Mã constacyclic và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN HỌC BÁO CÁO KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2020 – 2021 Tên đề tài: MÃ CONSTACYCLIC VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: HỒ THỊ HOÀNG HUY – 17ST Ngƣời hƣớng dẫn: PGS TS TRƢƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, tháng 01 năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN HỌC BÁO CÁO KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2020 – 2021 Tên đề tài: MÃ CONSTACYCLIC VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: HỒ THỊ HOÀNG HUY – 17ST Ngƣời hƣớng dẫn: PGS TS TRƢƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, tháng 01 năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Đề tài khóa luận tốt nghiệp đƣợc hồn thành trƣờng Đại học Sƣ phạm Đà Nẵng, dƣới hƣớng dẫn PGS TS Trƣơng Công Quỳnh Tôi xin cam đoan cơng trình riêng tơi Các kết đƣợc viết chung với tác giả khác đƣợc trí đồng tác giả đƣa vào đề tài Sinh viên Hồ Thị Hoàng Huy LỜI CẢM ƠN Đề tài khóa luận tốt nghiệp đƣợc hoàn thành trƣờng Đại học Sƣ phạm Đại học Đà Nẵng, dƣới hƣớng dẫn khoa học PGS TS Trƣơng Công Quỳnh Trƣớc hết, xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ngƣời thầy PGS TS Trƣơng Cơng Quỳnh, ngƣời đặt tốn định hƣớng nghiên cứu cho tơi Thầy tận tình bảo tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành đề tài Cảm ơn thầy chia sẻ, động viên q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Toán học trƣờng Đại học Sƣ phạm Đà Nẵng tạo điều kiện để tơi hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình ngƣời bạn thân thiết chia sẻ, giúp đỡ, động viên q trình thực đề tài Hồ Thị Hồng Huy MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .1 CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức vành trƣờng 1.2 Một số kiến thức mã tuyến tính 11 CHƢƠNG 16 MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP CÓ ĐỘ DÀI 16 2.1 Mã constacyclic mã đối ngẫu chúng 16 2.2 Tất mã constacyclic có độ dài 2.3 Kết luận chƣơng 27 19 CHƢƠNG 29 NHỮNG MÃ CONSTACYCLIC TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN 29 3.1 Một số kết liên quan 29 3.2 Thuộc tính cấu trúc mã 3.3 Mã đối ngẫu mã 3.4 Kết luận chƣơng 45 – constacyclic 34 – constacyclic .39 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 46 Kết luận chung 46 Kiến nghị 46 Tài liệu tham khảo 47 DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 1: Mã có độ dài Bảng 2: Mã có độ dài 18 với Bảng 3: Mã có độ dài 18 với Bảng 4: Mã có độ dài 250 với Bảng 5: Mã có độ dài 250 với 23 , có nghĩa , nghĩa , nghĩa 23 25 25 .27 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƢỜNG DÙNG TRONG BÁO CÁO Ý nghĩa Kí hiệu Linh hóa tử tập hợp Mã đối ngẫu mã Đa thức đảo | | Số phần tử