SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC: 2021 – 2022 MƠN: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (1, điểm) Cho a, b, c lả số thực đôi phân biệt, rút gọn biểu thức: (a b)3 (b c)3 (c a )3 A a (b c) b (c a) c (a b) Câu (2, điểm) a) Giai phương trinh: x x x ( 3x 1) x xy y b) Giải hệ phương trình: x x y y Câu (2, điểm) a) Tìm số nguyên m, n thỏa mãn m( m 1)(m 2) n b) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức: P x2 y x y Câu (2, điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi I điểm cung AB Trên cung lớn AB đường tròn tâm I bán kính IA lấy điểm C cho tam giác ABC nhọn Gọi M , N giao điểm CA, CB với nửa đường trịn đường kính AB( M khác A, N khác B ): J giao điểm AN với BM a) Chứng minh MBC NAC tam giác cân b) Chứng minh I trực tâm tam giác CMN CJ c) Gọi K trung điểm IJ , tính tỉ số OK Câu (1, điểm) Cho tập hợp X {1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9} , chia tập hơp X thành hai tập hợp khác rỗng khơng có phần tử chung Chứng minh với cách chia ln tồn số a, b, c tập hợp thỏa mãn a c 2b -HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN HÀ TĨNH Câu (1, điểm) Cho a, b, c lả số thực đôi phân biệt, rút gọn biểu thức: A (a b)3 (b c)3 (c a )3 a (b c) b (c a) c (a b) Lời giải x3 y z xyz ( x y z ) x y z xy yz zx x y z Ta biết rẳng nểu thi 3 đó: x y z 3xyz Ta có: a (b c) b (c a ) c (a b) (a b)c a b c ab(a b) (a b) c (a b)c ab (a b)(c a )(c b) (a b)(b c)(c a ) Đặt x a b, y b c, z c a ta có: A x3 y z 3 xyz Vậy A 3 Câu (2, điểm) a) Giai phương trinh: x x x ( 3x 1) x xy y b) Giải hệ phương trình: x x y y Lời giải a) Điều kiện: x Phương trình tương đương: x ( x 1) x x ( x 1) ( x 1) x ( 3x 1) x x 9 x x 2 x x ( 3x 1) (1) (1) x x x x x 14 x x x 15 3x 1( 3x 4) ( x 5)(2 x 3) 3( x 5) x 0 3x 3x ( x 5) x 3x x 3x 2x 0 3x 3x x 2x 2x 0 3 x Do vơ nghiệm Vây phương trình cho có nghiệm x 0, x x 2x x x b) Điều kiện: Phương trình thứ hệ tương đương: x xy y x y xy y ( x y) x ( x y ) x xy y y ( x y ) xy y x y 2 x xy y Với x y , thay vào phương trình thứ hai ta được: x x x 3x x0 x x 2x x x ∣ 2 x x x x (2 x 1)( x 1) x Nếu Với x , ta thấy phương trinh vơ nghiệm phương trình nhận nghiệm x Do xét x , phương trinh tương đương: x3 x x 8x x x (2 x 1)( x 1) 4(2 x 1)( x 1) x3 x x x (2 x 1)( x 1) 2x x x x ∣ 40 2x x x Ta có: x 2x x x x x 5 x x x 25 33 x x 2 32 x 16 x 25 x 64 x(32 x 16 x 25) 32 x 16 x 25 Do trường hợp hệ có ba nghiệm: 1 25 33 25 33 ( x; y ) (1; 1), ; , ; 64 64 2 y x xy y x y x y 2 Với (loại) 2 1 25 33 25 33 ( x; y ) (1; 1), ; , ; 64 64 2 Vây hệ cho có ba nghiệm: Câu (2, điểm) a) Tìm số nguyên m, n thỏa mãn m( m 1)(m 2) n b) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức: P x2 y x y Lời giải a) Do n nên suy m(m 1)(m 2) , suy m 2 Ta xét trường hợp sau - Trường hợp Xét m m 1 m 2 , tồn n thỏa mãn yêu cầu toán 2 - Trường hợp Xét m không thuộc tập hợp {2; 1;0} Khi m(m 1)(m 2) n Ta có khả sau: + Nếu m số lẻ ( m; m 1) ( m 1; m 2);( m; m 2) Do để tích số phương m, m 1, m ba số phương Nhưng m, m hai số nguyên liên tiếp nên khơng thể số phương + Nếu m số chẵn (m; m 2) 2;( m; m 1) ( m 1; m 2) Do