10 Trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Lê Hoành Phò

Nhà giáo nu tú Th s LẼ HOÀNH PHÒ , lữ trọng điểm ■10N TOA Lớp 12 • Dành cho học sinh lớp 12 chương trình chuẩn và nâng cao • Ôn tập và nâng cao kĩ năng làm bài • Biên soạn theo nội dung và cấu trúc đề thi của Bộ GDBcĐT Hà NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ẦW Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 10, lớp 11, lớp 12 có tư liệu đọc thêm để nâng cao trình độ, các bạn học sinh giỏi tự học bô’sung thêm kiên thức kỹ năng, các bạn học sinh chuyên Toán tự nghiên cứu thêm các chuyên đề,.

Nhà giáo nu tú - Th.s LẼ HỒNH PHỊ lữ trọng điểm , ■'10N TOA' Lớp 12 • Dành cho học sinh lớp 12 chương trình chuẩn nâng cao • Ôn tập nâng cao kĩ làm • Biên soạn theo nội dung cấu trúc đề thi Bộ GDBcĐT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Hà &ẦW Nhằm mục đích giúp bạn học sinh lớp 10, lớp 11, lớp 12 có tư liệu đọc thêm để nâng cao trình độ, bạn học sinh giỏi tự học bô’sung thêm kiên thức kỹ năng, bạn học sinh chuyên Toán tự nghiên cứu thêm chuyên đề, nhà sách KHANG VIỆT hợp tác biên soạn sách BÔI DƯỜNG HỌC SINH GIỊI, BƠI DƯỒNG CHUN TỐN gơm cuốn: - TRỌNG ĐIỂM TOÁN LỚP 10 - TRỌNG ĐIỂM TOÁN LỚP 11 - TRỌNG ĐIỂM TỐN LỚP 12 Ch TRỌNG ĐIỀM TỐN LỚP 12 có 21 chun đề với nội dung tóm tắt kiến thức trọng tâm Tốn phơ’ thơng Tốn chun, phần tốn chọn lọc có khoảng 900 với nhiều dạng loại mức độ từ đến phức tạp, tập tự luyện khoảng 250 bài, có hướng dẫn hay đáp sơ' Cĩ sách có chun đề nâng cao: ĐA THỨC, PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN TỐN SUY LUẬN Dù cơ'gắng kiểm tra q trình biên tập song khơng tránh khỏi khiêm khuyết sai sót, mong đón nhận góp ý quý bạn đọc để lần in sau hồn thiện Tác giả LÊ HỒNH PHỊ Ctụ TNHH MTV DWH Khang Việt CỄỉUYẽn ắ ĩỉ TÍNH ĐON Điệu VÀ cục TRỆ KIẾN THỨC TRỌNG TĂM Định lí Lagrange: Cho f hàm liên tục [a, b], có đạo hàm (a,b) Lúc tồn c G (a,b) để: Định lý Rolle: Cho f hàm liên tục [a,b], có đạo hàm (a, b) f(a) = /(b) Lúc tồn c G (a,b) để f'(c) = Định lý Cauchy: Cho f g hai hàm liên tục [a, b], có đạo hàm (a,b) g'(x) X G (a,b) Lúc tồn c G (a,b) để - - a) = g(b)-g(a) g’(c) Tính đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) đó: - Nếu f đồng biến (a; b) f '(x) > với X G (a; b) - Nếu f nghịch biến (a; b) f '(x) < với X G (a; b) - Nếu f '(x) > với X G (a; b) f '(x) = số hữu hạn điểm (a; b) hàm số đồng biến khoảng (a; b) - Nếu í '(x) < với X e (a; b) f '(x) = số hữu hạn điểm (a; b) hàm số nghịch biến khoảng (a; b) - Nếu f đòng biến khoảng (a; b) liên tục [a,b) đồng biến (a,b); liên tục (a,b] đồng biến (a,b]; liên tục [a,b] đồng biến [a,b] - Nếu f nghịch biến (a; b) liên tục (a,b) nghịch biến trến (a,b); liên