BÀI 1 CÁC DẠNG TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 5 Dạng 1 Số chẵn, số lẻ, bài toán xét chữ số tận cùng của một số Bài 1 a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể là 1 số lẻ được không? b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể là 1 số lẻ được không? c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được không? Giải a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1[.]
CÁC DẠNG TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Dạng : Số chẵn, số lẻ, toán xét chữ số tận số Bài 1: a) Nếu tổng số tự nhiên số lẻ, tích chúng số lẻ khơng? b) Nếu tích số tự nhiên số lẻ, tổng chúng số lẻ không? c) “Tổng” “hiệu” hai số tự nhiên số chẵn, số lẻ không? Giải : a) Tổng hai số tự nhiên số lẻ, tổng gồm số chẵn số lẻ, tích chúng phải số chẵn (Khơng thể số lẻ được) b) Tích hai số tự nhiên số lẻ, tích gồm thừa số số lẻ, tổng chúng phải số chẵn(Khơng thể số lẻ được) c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta lần số lớn, tức số chẵn Vậy “tổng” “hiệu” phải số chẵn lẻ (Không thể số chẵn, số lẻ được) Bài toán : Khơng cần làm tính, kiểm tra kết phép tính sau hay sai? a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744 b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115 c, 5674 ì 163 = 610783 Giải : a, Kết sai tổng số lẻ số lẻ b, Kết sai tổng số chẵn số chẵn c, Kết sai tích 1số chẵn với số số chẵn Dạng 2: Kĩ thuật tính quan hệ thành phần phép tính Bài 1: Khi cộng số tự nhiên có chữ số với số tự nhiên có chữ số, sơ suất học sinh đặt phép tính sau : abcd + eg Hãy cho biết kết phép tính thay đổi Giải : Khi đặt phép tính số hạng thứ hai tăng gấp 100 lần Ta có : Tổng = SH1 + 100 x SH2 = SH1 + SH2 + 99 x SH2 =Tổng cũ + 99 x SH2 Vậy tổng tăng thêm 99 lần số hạng thứ hai Bài 2: Hiệu số 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ thương số dư Tìm số Giải : Theo ta có Số nhỏ : | | Số lớn : | | | | | 33 -1- Số nhỏ : (33 - 3) : = 15 Số lớn : 33 + 15 = 48 Đáp số 15 48 Dạng : Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết Bài : Hãy thiết lập số có chữ số khác từ chữ số 0, 4, 5, thoả mãn điều kiện a, Chia hết cho b, Chia hết cho c, Chia hết cho Giải : a, Các số chia hết cho có tận Mặt khác số có chữ số khác nhau, nên số thiết lập 540; 504 ; 940; 904 ; 450; 954 ; 950; 594 ; 490 ; 590 b, Ta có số có chữ số chia hết cho viết từ chữ số cho : 540; 504; 940; 904 c, Số chia hết cho phải có tận Vậy số cần tìm : 540; 450;490 ; 940; 950; 590 Bài 3: Thay x y vào 1996 xy để số chia hết cho 2, 5, Giải : Số phải tìm chia hết cho y phải Số phải tìm chia hết y phải số chẵn Từ suy y = Số phải tìm có dạng 1996 ì Số phải tìm chia hết cho (1 +9 + 9+ + x )chia hết cho hay (25 + x) chia hết cho Suy x = Số phải tìm : 199620 Dạng : Biểu thức phép tính liên quan đến tính giá trị biểu thức Bài : Cho hai biểu thức : A = (700 x + 800) : 1,6 B = (350 x + 800) : 3,2 Khơng tính tốn cụ thể, giải thích xem giá trị biểu thức lớn lớn lần? Giải : Xét A có 700 x = 700 : x x = 350 x nếnố bị chia hai biểu thức A B giống số chia gấp đôi (3,2 : 1,6 = 2) nên A có giá trị gấp đơi B Bài : Tính giá trị biểu thức sau cách thích hợp a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58 b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2) 45 16 17 c, 45 15 28 0,18 1230 0,9 4567 2 5310 0,6 d, 10 52 55 414 e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - - 8,9 Giải : -2- a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58 = 17,58 x 43 + 17,58 x 57 (tính giao hốn) = 17,58 x (43 + 57) = 17,58 x 100 = 1758 (nhân số với tổng) b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2) = 43,57 x 2,6 x (630 – 630) = 43,57 x 2,6 x = c, 45 (15 1) 17 45 15 45 17 45 16 17 45 15 28 A = = = = =1 A 45 15 26 45 15 28 45 15 28 45 15 28 d, 0,18 1230 0,9 4567 2 5310 0,6 10 52 55 414 = 1,8 123 1,8 4567 1,8 5310 = 28 19 414 0,18 123 (0,9 2) 4567 (3 0,6) 5310 (1 55) 19 414 = 1,8 x10000 1,8 x (123 4567 5310) = = 1000 18 18 Dạng : Các toán điền chữ số vào phép tính Bài tốn : Thay chữ số chữ số thích hợp phép tính sau : a) 30ab c: abc = 241 b) aba + ab = 1326 Giải : a) Ta viết lai thành phép nhân : 30abc = 241 x abc 30000 + abc = 241 x abc 30000 = 241 x abc – abc 30000 = (241 – 1) x abc 30000 = 240 x abc abc = 30000 : 240 abc = 125 b) Ta có : abab = 101 x ab 101 x ab + ab = 1326 102 x ab = 1326 ab = 13 Bài : Tìm chữ số a b 1ab x 126 = 201ab Giải : 1ab x ( 25 + 1) = 2000 + 1ab ( cấu tạo số) 1ab x 125 + 1ab = 2000 + 1ab (nhân 1số với tổng) 1ab x 125 = 2000 (hai tổng bớt số hạng nhau) 1ab = 2000 : 125 = 160 160 x 125 = 20160 Vậy a = 6; b = Dạng : Các toán điền dấu phép tính Bài 1: Hãy điền thêm dấu phép tính vào dãy số sau: 6 6 để biểu thức có giá trị : 0, 1, 2, 3, 4, 5, Giải: a, Bằng : -3- ( – ) x ( + +6 ) (6 – ) : ( + + ) + – 66 : 6 – ( 66 : – ) (6+6):6x6:6 (6x6:6+6):6 : (6 x : ( + )) 6:6+(6+6):6 6:(6:6+6:6) 6–(6:6+6:6) (6 + + + ) : 6–6:6x6:6 – x : 6: 66 – 66 + 6:6–6:6+6 6x6–6x6+6 b, Bằng : c, Bằng : d, Bằng : e, Bằng : g, Bằng : h, Bằng : Dạng 7: Vận dụng tính chất phép tính để tìm nhanh kết dãy tính Bài : Thực hiên phép tính sau cách nhanh a, 1996 + 3992 + 5988 +7948; b, x x x x 50 ì 25 x 125; c, (45 x 46 + 47 x 48) x (51 x 52 - 49 x 48) x (45 x 128 - 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998); d, 1998x1996 1997 x11 1985 1997 x1996 1995x1996 Giải : a, Ta có : 1996 + 3992 + 5988 + 7984 = x 1996 + x 1996 + x 1996 + x 1996 = (1 + + + 4) x 1996 = 10 x 1996 = 19960 b, x x x x 50 x 25 x 125 = x x x 50 x x 25 x 125 = x (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) = 30 000 000 c, Ta nhận thấy : 45 x 128 – 90 x 64 = 45 x (2 x 64) – 90 x 64 = (45 x 2) x 64 – 90 x 64 = 90 x 64 – 90 = Trong tích có thừa số Vậy tích 0, tức : (45 x 46 + 47 x 48) x (51 x 52 – 49 x 48) x (45 x 128 – 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998) = -4- d, 1988 x1996 1997 x11 1985 1988 x1996 (1996 1) x11 1985 = 1996 x(1997 1995) 1997 x1996 1995x1996 = 1988 x1996 1996 x11 11 1985 1999 x1996 1996 = 1996 x 2 x1996 = (1999 1) x1996 2000 x1996 = = 1000 x1996 x1996 Dạng : Sử dụng cấu tạo thập phân số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số,biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số lớn gấp 13 lần số cho Giải : Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta dược số 9ab Theo ta có : 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 – ab 900 = ab x ( 13 – ) 900 = ab x 12 ab = 900 : 12 ab = 75 Bài 2: Cho số có chữ số Nếu ta xố chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Tìm số Giải : Gọi số phải tìm abcd Xố chữ số hàng chục hàng đơn vị ta số ab Theo đề ta có abcd – ab = 4455 100 x ab + cd – ab = 4455 cd + 100 x ab – ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455 