tập hợp 〈 〉 Iđêan sinh phần tử Tổ hợp chập phần tử Ƣớc chung lớn ( ) LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mã xuất lần đầu vào năm 1948 công trình C E Shannon lý thuyết tốn học cho lĩnh vực truyền thơng Từ đến nay, lý thuyết góp phần quan trọng vấn đề thông tin liên lạc kỹ thuật Nó đƣợc ứng dụng nhiều thơng tin điện tử, thu phát thanh,… Đầu tiên, lý thuyết mã đƣợc nghiên cứu trƣờng hữu hạn Sau đó, nhà toán học mở rộng nghiên cứu mã vành hữu hạn Trong lý thuyết mã, lớp mã constacyclic đóng vai trị quan trọng Trong có hai loại mã đƣợc quan tâm mã cyclic mã negacyclic Mã cyclic đóng vai trị lớp mã quan trọng mã Mã cyclic trƣờng hữu hạn đƣợc tập trung nghiên cứu từ cuối năm 1950 Kể từ năm 1990, có nhiều nghiên cứu mã [24] Năm 2007, D Q Hai xây dựng cơng thức tính khoảng cách tất mã negacyclic độ dài có độ dài trên vành Galois Đồng thời làm việc với mã negacyclic (với ) mà cấu trúc mã lặp nhị phân cyclic trƣờng hợp đặc biệt [7] Với số nguyên tố lẻ, ông nghiên cứu mã cyclic negacyclic có độ dài mở rộng đến tất mã có độ dài Tuân theo dịng nghiên cứu, đề tài khóa luận tốt nghiệp tơi định vị mã constacyclic nghiệm lặp có độ dài trƣờng hữu hạn mã constacyclic vành chuỗi hữu hạn Với mục đích nghiên cứu mã constacyclic có độ dài trƣờng hữu hạn mã constacyclic vành chuỗi hữu hạn, lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Mã constacyclic ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Đề tài đƣợc nghiên cứu với mục đích: - Đƣa cấu trúc đại số theo thuật ngữ đƣợc sinh đa thức tất mã có độ dài trƣờng hữu hạn (ví dụ nhƣ mã ) ứng dụng chúng Đặc biệt, cịn liệt kê tất có độ dài mã (tức iđêan vành , kích thƣớc đối ngẫu chúng) - Đƣa thuộc tính cấu trúc mã – constacyclic có độ dài tùy ý , cung cấp mã tự đối ngẫu vành chuỗi hữu hạn với vành Galois Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài khóa luận tốt nghiệp thuộc lĩnh vực khoa học ngành tốn học Do đó, tơi chủ yếu sử dụng phƣơng pháp suy luận logic sở kết biết trƣớc Bƣớc đầu, tơi nghiên cứu tài liệu chuyên môn với số báo lĩnh vực nghiên cứu Sau đó, tơi sử dụng phƣơng pháp khái quát hóa, so sánh, phân loại để đề xuất vấn đề nghiên cứu đề tài khóa luận tốt nghiệp Đối tƣợng nghiên cứu - Mã constacyclic mã đối ngẫu chúng - Tất mã constacyclic có độ dài - Cấu trúc mã - Mã đối ngẫu mã – constacyclic – constacyclic Phạm vi nghiên cứu có độ dài Tôi nghiên cứu cấu trúc mã với λ phần tử khả nghịch loại loại hạn Tôi nghiên cứu mã negacyclic có độ dài mã tự đối ngẫu negacyclic có độ dài Tơi nghiên cứu cấu trúc mã Ý nghĩa khoa học thực tiễn liệt kê tất – constacyclic cố độ dài Tôi nghiên cứu mã tự đối ngẫu mã hữu hạn trƣờng hữu – constacyclic vành chuỗi Trong năm trở lại đây, lĩnh vực thông tin điện tử phát triển