Tuyển tập bài toán đại số và hình học 11

www.facebook.com/hocthemtoan

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 1 TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần Thơ 2013 Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xn Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Đi ện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 2  Chương 1. Hàm số lượng giác Chương 2. Tổ hợp – xác suất Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân Chương 4. Giới hạn Chương 5. Đạo hàm TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 3 Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm điều kiện (nếu có) để bài tốn có nghĩa + Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải + Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp + Kết luận A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a) Cung đối: x và x    cos x cos x     sin x sin x      tan x tan x      cot x cot x    b) Cung bù: ( x) và x     cos x cosx       sin x sin x      tan x tan x       cot x cot x     c) Cung phụ: x và x 2         cos x sin x 2          sin x cosx 2          tan( x) cot x 2    cot x tanx 2          d) Cung hơn kém  : ( x) và x     cos x cosx       sin x sin x       tan x tan x      cot x cot x    e) Cung hơn kém 2  : x và x 2           cos / 2 x sin x       sin / 2 x cosx      tan / 2 x tan x       cot / 2 x cot x     TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 4 2. Cơng thức lượng giác  Cơng thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có sin(a b) sinacosb sin bcosa cos(a b) cosa cosb sinasinb tana tan b tan(a b) 1 tan a tan b            Cơng thức nhân đơi 2 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a sin2a 2sinacosa 2tan a tan2a ; (a k ) 1 tan a 4 2               Cơng thức nhân ba 3 3 sin3a 3sin a 4sin a cos3a 4cos a 3cosa      Cơng thức hạ bậc 2 2 2 1 cos2a 1 cos2a 1 cos2a sin a ; cos a ; tan a 2 2 1 cos2a         Cơng thức chia đơi Đặt a t tan 2  , khi đó 2 2 2 2 2t 1 t 2t sina ; cosa ; tan a 1 t 1 t 1 t         Cơng thức biến đổi tổng thành tích a b a b sina sin b 2sin cos 2 2 a b a b sina sin b 2cos sin 2 2 a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 a b a b cosa cosb 2sin sin 2 2 sin(a b) tana tanb c                                                                                                     osa cosb sin(b a) cota cotb sin asin b    TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 5  Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1 sinasin b [cos(a b) cos(a b)] 2     1 cosa cosb [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sinacosb [sin(a b) sin(a b)] 2         B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC 1. Các phương trình lượng giác cơ bản  u v k2 sin u sin v u v k2               u v k2 cosu cos v u v k2               tanu tan v u v k , (u,v / 2 k )           cot u cot v u v k , (u,v k )        (u,v là các biểu thức chứa ẩn, k   ) 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Dạng  2 asin x bsin x c 0     2 a cos x bcosx c 0     2 a tan x b tanx c 0     2 a cot x bcot x c 0    (với a 0  , a,b,c   ) Phương pháp giải 2 asin x bsin x c 0    , đặt t sin x , t 1   2 a cos x bcosx c 0    , đặt t cosx , t 1   2 a tan x b tanx c 0    , đặt t tan x  , đk x / 2 k     2 a cot x bcot x c 0    , t cot x  , đk x k   Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài tốn, suy ra nghiệm x của phương trình Ví dụ: Giải phương trình cos2x 5 6cos x   Ta có 2 cos2x 5 6cos x 2cos x 6cosx 4 0 (*)       Đặt t cosx, t 1   . Khi đó (*) trở thành 2 t 1 2t 6t 4 0 t 2 (loai)           TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 6 Với t 1 cosx 1 x 2k       3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng asin x bcos x c   (với 2 2 a b 0   ) (*) Phương pháp giải + Nếu 2 2 2 a b c   thì phương trình vơ nghiệm + Nếu 2 2 2 a b c   thì phương trình có nghiệm. Khi đó : Chia 2 vế của (*) cho 2 2 a b  . Đặt 2 2 2 2 a b cos ;sin a b a b       Khi đó (*) trở thành 2 2 c sin(x ) a b     , đây là phương trình cơ bản. Ví dụ: Giải phương trình sin3x 3 cos3x 2   Ta có 2 2 a b 2 2 (c 2)     nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của phương trình cho 2 ta được 1 3 2 sin3x cos3x cos sin3x sin cos3x sin 2 2 2 3 3 4 2 3x 2k x k 3 4 36 3 sin 3x sin 