Người chơi được chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt t ng phi n ừ ếu cho đế

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH BÀI TẬP LỚN CÁ NHÂN MƠN TỐN KINH TẾ Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Lớp: Mã sinh viên: Nguyễn Văn An Đào Thị Thùy Trang K23CLC-QTA 23A4050366 Hà Nội, ngày tháng năm 2022 Câu (Đề 19): Trong trị chơi có thưởng, tỷ lệ phiếu trúng thưởng 10% a Người chơi chọn ngẫu nhiên có hồn lại phiếu trúng thưởng dừng (có tính phí cho số lần chọn) Tính xác suất để người phải chơi đến lần thứ b Nếu người chơi chọn ngẫu nhiên có hồn lại phiếu phải chọn lần để khả chọn phiếu trúng thưởng khơng nhỏ 90% Lời giải a Gọi Ai = “ Người chơi trúng thưởng lần thứ i” ( i= 1,𝑛 ) 𝑖 ) = 1-0,1=0,9 Theo giả thiết, P(Ai) = 0,1 → P(𝐴 Xác suất để m ột người phải chơi đến lần thứ là: 1  1 ).P(A  P (A A2 A3 ) = P(A ).P(A3) = 0,9.0,9.0,1= 0,081 Vậy xác suất để m ột người phải chơi đến lần thứ 0,081 b Theo giả thiết, lượt chọn độc lập với nên khả chọn phiếu trúng thưởng không nhỏ 90% là: P(A1+A2+…+An) ≥ 0,9  1- [P(𝐴1 ).P( 𝐴2 )…P( 𝐴𝑛 )] ≥ 0,9  1- (0,9.0,9…0,9) ≥ 0,9  – 0,9𝑛 ≥ 0,9  0,9𝑛 ≤ 0,1  n ≥ log0,1 0,9  n ≥ 21,85 Vậy phải chọn 22 lần để khả chọn phiếu trúng thưởng không nhỏ 90% Câu 1: (Đề 16) Một kho hàng chứa sản phẩm loại xí nghiệp I,II,III với tỷ l ệ tương ứng 30%, 40%, 30% Tỷ l ệ phế phẩm xí nghi ệp I,II,III tương ứng 0,1;0,05;0,15 a Tính tỷ l ệ phẩm kho b Lấy ngẫu nhiên l ần lượt có hồn l ại sản phẩm kho hàng Tính xác suất để số sản phẩm lấy có phế phẩm Lời giải a Gọi H1 = “Sản phẩm xí nghiệp I” H2 = “Sản phẩm xí nghiệp II” H3 = “Sản phẩm xí nghiệp III” A = “ Sản phẩm phế phẩm” Ta có P(H1)=0,3; P(H2)=0,4; P(H3)=0,3 → {H1;H2;H3} nhóm đầy đủ biến cố Theo giả thiết: P(A|H1) = 0,1 ; P(A|H2) = 0,05 ; P(H3)= 0,15 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, xác suất phẩm kho là: P(𝐴) = – P(A) = 1- [P(H1) P(A|H1) + P(H2) P(A|H2) + P(H3) P(H3)] = 1- (0,3.0,1+0,4.0,05+0,3.0,15) = 0,905 Vậy tỷ lệ phẩm kho 90,5% b Gọi X số phế phẩm lấy l ần lấy Tập giá trị: X(Ω)={0;1;2;3} → X biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức B(n,p), đó: • n=3 • p = P(A)= 1- P(𝐴) = 1-0,905=0,095 Xác suất để số sản phẩm lấy có phế phẩm là: P(X≥1) = 1- P(X224) = ϕ0(+∞) - ϕ0( σ ) = 0,5 - ϕ0( 224−200 = 0,5 – 0,4452 = 0,0548 15 ) = 0,5 - ϕ0 (1,6) Gọi Y số lần bị chảy tràn 1000 lần rót TGT: Y(Ω)={1;2;…1000} Y biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức B(n,p), đó: • n =1000 • p = P(X>224) = 0,0548 Số lần bị chảy tràn 1000 lần rót là: E(Y)=n.p=1000.0,0548=54,8 Vậy số lần bị chảy tràn 1000 lần rót 54,8 lần b Gọi t dung tích cốc cần sủ dụng để 25% số l ần rót khơng bị chảy tràn (đơn vị: mL) Xác suất để l ần rót bị khơng bị tràn sử dụng loại cốc có dung tích t (mL) là: P(X≤t)=0,25  P(0t) < 0,02 𝑡−μ  0,5 - ϕ0(  ϕ0 (  𝑡−24 ) 3,8 𝑡−24 > 3,8 σ ) < 0,02 > 0,48 = ϕ0(2,0537) 2,0537  t > 31,8041 Vậy luật sư cần phải xuất phát trước gi mở cửa quan 31,8041 phút để xác suất bị muộn làm nhỏ 0,02 Câu Đề 16: Tuổi thọ (đơn vị: năm) m ột thiết bị điện t bi ến ngẫu nhiên có hàm m ật độ xác suất sau: 𝑘 𝑒 −2𝑥 , 𝑥 ≥ 0 ,𝑥 < Xác định k tính xác suất để thiết bị sử dụng năm p(x) = { Lời giải Gọi X tuổi thọ thiết bị điện tử (đơn vị: năm) TGT: X(Ω) = [0;+∞) Điều ki ện để p(x) hàm mật độ xác suất là: { Ta có: +∞ +∞ ∫−∞ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑑𝑥 + ∫0 𝑡 𝑝(𝑥) ≥ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (1) +∞ ∫−∞ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (2) 𝑘 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −2𝑥 𝑡 |0 ) 𝑡→+∞ = lim ∫0 𝑘 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = k lim ( 𝑡→+∞ = k lim (− = +∞ 𝑘 𝑡→+∞ 𝑒 −2𝑡 + 𝑘 Theo (2): ∫−∞ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 =  + =  k=2 Với k=2, p(x)= 𝑒 −2𝑥 ≥ với ∀ x ≥ (t/m (1)) 𝑒0 ) Vậy k = Hàm mật độ xác suất là: p(x) = { 𝑒 −2𝑥 ,𝑥 ≥ ,𝑥 < Xác suất để thiết bị sử dụng năm là: P(X≥2) = – P(X 30 nên T (n-1) ≈ N (0;1) ) Thay giá trị cụ thể toán vào (*), ta được: 0,5 = 4,1684 √𝑛0 1,96  n0 ≈ 266,9998 Lấy n0 = 267 Vậy cần điều tra thêm: n0 – n = 267 – 100 = 167 cửa hàng c Gọi p tỷ lệ cửa hàng Hà Nội bán sản phẩm A với giá không 87 nghìn đồng f t ỷ lệ cửa hàng bán sản phẩm A với giá không 87 nghìn đồng mẫu điều tra 19 Ta có: n=100 f=0,25 n f = 100.0,25 = 25 ≥ 10 Có: { n (1 − f) = 100.0,75 = 75 ≥ 10 → Công thức ước lượng tỷ l ệ cửa hàng Hà Nội bán sản phẩm A với giá khơng q 87 nghìn đồng là: f.(1−f) f-√ n uα < p < f + √ f.(1−f) n α uα Độ tin cậy 0,98% → 1-α = 0,98 → α = 0,02 → = 0,01 → 𝑢𝛼 = 𝑢0,01 ≈ 2,3263 Thay giá trị cụ thể vào công thức ước lượng, ta được: 0,25.(1−0,25) 0,25 - √ 100 0,25.