cd = 99 x (45 – ab) Ta nhận xét tích 99 với số tự nhiên số tự nhiên nhỏ 100 Cho nên 45 – ab phải - Nếu 45 – ab = ab = 45 cd = - Nếu 45 – ab = ab = 44 cd = 99 Số phải tìm 4500 4499 Dạng Quy luật viết dãy số Bài : Viết tiếp số : a, 5, 10, 15, b, 3, 7, 11, Giải : a, Vì : 10 – = 15 – 10 = -5- Dãy số số hạng liền nhau đơn vị Vậy số : 15 + = 20 20 + = 25 25 + = 30 Dãy số : 5, 10, 15, 20, 25, 30 b, 7–3=4 11 – = Dãy số số hạng liền nhau đơn vị Vậy số : 11 + = 15 15 + = 19 19 + = 23 Dãy số : 3, 7, 11, 15, 19, 23 Dãy số cách hiệu số hạng với số liền trước Bài : Viết tiếp số hạng vào dãy số sau : a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, c, 0, 3, 7, 12, d, 1, 2, 6, 24, Giải a, Ta nhận xét : 4=1+3 7=3+4 11 = + 18 = + 11 Từ rút quy luật dãy số : Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) tổng hai số hạng đứng trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, b, Tương tự a, ta tìm quy luật dãy số : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) tổng số hạng đứng trước Viét tiếp ba số hạng, ta dãy số sau 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, c, ta nhận xét : Số hạng thứ hai : = + + Số hạng thứ ba : = + + Số hạng thứ tư : 12 = + + Từ rút quy luật dãy : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) tổng số hạng đứng trước cộng với cộng với số thứ tự số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, d, Ta nhận xét : Số hạng thứ hai là: = x -6- Số hạng thứ ba : = x số hạng thứ tư là: 24 = x Từ rút quy luật dãy số : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) tích số hạng đứng liền trước nhân với số thứ tự số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, Dạng 10 Tỉ số tỉ số phần trăm Bài : Một lớp có 22 nữ sinh 18 nam sinh Hãy tính tỉ số phần trăm nữ sinh so với tổng số học sinh lớp, tỉ số phần trăm nam sinh so với tổng số học sinh lớp Giải : Tổng số học sinh lớp : 22 + 18 = 40 (học sinh) Tỉ số học sinh nữ so với học sinh lớp : 22 : 40 = 0,55 = 55% ( 22 55 = = 55% ) 40 100 Tỉ số học sinh nam so với học sinh lớp : 18 : 40 = 0,45 = 45% Đáp số : 55% 45% Bài : Một số sau giảm 20% phải tăng thêm phần trăm số để lại số cũ Giải : giá trị số Một số giảm 20% tức giảm Số cũ : Số : | | | | | | | | Vậy phải tăng số thêm | | | tức 25% số ban đầu Dạng 11 Các tốn nhận dạng hình Bài : Cho tam giác ABC Trên cạnh BC ta lấy điểm Nối đỉnh A với điểm vừa chọn Hỏi đếm hình tam giác Giải : A A B C B D E A -7- C B D E P G H I C Ta nhận xét : - lấy điểm tạo thành tam giác đơn ABD ADC Số tam giác đếm : ABC, ADB ADC Ta có : + = (tam giác) - lấy điểm tạo thành tam giác đơn số tam giác đếm : ABC, ABD, ADE, ABE, ADC AEC Ta có 1+ + = (tam giác) Vậy lấy điểm ta có tam giác đơn tạo thành số tam giác đếm : + + + + + + = 28 (tam giác) Cách : - Nối A với điểm D, E, …, C ta tam giác có cạnh AD Có điểm nên có tam giác chung cạnh AD (khơng kể tam giác ADB tính rồi) Lập luận tương tự theo thứ tự ta có 5, 4, 3, 2, tam giác chung cạnh AE, AP, …, AI Vậy số tam giác tạo thành : + + + +3 +2 + = 28 (tam giác) Bài tập : Cho hình chữ nhật ABCD Chia cạnh AD BC thành phần nhau, AB CD thành phần nhau, nối điểm chia hình vẽ Ta đếm đượcbao nhiêu hình chữ nhật hình vẽ? B C M N E P A D Giải : Trước hết Ta xét hình chữ nhật tạo hai đoạn AD, EP đoạn nối điểm hai cạnh AD BC Bằng cách tương tự tronh ví dụ ta tính 10 hình Tương tự ta tính số