.0+5.0=0; Tai C(O; 2) F=3.01+5.2=10 Tai BQ 2) 32132 1o Ta AG 1) Ff 3 115 | l7,
Tai D(5; 0): F=3.5+5.0=15
Tại đỉnh A(4; 1), F dat gia tri lớn nhất là 17
Bước 6 Nêu kết luận đựa trên ngôn ngữ thực tế của bài toán
Vĩ dụ Vậy phương án sân xuất tôi ưu là làm ra 4 kg sản phâm P va 1 kg san
phẩm O Khi đó sẽ có lãi cao nhất là 17 triệu đồng
B BÀI TẬP MẪU
Trang 32Bài 2 Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ân trong các hệ sau: 2x+3y-12<0 5x+9y-7<0 2y+19<0 x+y-520 a) yoo 99x* -lly+320; b 3x+22>0; ồ) x>0 y20 Gidi a) Không phải là hệ bất phương trình bậc nhat hai an b) và e) là hệ bất phương trình bậc nhật hai ẩn Bài 3 Biểu diễn miền nghiệm của hệ: 2x- y+2<0 pees Gidi 2zxẤzspm=0rei0, Hệ đã cho được viết lại thành: 2x-y<0
Biểu diễn từng miễn nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng ửxy, ta được
như Hình 2
Mién không gạch chéo (kế cả bờ) là phần
giao của hai miền nghiệm của hai bát phương
trình và cũng là phần biểu điễn miền nghiệm của hệ bât phương trình đã cho Bài 4 Biểu diễn miền nghiệm của hệ: x20 y>0 2x+5y<10 x+ys3 Giải
Miễn không gạch chéo (kể cả bờ) trong
Hình 3 là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bât phương trình đã cho
Trang 33¡ 5 Bác Năm dự định trồng khoai lang và khoai mì trên mảnh đất có diện tắch 8 ha
Nếu trồng 1 ha khoai lang thì cần 10 ngày công và thu được 20 triệu đồng Nêu trồng 1 ha khoai mì thì cần 15 ngày công và thu được 25 triệu đồng Bác Năm cần trồng
bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ
có thể sử đụng được không quá 90 ngày công cho việc trồng khoai lang và khoai mì
Giải Gọi xla sỐ hecta trồng khoai lang và y là số hecta trông khoai mì
Ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: x+y<8 10x+l5y<90 x>0 y>0
Biểu điễn miền nghiệm của hệ bât phương
trình trên hệ trục toạ độ Óxy ta được miền Hình
đa giác 24BC Toạ độ các đỉnh của đa giác
do la: O(0; 0); A(O; 6); B(6; 2); C(8; 0)
Goi F 1a sé tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: # = 20x + 25y
Ta phải tìm xy thoả mãn hệ bắt phương trình sao cho # lớn nhát, nghữa là tìm giá trị lớn nhât của # = 20x + 25y trên miễn đa giác 248C
Tắnh các giá trị của biểu thức Z tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tai O(0; 0): F=20.0+25.0=0,
Tai A(0; 6): F=20.0+25.6=150; Tai B(6; 2): F=20.6+25.2=170; Tai C(8; 0): F=20.8+25.0=160
Ta thay F dat gia tri lon nhat bang 170 tai B(6; 2)
Vay dé thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng 6 ha khoai lang và 2 ha
khoai mì
Bài 6 Một người bán nước giải khát đang có 25 g bột nho và 100 g đường đề pha chế hai loại nước nho A và B Đề pha chế 1 7 nước nho loại A cần 10 g đường va 1 g bột nho; để pha chế 1 7 nước nho loại B cần 10 g đường và 4g bột nho Mỗi
lắt nước nho loại A khi bản lãi được 30 nghìn đồng, mỗi lắt nước nho loại B khi bản
lãi được 40 nghìn đồng Hỏi người đó nên pha chế bao nhiêu lắt nước nho mỗi loại
để có lợi nhuận cao nhất?
