Bất ổn định do gió của kết cấu có gắn hệ cản

MẪU 14KHCN Mẫu IUH1521 BỘ CÔNG THƢƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƢỜNG Tên đề tài Bất ổn định do gió của kết cấu có gắn hệ cản Mã số đề tài 171 1061 Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Huy Cung Đơn vị thực hiện Khoa Kỹ thuật Xây dựng Tp Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018 1 MỤC LỤC BÁO CÁO MỤC LỤC BÁO CÁO 1 PHẦN I THÔNG TIN CHUNG 2 I Thông tin tổng quát 2 1 1 Tên đề tài Bất ổn định do gió của kết cấu có gắn hệ cản.

Mẫu IUH1521 BỘ CÔNG THƢƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƢỜNG Tên đề tài: Bất ổn định gió kết cấu có gắn hệ cản Mã số đề tài: 171.1061 Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Huy Cung Đơn vị thực hiện: Khoa Kỹ thuật Xây dựng Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 MỤC LỤC BÁO CÁO MỤC LỤC BÁO CÁO PHẦN I THÔNG TIN CHUNG I Thông tin tổng quát 1.1 Tên đề tài: Bất ổn định gió kết cấu có gắn hệ cản 1.2 Mã số: 171.1061 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài 1.4 Đơn vị chủ trì: 1.5 Thời gian thực hiện: 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu: 1.7 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 70 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề 2 Mục tiêu 3 Phương pháp nghiên cứu Tổng kết kết nghiên cứu Đánh giá kết đạt kết luận Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) III Sản phẩm đề tài, công bố kết đào tạo IV Tình hình sử dụng kinh phí V Kiến nghị ( phát triển kết nghiên cứu đề tài) VI Phụ lục ( liệt kê minh chứng sản phẩm nêu Phần III) PHẦN II BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Chương 1: Tổng quan nghiên cứu Chương 2: Cơ sở lý thuyết/ sở lý luận 11 Chương 3: Kết thảo luận 16 Chương 4: Kết luận kiến nghị 19 Tài liệu tham khảo 20 PHẦN III PHỤ LỤC ĐÍNH KÈM 22 PHẦN I THƠNG TIN CHUNG I Thơng tin tổng quát 1.1 Tên đề tài: Bất ổn định gió kết cấu có gắn hệ cản 1.2 Mã số: 171.1061 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài TT Họ tên (học hàm, học vị) Đơn vị cơng tác Vai trị thực đề tài TS Nguyễn Huy Cung Khoa Kỹ thuật Xây dựng Chủ nhiệm đề tài ThS Đỗ Cao Phan Khoa Kỹ thuật Xây dựng Thành viên ThS Lê Văn Hưng Khoa Kỹ thuật Xây dựng Thành viên ThS Huỳnh Lê Em Khoa Kỹ thuật Xây dựng Thành viên 1.4 Đơn vị chủ trì: 1.5 Thời gian thực hiện: 1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 04 năm 2017 đến tháng 03 năm 2018 1.5.2 Gia hạn (nếu có): khơng 1.5.3 Thực thực tế: từ tháng 04 năm 2017 đến tháng 02 năm 2018 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu: Đề tài khơng có thay đổi so với thuyết minh ban đầu 1.7 Tổng kinh phí đƣợc phê duyệt đề tài: 70 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề Trong thực tế, thiết bị cản nhớt sử dụng rộng rãi kết cấu nhạy cảm với gió, cáp dây văng, cầu nhịp lớn Các kết cấu dễ xảy tượng bất ổn định khí động học galloping tác dụng gió Đã có nhiều nghiên cứu galloping, cho kết cấu khơng có gắn hệ cản Mặt khác, có nhiều nghiên cứu đặc trưng động lực học kết cấu có gắn hệ cản, khơng xét tới tác động gió Các nghiên