hình chữ nhật tạo thành hai đoạn EP MN, MN BC 10 Tiếp theo ta tính số hình chữ nhật tạo thành hai đoạn AD MN, EP BC với đoạn nối điểm hai cạnh AD BC 10 Vì : Số hình chữ nhật đếm hình vẽ : 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 (hình) Đáp số 60 hình Dạng 12 Các tốn diện tích hình Bài : Cho tam giác ABC vng A có cạnh AB dài 24 cm, cạnh AC dài 32 cm Điểm M nằm cạnh AC Từ M kẻ đường song song với cạnh AB cắt BC N Đoạn MN dài 16 cm Tính đoạn MA -8- Giải : Nối AN Ta có tam giác NCA có NM đường cao MN AB nên MN Diện tích tam giác NCA 32 x 16 : = 256 (cm2) Diện tích tam giác ABC : 24 x 32 : = 348 (cm2) Diện tích tam giác NAB 384 – 256 = 128 (cm2) Chiều cao NK hạ từ N xuống AB : 128 x : 24 = 10 (cm) CA C M A N B Vì MN || AB nên tứ giác MNBA hình thang vng Do MA 10 Đáp số 10 cm cm Bài :Cho hình thang ABCD Hai đường chéo AC BD cắt I Tìm cặp tam giác có diện tích Ta có cap tam giác có diện tích A B S ADB = SABC (vì đáy AB x chiều cao chia 2) I SACD = SBCD SAID = SIBC Vì chúng phần diện tích cịn D C lại tam giác có diện tích có chung phần diện tích (Tam giác ICD AIB) Dạng 13 Các tốn cắt ghép hình Bài : Hãy chia hình chữ nhật thành hình tam giác có diện tích ? Giải : Xuất phát từ nhận xét : - Hai tam giác có chiều cao số đo đáy - Hai tam giác có chung đáy số đo đường cao diện tích A B Ta giải toán Trước hết ta kẻ đường chéo AC để hình chữ nhật thành hai tam giác códiện tích C D Bây ta chia tam giác ABC ADC thành hai tam giác có diện tích Như ta lời giải toán Cách -9- Chọn AC làm đáy chung tam giác chia Như để tam A giác có đường cao hạ từ B (và từ D) xuống AC phải chia đáy AC thành phần điểm O Nối BO DO ta tam giác ABO, BOC, COD DOA thoả C mãn điều kiện đề Cách Chọn cạnh BC AD làm đáy tam giác chia Như tam giác B chia từ tam giác ABC có chung đường cao AB ta phải chia đáy BC thành phần có số đo điểm M.Tương tự chia AD điểm N Nối AM, CN ta tam giác ABM, AMC, CAN CND thoả A mãn điều kiện đề Cách Chọn hai cạnh AB CD làm đáy tam B giác chia Như tam giác chia từ tam giác ABC có chung đường cao P CB thành phần có số đo điểm P Tương tự ta chia CD thành phần điểm H Nối CP AH ta tam A giác ACP, CPB, ADH, AHC thoả mãn điều kiện đề B O D M C N D C H D Cách Phối hợp cách cách hình vẽ Ngồi cịn chia theo cách khác Dạng 14 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình Bài : Có hình lập phương, hình có cạnh cm Xếp hình thành hình lập phương lớn Tìm diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lập phương lớn Giải : hình lập phương ta xếp thành hình lập phương lớn bao gồm có tầng tầng có hình lập phương nhỏ Cạnh hình lập phương nhỏ nên cạnh hình lập phương lớn : x = (cm) - 10 - Diện tích xung quanh : x x = 64 (cm2) Diện tích tồn phần : x x = 96 (cm2) Thể tích : x x = 64 (cm2) - 11 - ... 43 ,57 x 2,6 x (630 – 3 15 x 2) = 43 ,57 x 2,6 x (630 – 630) = 43 ,57 x 2,6 x = c, 45 ( 15 1) 17 45 15 45 17 45 16 17 45 15 28 A = = = = =1 A 45 15 26 45 15 28 45 15 28 45. .. 52 55 414 e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - - 8,9 Giải : -2 - a, 17 ,58 x 43 + 57 x 17 ,58 = 17 ,58 x 43 + 17 ,58 x 57 (tính giao hoán) = 17 ,58 x (43 + 57 ) = 17 ,58 x 100 = 1 758 ... sinh lớp : 22 + 18 = 40 (học sinh) Tỉ số học sinh nữ so với học sinh lớp : 22 : 40 = 0 ,55 = 55 % ( 22 55 = = 55 % ) 40 100 Tỉ số học sinh nam so với học sinh lớp : 18 : 40 = 0, 45 = 45% Đáp số : 55 %