(1−0,25) 2,3263 100 2,3263 < p < 0,25 + √  0,1493 < p < 0,3507 Gọi M số cửa hàng có giá bán khơng q 87 nghìn đồng, M=p.N (N = 2000) Ta có: 0,1493 < p < 0,3507  0,1493.2000 < p.N < 0,3507 2000 298,6 < M < 701,4  Vậy với độ tin cậy 98%, số cửa hàng Hà Nội bán sản phẩm A với giá khơng q 87 nghìn đồng khoảng 298 đến 702 cửa hàng d Ta có μ giá bán trung bình sản phẩm A Hà Nội Gọi μ0 giá bán trung bình sản phẩm A Sài Gòn → μ0 = 91 Ta kiểm định giả thuyết giá bán trung bình với cặp giả thuyết: { H0 : μ ≥ 91 (Giá bán trung bình HN cao SG) H1 : μ < 91 (Giá bán trung bình SG cao HN) Tiêu chuẩn ki ểm định là: G=T= Nếu H0 T ~ T(n-1)  −𝜇0 ).√𝑛 (𝑋 𝑆 Miền bác bỏ giả thuyết H0 với m ức ý nghĩa α= 0,05 là: (𝑛−1) Wα ∈ ( -∞; −𝑡𝛼 (99) ) = ( -∞; −𝑡0,05 ) = (-∞; - 1,6604) Giá trị quan sát mẫu cho là: 𝑡𝑞𝑠 = (𝑥 −𝜇0 ).√𝑛 𝑠 = (90,72−91).√100 4,1684 20 = -0,6717  Wα: Chấp nhận H0, bác bỏ H1 → tqs ∈ Vậy với mức ý nghĩa 5%, cho giá bán trung bình SG cao HN Gọi p tỷ lệ khách hàng thực tế ưa thích sản phẩm tồn cơng ty 230 f t ỷ lệ khách hàng ưa thích sản phẩm mẫu điều tra f=400=0,575 p0 tỷ l ệ khách hàng ưa thích sản phẩm tồn cơng ty theo tuyên bố p0=0,6 Ta kiểm định giả thuyết p với cặp giả thuyết: { H0: p ≥ 0,6 (tỷ lệ tuyên bố thấp thực tế) H1 : p < 0,6 (tỷ lệ tuyên bố cao thực tế) n p0 = 400.0,6 = 240 ≥ (t/m điều kiện mẫu lớn) Ta có: { n (1 − p0 ) = 400.0,4 = 160 ≥ → Tiêu chuẩn ki ểm định giả thuyết H0: U = Nếu H0 U ~ N(0;1) (F1 −p0 ).√n √p0 (1−p0 ) Miền bác bỏ giả thuyết H0 với m ức ý nghĩa α = 0,05 là: Wα = ( -∞; -uα) = (-∞; -u0,05) = (-∞; -1,645) Giá trị quan sát kiểm định là: uqs =  Wα: Chấp nhận H0, bác bỏ H1 → uqs ∈ (f−p0 ).√n √p0 (1−p0 ) = (0,575−0,6).√400 √0,6.(1−0,6) = -1,0206 Vậy, với mức ý nghĩa 5%, tỷ l ệ tuyên bố công ty không cao thực tế Câu Đề 15: Trong đợt kiểm tra m ức thu nhập năm hộ gia đình huyện A, người ta chọn ngẫu nhiên mẫu hộ gia đình thu số liệu sau: Thu nhập đồng/năm) Số hộ (triệu 180-200 200-210 210-220 220-230 230-240 15 25 25 30 Biết thu nhập hàng năm m ỗi hộ gia đình biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn a Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình năm hộ gia đình huyện A với độ tin cậy 98% b Nếu muốn ước lượng m ức thu nhập hàng năm m ỗi hộ gia đình huyện A với độ tin cậy 95% độ xác 2,2 triệu phải điều tra thêm hộ gia đình nữa? 21 c Những hộ có thu nhập 220 triệu đồng/năm coi thu nhập cao Hãy ước lượng số hộ gia đình có thu nhập hàng năm cao huyện A với độ tin cậy 99% Giả sử huyện A có 1000 hộ gia đình d Nếu muốn sử dụng mẫu để ước lượng số hộ gia đình có thu nhập cao có độ xác 9% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? e Trong điều tra huyện B, người ta nhận thấy thu nhập trung bình hàng năm hộ gia đình huyện B 215 triệu/năm Với mức ý nghĩa 5%, cho biết mức thu nhập có cao so với mức thu nhập trung bình hàng năm huyện A hay không? Lời giải a Gọi X thu nhập hàng năm hộ gia đình (đơn vị: triệu đồng) Theo giả thiết, X bi ến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn N(μ;𝜎 ), đó: • μ=E(X): thu nhập trung bình m ỗi hộ gia đình • σ = √𝑉(𝑋) : độ lệch chuẩn thu nhập hộ gia đình Theo số liệu thống kê, ta có: n=100; 𝑥 = 220,75 ; s = 12,6406 Ta ước lượng mức thu nhập trung bình hàng năm hộ gia đình với khoảng tin cậy đối xứng theo công thức ước lượng: 𝑥 − 𝑠 (𝑛−1) < 𝑡𝛼 √𝑛 μ < 𝑥 + α 𝑠 √𝑛 (𝑛−1) 𝑡𝛼 Độ tin cậy 98% → 1-α = 0,98 → α = 0,02 → = 0,01 (𝑛−1) → 𝑡𝛼 (99) 𝑡0,01 = ≈ u0,01 ≈ 2,3263 (Do n=100>30 nên T(n-1) ≈ N(0;1) ) Thay giá trị cụ thể tốn vào cơng thức ước lượng, ta được: 220,75 – 12,6406 √100  2,3263 < μ < 220,75 + 217,8094 < μ < 223,6906 12,6406 √100 2,3263 Vậy với độ tin cậy 98%, thu nhập trung bình hàng năm m ỗi hộ gia đình (217,8094; 223,6906) triệu đồng b Gọi n0 kích thước mẫu cần điều tra ứng với độ xác ε0=2,2 (triệu đồng) Độ xác ước lượng đối xứng giá bán trung bình với mẫu là: ε0 = 𝑠0 𝑡𝛼(𝑛0 −1)(*) 𝑛 √ α Lấy s0 ≈ s = 12,6462; Độ tin cậy 95% → 1-α = 0,95 → α = 0,05 → = 0,025 22 (𝑛0 −1) → 𝑡𝛼 ≈ 𝑢𝛼 ≈ 𝑢 0,025 ≈ 1,96 (Do n0 > n > 30 nên T (n- 1) ≈ N (0;1) ) Thay giá trị cụ thể toán vào (*), ta được: 2,2 = 12,6462 √𝑛0 1,96  n0 ≈ 126,9366 Lấy n0 = 127 Vậy cần điều tra thêm nhất: n0 – n = 127 – 100 = 27 hộ c Gọi p tỷ lệ hộ có thu nhập hàng năm 220 triệu toàn huyện A f t ỷ lệ hộ có thu nhập hàng năm 220 triệu mẫu điều tra f= 25+30 100 =0,55 𝑛 𝑓 = 100.0,55 = 55 ≥ 10 Ta có: { (t/m điều kiện mẫu lớn) 𝑛 (1 − 𝑓) = 100.0,45 = 45 ≥ 10 → Công thức ước lượng p là: f - √ 𝑓.(1−𝑓) 𝑛 𝑢𝛼 < p < f + √ 𝑓.(1−𝑓) 𝛼 𝑛 𝑢𝛼 Theo bài, độ tin cậy 99% → 1-α = 0,99 → α = 0,01 → =0,005 2 → 𝑢𝛼 = 𝑢0,005 ≈ 2,5758 Thay giá trị cụ thể tốn vào cơng thức ước lượng, ta được: 0,55 - √ 0,55.(1−0,55) 100  2,5758 < p < 0,55 + √ 0,55.