Trang 34Gidi
Gọi x và y lần lượt là sô lắt nước nho loại A và B người đó có thê pha chế Ta có hệ bât phương trình: x+4y<25 x+y<10 x>0 y20
Miễn nghiệm của hệ bất phương trình là
miễn tứ giác 048C, trong đó Ó(0; 0); Hình ậ A(10; 0); B(S; 5); C(O; 6,25)
Goi Z là số tiễn lãi (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: # = 30x + 40y
Ta co: Tai O(0; 0): F=30.0+ 40.0=0;
Tai A(10; 0): F =30.10+ 40.0= 300; Tai B(S; 5): F= 30.5 + 40.5 = 350;
Tai C(0; 6,25): F =30.0+ 40.6,25 = 250
Ta thay F dat GTLN bang 350 tai B(S; 5)
Vậy người đó nên pha chế 5/ nước nho mỗi loại đề có lợi nhuận cao nhất C BÀI TẬP 1 Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bât phương trình sau đây: x+y-4<0 Ifa hy 7 as 0, a) 4x20 b) 40<x<3 y20; y>0
2 Bạn Bắch có 500 g bột gạo đề pha hai loại nước hồ trang banh da va banh xéo Một lắt nước hồ tráng bánh đa cần 200 ụ Đột gạo, còn một lắt nước hồ tráng bánh
xéo chỉ cần 100 g bột gạo Gọi x, y lần lượt là số lắt nước hồ tráng bánh da và
bánh xèo Hãy lập hệ bât phương trình mô tâ điều kiện của x, y và biểu điễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó
3 Một bãi đậu xe ban đêm có diện tắch đậu xe là 1 50 m? (không tắnh lỗi đi cho xe ra
vào) Cho biết xe du lịch cần điện tắch 3 mỢ/chiếc và phải trả phắ 40 nghìn đồng,
xe tải cần điện tắch 5 mỢ/chiếc và phải trả phắ 50 nghìn đồng Nhân viên quan li
không thể phục vụ quá 40 xe một đêm Hãy tắnh SỐ lượng xe mỗi loại mà chủ bãi xe có thể cho dang ki dau xe dé có doanh thu cao nhật
Trang 35A 1
34
Miễn không gạch chéo (kh6éng ké bo d) trong Hình 1
Mién tam giac khéng gach chéo trong Hình 2 là
Cho biết mỗi kilôgam thịt bò giá 250 nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng 800 đơn vị protein và 100 đơn vị lipit, mỗi kilôgam thịt heo có giá 200 nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng 600 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit Một gia đình cần ắt nhất 800 don vi protein va 200 đơn vị lipit trong khâu phần thức ăn mỗi ngày và họ chỉ có thể mua một ngày không quá 1 kg thịt bò và 1,5 kg thịt heo Hỏi gia đình này phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại đề chỉ phắ là ắt nhất?
BÀI TẠP CUÓI CHƯƠNG II
TRẮC NGHIỆM
Bạn Danh đề đành được 900 nghìn đồng Trong mot dot ting ho tré em mồ côi,
Danh đã lẫy ra x tờ tiền loại 50 nghìn đồng, y tờ tiền loại 100 nghìn đồng để trao tang Một bất phương trình mô tâ điều kiện ràng buộc đối với x, y la: A 50x + 100y < 900; B 50x + 100y = 900; C 100x + 50y < 900; D.x#y= 900 Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không phải là bât phương trình bậc nhật hai ân? A 2xỞ3y Ở 2022 <0; BYoa ey 2 ex's C.x+2025>0: Độc l5 y là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình đưới đây? A.2x+3y<6; B.2x+ 3y> 6, x oy ny: C.Ở+<>0; 2 3 D.Ở + Ở<I : 2 3 Hình 1
Trang 365 Biểu thức # = 2x Ở 8y đạt GTNN bằng bao
nhiêu trên miễn đa giác không gạch chéo trong Hình 32
