GIẢNG DẠY | Khoa Công nghệ thông tin VNUA

HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2017 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 Cho ma trận 2 1 0 2 B        Tính 2017 B Bài 2 Cho ma trận   2 3 2 2 3[.]

HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN NĂM 2017 ĐỀ THI MÔN : ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 120 phút 2 1 Bài Cho ma trận B   Tính B 2017  0 2 0  1 a Bài Cho ma trận A    a 1  a a a2 a a a2 a a3   2 a    a  0 a   0  a) Tính A2  A b) Chứng minh ma trận A khả nghịch Tìm ma trận nghịch đảo A Bài Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2  a  1  b  1  c  1  d  1  a  2 b  2  c  2  d  2  a  3  b  3  c  3  d  3 0 Bài Cho hai ma trận A, B vuông cấp n thỏa mãn: A2017  AB  A  B Chứng minh AB  BA B2017  Bài Cho ma trận vuông A cấp n Vết ma trận A tổng phần tử đường chéo A , kí hiệu Tr  A Chứng minh Tr  At A  A ma trận khơng Bài Giải hệ phương trình tuyến tính:  x1  x2  x3   x9  10 x10  x  x  x   x  10 x 10   x  x  x   x  10 x      x10  x1  3x2   x8  10 x9 1 2 3  10 Hết -Ghi chú: Cán coi thi khơng phải giải thích thêm Họ tên sinh viên: Mã sinh viên: OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN CẤP HV NĂM HỌC 2017/2018 ĐỀ THI MƠN : GIẢI TÍCH Ngày 5/11/2017 Thời gian: 120 phút BỘ MƠN TỐN- KHOA CNTT Bài (Dãy số) 1) Tính giới hạn sau a) lim n   5n   4n n b) lim n  sin (n  1)  n  cos (n  1) n  2) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  3, un 1  un  4, n  a) Đặt dãy số  un   , n  Tìm  để dãy số (vn ) cấp số nhân b) Tìm giới hạn dãy (vn ) , từ suy giới hạn dãy (un ) Bài (Giới hạn hàm số) 2x  x 1 x 5  x4 s in(x+1) 2) lim x  x 1) lim 3) lim ( x3  3x  x  x ) x  Bài (Phép tính vi phân hàm số) 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y  x  x 2) Cho bất phương trình mx4  x  3m  (1) a) Tìm điều kiện tham số m để (1) với x  b) Tìm điều kiện tham số m để (1) có nghiệm  3) Chứng minh với x  [0, ), ta có sin x  tan x  x - Hết Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2017 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN : ĐẠI SỐ Bài 0  1  Ta có B  2I  A , A   , I    0  0  2017 0  2017 2017k 2017 2017 k Ta có A2   nên : B  I  A  C2017 Ak  I  A     k 0 0    2I   22017 Vậy B 2017    2017  2017 A  2I  2017  22017 I  2017 2017.22016   22017  Bài a) A2  A  3I 1  b) Ta có A2  A  3I  A  A  2I   3I  A   A  2I    I 3  Vậy A khả nghịch ma trận nghịch đảo A :      A1   A  I    3a   3a    3a a  3a 3a a2 a  3a a3   a2    a       Bài Nhân cột với – cộng vào cột 3, nhân cột với – cộng vào cột ta có: a2 b2 c2 d2  a  1  b  1  c  1  d  1  a  2 b  2  c  2  d  2  a  3  b  3  c  3  d  3 a2  b2 c2 d2  a  1  b  1  c  1  d  1 2a  3  2a   2b  3  2b  3 2c  3  2c  3 0 2d  3  d   Bài a) AB  A  B  A  B  I    B  I   I   A  I  B  I   I   B  I  A  I   I  BA  B  A  I  I  BA  A  B Vậy AB  BA b) Ta có AB  A  B  A  B  