(1−0,55) 100 0,4219 < p < 0,6781 2,5758 Gọi M số hộ gia đình có thu nhập hàng năm cao huyện A M = p.N (N=1000) Ta có: 0,4219 < p < 0,6781  0,4219.1000 < p.1000 < 0,6781.1000  421,9 < M < 678,1 Vậy với độ tin cậy 99%, số hộ gia đình có thu nhập hàng năm cao huyện A nằm khoảng t 421 đến 679 hộ d Gọi 1- α1 độ tin cậy tương ứng với độ xác ε1 = 0,09 Độ xác ước lượng đối xứng số hộ gia đình có thu nhập hàng năm cao theo α1 ước lượng t ỷ lệ hộ gia đình có thu nhập cao hàng năm cao theo α1 ε1=√ 𝑓.(1−𝑓) 𝑛 23 𝑢𝛼1 Với ε1 = 0,09; f=0,55 → 0,09 = √ 0,55.(1−0,55)  𝑢𝛼1 = 1,8091 𝛼 100 𝑢𝛼21  21 ≈ 0,0352  𝛼1 = 0,0704 → 1-𝛼1 = 0,9296 Vậy độ tin cậy cần tìm 92,96% e Có μ thu nhập trung bình hộ gia đình huyện A Gọi μ0 thu nhập trung bình hộ gia đình huyện B → μ0 = 215 Ta kiểm định giả thuyết thu nhập trung bình với cặp giả thuyết: { H0 : μ ≥ 215 (mức thu nhập trung bình huyện A cao B) H1: μ < 215 (mức thu nhập trung bình huyện B cao A) Tiêu chuẩn ki ểm định là: G=T=  −𝜇0 ).√𝑛 (𝑋 𝑆 Nếu H0 T ~ T(n-1) Miền bác bỏ giả thuyết H0 với m ức ý nghĩa α= 0,05 là: (𝑛−1) Wα ∈ ( -∞; −𝑡𝛼 (99) ) = ( -∞; −𝑡0,05 ) = (-∞; - 1,6604) Giá trị quan sát mẫu cho là: 𝑡𝑞𝑠 = (𝑥 −𝜇0 ).√𝑛 𝑠 = (220,75−215).√100 12,6406  Wα: Chấp nhận H0, bác bỏ H1 → tqs ∈ = 4,5488 Vậy với mức ý nghĩa 5%, khơng thể cho mức thu nhập trung bình hàng năm huyện B cao huyện A Câu Đề 18: Khảo sát thu nhập số người công ti A người ta thu số liệu sau: Thu nhập 80-120 120-140 140-160 160-180 180-200 200-240 240-300 (tr.đ/năm) 12 20 25 20 10 Số người a Những người có mức thu nhập 200 tri ệu đồng/năm người có thu nhập cao Hãy ước lượng số người có thu nhập cao công ty A với độ tin cậy 98% (bi ết cơng ti có 000 người) b Nếu cơng ti báo cáo mức thu nhập bình qn người 13 triệu đồng/tháng có chấp nhận không với mức ý nghĩa 3%? c Nếu muốn dung mẫu để ước lượng thu nhập trung bình người cơng ti với độ xác triệu đồng/năm độ tin cậy bao nhiêu? 24 Giả thiết thu nhập người làm vi ệc cơng ti A BNN có phân phối xấp xỉ chuẩn Lãi suất cổ phiếu cơng ti bi ến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn có giá trị 10 năm qua (đơn vị:%) 15 12 20 10 16 14 22 18 19 a Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy độ phân tán lãi suất cổ phiếu b Với độ tin cậy 95%, độ phân tán lãi suất cổ phiếu không vượt bao nhiêu? Lời giải a Gọi X thu nhập