cách nhanh chóng khơng ngừng Cho nên, nghiên cứu vấn đề đem lại ứng dụng cho lĩnh vực có ý nghĩa đáng Đề tài khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu trƣờng cấu trúc mã nghịch loại – constacyclic có độ dài loại 1, cấu trúc mã thu đƣợc số kết với phần tử khả – constacyclic cố độ dài Đề tài đạt đƣợc số kết mã constacyclic vành chuỗi giao hốn hữu hạn, có kết nhà tốn học khác nhƣ D Q Hai, Y Cao… Đề tài khóa luận tốt nghiệp làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, ngƣời quan tâm nghiên cứu Tổng quan cấu trúc khóa luận 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến khóa luận Trong lý thuyết mã, lớp mã constacyclic đóng vai trị quan trọng Trong có hai loại mã đƣợc quan tâm mã cyclic mã negacyclic Các mã cyclic đƣợc mã hóa cách hữu hiệu việc sử dụng cách ghi luân phiên, điều giải thích vai trị tích cực chúng cơng nghệ Bên cạnh đó, hầu hết nghiên cứu tập trung trƣờng hợp độ dài n mã có liên quan đến đặc số p trƣờng có độ dài n iđêan ⟨f(x)⟩ Trong trƣờng hợp đó, cho mã [ ] vành thƣơng 〈 , với 〉 số p trƣờng ƣớc Nếu độ dài n mã chia hết cho đặc mã đƣợc gọi mã nghiệm lặp Ngƣợc lại, mã đƣợc gọi mã nghiệm đơn Đó nghiên cứu từ năm 1967 S D Berman [2] Những năm sau, mã nghiệm lặp đƣợc nghiên cứu cách tổng quát nhiều nhà toán học khác nhƣ J L Massey [20], Falkner [14], R M Roth G Seoussi [26]… Vì thế, việc tìm thêm tính chất thú vị khác mã cyclic nghiệm lặp điều khả thi động lực thúc đẩy nhà toán học khác nghiên cứu nhiều vấn đề Cho bảng chữ gồm q ký tự Một tập C mã có độ dài n đƣợc gọi Mỗi phần tử c thuộc C đƣợc gọi từ mã mã C Các nhà toán học trang bị cấu trúc đại số cho tập Bƣớc đầu, họ xét 35 đồng cấu vành tồn ánh từ [ ] 〈 Khi [ ] 〈 〉 lên vành 〉 Chứng minh Cho Vì thừa số [ ] 〈 Trong vành [ ], có 〉, từ , , suy ( 〈 [ ] 〈 (4) [ ] 〈 [ ], xác định Với ( ) 〉) Do [ ], nên 〉 với [ ] đến đồng cấu vành từ 〉 [ ] 〉 Hơn nữa, từ phƣơng trình (4) kết luận 〈 Do đồng cấu vành từ [ ] 〈 〉 đến [ ] 〈 〉 tuân theo từ chứng minh Định lý 3.2.2 Thuộc tính tồn ánh 3.2.2 Định lý Trong biểu diễn Bổ đề 3.2.1, xác định ( ( ) [ ] 〈 tiếp vành đích ( ) 〉 Khi [ ] 〈 ( )) ( ) đẳng cấu vành từ [ ] 〈 [ ] 〈 〉 〉 vào trực 〉 Chứng minh Từ chứng minh Bổ đề 3.2.1 suy [ ] 〈 〉 đến [ ] 〈 [ ] 〈 〉 [ ] Khi tồn ma trận ( ( cho [ ] 〈 đồng cấu vành từ 〉 Bây giờ, cho ) với ) Với , từ 〉 tính tốn ma trận suy ( ( ) ) , 36 ( ) ( Trong [ ] 〈 ( ) , ) ma trận khả nghịch qua vành 〉 Bây giờ, cho nghiệm phƣơng trình vài vành mở rộng Khi theo kéo theo { } [ ] 〈 , - 〉, kéo theo ( quát hóa tự đẳng cấu Frobenius giả sử ) với ma trận ) ( ) đƣợc tổng , với Chúng ta ( ) Vì 〉, có ( Do đó, Vì , với với [ ] 〈 nghịch có Khi có với ( Bổ đề 3.1.3 (ii) Khi với Cho ) , ma trận khả nhƣ , suy ∑ đơn ánh Hơn nữa, với , Định lí 3.1.4 