(LUẬN văn THẠC sĩ) một số vấn đề về phần xoắn của đường cong elliptic001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC LÊ VĂN NAM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHẦN XOẮN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Chuyên nghành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài HÀ NỘI- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Các khái niệm đường cong elliptic 1.1 1.2 1.3 Đường cong elliptic nhóm aben 1.1.1 Đường cong elliptic 1.1.2 Luật cộng đường cong elliptic Điểm có cấp hữu hạn 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn 1.2.2 Định lý Nagell-Lutz 10 Phần xoắn hai lớp đường cong elliptic 14 Một số phân loại biết theo danh sách Kubert 18 2.1 Danh sách Kubert 18 2.2 Phân loại K Ono 20 2.3 Phân loại Qiu - Zhang 25 2.4 Nhóm xoắn nhận theo danh sách Kubert 30 Bổ sung phân loại theo danh sách Kubert 32 3.1 Phần xoắn chứa điểm cấp 32 3.2 Phần xoắn chứa điểm cấp 34 3.3 Phần xoắn chứa điểm cấp 38 3.4 Phần xoắn chứa điểm cấp 44 Kết luận 56 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo 57 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Nhân dịp này, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS.Phó Đức Tài, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo tơi suốt q trình thực luận văn suốt hai năm bước vào học thạc sĩ thầy giành tâm huyết bảo cách tiếp cận cách học đại số Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, giáo khoa Tốn-Cơ-Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thiện nhiệm vụ Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Học viên Lê Văn Nam TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Đường cong elliptic đối tượng quan trọng toán học Lịch sử phát triển đường cong elliptic trải qua thời gian dài ứng dụng đường cong elliptic tiếp tục khám phá Gần đây, ứng dụng quan trọng đường cong elliptic phát lý thuyết mật mã, phân tích số nguyên lớn, việc giải phương trình Diophante Định lý Mordell-Weil phát biểu nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic (E(Q), +) nhóm aben hữu hạn sinh, E(Q) ∼ = T orsE(Q) Zr , phần xoắn T orsE(Q) nhóm hữu hạn hạng r hữu hạn Hơn nữa, phần xoắn T orsE(Q) xác định tường minh từ phương trình định nghĩa đường cong nhờ định lý Nagell-Luzt định lý Mazur Câu hỏi ngược lại toán phân loại (hoặc tìm) họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước Nội dung luận văn phân loại phần xoắn số họ biết bổ sung phân loại thiếu theo danh sách D.S Kubert (là danh sách (K) chương 2) Trong phân loại song song với chứng minh lý thuyết, sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại kết Bố cục luận văn trình bày sau: Chương 1: Các khái niệm đường cong elliptic Chúng tơi trình bày tổng quan số kiến thức đường cong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com elliptic, định nghĩa dạng đường cong elliptic, xây dựng luật cộng đường cong elliptic, chứng minh định lý Nagell-Luzt, chọn hai ví dụ có ví dụ trình bày phân loại nhóm