A -48; B 0; C.-160; D.-40
6 Biểu thức # = 5y + 2y đạt GTLN bang bao
nhiêu trên miễn đa giác không gạch chéo
trong Hình 32
A 30; B12; 6.25: D 26
B TỰ LUẬN
1 Tìm bât phương trình có miễn nghiệm là miền không gạch chéo (kế cả bờ #) trong Hình 4 (mỗi ô vuông có cạnh là 1 đơn vị) Hình4 Hình5
Trang 37on 36 Trén mién đa giác không gạch chéo ở Hình 6, hãy: iw a) tìm GTLN của # = 2x + 3y; b) tìm GTNN của Ở = xỞ 4y ig
Bác Dũng đự định quy hoach x sao đât trồng ca tim
và y sào đất trồng cà chua Bác chỉ có không quá 6 9 triệu đồng để mua hạt giống Cho biết tiền mua
hạt giống cà tắm là 200 000 đồng/sào và cà chua là
100000 déng/sao Viết hệ bát phương trình mô ta điều kiện ràng buộc đối với x, y
Hình 6
Một phân xưởng lắp rap máy tắnh dự định ráp x chiếc máy tắnh cá nhân và y chiếc may tắnh bảng trong một ngày Do hạn chế về nhân công nên mỗi ngày chỉ có thê xuât xưởng tông hai loại máy tắnh trên không quá 150 chiếc Viết hệ bắt phương
trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với x, y
Ban Hoàng dự định mua x con cả vàng và y con cá Koi tit mot trai ca giông Cho biết
mỗi con cá vàng có giá 35 nghìn đồng còn mỗi con cá Koi có giá 150 nghìn đồng
Hoàng chỉ đề dành được 1,7 triệu đồng và trại cá chỉ bán mỗi loại cá từ 10 con trở
lên Hãy viết hệ bắt phương trình mô tà điều kiện ràng buộc đối với x, y
Một học sinh đự định làm các bình hoa bằng giây dé bán trong một hội chợ
gây quỹ từ thiện Cần 1 giờ dé làm một bình hoa loại nhỏ và sẽ bán với giá 100 nghìn đồng, 90 phút để làm một bình hoa loại lớn và sẽ bán với giá 200 nghìn đồng Học sinh này chỉ thu xếp được 15 giờ nghỉ để làm và ban tổ chức yêu cầu phải lam ắt nhât là 12 bình hoa Hãy cho biết bạn ấy cần làm
bao nhiêu bình hoa mỗi loại đê gây quỹ được nhiêu tiền nhất
Một xưởng sản xuât có 12 tân nguyên liệu A và 8 tân nguyên liệu B đề sản xuất hai loại sản phẩm X, Y Đề sản xuất một tân sản phâm X cần ding 6 tân nguyên
liệu A và 2 tân nguyên liệu B, khi bán lãi được 10 triệu đồng Đề sản xuât một
Trang 38LỜI GIẢI - HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1 BÁT PHƯƠNG TRÌNH BẠC NHÁT HAI ÂN
Trang 40Bài 2 HỆ BÁT PHƯƠNG TRÌNH BAC NHÁT HAI AN | ] Hinh 1 Hinh2 2 Hé bat phwong trình mô tả điều kiện của *, y: 2xLS 5 x20 y>0
Miễn không gạch chéo bao gồm cả các cạnh trong Hình 3 là phân giao của các miên nghiệm và cũng, là phần biểu điễn miền nghiệm của hệ bất phương
trình trên
Hình 3 3 Goi x là sô xe du lịch và y la s6 xe tai ma
chủ bãi xe nên cho đậu một đâm Ta có hệ bât phương trình: x+y<40 3x+5y<150 x20 y20
Miễn không gạch chéo bao gồm cả các cạnh trong Hình 4 là phần giao của các
miễn nghiệm và cũng là phần biểu diễn
miễn nghiệm của hệ bất phương trình trên Hình4
Sô tiền chủ bãi xe thu được # = 40x + 50y đạt GTLN bằng 1 750 nghìn đồng tại (25; 15) Vậy để có doanh thu cao nhất, chú bãi xe có thê cho đăng kắ 25 chiếc
xe du lịch và 15 chiếc xe tải