người làm việc công ti A (đơn vị: triệu đồng/năm) Theo gi ả thi ết, X biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn N(μ;𝜎 ), đó: • μ=E(X): thu nhập trung bình người làm việc cơng ti A • σ = √𝑉(𝑋) : độ lệch chuẩn thu nhập người làm việc công ti A Theo số liệu thống kê, ta có: n = 100 ; 𝑥 = 169,6 ; s = 38,8449 Gọi p tỷ lệ số người có mức thu nhập 200 tri ệu đồng/năm công ty A f tỷ lệ số người có mức thu nhập 200 triệu đồng/năm mẫu điều tra 10+5 →f= = 0,15 100 n f = 100.0,15 = 15 ≥ 10 Ta có: Ta có: { (t/m điều kiện mẫu lớn) n (1 − f) = 100.0,75 = 75 ≥ 10 → Công thức ước lượng p là: f-√ 𝑓.(1−𝑓) 𝑛 𝑢𝛼 < p < f + √ α 𝑓.(1−𝑓) 𝑛 𝑢𝛼 Độ tin cậy 98% → 1-α = 0,98 → α = 0,02 → = 0,01 → 𝑢𝛼 = 𝑢0,01 =2,3263 2 Thay giá trị cụ thể tốn vào cơng thức ước lượng p, ta được: 0,15 - √ 0,15.(1−0,15) 100  2,3263 < p < 0,15 + √ 0,0669 < p < 0,2331 0,15.(1−0,15) 100 2,3263 Gọi M số người có thu nhập cao cơng ty → M=p.N=p.2000 Ta có : 0,0669 < p < 0,2331 25  0,0669 2000 < p.2000 < 0,2331 2000  133,8 < M < 466,2 Vậy số người có thu nhập cao cơng ty nằm khoảng 133 đến 467 người b Ta có: μ thu nhập trung bình thật người làm việc công ti A Gọi μ0 thu nhập trung bình m ột người làm việc cơng ti A theo báo cáo → μ0 = 13.12 = 156 tri ệu/tháng Ta kiểm định giả thuyết thu nhập trung bình với cặp giả thuyết: 𝐻 : μ = 156 { 𝐻1: μ ≠ 156 Tiêu chuẩn ki ểm định là: G=T=  −𝜇0 ).√𝑛 (𝑋 𝑆 Nếu H0 G=T~T(n-1) Miền bác bỏ giả thuyết H0 với m ức ý nghĩa α = 0,03 là: (99) (99) Wα = (−∞; −𝑡𝛼(𝑛−1)) ∪ (𝑡𝛼(𝑛−1);+ ∞) = (- ∞; −𝑡0,015 ) ∪ (𝑡0,015 ; ;+ ∞) 2 = (- ∞; −2,1791) ∪ (2,1701;+ ∞) Giá trị quan sát mẫu cho là: 𝑡𝑞𝑠 = (𝑥 −𝜇0 ).√𝑛 𝑠 = (169,6−156).√100 38,8449 = 3,5011 → tqs ∈ Wα: chấp nhận H1, bác bỏ H0 Vậy, với m ức ý nghĩa 3%, chấp nhận thu nhập bình quân người 156 triệu đồng/ năm hay 13 triệu đồng/tháng c Gọi 1-α0 độ tin cậy cần tìm ứng với độ xác ε0 = Độ xác ước lượng đối xứng thu nhập trung bình người công ty theo α0 là: ε0 = 𝑠0 𝑠0 (𝑛−1) ≈ 𝑡 𝑢 𝛼0 𝛼0 𝑛 √𝑛 √ 2 (𝑛−1) (Do n-1=99>30 nên 𝑡𝛼0 Ta có ε0 = 6, lấy s0 ≈ s = 38,8449 →  𝑠 √𝑛 𝑢 𝛼0 =  𝑢𝛼0 = 1,5446 ≈ 𝑢𝛼0 ) 2 38,8449 𝑢 𝛼0 √100 𝛼 =6  20 ≈ 0,0612  α0 = 0,1224 → 1- α0 = 0,8776 Vậy độ tin cậy cần tìm 87,76% 26 Ta có bảng số liệu lãi suất cổ phiếu 10 năm qua sau: 12 20 10 16 14 22 18 Lãi suất (%) 15 1 1 1 1 19 a Gọi Y lãi suất cổ phiếu m ột công ti 10 năm qua (đơn vị:%) Theo gi ả thi ết, Y biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn N(μ;𝜎 ), đó: • μ=E(X): lãi suất trung bình cổ phiếu • σ = √𝑉(𝑋) : độ lệch chuẩn lãi suất cổ phiếu Theo số liệu thống kê, ta có: n = 10 ; 𝑥 = 15,4 ; s = 4,5019 Ta ước lượng độ phân tán lãi suất theo khoảng tin cậy đối xứng theo công thức: (𝑛−1).