xoắn Chương 2: Một số phân loại biết theo danh sách D.S Kubert Chúng tơi trình bày lại hai phân loại K Ono D Qiu-X Zhang cho hai lớp đường cong (2) (3) danh sách (K) D.S Kubert Chương 3: Bổ sung phân loại theo danh sách Kubert Mục đích bổ sung phân loại cho bốn lớp đường cong (4), (5), (9) (13) theo danh sách (K) D.S Kubert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Các khái niệm đường cong elliptic Mục đích chương trình bày lại số kết quan trọng lý thuyết đường cong elliptic, chẳng hạn định lý Nagell-Luzt, định lý Mazur, định lý Mordell-Weil hai ví dụ phần xoắn đường cong elliptic 1.1 1.1.1 Đường cong elliptic nhóm aben Đường cong elliptic Phương trình đường cong bậc tổng quát xác định trường K có dạng ax3 + bx2 y + cxy + dy + ex2 + f xy + gy + hx + iy + j = 0, a, b, c, e, f, g, h, i, j ∈ K a, b, c không đồng thời Khi phép đổi trục tọa độ hợp lý, chuyển phương trình bậc tổng quát dạng y + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 với a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K Phương trình gọi phương trình Weierstrass tổng quát Khi char K = 2, phép đổi biến thích hợp, cụ thể với y := y − (a1 x + a3 ), TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com phương trình trở thành y = x3 + Ax2 + Bx + C Phương trình gọi phương trình dạng Weierstrass đơn giản Khi char K = 3, phép đặt x := x + A3 chuyển phương trình Weierstrass đơn giản dạng y = x3 + Ax + B Phương trình gọi phương trình Weierstrass chuẩn tắc Một đường cong xác định phương trình dạng Weierstrass đơn giản y = x3 + Ax2 + Bx + C với A, B, C ∈ K gọi đường cong elliptic khơng kỳ dị, tức biệt thức D = −4A3 C + A2 B + 18ABC − 4B − 27C = Để đơn giản, ta dùng kí hiệu D thay cho biệt thức đường cong elliptic khơng nói thêm 1.1.2 Luật cộng đường cong elliptic Cho đường cong elliptic E có phương trình y = x3 + Ax2 + Bx + C hệ tọa độ xạ ảnh phương trình E Y Z = X + AX Z + BXZ + CZ Mỗi điểm mặt phẳng xạ ảnh có tọa độ P [X : Y : Z] Khi P = [X : Y : 0] điểm P tương ứng với điểm vơ không gian afin mà ký hiệu điểm Θ Ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y = x3 + Ax2 + Bx + C} ∪ {Θ} Để đơn giản, ta dùng kí hiệu E thay cho E(K) khơng nói thêm Luật cộng xác định cách hình học sau: Bắt đầu với điểm P1 (x1 , y1 ) P2 (x2 , y2 ) E(K), vẽ đường thẳng qua P1 , P2 cắt đường bậc điểm P1 ∗ P2 , lấy đối xứng điểm P1 ∗P2 qua trục hoành ta điểm P3 Khi ta định nghĩa P3 = P1 +P2 Trong trường hợp P1 ≡ P2 đường thẳng qua P1 , P2 tiếp tuyến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com với đường cong P1 , tọa độ điểm P3 (x3 , y3 ) tọa độ điểm 2P1 Với P1 , P2 = Θ, tọa độ P3 (x3 , y3 ) xác định sau: Nếu x1 = x2 −y1 x3 = λ2 − A − x1 − x2 , y3 = λ(x2 − x3 ) − y2 , với λ = xy22 −x Nếu x1 = x2 y1 = y2 P1 + P2 = Θ Nếu P1 ≡ P2 y1 = +B x3 = λ2 − A − 2x1 , y3 = λ(x1 − x3 ) − y1 , với λ = 3x1 +2Ax 2y1 Nếu P1 ≡ P2 y1 = P1 + P2 = Θ Qui ước P + Θ = P, ∀P ∈ E(K) Luật cộng điểm đường cong E có phương trình (E) : y + a1 