cứu bất ổn định gió kết cấu có gắn hệ cản dừng lại qua phương pháp đánh giá thông thường Phương pháp sử dụng nhiều sử dụng tiêu chuẩn Glauert – Den Hartog Tiêu chuẩn sử dụng chủ yếu hầu hết tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thực tế đơn giản Tuy nhiên, phương pháp dự đốn khơng xác điều kiện ổn định khơng xét đến tính phức tần số dạng dao động (mode shapes) – yếu tố động học đặc trưng hệ kết cấu có gắn hệ cản Sử dụng phương pháp gần dẫn đến dự đốn sai lệch gây nguy hiểm đáng kể cho kết cấu dẫn tới làm giảm tuổi thọ cơng trình, chí dẫn đến phá hoại cơng trình, từ gây thiệt hại vật chất, tính mạng người Có báo cáo cho thấy rằng, có kết cấu cầu dây văng có biên độ dao động lớn, nguy hiểm đến kết cấu, chúng không vi phạm tiêu chuẩn thiết kế thi công Với hạn chế kể trên, cộng với thực tế là, theo hiểu biết nhóm tác giả, chưa có nghiên cứu bất ổn định galloping kết cấu có gắn thiệt cản, việc xây dựng lý thuyết galloping kết cấu trên, xét đồng thời đặc trưng động lực học hệ với mode phức tác động gió, cần thiết Để xây dựng lý thuyết kể trên, đề tài trước hết phát triển lý thuyết phân tích tính tốn bất ổn định galloping cho kết cấu dây văng có gắn hệ cản nhớt, có xét đến tính phức tần số dạng dao động hệ Do đó, đề tài khơng chí đóng góp mặt học thuật mà cịn tính thực tiễn Mục tiêu 2.1 Mục tiêu tổng quát Đề tài nhằm mục tiêu xây dựng lí thuyết phân tích tính tốn bất ổn định gió kết cấu dây văng có gắn thiết bị giảm chấn Lý thyết đủ tổng quát để mở rộng cho kết cấu khác 2.2 Mục tiêu cụ thể - Xây dựng mô hình tính vận tốc tới hạn cho tượng bất ổn định gió kết cáp dây văng có gắn cản nhớt, có xét đến yếu tố thường bị bỏ qua nghiên cứu trước: + Mode dao động hệ hàm phức + Sự liên kết mode mặt phẳng dao động + Tính phức tạp tiết diện, thay đổi thông số kết cấu theo chiều dài kết cấu - Áp dụng mơ hình lý thuyết xây dựng cho hai mơ hình gồm mơ hình khơng có thiết bị giảm chấn mơ hình có đặt thiết bị giảm chấn - Đề xuất khuyến cáo, dẫn cần thiết áp dung tiêu chuẩn lý thuyết có việc thiết kế, đánh giá tính ổn định kết cấu chịu tải trọng gió Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu đề tài mơ lý thuyết Ngồi ra, ví dụ số để áp dụng lý thuyết đề xuất có sử dụng kết thí nghiệm hầm gió Đối với việc tính tốn giá trị riêng vận tốc gió tới hạn trường hợp tổng quát, phương pháp số áp dụng; số trường hợp cụ thể, phương pháp giải tích sử dụng Phương pháp lý thuyết: Sử dụng lý thuyết bất ổn định kết cấu mở rộng lý thuyết phân tích galloping Den Hartog để xây dựng lý thuyết tổng quát cho trường hợp bất ổn định kết cấu có gắn hệ cản Trong đó, yếu tổ thường bị bỏ xét lý thuyết đề xuất: + Mode dao động hệ hàm phức + Sự liên kết mode mặt phẳng dao động + Tính phức tạp tiết diện, thay đổi thông số kết cấu theo chiều dài kết cấu Tổng kết kết nghiên cứu - Đề tài xây dựng mơ hình tính tốn vận tốc tới hạn gió tác động lên mơ hình 2DOF, xét tần số dao động mode dao động số phức - Nghiên cứu đề tài áp dụng thử nghiệm cho mô hình dao động cầu dây văng có khơng có gắn giảm chấn Đánh giá kết đạt đƣợc kết luận - Đánh giá kết nghiên cứu: đề tài đạt kết nghiên cứu tốt - Kết luận: Đề tài đạt mục tiêu đề Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Việc sử dụng giảm chấn nhớt cho cáp cầu dây văng để để kiểm soát dao động phổ biến Một giảm chấn nhớt gắn liền với cáp cầu dây văng khiến cho mặt cắt cáp phức tạp Sự phức tạp hệ cáp giảm chấn nhớt có thể ảnh hưởng đến ổn định động cáp tác động gió, nhiên, điều thường bị bỏ qn tính tốn tượng galloping Do đó, phương pháp chung tính tốn tượng galloping cho hệ cáp giảm chấn nhớt phát triển Các lực khí động học dao động phức tạp xem xét, bao gồm tương tác qua lại dạng dao động Một ví dụ số cho cáp có gắn giảm chấn bị tích tụ băng cho thấy việc phân tích tượng galloping vận tốc gió quan trọng Sự phức tạp hình dạng mặt cắt cáp làm cho cáp trở nên không ổn định việc bỏ qua tính tốn dạng dao động thực tế The use of viscous dampers to mitigate cable vibrations on cable-stayed bridges is very popular A viscous damper attached to a stay cable results in complex mode shapes Such complexity could affect the dynamic stability of the cable under wind action, yet it is neglected in conventional galloping analysis A general framework to investigate the problem of galloping of a stay cable with an attached viscous damper is therefore developed Aerodynamic forces on the complex modes are considered, including aeroelastic coupling between the modes A numerical example for an iceaccreted stay cable with a damper shows that conventional galloping analysis overestimates the critical wind speed for galloping occurrence The complexity of the mode shapes gives rise to the cable being more unstable than ignoring it by treating the mode shapes as real III Sản phẩm đề tài, công bố kết đào tạo 3.1 Kết nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3) TT Tên sản phẩm Yêu cầu khoa học hoặc/và tiêu kinh tế - kỹ thuật Đăng ký Đạt đƣợc Bài báo ISI 01 01 Bài báo IUH 01 01 Bài báo hội nghị QT 02 02 Bài báo nƣớc tạp chí thuộc danh mục tính điểm HĐCDGS Nhà nƣớc 0 3.2 Kết đào tạo: Chuyên đề đào tạo ngành KTXD IV Tình hình sử dụng kinh phí TT Nội dung chi A B Chi phí trực tiếp Th khốn chun mơn Ngun, nhiên vật liệu, Thiết bị, dụng cụ Cơng tác phí Dịch vụ thuê Hội nghị, hội thảo,thù lao nghiệm thu kỳ In ấn, Văn phịng phẩm Chi phí khác Chi phí gián tiếp Quản lý phí Chi phí điện, nước Tổng số Kinh phí đƣợc duyệt (triệu đồng) 70 70 0 0 0 0 0 70 Kinh phí thực (triệu đồng) 70 70 0 0 0 0 0 70 Ghi V Kiến nghị ( phát triển kết nghiên cứu đề tài) Đề tài mở rộng lý thuyết phân tích galloping cho trường hợp kết cấu dây văng có gắn hệ cản nhớt, có xét đến tính phức mode, liên kết mode mặt phẳng mặt phẳng với nhau, thay đổi dọc theo chiều dài cáp hệ số khí động, tiết diện Lời giải cho trường hợp đơn giản thường xét đến nghiên cứu trước đưa trường hợp đặc biệt cho lời giải tổng quát Lý thuyết tạo tiền đề cho việc mở rộng cho kết cấu mảnh khác có gắn hệ cản cách tiếp cận cách thiết lập toán bất ổn định hoàn toàn tương tự phương pháp đề xuất Việc mở rộng cần thiết thực tế có nhiều kết cấu mảnh xây dựng có gắn