tục (a,bj nghịch biến (a,b]; liên tục [a,b] nghịch biến [a,b] - Nếu f '(x) = với X e D hàm số f khơng đỗi D Cực trị hàm số Cho hàm số f xác định tập hợp D Xo G D x0 gọi điểm cực đại í tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) c D f(x) < f(x0), V X G (a; b) \ {x0} 10 trọng điểm bổi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị _ Xo gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) chứa điểm Xo cho (a; b) c D f(x) > f(x0), V X e (a; b) \ {x0} Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm (a;b) Nếu f đạt cực trị điểm Xo G (a;b) f '(x0) = - Cho y = f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa Xo, có đạo hàm khoảng (a;r0) (x0;b): Nếu f ’(x) đỗi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu Xo Nếu f ’(X) đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại Xo - Cho y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa Xo; Nếu f '(Xo) = f "(x0) > f đạt cực tiểu Xo Nếu f '(x0) = í "(Xo) < f đạt cực đại Xo ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f(x) = có tối đa nghiệm Nếu f(a) = 0, a thuộc K X = a nghiệm phương trình f(x)=o - Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu K f ’ hàm đơn điệu nên phương trình f(x) =0 có tối đa nghiệm K Nếu f(a) = f(b) =0 với a * b phương trình f(x)=o có nghiệm X = a X = b - Nếu f hàm liên tục [a, b]> có đạo hàm (a,b) phương trình ~ có nghiệm c e (a,b) b-a Đặc biệt, f(a) = f(b) = phương trình f’(x) = có nghiệm c G (a, b) hay hai nghiệm í có nghiệm đạo hàm f f ‘(X) = Chú ý: 1) Tung độ cực trị y = f(x) X = Xo: Hàm đa thức: y = q(x) y' + r(x) => y0 = r(x0) HàmhữUtí:y = f(x)=^y0=^ = ^4 v(x) v(x0) v'(x0) Đặc biệt: Với hàm y = f(x) bậc có CĐ, CT y = q(x) y' + r(x) phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y = r(x) 2) Số nghiệm phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d= 0, a * Nếu í ’(x) > 0, Vx hay f '(x) < 0, Vx f(x) = có nghiệm Nếu f '(x) = có nghiêm phân biệt và: Ctụ TNHH MTV DVVH Khang Việt Với yCĐ ycT > : phương trình f(x) = có nghiệm Với yCĐ ycT = : phương trình f(x) = có nghiệm (1 đơn, kép) Với yCĐ yCT < : phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt CÁC BÀI TỐN Bài toán 1.1: Chứng minh hàm số sau hàm không đổi a) f(x) = COS2X + cos2(x + ) - cosxcos(x + ) 3 b) f(x) = - sin2x - sin2(a + x) - 2cosa.cosx.cos(a + x) Hướng dẫn giải a) í '(x) = -2cosxsinx - 2cos(x + ^)sin(x + sinxcos(x + ■■ + cosx.sin(x + = -sin2x - sin(2x + -77) + sin(2x + ) 3 = -sin2x - 2cos(2x + 7Ĩ X 7T ).sin -7 27 = -sin2x - cos(2x + ^) = 0, với X Do f R nên f(x) = f(0) = + i _ = b) Đạo hàm theo biến X (a số) í '(x) = -2sinxcosx - 2cos(a + x)sin(a + x) + 2cosa[sinxcos(a + x) + cosx.sin(a + x)] = -2sin2x - sin(2x + 