GIẢNG DẠY | Khoa Công nghệ thông tin VNUA

NỘI DUNG ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ OLYMPIC VNUA 2019 2020 (Thi cấp Học viện) Bộ môn Toán Khoa CNTT Phần 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Ma trận, các phép toán của ma trận và một số tính chấ[.]

NỘI DUNG ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ OLYMPIC VNUA 2019-2020 (Thi cấp Học viện) Bộ mơn Tốn- Khoa CNTT Phần MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận, phép toán ma trận số tính chất Vết ma trận Định thức: định nghĩa, tính chất định thức, phương pháp tính định thức Ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo (Phần bù đại số, biến đổi sơ cấp) Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính phương pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp Định lí Kronecker – Capelli Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình Cramer Định lí Cramer Phần ĐA THỨC Đa thức biến: phép tốn đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Nghiệm đa thức Bài toán xác định đa thức BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ơn tập thi Olympic cấp Học viện- VNUA 2019-2020 MA TRẬN 1.1 Tìm tất ma trận vng cấp có bình phương ma trận khơng 1.2 Tìm tất ma trận vng cấp có bình phương ma trận đơn vị a b  , I ,  ma trận đơn vị ma trận không cấp d  1.3 Cho ma trận A   c a Chứng minh A2   a  d  A   ad  bc .I   b Chứng minh A3   A2    3 2  1  3  2    , B  2 1.4 Cho ma trận A   1   2 1 2   5 3 2     2  a Tìm hàng ma trận B.At b Chứng minh A khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo ma trận A1 c Tính det  A*  , với A* ma trận phụ hợp A d Ma trận  A*  gồm tồn số ngun khơng? Tại ? 1 1.5 Cho A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2  A  I n Chứng minh A có ma trận nghịch đảo tìm ma trận nghịch đảo A 5 6  1.6 Cho M , N ma trận vuông cấp thỏa mãn MN  6 7    6 6  a Tính ( MN )2 b Chứng minh NM khả nghịch Tìm ma trận nghịch đảo NM 1.7 Tìm ma trận A n với 1  a A  0 0 0  1.8 Cho 2 0 b A  0  0 2 thỏa mãn Chứng minh 1.9 Cho ma trận vuông A, B cấp n Vết ma trận A tổng tất phần tử đường chéo A, kí hiệu Tr  A Chứng minh rằng: a Tr  A  B   Tr  A  Tr  B  b Tr  kA  kTr  A , k  c Tr  AB   Tr  BA 1.10 Chứng minh đẳng thức AB  BA  I không thỏa mãn với ma trận A, B nào? ĐỊNH THỨC 1 2.1 Giải phương trình: 1 x x x3 0 27 14 64 2.2 Tính định thức : a x1 x12 x13 x2 x22 x23 a b 2.3 Tính b c x3 x32 x33 x4 x42 x43 a b b a b c  d d c c d d c a b b a c a a, b, c nghiệm phương trình bậc : x  px  q  a b c 2.4 Cho m, n, p, q nghiệm phương trình x4  x   1  m  1  n 1 1  A  1 p 1    1 q  1  Tính det  A 2.5 a A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A1  A Chứng minh det( A  I )  det( A  I )  2n b A, B hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB  BA  B Chứng minh det( B)  2.6 Cho A, B ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn AB  A  B A2019  Chứng minh rằng: det  A  det( B)  2.7 Cho ma trận vuông A, B thỏa mãn At A  I ; B t B  I Biết det A  det B Chứng minh : a det  A  det  B   b det( A  B)  HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Giải hệ phương trình:  3x  y  z  t  u   x  y  z  3t  5u     x  y  z  5t  7u  3x  y  z  5t  8u  3.2 Giải hệ phương trình sau:  x1  x2  x3   x x x 0   x3  x4  x5     x x x 0  10  x1   x9  x10   x  x   x  10  3.3 Giải biện luận hệ phương trình sau tùy theo giá trị tham số m : 2x  y  z  t   mx  y  z  t   x  y  z  4t    a  x  my  z  t  b   x  y  mz  t   x  y  z  11t  m  4 x  y  z  16t  m  3.4 Chứng minh hệ phương trình sau có nghiệm khác nghiệm tầm thường: n lẻ 3.5 Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: ì mx + 8z - 7t = m - ï ï3x + my + 2z + 4t = m í mz + 5t = m2 - ï ïỵ 5z - mt = 2m + 3.6 Tùy theo giá trị m, biện luận số nghiệm hệ : ì mx + y + z + t = m ï í2x + 3y + 2z + (5m - 3)t = m + ï(m -1)x + 3y + 2z + (m2 + m)t = ỵ 3.7 Tìm điều kiện m để hai hệ sau có nghiệm chung: ì 2x - y + z - 2t + 3u = ìï x - y + 2z - 2mt = ïï í í x+ y- z -t +u =1 ïỵ 2x + y - z + t = m ï 3x + y + z - 3t + 4u = 2m ïỵ ĐA THỨC 4.1 (Nghiệm đa thức) Cho P  x  đa thức với hệ số nguyên Biết P   , P 1 số lẻ Chứng minh P  x  khơng có nghiệm nguyên? 4.2 (Nghiệm đa thức) Tìm m để phương trình x  x  2(m  1) x  m   có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 4.3 (Nghiệm đa thức) Cho phương trình x3  3x2   Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Giả sử x1  x2  x3 Chứng minh x1  x2   x1   x2   x3   27 4.4 (Nghiệm đa thức) Giả sử phương trình x3  ax2  bx  a  có ba nghiệm thực không âm (không thiết phải phân biệt) Chứng minh 8a  3b  72 4.5 (Đa thức với yếu tố giải tích) Với số nguyên dương n  xét đa thức Pn ( x)  nxn  xn1   x  Hỏi Pn ( x ) có nghiệm thực: a Khi n  2; n  3? b Khi n  4? 4.6 (Tính chia hết đa thức) Cho m, n số nguyên dương Chứng minh điều kiện cần đủ để đa thức xm  xn  1chia hết cho x2  x  mn  chia hết cho 4.7 (Xác định đa thức) Cho đa thức P( x)  x3  ax  bx  c a, b, c số thực Hãy tìm a, b, c cho P( x)  với x thoả mãn x  4.8 (Xác định đa thức) Tìm tất đa thức P( x) có hệ số nguyên cho P( P '( x))  P '( P( x)), x  ...BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ơn tập thi Olympic cấp Học viện- VNUA 2019-2020 MA TRẬN 1.1 Tìm tất ma trận vng cấp có bình phương ma trận khơng 1.2 Tìm tất ma trận