5 2 3 4 3x 2k x k 3 4 36 3                                                              4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos Dạng a(sin x cosx) bsin x cosx c 0     (1) hoặc a(sin x cos x) bsinxcosx c 0     (2) Phương pháp giải - Đối với (1), đặt t sin x cosx 2sin(x ) 4      , đk t 2  . Khi đó 2 t 1 sin xcosx 2   và (1) trở thành 2 2 t 1 at b c 0 bt 2at (2c b) 0 2          Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x ) 4    - Đối với (2), đặt t sin x cosx 2 sin(x ) 4      , đk t 2  . TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 7 Khi đó 2 1 t sin xcosx 2   và (2) trở thành 2 2 1 t at b c 0 bt 2at (2c b) 0 2           , Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x ) 4    . Ví dụ: Giải phương trình sin x cos x 2 6 sin xcosx   Đặt t sin x cosx 2 sin(x ) 4      , đk t 2  , 2 1 t sin xcosx 2   . Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 1 2 6 6 t 6(1 t ) 6t t 6 0 t ,t 3 2           thỏa điều kiện t 2  .  Với 1 6 6 3 t 2sin(x ) sin(x ) 3 4 3 4 3          3 3 x arcsin k2 x arcsin k2 4 3 3 4 3 3 5 x arcsin k2 x arcsin k2 4 3 3 4                                          Với 1 6 6 3 t 2 sin(x ) sin(x ) 2 4 2 4 2             x k2 x k2 4 3 12 5 x k2 x k2 4 3 12                                          5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos Dạng 2 2 asin x bsin xcosx ccos x d    (*) Phương pháp giải + Nếu cos x 0  là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm x k 2     . + Nếu cosx 0 x k 2       , khi đó chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 (a d) tan x btan x (c d) 0      Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx Ví dụ: Giải phương trình 2 2 4sin x 3 3sin2x 2cos x 4    TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 8 + Khi 2 cosx 0 x k sin x 1 2               , ta có VP 4 VT   , suy ra x k 2     là nghiệm. + Khi x k 2     chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 2 4tan x 6 3 tan x 2 4(1 tan x) 6 3 tan x 6 3 tan x tan x tan x k 3 6 6                 Kết luận x k 6     hoặc x k 2     . 6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản) Phương pháp giải Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được một số tính chất sau : 2 2 A, A 0 1) A A A, A 0 2) A B A B 0 B 0 3) A B A B A 0 4) A B C B 0 A B 2 AB C                                               Chú ý : Đối với những dạng 3 3 4 4 A B C, A B C     ta thường dùng phương pháp chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng). Ví dụ : Giải phương trình 1 cos x sin x 0    2 sin x 0 1 cosx sin x 0 1 cosx sin x 1 cosx 1 cos x sin x 0 sin x 0 sin x 1 x k2 cosx 0 sin x 1 2 cosx 1 x k2 cosx 1 cosx 1                                                                                     7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số tính chất sau : TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 9 2 2 2 2 1) A B A B A B B 0 B 0 2) A B A B A B A 0 3) A B A B B 0 A 0 4) A B A B B 0                                                       Ví dụ : Giải phương trình x x cos 1 3sin 2 2   2 2 2 x x 3 1 3 sin 0 sin x x 2 2 3 cos 1 3sin x x x 2 2 x x cos 1 2 3sin 3sin 4sin 2 3sin 0 2 2 2 2 2 x sin 0 x k2 , k . 2                                             C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phương pháp 1. Dùng các cơng thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng giác về một trong các dạng phương trình quen thuộc. Ví dụ : giải phương trình 3 5sin4x.cosx 6sin x 2cos x 2cos2x   + Điều kiện cos2x 0 x k 4 2       + Phương trình đã cho tương đương với 3 3 2 2 2 3 3 3 6sin x 2cos x 5sin2x.cos x 6sin x 2cos x 10sinx.co s x sin x sinx.cos x 6 2 10 6tan x(1 tan x) 2 10tanx cos x cos x 6tan x 4tan x 2 0                 Giải ra ta được tan x 1 x k 4       (loại). Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.  Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích 1 2 n A (x).A (x) A (x) 0  để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc. Ví dụ : giải phương trình cosx cos2x cos3x 0    Ta có TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 10 cosx cos2x cos3x 0 2cos2xcosx cos2x 0 cos2x(2co sx 1) 0 k 2x k x cos2x 0 2 4 2 ;k 2 2 2cosx 1 x k2 x k2 3 3                                                        Vậy nghiệm của phương trình k x 4 2     ; 2 x k2 3      , k   .  Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức, để đánh giá hai vế của phương trình rồi rút ra nghiệm. Ví dụ : giải phương trình 3 3 4 sin x cos x 2 sin x    Ta có 3 2 3 3 3 2 1 sin x 1 sin x sin x sin x cos x 1 1 cosx 1 cos x cos x                           Mặt khác 4 4 0 sin x 1 2 sin x 1      Vậy phương trình đã cho tương đương với 4 3 2 3 2 3 3 sin x 1 sin x 1 sin x sin x x k2 cosx 0 2 cos x cos x sin x cos x 1                                    D. PHẦN BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình cơ bản Bài 1. Giải phương trình 1) cosx sin x 2 sin x   2) cosx sin x 2 cosx   3) sin x cosx 2 cos3x   4) sin x cosx 2 sin5x   Bài 2. Giải phương trình 1) 4 4 1 cos x sin x (3 cos6x) 4    2) 6 6 2 1 cos x sin x cos 2x 16    3) 6 6 4 4 6(cos x sin x) 5(cos x sin x)    4) 2 2 cos (x / 4) sin x 1/ 2    Bài 3. Giải phương trình 1) cosx.cos3x cos5x.cos7x  2) 1 sin x.cos2x sin2x.cos3x sin5x 2   3) 2 2 2 2cos 2x cos2x 4sin 2x cos x   4) 3 2 4cos 2x 6sin x 3   5) cosxcos2xsin3x (1/ 4)sin2x  6) 1 cosx sin2xsin x cos5x cos2x 2    7) 2 3 cos10x 2cos 4x 6cos3xcosx cos x 8cosxcos 3x     Bài 4. Giải phương trình 1) 3 3 cos xsin x sin xcosx 2 / 8   2) 3 3 cos xcos3x sin xsin3x 2 / 4   3) 3 3 sin xcos3x cos xsin3x 3/ 4   4) 3 3 3 cos xcos3x sin xsin3x cos 4x 1/4    [...]... từ 5 chữ số còn lại  có A 3 cách 5 chọn  Có A 4  4.5.A 3 = 1560 số 6 5 Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? 3 ĐS: A10  1 = 999 Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? 4 ĐS: a) 9 A10 = 9.104 số TRUNG... (0710)3751.929 Trang 29 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh 6 5 b) Có tất cả: A10  A10 = 9.105 số gồm 6 chữ số  Có 9.105 – 9.10 4 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số Bài 15: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau? 6 ĐS: a) A10 = 106 6 b) A10 = 15120 Bài 16: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái được... số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ĐS: 8! 7  3! 3! Bài 13 Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9 ĐS: 18 Bài 14 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Bài. .. 298598400 Bài 22 Trên giá sách có 30 tập sách Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có: a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? b/ Tập 5 và tập 6 khơng đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29! Bài 23 Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 3360 Bài 24 Với các chữ số. .. bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a/ 18 b/ 15 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 22 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả... (0710)3751.929 e/ 48 Trang 23 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300, 500) ĐS: a/ 35 b/ 24 Bài 15: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin và 18 học sinh chun tốn Thành lập một... lớp học chỉ có các bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ĐS: A 2 = 132  n = 12 n Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? 4 ĐS: a) 9.A 9 b) Có 95 số Bài. .. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5? 4 ĐS: a) 6 A 6 b) 6.A 3  3.5A3 5 5 c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde 4  Nếu a = 5 thì có A 6 số  Nếu a  5 thì a có 5 cách chọn Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e  có 4 cách chọn vị trí cho số 5 3 vị trí... A, y  A và x  y  6 ĐS: b/ 20 c/ 5 cặp a/ 25 Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số ngun dương lớn hơn 1 Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng: x  A, y  A, x  y ĐS: n(n  1) 2 Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết khơng... 4,5, 6, 7 , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!  Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10 6) Bài 9 Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hốn vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ĐS: 279999720 TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 25 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS Lê Hồng Lónh Bài 10 Trên . 4x 1/4    TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 11 Bài 5. Giải các phương. TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 7 Khi đó 2 1 t sin xcosx 2   và (2) trở