xy + a3 y = f (x) = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 Ta ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 } ∪ {Θ} Bắt đầu với điểm P1 (x1 , y1 ) P2 (x2 , y2 ) E(K), vẽ đường thẳng qua P1 , P2 cắt E điểm P1 ∗ P2 Lấy đối xứng điểm P1 ∗ P2 ta điểm P3 Khi ta định nghĩa qua đường thẳng y = − a1 x+a P3 = P1 + P Trường hợp Nếu x1 = x2 P1 = P2 , gọi phương trình đường thẳng qua P1 , P2 y = λx + β , y1 − y2 x1 − x2 Trường hợp Nếu x1 = x2 P1 = P2 P1 + P2 = Θ Trường hợp Nếu P1 = P2 , gọi phương trình tiếp tuyến qua P1 y = λx + β , f (x1 ) − a1 y1 λ= 2y1 + a1 x1 + a3 Ta gọi phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng y = λx + β E λ= (λx + β)2 + a1 x(λx + β) + a3 (λx + β) = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 , TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tương đương = x3 + (a2 − λ2 − λa1 )x2 + (a4 − 2λβ − a1 β − λa3 )x + (a6 − β − a3 β) Tọa độ P3 (x3 , y3 ) xác định sau Trong trường hợp (x3 , y3 ) = (x3 , −y3 − a1 x3 − a3 ) x3 = λ2 + λa1 − a2 − x1 − x2 , y3 = λx3 + β Trong trường hợp (x3 , y3 ) = (x3 , y3 − a1 x3 − a3 ) x3 = λ2 + λa1 − a2 − 2x1 , y3 = λx3 + β Định lý 1.1 E(K) với phép cộng xác định lập thành nhóm giao hoán với Θ phần tử đơn vị Chứng minh Có thể xem chứng minh định lý [14] Chú ý 1.1 Cho E đường cong elliptic có phương trình y = x3 + Ax2 + Bx + C, A, B, C ∈ Q Nếu cần thiết nhân hai vế phương trình với d6 , d ∈ Z∗ , ta thu (yd3 )2 = (xd2 )3 + d2 A(xd2 )2 + d4 B(xd2 ) + Cd6 Thay yd3 y xd2 x, ta chọn d cho d2 A, d4 B, Cd6 ∈ Z Vậy xét E : y = x3 + Ax2 + Bx + C Q giả sử A, B, C ∈ Z 1.2 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn Điểm có cấp hữu hạn Định nghĩa 1.1 Cho E : y = x3 + Ax2 + Bx + C , với A, B, C ∈ K Cho P (x0 , y0 ) ∈ E Cấp điểm P số nguyên dương m bé thỏa mãn mP = Θ Nếu tồn m P có cấp hữu hạn, P gọi điểm xoắn, ngược lại P gọi điểm có cấp vơ hạn Ký hiệu E[n] tập điểm E có cấp n điểm Θ Vấn đề đặt làm để tìm tất điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn E Để làm điều đó, ta cần đến kết quan trọng định lý Nagell-Lutz TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.4 Phần xoắn chứa điểm cấp Cho đường cong elliptic E(a1 , a3 ): y + a1 xy + a3 y = x3 có biệt thức D = a31 a33 − 27a43 Đường cong elliptic nhận điểm (0, 0) điểm cấp không điểm cấp (tham khảo [3]), ta giả sử (1.6.1) u(u + 4m) = v (1.6.2) u(u − 4m) = v (1.7.1) 2(v + u)(−u + 2k + v)u = (v − u)(u + 2k + v)2 (1.7.2) 2(−v + u)(u + 2k + v)u = (v + u)(−u + 2k + v)2 (1.7.3) 2(v + u)(u + 2k − v)u = −(v − u)(−u + 2k − v)2 (1.7.4) 2(−v + u)(−u + 2k − v)u = −(v + u)(u + 2k − v)2 (1.7.5) −2l2 u(v + u)(l2 u − 2v − l2 v) = (v − u)(l2 v + l2 u + 2v )2 (1.7.6) 2l2 u(u − v)(l2 v + l2 u + 2v ) = (v + u)(l2 u − 2v − l2 v)2 (1.7.7) 2l2 u(u − v)(l2 v + l2 u − 2v ) = (v + u)(l2 u + 2v − l2 v)2 (1.7.8) 2l2 u(v + u)(l2 u + 2v − l2 v) = −(v − u)(l2 v + l2 u − 2v )2 Định lý 3.4 Cho E : y + a1 xy + a3 y = x3 đường cong elliptic, a1 , a3 ∈ Q, a3 = Khi nhóm xoắn E(Q) (1) T orsE(Q) ⊃ Z/6Z a1 , a3 hai trường hợp sau (1.1) a3 = 2m3 + a1 m2 , a1 = −3m, a1 = −2n a1 = 6m, (1.2) a3 = −2m3 + a1 m2 , a1 = −6m, a1 = 2n a1 = 3m, m ∈ Q, m = (2) T orsE(Q) = Z/12Z a1 , a3 trường hợp sau u2 m + 2u − 2m, a3 = 2m3 + a1 m2 , m, u thỏa mãn (1.6.1) u = −2m, u = −m, (2.1) a1 = (2.2) a1 = − um − 2u + 2m, a3 = −2m3 + a1 m2 , m, u thỏa mãn (1.6.1) u = −2m, u = −m, 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com u2 m − 2u − 2m, a3 = 2m3 + a1 m2 , m, u thỏa mãn (1.6.2) u = m, u = 2m, (2.3) a1 = (2.4) a1 = − um + 2u + 2m, a3 = −2m3 + a1 m2 , m, u thỏa mãn (1.6.2) u = m, u = 2m, m, u, v ∈ Q khác (3) T orsE(Q) = Z/2Z ⊕ Z/6Z a1 , a3 trường hợp sau (3.1) a1 = −2n + v , a3 = n2 (a1 − 2n), v = ±4n v = 5n, (3.2) a1 = −2n − v , a3 = n2 (a1 − 2n), v = −5n v = ±4n, (3.3) a1 = 2n + v , a3 = n2 (a1 + 2n), v = −5n v = ±4n, (3.4) a1 = 2n − v , a3 = n2 (a1 + 2n), v = ± − 4n v = 5n, n, u, v ∈ Q khác cho 16n2 + u2 = v (4) T orsE(Q) = Z/9Z a1 , a3 trường hợp sau v−k k , 2 −v a3 = u 4k , u, v, k thỏa mãn (1.7.1) (1.7.2) q = −3k + 12v (4.1) a1 = −v−k k , 2 2 2 −v a3 = u 4k , u, v, k thỏa mãn (1.7.3) (1.7.4) q = −3k − 12v (4.2) a1 = a3 = −(u 4v−v )l , u, v, l thỏa mãn (1.7.5) (1.7.6) q = −3v + 12vl2 (4.3) a1 = v−l2 l , )l = (u −v , u, v, l thỏa mãn (1.7.7) 4v (1.7.8) q = −3v + 12vl2 (4.4) a1 = −v−l2 l , a3 k, l, u, v, q ∈ Q khác 0, u = ±v (5) T orsE(Q) = Z/3Z trường hợp lại a1 , a3 Chứng minh Đường cong elliptic xét nhận điểm (0, 0) điểm (0, −a3 ) điểm cấp Điều nghĩa nhóm xoắn E(Q) Z/3Z, Z/6Z, Z/2Z ⊕ Z/6Z, Z/9Z, Z/12Z với giá trị a1 , a3 45 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tương ứng (1) Chiều thuận Giả sử T orsE(Q) ⊃ Z/6Z, ta tìm a1 a3 thỏa mãn Xét P (x2 , y2 ) ∈ Q, điểm P có cấp phương trình y + (a1 x + a3 )y − x3 = có nghiệm ⇔ (a1 x+a3 )2 +4x3 = ⇔ (a1 x+a3 )2 = 4(−x)3 Giả sử ∃m ∈ Q thỏa mãn x = −m2 với m = Như P (x2 , y2 ) điểm cấp a3 = 2m3 + a1 m2 a3 = −2m3 + a1 m2 Mặt khác a31 a33 − 27a43 = a1 = −3m, a1 = −2n a1 = 6m a1 = −6m, a1 = 2n a1 = 3m Chiều ngược Giả sử a3 = 2m3 + a1 m2 a3 = −2m3 + a1 m2 , ta chứng minh đường cong elliptic có T orsE(Q) ⊃ Z/6Z Thật vậy, ta điểm Q(x, y) ∈ E(Q) điểm cấp Phương trình đường thẳng (l1 ) qua điểm (−m2 , −m3 ) cấp điểm (0, 0) cấp y = mx Phương trình hồnh độ giao điểm (l1 ) với đường cong elliptic x(x + m2 )(2m2 + a1 m − x) = Ta tìm điểm có cấp (2m2 + a1 m, m(2m2 + a1 m)) Phương trình đường thẳng (l2 ) qua điểm (−m2 , m3 ) cấp điểm (0, 0) cấp y = −mx Phương trình hồnh độ giao điểm (l2 ) với đường cong elliptic −x(x + m2 )(−2m2 + a1 m + x) = 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta tìm điểm có cấp khác (2m2 − a1 m, −m(2m2 − a1 m)) (2) Chiều thuận Giả sử T orsE(Q) = Z/12Z P (x4 , y4 ) ∈ E(a1 , a3 ) ta tìm a1 , a3 để P có cấp Trường hợp Phương trình tiếp tuyến P qua điểm (−m2 , −m3 ) cấp y = cx + cm2 − m3 (d1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) E(a1 , a3 ) (x + m2 )[−x2 + (c2 + a1 c + m2 )x − (m4 + a1 m3 − c2 m2 − a1 cm2 )] = P có cấp phương trình h(x) = −x2 + (c2 + a1 c + m2 )x − (m4 + a1 m3 − c2 m2 − a1 cm2 ) = 0(2.1) có nghiệm x = −m2 Ta có h(x) = có nghiệm (c2 + a1 c + m2 )2 − 4[m4 + a1 m3 + (−c2 − a1 c)m2 ] = điều tương đương với (c2 + a1 c + m2 )2 = 4[m4 + a1 m3 + (−c2 − a1 c)m2 ], = 4(−m2 )(−m + c)(m + c + a1 ), = 4m2 (m − c)(m + c + a1 ) Bài toán thỏa mãn tồn u ∈ Q, u = cho (m − c)(m + c + a1 ) = u2 Phương trình tương đương với (c2 + a1 c + m2 )2 = (2m2 + ma1 − u2 )2 Như có khả sau xảy Khả 2m2 + ma1 − u2 = 2mu ⇔ a1 = u2 m + 2u − 2m 47 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com c ∈ Q u(u + 4m) = v v ∈ Q Khi với a1 = um + 2u − 2m có hai giá trị c thỏa mãn c= a1 m − uv 2m c= a1 m − uv 2m Khả 2 2m2 + ma1 − u2 = −2mu ⇔ a1 = um − 2u − 2m c ∈ Q u(u − 4m) = v v ∈ Q Khi với a1 = um + 2u − 2m có hai giá trị c thỏa mãn c= a1 m − uv 2m a1 m − uv 2m Xét h(−m2 ) = −m3 (a1 + 3m), h(−m2 ) = ⇔ m = a1 = −3m Vậy thu giá trị a1 , a3 thỏa mãn trường hợp a1 = um + 2u − 2m a3 = 2m3 + a1 m2 u(u + 4m) = v với m, u, v ∈ Q khác a1 = −3m a1 = um − 2u − 2m a3 = 2m3 + a1 m2 u(u − 4m) = v với m, u, v ∈ Q khác a1 = −3m Trường hợp Phương trình tiếp tuyến P qua điểm (−m2 , m3 ) cấp y = cx + cm2 + m3 (d1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) E(a1 , a3 ) c= (x + m2 )[−x2 + (c2 + a1 c + m2 )x − (m4 − a1 m3 − c2 m2 − a1 cm2 )] = 0, để P có cấp phương trình h(x) = −x2 + (c2 + a1 c + m2 )x − (m4 − a1 m3 − c2 m2 − a1 cm2 ) = có nghiệm x = −m2 48 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta tìm điều kiện để h(x) = có nghiệm (c2 + a1 c + m2 )2 − 4[m4 − a1 m3 + (−c2 − a1 c)m2 ] = điều tương đương với (c2 + a1 c + m2 )2 = 4[m4 − a1 m3 + (−c2 − a1 c)m2 ], = 4(−m2 )(m + c)(−m + c + a1 ), = 4m2 (m + c)(m − c − a1 ) Biện luận hoàn toàn trường hợp có kết cho trường hợp sau a1 = − um − 2u + 2m a3 = −2m3 + a1 m2 u(u + 4m) = v với m, u, v ∈ Q khác a1 = 3m a1 = − um + 2u + 2m a3 = 2m3 + a1 m2 u(u − 4m) = v với m, u, v ∈ Q khác a1 = 3m Chiều ngược Giả sử a1 = um + 2u − 2m a3 = 2m3 + a1 m2 từ phương trình (2.1) có tọa độ P với P (x4 , y4 ) ∈ E(Q) 4P = Θ 1 (mu, u3 + mu2 − u2 v − 2m3 − uvm) 2 2 Khi phương trình đường thẳng qua điểm P có cấp điểm (0, 0) có cấp với E(a1 , a3 ) cho điểm Q ∈ E(Q) có cấp 12 (3) Chiều thuận Giả sử T orsE(Q) = Z/2Z ⊕ Z/6Z tìm điều kiện a1 a3 Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng a1 x + a3 y=− E(a1 , a3 ) a1 x + a3 + a1 1 = − x2 a21 + a1 a3 x + 2 1 = − a1 x + a3 2 x3 = − − a1 x + a3 a1 x + a3 x + a3 − , 2 a , 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Như thu phương trình sau 4x3 + a21 x2 + 2a1 a3 x + a23 = 0(3.1) Phương trình tương với phương trình sau a23 + 2a1 xa3 + (4x3 + a21 x2 ) = Để phương trình có nghiệm hữu tỷ 4x2 (−x) số phương nghĩa phải tồn n ∈ Q, n = cho −x = n2 thu hai giá trị a3 thỏa mãn a3 = n2 (a1 − 2n) a3 = n2 (a1 + 2n) Trường hợp a3 = n2 (a1 − 2n) thay vào phương trình (3.1) thu phương trình (x + n2 )(4x2 + (a21 − 4n2 )x + (4n4 − 4a1 n3 + n2 a21 )) = Để phương trình có ba nghiệm phân biệt x ∈ Q ta xét phương trình h(x) = 4x2 + (a21 − 4n2 )x + (4n4 − 4a1 n3 + n2 a21 ) = có hai nghiệm phân biệt khác −n2 Chúng ta tìm điều kiện để h(x) = có hai nghiệm phân biệt thuộc số hữu tỷ tồn u ∈ Q, u = cho a21 + 4a1 n − 12n2 = u2 để a1 ∈ Q tồn v ∈ Q, v = cho 16n2 + u2 = v Bây ta xét h(−n2 ) = −4n3 (−3n + a1 ) h(−n2 ) = ⇔ n = a1 = 3n Vậy trường hợp thu a1 a3 thỏa mãn a3 = n2 (a1 − 2n) a1 = −2n + v a3 = n2 (a1 − 2n) a1 = −2n − v Trong 16n2 + u2 = v với n, u, v ∈ Q khác 0, a1 = 3n Mặt khác a31 a33 − 27a43 = v = −4n v = 4n Trường hợp a3 = n2 (a1 + 2n) thay vào phương trình (3.1) thu phương trình sau (x + n2 )(4x2 + (a21 − 4n2 )x + (4n4 + 4a1 n3 + n2 a21 )) = Để phương trình có ba nghiệm phân biệt x ∈ Q phương trình h(x) = 4x2 + (a21 − 4n2 )x + (4n4 + 4a1 n3 + n2 a21 ) = có hai nghiệm 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com phân biệt khác −n2 Biện luận trường hợp thu kết sau a3 = n2 (a1 + 2n) a1 = 2n + v a3 = n2 (a1 − 2n) a1 = 2n − v Trong 16n2 + u2 = v với n, u, v ∈ Q khác 0, a1 = −3n Để a31 a33 − 27a43 = v = 4n v = −4n Chiều ngược Giả sử a3 = n2 (a1 − 2n) a1 = −2n + v có ba điểm cấp (−n2 , n3 ); (− 81 (−v + u)(4n − v), 16 (4n − v)(8n2 − 2nu + 2nv + vu − v )) ( 81 (v + u)(4n − v), 16 (4n − v)(8n2 + 2nu + 2nv − vu − v )) Khi giao điểm đường thẳng qua điểm cấp điểm cấp với đường cong elliptic xét cho điểm cấp Chúng ta có hai điểm cấp (0, 0) (0, −a3 ) ba điểm cấp có sáu điểm cấp (4) Giả sử P ∈ E(a1 , a3 ) ta tìm điều kiện a1 , a3 để P có cấp 9P = Θ ⇔ 3(3P ) = Θ, có hai trường hợp xảy 3P = (0, 0) 3P = (0, −a3 ) Trường hợp Giả sử phương trình đường thẳng qua P, 2P, 3P (0, 0) y = kx (d3) Phương trình hồnh độ giao điểm (d3) với E(a1 , a3 ) x(x2 − (k + a1 k)x − a3 k) = Để tốn thỏa mãn phương trình h(x) = x2 − (k + a1 k)x − a3 k = có nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ Q khác Ta tìm điều kiện để phương trình h(x) = x2 − (k + a1 k)x − a3 k = có nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ Q tồn u ∈ Q, u = cho (k + a1 k)2 + 4ka3 = u2 Như tồn v ∈ Q, v = cho 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com a3 = u2 −v 4k a1 = v−k k , a3 = Khả a3 = u2 −v 4k u2 −v 4k a1 = a1 = v−k k −v−k k tìm x1 x2 (v x1 = − u) x1 = 21 (v + u) Giả sử x(P ) = 12 (v + u) theo phép cộng điểm tìm (v + u)(−u + 2k + v)u x(2P ) = (u + 2k + v)2 Từ để P điểm cấp cần điều kiện 2(v + u)(−u + 2k + v)u = v − u (u + 2k + v)2 Khi x(P ) = x1 = 12 (v − u) tìm (−v + u)(u + 2k + v)u x(2P ) = (−u + 2k + v)2 Từ để P điểm cấp cần điều kiện 2(−v + u)(u + 2k + v)u = v + u (−u + 2k + v)2 Để a31 a33 − 27a43 = u = ±v q = −3k + 12v với q ∈ Q Khả a3 = u2 −v 4k a1 = −v−k k tìm x1 x2 x1 = − 12 (v + u) x1 = − 21 (v − u) Giả sử x(P ) = − 21 (v + u) tìm x(2P ) = (v + u)(u + 2k − v)u (−u + 2k − v)2 Từ để P điểm cấp cần điều kiện 2(v + u)(u + 2k − v)u = −(v − u) (−u + 2k − v)2 Khi x(P ) = − 21 (v − u) tìm (−v + u)(−u + 2k − v)u x(2P ) = (u + 2k − v)2 52 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Từ để P điểm cấp cần điều kiện 2(−v + u)(−u + 2k − v)u = −(v + u) (u + 2k − v)2 Để a31 a33 − 27a43 = u = ±v q = −3k − 12v với q ∈ Q Trường hợp Giả sử phương trình đường thẳng qua P, 2P, 3P (0, −a3 ) y = lx − a3 (d4) Phương trình hồnh độ giao điểm (d4) với E(a1 , a3 ) x(−x2 + (l2 + a1 l)x − (a3 l + a1 a3 )) = Để toán thỏa mãn phương trình h(x) = −x2 +(l2 +a1 l)x−(a3 l+a1 a3 ) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ Q khác Ta tìm điều kiện để phương trình h(x) = −x2 + (l2 + a1 l)x − (a3 l + a1 a3 ) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ Q tồn u ∈ Q, u = cho (k + a1 k)2 + 4(la3 + a1 a3 ) = u2 Như tồn v ∈ Q khác cho a3 = −(u2 −v )l 4v a3 = (u2 −v )l 4v a1 = v−l2 l , a1 = −v−l2 l Biện luận trường hợp thu kết sau Với a1 = v−l2 l , a3 = −(u2 −v )l 4v hai điều kiện sau xảy −2l2 u(v + u)(l2 u − 2v − l2 v) = v − u, (l2 v + l2 u + 2v )2 2l2 u(u − v)(l2 v + l2 u + 2v ) = v + u (l2 u − 2v − l2 v)2 Để a31 a33 − 27a43 = u = ±v q = −3v + 12vl2 với q ∈ Q 53 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Với a1 = −v−l2 l , a3 = (u2 −v )l 4v hai điều kiện sau xảy 2l2 u(v + u)(l2 u + 2v − l2 v) = −(v − u), (l2 v + l2 u − 2v )2 2l2 u(u − v)(l2 v + l2 u − 2v ) = v + u (l2 u + 2v − l2 v)2 Để a31 a33 − 27a43 = u = ±v q = −3v + 12vl2 với q ∈ Q Tất điều kiện buộc định lý tham số hóa hữu tỷ Nhận xét 3.3 (1) Với u(u + 4m) = v , tham số hóa hữu tỷ ta u= s2 4ms − s2 ,v = , s ∈ Q 4m − 2s 4m − 2s (2) Với u(u − 4m) = v , tham số hóa hữu tỷ ta u= −s2 4ms + s2 ,v = , s ∈ Q 4m + 2s 4m + 2s (3) Với 16n2 + u2 = v , tham số hóa hữu tỷ ta u= 16n2 − s2 16n2 + s2 ,v = , s ∈ Q 2s 2s (4) Với 2(v + u)(−u + 2k + v)u = (v − u)(u + 2k + v)2 , tham số hóa hữu tỷ ta u = 2sk (1 + 4sk + 4s2 k + 3s2 )/(6sk + 12s2 k + 8s3 k − 2s3 k − 4s3 k + s3 − 4s2 k − s2 − s + 1), v = 2sk (1 + 4sk + 4s + 4s2 k − s2 + 8s2 k )/(6sk + 12s2 k + 8s3 k − 2s3 k − 4s3 k + s3 − 4s2 k − s2 − s + 1), s ∈ Q (5) Với 2(v + u)(u + 2k − v)u = −(v − u)(−u + 2k − v)2 , tham số hóa hữu tỷ ta u = 2sk (1 − 4sk + 3s2 + 4s2 k )/(6sk − 12s2 k − 2s3 k + 8s3 k 54 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com − s3 + 4s3 k + s2 − 4s2 k + s − 1), v = 2sk (1 + 4s − 4sk − 8s2 k − s2 + 4s2 k )/(6sk − 12s2 k − 2s3 k + 8s3 k − s3 + 4s3 k + s2 − 4s2 k + s − 1), s ∈ Q (6) Với −2l2 u(v + u)(l2 u − 2v − l2 v) = (v − u)(l2 v + l2 u + 2v )2 , tham số hóa hữu tỷ ta u = (3l10 + 6l8 s − 8l6 s2 − 16l4 s3 − 16l2 s4 − 32s5 )/(2l8 + 32l6 s + 112l4 s2 − 128l2 s3 + 32s4 ), v = (−l6 − 2l4 s + 4l2 s2 + 8s3 )/(2l4 + 16l2 s − 8s2 ), s ∈ Q (7) Với 2l2 u(u − v)(l2 v + l2 u − 2v ) = (v + u)(l2 u + 2v − l2 v)2 , tham số hóa hữu tỷ ta u = (3l10 + 6l8 s − 8l6 s2 − 16l4 s3 − 16l2 s4 − 32s5 )/(2l8 + 32l6 s + 112l4 s2 −128l2 s3 +32s4 ), v = (l6 +2l4 s−4l2 s2 −8s3 )/(2l4 +16l2 s−8s2 ), s ∈ Q 55 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận Như giới thiệu phần mở đầu, nội dung luận văn nghiên