hệ cản để giảm dao động Nghiên cứu thành phần ảo mode liên kết dao động hai mặt phẳng cáp quan trọng Các tiêu chuẩn thiết kế tính tốn bất ổn định kết cấu bỏ qua yếu tố này, dẫn tới sai số tính tốn gây bất lợi cho kết cấu Do đó, yêu tố cần nghiên cứu kỹ cho loại kết cấu khác nhau, từ cần cập nhật tiêu chuẩn tính tốn liên quan Ngoài ra, cần tiến hành thêm nhiều nghiên cứu cho trường hợp cáp dây văng có hệ số khí động khác với ví dụ số nêu, yếu tố khác như: ảnh hưởng số Reynolds hệ số khí động, độ cong dây cáp, ảnh hưởng phi tuyến cáp… Ngoài việc sử dụng thiết bị cản nhớt, thiết bị cản khác cản từ (MR damper), cản chủ động (active damper)… cần nghiên cứu thêm để hiểu rõ ảnh hưởng chúng ứng xử khí động học cua kết cấu VI Phụ lục ( liệt kê minh chứng sản phẩm nêu Phần III) TT Tên sản phẩm Thông tin sản phẩm Bài báo ISI Nguyen C.H and Macdonald J.H.G (2018) Galloping analysis of a stay cable with attached viscous damper considering complex modes ASCE Journal of Engineering Mechanics, 144(2) Bài báo IUH Nguyễn Huy Cung, Đỗ Cao Phan (2018) Galloping Instability Analysis of a CableDamper System Tạp chí Khoa học & Công nghệ - ĐH Công nghiệp Tp HCM Bài báo hội nghị QT [1] Nguyen C.H and Macdonald J.H.G (2017) Galloping instability of a stay cable attached with a viscous damper The 7th European-African Conference on Wind Engineering (EACWE 2017), Liege, Belgium, July 3-6, 2017 [2] Nguyen C.H and Macdonald J.H.G (2017) Galloping critical wind velocity of a taut cable-damper system The International Symposium on the Dynamics and Aerodynamics of Cables (ISDAC 2017), Porto October 30-31, 2017 Chuyên đề Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Huy Cung [1] Nguyễn Huy Cung, Đỗ Cao Phan (2017) Một Phương Pháp Tính Tốn Tần Số Dao Động Kết Cấu Thanh Mảnh Tp HCM, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Phòng QLKH&HTQT Khoa Kỹ thuật xây dựng Trƣởng Khoa Nguyễn Huy Cung PHẦN II BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Mục lục nội dung Chương 1: Tổng quan nghiên cứu Chương 2: Cơ sở lý thuyết/ sở lý luận 11 Chương 3: Kết thảo luận 16 Chương 4: Kết luận kiến nghị 19 Tài liệu tham khảo 20 Mục lục hình Hình 1: Mơ hình cáp có gắn thiết bị cản nhớt 11 Hình 2: giá trị lớn thành phần thực giá trị riêng hệ với vận tốc gió trung bình ze 17 Hình 3: giá trị lớn thành phần thực giá trị riêng hệ với vận tốc gió trung bình ze xét không xét đến thành phần ảo mode 18 Chƣơng 1: Tổng quan nghiên cứu Hiện tượng bất ổn định gió tượng ổn định khí đàn hồi xảy tổng tỉ số cản kết cấu tỉ số cản khí động âm Phân tích ổn định bất ổn định gió nghiên cứu từ gần 100 năm trước, nghiên cứu mang lại nhiều thành tựu bên cạnh cịn nhiều hạn chế thực tiễn Để giảm thiểu dao động gió kết cấu mảnh, thiết bị cản thường gắn vào kết cấu để tăng tỉ số cản (damping ratio) kết cấu Đối với cáp dây văng, biện pháp phổ biến lắp đặt thiết bị giảm chấn vng góc dây cáp vị trí gần mấu neo cáp Thiết bị cản thiết kế tối ưu cho có hệ số cản lớn ứng với mode mục tiêu đó, thường mode Khi đó, đặc trưng động lực học hệ cáp-giảm chấn (cable-damper) tần số dao động dạng mode hàm phức Đã có nhiều nghiên cứu đề xuất, Carne (1981); Yoneda Maeda (1989); Uno et al (1991); Pacheco et al (1993); Krenk (2000); Main Jones (2002)…, để hiểu rõ đặc trưng động học trường hợp dao động tự do, từ thiết kế tối ưu cho thiết bị giảm chấn Trong đó, theo hiểu biết nhóm tác giả, ứng xử động học tác động gió chưa nghiên cứu Đây chủ đề quan trọng kết cấu cáp nhạy cảm với gió tương tác gió-kết cấu nguyên nhân cho dao động biên độ lớn kết cấu, dẫn đến bất ổn định galloping (Caetano 2007; Fujino et al 2012) Trong nghiên cứu để tìm hiểu đặc trưng động học kế cấu, dao động tự thường phân tích để giải tốn giá trị riêng, cáp mơ hình phần từ thẳng Nghiên cứu cứu Carne (1981) Ông đưa lời giải xấp xỉ để tìm mode phức Từ tìm tỉ số cản tối ưu cho mode Sau đó, Yoneda Maeda (1989) Uno et al (1991) sử dụng phương pháp số để xác định mode tối ưu mà phụ thuộc vào khoảng cách vị trí đặt thiết bị giảm chấn đầu neo cáp Pacheco et al (1993) sau sử dụng phương pháp Galerkin để tính tốn tần số riêng xây dựng đường cong tổng thể cho phép liên hệ trực tiếp tỉ số cản chuẩn hóa theo mode (normalized modal damping ratio) hệ số cản chuẩn hóa thiết bị giảm chấn Đường cong trở thành công cụ hữu hiệu cho việc thiết kế tối ưu thiết bị giảm chấn Krenk (2000) thiết lập lại phương trình đường cong dạng giải tích cho trường hợp phổ biến vị trí đặt thiết bị giảm chấn gần mấu neo Nghiên cứu bất ổn định galloping giới thiệu Glauert (1919) phát triển thêm Den Hartog (1932) Theo đó, bất ổn định xảy theo hướng vng góc hướng gió theo điều kiện cần hệ số cản khí động (aerodynamic damping) âm (điều kiện Glauert-Den Hartog) Điều kiện trở thành tiêu chuẩn quan trọng việc thiết kế kết cấu chống gió áp dụng rộng rãi ngày Bắt nguồn từ nghiên cứu này, số mơ hình phân tích galloping mở rộng Martin et al (1981) mở rộng lý thuyết galloping có xét đến phụ thuộc hệ số khí động vào số Reynolds Desai et al (1990) đưa điều kiện bất ổn định gió cho mơ hình hai bậc tự (2DOF) gồm thành phần dao động ngang thành phần dao động xoắn Jones (1992) đưa mơ hình 2DOF gồm hai thành phần dao động ngang (translational vibrations) trực dao với tượng cộng hưởng xảy khi hai tần số tự nhiên giống Giả thuyết không phù hợp thực tế cho cấu trúc không đối xứng Do đó, nghiên cứu giải trường hợp đặc biệt, chưa giải trường hợp kết cấu Để khắc phục hạn chế này, Luongo Piccardo (2005) thiết lập điều kiện bất ổn định galloping cho mô hình 2DOF tần số theo phương ngang khác Trước đó, Piccardo (1993), Yu et al (1993a), Yu et al (1993b) thiết lập mơ hình galloping 3DOF cho tần số theo phương dao động ngang Các nghiên cứu đề cập đến trường hợp với hướng gió tác động vng góc trục kết cấu Trong năm gần đây, có nỗ lực nghiên cứu hướng gió tác động lên kết cấu nhằm tìm điều kiện tới hạn bất ổn định Macdonald Larose (2008), Piccardo et al (2011) Nikitas and Macdonald (2014) phát triển mơ hình 2DOF cho kết cáp dây văng, có xét hướng gió khơng vng góc với trục cáp Nguyen et al (2015) phát triển môt tiêu chuẩn cho điều kiện galloping có xét tới liên kết mode theo