𝑠2 𝜒𝛼2 (𝑛−1) < 𝜎 2< (𝑛−1).𝑠2 𝜒 𝛼 (𝑛−1) 1− α α Độ tin cậy 95% → 1-α = 0,95 → α = 0,05 → = 0,025 → 1- = 0,975 2 (9) ≈ 19,0228 → 𝜒2𝛼 (𝑛 − 1) = 𝜒0,025 2 𝜒1− 𝛼 (𝑛 − 1) = 𝜒20,975(9) ≈ 2,7004 Thay giá trị cụ thể tốn vào cơng thức ước lượng, ta được: 9.(4,5019)2 < 19,0228 𝜎 2< 9.(4,5019)2 2,7004  9,5887 < 𝜎 < 67,547 Vậy với độ tin cậy 95%, độ phân tán lãi suất cổ phiếu nằm khoảng (9,5887 ; 67,547) %2 b Ta ước lượng độ phân tán lãi suất cổ phiếu theo công thức: < 𝜎 2< Theo bài, n = 10 ; s2 = 4,50192 (𝑛−1).𝑠2 (𝑛−1) 𝜒1−𝛼 (9) ≈3,3251 Độ tin cậy 95% → 1-α = 0,95 → 𝜒21−𝛼(𝑛 − 1) = 𝜒0,95 Thay giá trị cụ thể tốn vào cơng thức ước lượng, ta được: < 𝜎 2< (10−1).4,50192 3,3251  < 𝜎 < 54,8567 27 Vậy với độ tin cậy 95%, độ phân tán lãi suất cổ phiếu không vượt 54,8567 Câu Đề 23: Theo dõi m ức nguyên liệu dung để sản xuất m ột đơn vị sản phẩm nhà máy M, người ta thu bảng: Mức dùng nguyên liệu (g/sản phẩm) 28 29 30 31 32 Số sản phẩm 11 17 11 Giá nguyên liệu 600 đồng/g sản lượng nhà máy M quý 50 000 sản phẩm mức nguyên liệu để sản xuất đơn vị sản phẩm BNN có phân phối (xấp xỉ) chuẩn/ a Tìm khoảng tin cậy đối xứng trung bình số tiền để mua nguyên liệu t ừng quý nhà máy M với độ tin cậy 98% b Trước nhà máy M, mức dùng nguyên liệu 31 g/sản phẩm Số liệu mẫu thu thập sau nhà máy M áp dụng công nghệ sản xuất m ới Với mức ý nghĩa 5%, xét xem cơng nghệ có làm giảm mức dung nguyên li ệu? c Nếu muốn ước lượng trung bình số tiền để mua nguyên li ệu quý toàn nhà máy M đạt độ tin cậy 99% độ xác 10 tri ệu đồng cần mẫu có kích thước bao nhiêu? d Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỉ lệ số sản phẩm có mức dung nguyên liệu 30g/sản phẩm e Ước lượng phương sai mức dung nguyên li ệu cho đơn vị sản phẩm Lời giải a Gọi X mức nguyên liệu dùng để sản xuất m ột đơn vị sản phẩm nhà máy M (đơn vị:g) Theo gi ả thi ết, X biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn N(μ;𝜎 ), đó: • μ=E(X): mức ngun liệu trung bình dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm • σ = √𝑉(𝑋) : độ lệch chuẩn mức nguyên li ệu dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm Theo số liệu thống kê, ta có: n = 50 ; 𝑥 = 30,2 ; s = 1,1429 Ta ước lượng trung bình số tiền để mua nguyên liệu quý nhà máy M việc ước lượng mức nguyên liệu trung bình dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm theo khoảng tin cậy đối xứng: 𝑥 − 𝑠 √𝑛 (𝑛−1) 𝑡𝛼 < μ < 𝑥 + α 𝑠 √𝑛 Độ tin cậy 98% → 1-α = 0,98 → α = 0,02 → = 0,01 28 (𝑛−1) 𝑡𝛼 (𝑛−1) → 𝑡𝛼 (99) = 𝑡0,01 ≈ u0,01 ≈ 2,3263 (Do n=100>30 nên T(n-1) ≈ N(0;1) ) Thay giá trị cụ thể tốn vào cơng thức ước lượng, ta được: 30,2 – 1,1429 √50 2,3263 < μ < 30,2 +  29,824 < μ < 30,576 1,1429 √50 2,3263 → Trung bình số tiền để mua nguyên liệu quý nhà máy M là: 50 000.600.E(X) ∈ (50 000.600.29,824;50 000.600 30,576) ∈ (894 720 000; 917 280 000) Vậy trung bình số tiền để mua nguyên liệu t ừng quý nhà máy M là: (894 720 000;917 280 000) đồng b Ta có: X mức nguyên li ệu dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm nhà máy M (đơn vị: g) Gọi μ0 mức sử dụng nguyên liệu trung bình để sản xuất đơn vị sản phẩm trước đây: μ0 = 31 Ta kiểm định giả thuyết mức sử dụng nguyên liệu trung bình với cặp giả thuyết: { 𝐻0: μ ≥ 31 (Công nghệ không làm giảm mức dùng nguyên liệu) 𝐻1 : μ < 31 (Công nghệ làm giảm mức dùng nguyên liệu) Tiêu chuẩn ki ểm định là: G=T=  −𝜇0 ).√𝑛 (𝑋 Nếu H0 T~T(n-1) 𝑆 Miền bác bỏ giả thuyết H0 với m ức ý nghĩa α = 0,05 là: (49) Wα = (−∞; −𝑡𝛼(𝑛−1)) = (- ∞; −𝑡0,05 ) = (- ∞; −1,645) Giá trị quan sát mẫu cho là: 𝑡𝑞𝑠 = (𝑥 −𝜇0 ).√𝑛 𝑠 = (30,2−31).√50 1,1429 = -4,9496 → tqs ∈ Wα: bác bỏ H0, chấp nhận H1 Vậy, với mức ý nghĩa 5%, cho công nghệ làm giảm mức dùng nguyên li ệu c Gọi no kích thước m ẫu cần điều tra Độ xác m ức dùng nguyên liệu trung bình sản phẩm là: 10 000 000 = 600.50 000 𝑠0 (𝑛−1) 𝑡𝛼 ε0 = (*) √𝑛0 ε 0= Ta có: (g) Lấy s0 ≈ s = 1,1429 29 α Độ tin cậy 99% → 1-α = 0,99 → α = 0,01 → = 0,005 (𝑛−1) → 𝑡𝛼 (*) → = 1,1429 2,5758 √𝑛0 ≈ 𝑢𝛼 = 𝑢0,005=2,5758  n0 ≈ 77, 99796 Chọn n0 = 78 Vậy cần lấy mẫu có kích thước 78 d Gọi p tỷ l ệ số sản phẩm có mức dùng nguyên liệu 30g/sản phẩm toàn nhà máy M f tỷ lệ số sản phẩm có m ức dùng nguyên li ệu 30g/sản phẩm mẫu điều tra → f = 11+8 = 50 0,38 n f = 50.0,38 = 19 ≥ 10 Ta có: { (t/m điều kiện mẫu lớn) n (1 − f) = 50.0,62 = 31 ≥ 10 → Công thức ước lượng p là: f-√ 𝑓.(1−𝑓) 𝑢𝛼 𝑛