cứu phần xoắn đường cong elliptic Đóng góp luận văn bổ sung thêm phân loại họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước vào danh sách D.S Kubert Hướng nghiên cứu phần tự đường cong elliptic mà cịn có nhiều câu hỏi mở Chẳng hạn, họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước, hạng lớn 56 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] J Gebel and H.G Zimmer, Computing the Mordell-Weil group of an elliptic curve In H Kisilevsky et al., editors, Elliptic curves and related topics, volume of Proc and Lect Notes, page 61-83 Centre Rech Math., Montréal, Amer Math Soc., 1993 [2] F.Q Gouvêa, p-adic Numbers, Springer-Verlag, NewYork, Heidelderg Berlin, 1997 [3] D Husemoller, Elliptic curves, Springer-Verlag, NewYork, 2002 [4] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1997 [5] M A Kenku and F Momose, Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields, Nagoya Math J., Vol 109 (1988), 125-149 [6] D.S Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curvers, Proc London Math Soc (3), 33 (1976), 193-237 [7] B Mazur, Rational isogenies of prime degree, Invent Math .44, 129162, 1978 [8] B Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, IHES Publ Math.47(1977), 33-186 [9] B Mazur, Rational point on modular curves, Modular Functions of One Variable V, Lecture Notes in Math 601(1977), 107-148, SpringerVerlag, NewYork [10] M Oka, Elliptic curves from sextics, J Math Soc Japan, Vol 54, No 2, 2002 57 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com [11] K Ono, Euler’s concordant forms, Acta Arthmetica, LXX VIII 2(1996), 101-123 [12] D Qiu and X Zhang, Explicit classification for torsion subgroups of rational point of elliptic curves, Acta Mathematica Sinica (English Series), 18(2002.7), No.3, 539-548 [13] J Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, NewYork, 1986 [14] J Silverman and J Tate, Rational Points on Elliptic Curves, SpringerVerlag, NewYork, 1992 [15] L.C Washington, Elliptic curves: Number Theory and Cryptography, Chapman - Hall/CRC, 2003 [16] A Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann Math 141, no 3(1995), 443-551 [17] H G Zimmer, Torsion of elliptic curves over cubic and certain biquadratic number fields, Arithmetic geometry, 203-220, Comtemp Math., 174, Amer Math Soc 58 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... gọi hạng đường cong elliptic số ngun khơng âm Ta có E(Q) ∼ = T orsE(Q) Zr Định lý Nagell-Luzt cho phép tìm điểm có bậc hữu hạn E(Q) từ tìm T orsE(Q), cịn vấn đề tìm hạng đường cong vấn đề khó mà... đường cong vấn đề khó mà ta khơng đề cập Nếu đường cong có hạng E(Q) nhóm hữu hạn, hạng khác E(Q) có vơ hạn phần tử 1.3 Phần xoắn hai lớp đường cong elliptic Mục đích phần mở rộng hai kết [3] (các... Chương Một số phân loại biết theo danh sách Kubert Trong chương lấy danh sách cấu trúc phần xoắn lớp đường cong elliptic D.S.Kubert đưa trình bày lại cách phân loại nhóm xoắn hai lớp đường cong