phương ngang mode cho phương cho kết cấu mảnh có tiết diện bất kì, đồng thời xét thay đổi khối lượng, tiết diện, hệ số khí động dọc theo kết cấu tham số khác độ lệch tâm, dạng mode Các yếu tố thường bỏ qua nghiên cứu trước Một yếu tố cần nhấn mạnh nghiên cứu galloping trước đây, mode xét đến dạng mode thực Trong đó, nêu trên, mode két cấu có gắn thiết bị cản có mode phức Việc bỏ qua thành phần ảo (imaginary part) phân tích galloping dẫn tới tính tốn khơng xác Do việc áp dụng nghiên cứu kể dẫn tới sai số bất lợi cho kết cấu Vì lý trên, đề tài trước hết phát triển lý thuyết phân tích tính toán bất ổn định galloping cho kết cấu dây văng có gắn hệ cản nhớt, có xét đến tính phức tần số dạng dao động hệ Các mode phức, liên kết mode liên kết phương dao động xét lý thuyết 10 Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết/ sở lý luận 2.1 Phƣơng trình dao động Xét cáp dây văng, bỏ qua độ võng khối lượng, có chiều dài L hệ tọa độ xyz Hình Một thiết bị cản nhớt với hệ số cản c gắn vào cáp tọa độ z=d z z1 T q1 z2 q2 cc da T L-a L-d Hình 1: Mơ hình cáp có gắn thiết bị cản nhớt Phương trình dao động viết sau (Pacheco et al 1993): mq  z, t   Dq  z, t   K q  z, t   f  z, t  (1) m khối lượng đơn vị dài, q  z, t  chuyển vị; K  T  / z toán tử đạo hàm độ cứng; T lực căng cáp; f  z, t  ngoại lực; D  c  z  d  , với  . hàm Dirac Điều kiện biên: q  0, t   q  L, t   0; q  0, t   q  L, t        T q d  , t  q d  , t   cq d , t  (2) (3) Để tìm lời giải cho (1), Krenk (2000) Main and Jones (2002) chia cáp thành đoạn vị trí thiết bị cản Từ xây dựng dạng dao động cho đoạn Phương pháp này, nhiên, khơng thuận tiện cho việc tính tốn ứng xử động cáp ngoại lực cần phải đạo hàm hàm dạng vị trí thiết bị cản tích phân hàm tồn miền (Krenk 2004; Nielsen and Krenk 2003) Để khắc phục, báo đề xuất kỹ thuật để viết lại hàm dạng dạng tổng thể hàm: n  z   n  d   n  z, d    n  L  z, L  d   n  z, d  H  z  d  (4) H  z  d  hàm Heaviside  n  z, d  hàm cho (Krenk 2000):  n  z, d     sin   d  sin  n z (5) n n số mode,  n số sóng thứ n ứng với tần số riêng n : n  in m / T , với i số ảo 11 Từ đạo hàm hàm dạng vị trí n  z   n  d { n  z, d    n  L  z, L  d   n  z , d  H  z  d    n  L  z, L  d   n  z , d    z  d } (6) n  z   n  d { n  z, d    n  L  z, L  d   n  z, d  H  z  d    n  L  z, L  d   n  z , d    z  d    n  L  z , L  d   n  z , d     z  d } (7) Do đó, tích phân hàm n  z  n  z  toàn chiều dài cáp along the whole length of the cable Để tiến hành phân tích đáp ứng bất ổn định cáp, phương trình (1) viết dạng riêng cho mode: pn  t   n pn  t   f n  t  ; n  1, 2,3 gn (8) pn  t  tọa độ mode, L T  m g n   ψ Tn  ψ n dz ; ψ n  n n  z  n  z   m D  (9) L f n  t    ψ Tn fdz ; f  0 f  z, t  T (10) Giá trị riêng hệ biểu diễn sau (Igusa et al 1984; Pacheco et al 1993; Veletsos and Ventura 1986): n  n n  i  n2    (11) n  n ; n   Re n  / n tỉ số cản Cần lưu ý rằng, với hệ N bậc tự có N cặp dạng mode, phương trình liên hợp Eq.(8) cho bởi: pn  t   n pn  t   f n  t  ; n  1, 2,3 gn (12) Trong trường hợp tổng quát, phương trình (8) (12) giải phương pháp số Khi d