2a) + 2cosa.sin(2x + a) = Do f R nên f(x) = f(0) = - sin2a - 2cos2a = sin2a Bài toán 2: Cho đa thức P(x) Q(x) thoả mãn: P'(x) = Q'(x) với X P(0) = Q(0) Chưng minh: P(x) = Q(x) Hướng dẫn giải Xét hàm số f(x) = P(x) - Q(x), D = R Ta có f '(x) = P'(x) - Q'(x) = theo giả thiết, f(x) hàm nên f(x) = f(0) = P(0) - Q(0) = với X => f(x) s => P(x) = Q(x) Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) arcsinx + arccosx = Ị, IXI < b) 2arctanx + arcsin——— =-7T,X f'(x)= , + ~-L =0 => f(x) = c=f(4 )= T • VĨT? Tvv 2 2x b) Với X < -1,xét f(x) = 2arctanx + arcsin——— 1+x 2-2x2 _ (1 + x2)2 Ta có f (x) = ~—^4 ^==== + x2 1_X2 AK ) V 1+x 1+x n 4' — = ( X < — 1) 1+x Suy f(x) = c = f(-1)=-Ị 4-=-2L 2ỉ 4 Bài tốn 4: Tính gọn arctanx + arctan- với X * X Hướng dẫn giải Xét f(x) = arctanx + arctan —,D = (-00 ;0) u (0;+oo ) X Với X e (0;+ 00 ) f liên tục có đạo hàm -1 Y2 f '(x) = —+ - * 14- X2 14- X2 1 i = —— - = nên í hăng (0;+ 00 ) + X2 + X2 Do f(x) = f(1) = 2L + 2L = I 4 Với X e(—00 ;0 ) f liên tục có đạo hàm f'(x) = nên f (-00 ;0) Do f(x) = f(-1) = -Ị - Ị = -Ị 4 -Ị X < Vậy arctanx 4- arctan— = < x 71 I.u: rx X > 12 Bài tốn 5: Tìm số c định lý Lagrange: a) y = f(x) = 2x2 + X - [-1,2] b) y = f(x) = arcsinx [ 0;1] Ctụ TNHH MTV DWH Hhang Việt Hướng dẫn giải a) Hàm số y = f(x) = 2x2 + X - liên tục [-1,2] có đạo hàm f ’(x) = 4x +1, theo định lý Lagrange tồn số c e [-1 ;2] cho: f(2)-f(-1) 6+3 ——- - -.= f (c) o —— = 4c +1 4c = 2c = — 2-(-1) b) Hàm số y = f(x) = arcsinx liên tục [ 0; 1] có đạo hàm f '(x) = -7==, V1-X2 theo định lý Lagrange tồn số c G [0; ] cho: f./^2 _ () X7 f(1)-f(0) ■^0 Chọnc = J1 7í «1-co2 = ~c =1 ;- 7t 71 - \ N „2 71 Bài toán 6: Xét chiều biến thiên hàm số: a) y = X4 - 2x2 - b) y = —-—(x-4)2 Hướng dẫn giải a) D = R Ta có y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) Cho y' = 4x(x2 - 1) = X = x = ±1 BBT : _ _ X —00 -1 +oo y' - + - + y Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-00; -1) (0; 1), đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +oo) -2 b) D = R\{4} Tacóy’= - í— (X - 4)3 y' < khoảng (4; +oo) nên y nghịch biến khoảng (4; +oo) y' > khoảng (-00; 4) nên y đồng biến khoảng (-oo; 4) Bài tốn 1.7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số b) y = -7= V1 -X a) y = -=2=^ VX2 -6 Hướng dẫn giải a) Tập xác định D = (-co; -Vẽ) u (\/ẽ; 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị Vậy hàm số đồng biến khoảng (-00; -3), (3; +00), nghịch biến khoảng (-3; -x/ẽ), (Vẽ; 3) b) D = (-00; 1) Ta có y' = —3"x > 0, Vx < 2ự(1-x)3 Vậy hàm số đồng biến khoảng (-00: 1) Bài toán 8: Xét biến thiên hàm số: a) y = X + COS2X b) y = X - sinx [0; 2tt] Hướng dẫn giải a) D = R Ta có y' = - 2cosxsinx = - sin2x y' = sin2x = o X = - + kiĩ, k z Hàm sô liên tục môi đoạn [-7 + k7i; -7 + (k + 1)n] 4 y' > khoảng (4 + kĩr; + (k + 1)ĩt) nên đồng biến đoạn 4 +k7i; +(k+1)7r], keZ 4 Vậy hàm số đồng biến R b) y' = — cosx Ta có Vx [0; 2rr] => y' > y' = X = X = 2n Vì hàm số liên tục đoạn [0; 2n] nên hàm số đồng biến đoạn [0; 2n] Bài toán 9: Chứng minh hàm số a) y = cos2x - 2x + nghịch biến R b) y = -S'pjx+ a) (a sin(x + b) b + kĩt; k G Z) đơn điệu khoảng xác định Hướng dẫn giải a) Vx1f x2 R, Xi < x2 Lấy hai số a, b cho a < Xi < x2 < b Ta có: f '(x) = -2(sin2x + 1) < với X e (a; b) Vì í '(x) = số hữu hạn điểm khoảng (a; b) nên hàm số f nghịch biến khoảng (a; b) => đpcm b) Điều kiện X -b + kĩt (k G Z) Ctụ TNHH MTV DWH Khang Việt sin(x + b)cos(x + a)-sin(x + a)cos(x + b) _ sin(b-a) y — sin2(x + b) sin2(x + b) Vì y' liên tục điểm X * -b + k?r, a - b kn nên y' giữ nguyên dấu khoảng xác định => đpcm Bài tốn 1.10: Tìm giá trị tham số để hàm số: a) y = (m - 3)x - (2m + 1)cosx nghịch biến R b) y = X3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài Hướng dẫn giải a) y' = m - + (2m - 1)sinx Hàm số y không hàm nên y nghịch biến R: y' 0, với -2 < X < -1 n +1 + X Vậy f(x) = có tối đa nghiệm (-2; -1) Ta chứng minh rằng: f(x) = có nghiệm (-2; -1) f(-1) = n In - —I n +1 ( 586 + = nlnf-H-i + = 1-nlni—ì = 1-lnf + -1Ì > In+1) X / xn _ JL + = - In n +1 I n-1 / (nJ (n > 2) I nJ Ctụ TNHHMTVDWH Hhang Việt' _ \n+1 / \n+1 r Ta chứng minh: —— I n J n+2 I n ) n-1 ,\n+1 n-1 n-1 n+2 n \n+1 n +1 I n-1 „ \n+1 _ \0+1 I - —— n2 + n J n2 + n - -2 _ n +n ) (n + -Cn (2 + 1*)2 Vậy, ——4 >4-4 = > e2 với n > , > 1_ ~ n -1_ = LL_1 (Bernoulli) n+1 n+1 „ f(-2) < với n > Từ đó, f(-2).f(-1) < 0, f liên tục (-2; -1) nên f(x) = có nghiệm nghiệm lim f(x) = lim ln(1 + 4) + = -X nên f(x) = có nghiệm x->-2' (-2; 1) Với n đặt nghiệm an ta thu đpcm Với n = x->-2 + X, =1 Bài toán 21 25: Cho dãy (xn) xác định bởi: < (1) Xn X, a) Hãy xác định số hạng tổng quát (xn) X2 _ - biểu diễn thành tổng bình b) Chứng minh số X2n phương số nguyên liên tiếp với n > Hướng dẫn giải a)Từ(1) X n+1 + J3 + X2 íxnn _ AỊ- I—3— Xn K I (2) Đặt yn = — (2) trở thành: yn+i = 2yn + Ờ3y2 +1 xn o (yn+1 - 2yn) = ự3y2 +1 o (yn+1 - 2yn)2 = 3y2 + y^1 + Vn = 4Vn+1 yn + Thay (n + 1) n ta được: y2 + y2_1 = 4ynyn-i + (3) (4) 587 10 trọng điểm bồi dưỡng học sính giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị _ Lấy (3) (4) trừ vế theo vế ta được: yt, - yẪ-1 = 4yn(yn+i - y„-,) «■ yn+, - 4y„ + y„-i =0 (5) (Vì theo cơng thức xác định dãy, ta có yn+i > yn > yn-i) Phương trình (5) có phương trình đặc trưng /2 - 4/ + = có hai nghiệm số: €1 = - Tã, L2 = + \Zã Khi đó: yn = C/Ị + c2^2 (*) Thay giá trị n = n = tương ứng có hệ phương trình: C/1 +c2