I   B BA  A  B   B  I  A  B Suy A  B  I    B  I  A Vậy B 2017   A  B  I  2017  A2017  B  I  2017  Bài Giả sử A   aij  Tính tốn trực tiếp ta Tr  At A   aij2 n n n i 1 j 1 Ta có: Tr  At A    aij2   aij  i  1, n; j  1, n Vậy A ma trận không n n i 1 j 1 Bài Cộng 10 phương trình hệ ta : x1  x2  x3   x9  x10  Lấy phương trình thứ k trừ phương trình thứ k  ( k  1,9 ) ta tính : x1  x2  x3   x9  0,2 , x10   9.0,2  0,8 Vậy hệ có nghiệm :  0,2;0,2; ;0,2; 0,8 ĐÁP ÁN MÔN : GIẢI TÍCH OLYMPIC TỐN HỌC SINH VIÊN CẤP HV NĂM HỌC 2017/2018 Ngày 5/11/2017 Thời gian: 120 phút BỘ MÔN TỐN- KHOA CNTT Bài (Dãy số) 1) Tính giới hạn sau : 5n   4n  lim n   n a) (2.5đ) lim n    4n n2  lim       n   n n n  (Thí sinh xét g/h n   KQ=  cho điểm bình thường) b) (2.5đ) lim n  sin (n  1)  n  cos (n  1)  lim n  n  n  sin (n  1)  n  cos (n  1) 0 , mẫu số tiến đến vô 2) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  3, un 1  un  4, n  a) (2.5đ) Đặt  un    un    thay vào công thức truy hồi dẫn đến 1 vn1    (vn   )   vn1     3 Chọn  cho       6 1  (vn ) cấp số nhân công bội 3 q b) (2.5đ) Chú ý v1  3 từ  v1q n 1  3( )n 1  n   Từ lim un  n   Bài (Giới hạn hàm số) x  x 1 45  x 5  20 x4 1) (2.5đ) Nhân liên hợp phân tích thành nhân tử tìm lim s in(x+1) s in(x+1)  sử dụng đl giới hạn kẹp:   x   x  x x x 2) (2.5đ) lim 3) (4.0đ) lim ( x3  3x  x  x )  lim [( x3  3x  x)  ( x  x  x )]  x  x  Hướng dẫn: Nhân với lượng liên hợp, sau chia tử mẫn cho x , x tương ứng để tính riêng giới hạn: lim ( x3  3x  x)  lim ( x  x  x )  x  x  Bài (Phép tính vi phân hàm số) 1) (3.0đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y  x  x Điều kiện 2  x  Hàm số y  x  x hàm liên tục khoảng đóng nên có Max,  x2 Tính đạo hàm y '  0 x 2  x2 So sánh giá trị y(2)  0, y( 2)  2, y( 2)  2 suy MAX=2, MIN=-2 2) (5.0đ)Cho bất phương trình 4x mx  x  3m   m  x 3  x4 4x Khảo sát hàm số y  : Tính y '  12 ( x  3)2 x 3 Chú ý y '   x  1 Lập bảng biến thiên xét dấu y ' tính biến thiên y với ý y(1)  1, y(1)  1, lim y  , suy Max=1, Min=-1 x  a) Bất pt với x   m  Max  b) Bất pt có nghiệm  m  Min  1 3) (3.0đ)BĐT sin x  tan x  2x  sin x  tan x  x   Xét hàm số y  sin x  tan x  x, x  [0, ) cos3 x  2cos x  (cos x  1)(cos x  cos x  1)    với x  [0, ) 2 cos x cos x   Do y hàm số đồng biến x  [0, ) Từ y  y(0)  x  [0, ) (ĐPCM) 2 Tính đạo hàm y '  ... (2.5đ) Đặt  un    un    thay vào công thức truy hồi dẫn đến 1 vn1    (vn   )   vn1     3 Chọn  cho       6 1  (vn ) cấp số nhân công bội 3 q b) (2.5đ) Chú ý v1  3... OLYMPIC TỐN HỌC SINH VIÊN CẤP HV NĂM HỌC 2017/2018 Ngày 5/11/2017 Thời gian: 120 phút BỘ MÔN TỐN- KHOA CNTT Bài (Dãy số) 1) Tính giới hạn sau : 5n   4n  lim n   n a) (2.5đ) lim n    4n... CẤP HV NĂM HỌC 2017/2018 ĐỀ THI MƠN : GIẢI TÍCH Ngày 5/11/2017 Thời gian: 120 phút BỘ MƠN TỐN- KHOA CNTT Bài (Dãy số) 1) Tính giới hạn sau a) lim n   5n   4n n b) lim n  sin (n  1) 