để tích số 2 phương m 2a ; m b ; m 2c với a, b, c số nguyên dương (a; c) Suy a c (a c)(a c ) a c a c a 1; c Không thỏa mãn a, b, c nguyên dương Các cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán (m; n) ( 2;0), (1;0),(0;0) b) Đặt a x y xy a a x y xy 4( x y ) xy 12 4a a 2…12 ( a 2)( a 6)…0 a…2 Theo bất đẳng thức AM-GM x2 2 2 x „ 8 9 x 2 17 x2 9 x 4 2 17 y2 9 y 4 Tương tự p„ 17 x y ( x y )2 xy 2 p p 4 a2 a2 2 (3 a) a 17 2 ( 1) a5 P 22 P„ Dấu “=” xảy a = hay x = y =1 Câu (2, điểm) 1 2 5 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi I điểm cung AB Trên cung lớn AB đường tròn tâm I bán kính IA lấy điểm C cho tam giác ABC nhọn Gọi M , N giao điểm CA, CB với nửa đường trịn đường kính AB( M khác A, N khác B ): J giao điểm AN với BM a) Chứng minh MBC NAC tam giác cân b) Chứng minh I trực tâm tam giác CMN CJ c) Gọi K trung điểm IJ , tính tỉ số OK Lời giải a) Vì I điểm cung AB nên tam giác IAB vuông cân I ·ACB ·AIB 90 45 · 2 Khi đó: , hay ACN 45 · · Mặt khác ANC 180 ANB 180 90 90 NAC vng N có ·ACN 45 nên NAC vuông cân N · Chứng minh tương tự ta có: BCM 45 MBC vng M nên MBC vuông cân M Từ suy điều phải chứng minh · · · b) Ta có: INC IAB 45 phụ với INB · · · · Mà INA IBA 45 INC INA 45 hay NI phân giác tam giác vng cân NAC Do NI AC hay NI MC Chứng minh tương tự ta có MI NC Do I trực tâm tam giác CMN · · c) Do ANB AMB 90 nên dễ dàng suy J trực tâm tam giác CAB Khi ta có MI‖ JN vng góc với BC MJ‖ IN vng góc với AC Tứ giác MINJ hình bình hành, suy K trung điểm MN , dẫn đến OK MN Gọi S điểm đối xứng C qua I , CAB nội tiếp đường trịn đường kính CS có J trực tâm CAB nên theo bổ để quen thuộc tứ giác AJBS hình bình hành, suy O, J , S thẳng hàng Từ OI đường trung bình CSI CJ 2OI AB Mặt khác CMN đồng dạng với MN CN AB cos 45 MN CBA nên: AB CA 2 AB AB AB OM ON MN Ta có nên OMN vuông cân O OK MN AB CJ AB 2 OK AB Do CJ 2 Vậy OK chung Câu (1, điểm) Cho tập hợp X {1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9} , chia tập hơp X thành hai tập hợp khác rỗng khơng có phần tử chung Chứng minh với cách chia ln tồn số a, b, c tập hợp thỏa mãn a c 2b Lời giải Ta chứng minh bẳng phương pháp phản chứng Giả sử không tồn tại số a, b, c hai tập hợp thỏa mãn a c 2b Đặt hai tập hợp A B Vì tập hợp khơng tồn ba số a, b, c thỏa mãn a c 2b nên số (1;5;9) thuộc A B Khơng tính tổng quát giả sử A Ta xét hai trường hợp: TH1: A Suy B Nếu A B B A B A , mâu thuẫn (2;5;8) thuộc B Nếu B A Ta xét tiếp hai trường hợp: 3 A B B , mâu thuẫn (3;6;9) thuộc A 3 B , mâu thuẩn (3;5;7) thuộc B TH2: B Suy A B A B B A A mâu thuẫn (2;5;8) thuộc B Vây trường hợp tồn ba số a, b, c tập họp thỏa mãn a c 2b ... -HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN HÀ TĨNH Câu (1, điểm) Cho a, b, c lả số thực đôi phân... nên suy m(m 1)(m 2) , suy m 2 Ta xét trường hợp sau - Trường hợp Xét m m 1 m 2 , tồn n thỏa mãn yêu cầu toán 2 - Trường hợp Xét m không thuộc tập hợp {2; 1;0} Khi m(m ... bình hành, suy K trung điểm MN , dẫn đến OK MN Gọi S điểm đối xứng C qua I , CAB nội tiếp đường trịn đường kính CS có J trực tâm CAB nên theo bổ để quen thuộc tứ giác AJBS hình bình hành,