ta có | [ ] 〈 Do [ ] 〈 〉 〉| song ánh Vì vậy, tồn ánh với cố định, có Với | [ ] 〈 ∏ ( 〉| ) theo Bổ đề 3.1.2 (iii) Dƣới đây, kí hiệu [ ] 〈 〉, [ ] 〈 〉 Khi theo Định lý 3.2.2 suy với 3.2.3 Bổ đề Cho (i) ( Trong trình bày Bổ đề 3.2.1 có ) đơn vị vành (ii) 〈 ( (iii) Với )〉 〈 〉 iđêan , với , 37 〉 (〈 Trong 〈 〈 〉 〉 〈 ) 〉 iđêan iđêan tạo ( tạo ) Chứng minh nghiệm phƣơng trình Cho mở rộng { Khi từ } Bổ đề 3.1.3 (ii) có , (i) Từ ∏ ( - Chúng ta giả sử ( ∏ với ∏ ) ) Nếu theo Định lý 3.1.4, phần tử lũy linh ) đơn vị vành )] đơn vị lũy linh Do Do với suy [ ] theo ∏ ) )〉 ( [∏ , với theo (i) Do 〈 ( 〈 ) ( minh (ii) theo )] 〉 iđêan 〉 〈 〉 (〈 〉 ) 〈 ( Với , có nghĩa đồng cấu vành tồn ánh từ (iii) Vì 〈 ( Ngƣợc lại có ) đơn vị ( [ , chúng có (ii) Từ ∏ theo thấy ( , với ), suy ) Vì ( ( ( , với của phần tử đơn vị vành lên )〉 đơn vị , theo phép chứng 〈[ ( )] 〉 38 Định lý 3.2.4 (i) – constacyclic phân biệt có độ dài Tất mã 〈 〉 Do số lượng mã (ii) cho , , – constacyclic có độ dài vành (iii) Theo biểu diễn phần (i), có | ∑ | ( ) Chứng minh , theo Định lý 3.1.4 tất iđêan phân biệt vành (i) Với đƣợc cho 〈 〉 Khi từ , suy số lƣợng iđêan vành Với 〈 〉 , ký hiệu 〈 〉 Với , từ Bổ đề 3.2.3 suy ] [ 〈[ ] [ 〈 Tƣơng tự, ta có , 〈 〉 ] 〉 〉 〈 〉 với 〈 〉 Bây giờ, kéo theo , với Nhƣ nêu 〈 〉 phân biệt trên, , với kết luận , tất iđêan (ii) Điều đƣợc suy từ (i) (iii) Theo Định lý 3.2.2 phép chứng minh (i), ta có 〈 〉 〈 〉 39 Khi theo Định lý 3.1.4 (iv) suy | 〉 ( ∏ | ∑ ) ( Mã đối ngẫu mã 3.3 ) ∏ | |〈 – constacyclic Trong phần này, xem xét mã đối ngẫu mã constacyclic có độ dài – không đổi Từ [11, Proposition cho 3.1.4] suy Bổ đề Mã đối ngẫu mã 3.3.1 – constacyclic có độ dài – constacyclic có độ dài mã iđêan vành [ ] 〈 Nói cách khác, đối ngẫu [ ] 〈 〉 iđêan vành 〉 đa thức tối giản Theo trình bày phần 2, cho có phần tử cho Khi với , [ ] 〈 Rõ ràng [ ] 〈 〉 [ 〉 ] [ ] Theo dƣới đây, chúng biểu thị ̂ [ ] 〈 ̂ 〉, [ ] 〈 〉, , Vì 3.2.2 ta có ̂ ̂ ̂ , theo Định lý Từ điều chứng minh tƣơng tự Bổ đề 3.2.3 Định lý 3.2.4, suy luận 3.3.2 Hệ (i) – constacyclic phân biệt có độ dài Tất mã cho ̂ 〈 Do số lượng mã 〉̂ , – constacyclic có độ dài , 40 (ii) ̂ vành (iii) Theo biểu diễn (i), có | ̂ Đối với mã đối ngẫu mã ∑ | ( – constacyclic có độ dài ) , có 3.3.3 Định lý Theo biểu diễn Định lý 3.2.4 Hệ 3.3.2, có ̂( ), , Chứng minh Theo Định lý 3.2.4 iđêan sinh Khi Cho iđêan ̂ xác định theo ] [ ] [ ] ) và Tƣơng ứng, ( ) Bây giờ, phép chia Euclidean [ ̂( ( 〈 ) Rõ ràng 〉 ( ) , hay Theo , từ Định lý 3.1.4 phép chứng minh Bổ đề 3.2.3 (ii) suy ( ) ( , kéo theo ) ( ) vành đẳng cấu từ ( ( ( ( )) [ ] Do ( , có nghĩa [ ( ( ) )][ [ ] Từ điều suy 〈⃖ 〉̂ Vì theo Định lý 3.2.2, chúng )] ) với vào ta kết luận ) trong ⃖ ( ) ̂ 41 ( Hơn nữa, ( ( ) ) ( không, cho ⃖ Vì 〉̂ * ( ) ( ( )+ ( ) đơn ⃖ ̂ Nếu ̂ , suy ( ) vị ̂ /1 ̂ , ̂( 〉̂ ) Từ ( ) 〈 , ⃖ , có ) 〈⃖ ) ), có ̂ ( ) Khi | | ̂( | từ )| ∑ ( ) ∑ | | (theo Định lý 3.2.4 Hệ 3.3.2), kết luận ̂( ) Với mã constacyclic tự đối ngẫu vành chuỗi hữu hạn chúng có điều sau 3.3.4 Hệ Với số lẻ số nguyên dương , cho , đa thức bất khả quy đơn biến phân biệt trường với thỏa mãn , ; , Cho với Tất mã tự đối ngẫu (i) , Khi đó: – constacyclic có độ dài cho 〈 〉 , [ ] 〈 , 〉 , 42 (ii) Số lượng mã tự đối ngẫu – constacyclic có độ dài , 〈 〉 (iii) Nếu constacyclic có độ dài mã tự đối ngẫu – Chứng minh Rõ ràng dài Cho Theo Định lý 3.2.4 có giá trị ( ) gồm số nguyên 〈 – constacyclic có độ mã 〉 , , cho Từ điều theo Định lý 3.3.3 suy 〈 〉 〈 〉 Do đó, tự đối ngẫu { Điều tƣơng đƣơng với , , với , , mã tự đối ngẫu Nếu – constacyclic có độ dài đƣợc cho 〈( 〈 , với 〉 〈 〉 Nhận xét Khi chúng có độ dài , ) 〉 , mã Theorem 3.4 Corollary 3.5 [19]) 〈 〉 – constacyclic mã đối ngẫu đƣợc khảo sát (xem Theorem 3.3, 43 vành Galois đặc trƣng Cho , và với số Rõ ràng Khi theo Định lý 3.3.3 suy điều sau 3.3.5 Hệ Cho , lẻ Chúng ta giả sử , đa thức bất khả quy đơn biến đôi nguyên tố với thỏa mãn , ; , Cho với , và với số Khi đó: (i) , Tất mã tự đối ngẫu mã – constacyclic độ dài cho 〈 〉, , iđêan [ ] 〈 , (ii) Số lượng mã tự đối ngẫu mã Đặc biệt, 〈 là chẵn ngẫu mã – constacyclic độ dài 〉 mã tự đối ngẫu mã – constacyclic độ dài (iii) Nếu 〉 ,〈 〉 ( [ ] 〈 – constacyclic độ dài 〉) mã tự đối Chứng minh Chúng ta cần chứng minh kết luận (iii) Cho mã tự đối ngẫu mã Bổ đề 3.2.3 (ii) Định lý 3.1.4 (ii) ta có Khi 〈 – constacyclic độ dài 〉 Theo 44 〈 〉 〉 [ ] 〈 iđêan 〈 ] 〈[ + 〉 〉 sinh ( [ ] 〈 〉 〈* Nhận xét Đặt 〉 [ ] 〈 〉 Do đó, , với 〉) Hệ 3.3.5 Ngƣời ta thu đƣợc kết cho mã negacyclic có độ dài tùy ý vành Galois Với trƣờng hợp đặc biệt có , nghĩa là, , theo Định lý 3.1.4 (ii) với số phần tử khả nghịch * 〈 + Vì [ ] 〈 phần tử khả nghịch 〉 [ ] 〈 vành 〉, kéo theo 〈 〈 〉, có [ ] 〈 〉 Khi kết mã negacyclic có độ dài 〉, đƣợc suy từ Hệ 3.1.5 Hệ 3.3.5 (xem thêm [8, Proposition 3.2, Proposition 3.3, Theorem 3.4, Theorem 3.6, Corollary 3.7]) 3.3.6 Ví dụ Xem xét mã – constacyclic có độ dài [ ] Đầu tiên, chúng , ta có , , đa thức bất khả quy đơn biến đôi nguyên tố [ ] thỏa mãn , , Theo Định lý 3.3.5 ta có: (i) Có mã nghĩa iđêan vành (ii) constacyclic có độ dài [ ] 〈 – constacyclic có độ dài 〉 〈 〈 〉 phân biệt , 〉, mã – 45 (iii) 〈 mã tự đối ngẫu mã Có 〉, – constacyclic có độ dài : Kết luận chƣơng 3.4 Trong chƣơng này, tơi trình bày tổng quan số kết sau: - Đƣa thuộc tính cấu trúc mã – constacyclic có độ dài tùy ý - Cung cấp mã tự đối ngẫu vành chuỗi hữu hạn Galois với vành - Khoảng cách Hamming mã chủ đề thú vị tƣơng lai – constacyclic vành chuỗi hữu hạn 46 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung trƣờng hữu hạn, cụ thể mã constacyclic Bài nghiên cứu mã nghiệm lặp có độ dài trƣờng mã đối ngẫu , mã chúng vành chuỗi hữu hạn Các kết đạt đƣợc đề tài khóa luận tốt nghiệp tổng quan kết sau: Chỉ tính chất trƣờng , phân loại phần tử khả nghịch nó; Mơ tả cấu trúc mã ; Tính tốn đại lƣợng nhƣ số lƣợng từ mã, mã đối ngẫu điều kiện để tồn mã tự đối ngẫu, công thức xác định khoảng cách Hamming Chỉ cấu trúc mã mô tả mã đối ngẫu độ dài , đồng thời tính tốn số từ mã , mã đối ngẫu Chỉ ta thuộc tính cấu trúc mã vành chuỗi hữu hạn Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: độ dài Nghiên cứu mã trƣờng mã có độ dài trƣờng hữu hạn, cụ thể trƣờng Tiếp tục tính chất mã constacyclic tính tốn đại lƣợng liên quan nhƣ khoảng cách Hamming, lƣợng Hamming Tiếp tục nghiên cứu điều kiện để mã tuyến tính mã constacyclic nghiệm bội 47 Tài liệu tham khảo [1] M.C.V Amarra, F.R Nemenzo, On (1 − u)-cyclic codes over F pk + uF pk , Appl Math Lett 21 (2008) 1129–1133 [2] S D Berman (1967), Semisimple cyclic and Abelian codes II, Kibernetika (Kiev) 3, 21-30 (Russian) English translation: Cybernetics 3, 17-23 [3] T Blackford, Negacyclic codes over Z4 of even length, IEEE Trans Inform Theory 49 (2003) 1417–1424 [4] T Blackford, Cyclic codes over Z4 of oddly even length, in: International Workshop on Coding and Cryptography, WCC 2001, Discrete Appl Math 128 (2003) 27–46 [5] A.R Calderbank, N.J.A Sloane, Modular and p-adic codes, Des Codes Cryptogr (1995) 21–35 [6] H.Q Dinh, Negacyclic codes of length 2s over Galois rings, IEEE Trans Inform Theory 51 (2005) 4252–4262 [7] H Q Dinh (2007), Complete distances of all negacyclic codes of length over , IEEE Trans Inform Theory 53, 147-161 [8] H.Q Dinh, On the linear ordering of some classes of negacyclic and cyclic codes and their distance distributions, Finite Fields Appl 14 (2008) 22–40 [9] H.Q Dinh, Constacyclic codes of length 2s over Galois extension rings of F2 + uF2 , IEEE Trans Inform Theory 55 (2009) 1730–1740 [10] H Q Dinh (2009), On linear codes over finite rings and modules, East West J of Mathematics, Vol.11, No 1, - 149 [11] H.Q Dinh, Constacyclic codes of length ps over Fpm + uF pm , J Algebra 324 (2010) 940–950 [12] H.Q Dinh, S.R López-Permouth, Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings, IEEE Trans Inform Theory 50 (2004) 1728–1744 [13] H.Q Dinh, Repeate-root constacyclic codes of length Applications 18 (2012) 133-143 , Finite Fields and Their 48 [14] G Falkner, B Kowol, W Heise, E Zehendner (1979), On the existence of cyclic optimal codes, Atti Sem Mat Fis Univ Modena 28, 326-341 [15] W.C Huffman, V Pless, Fundamentals of Error - Correcting Codes, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [16] S Jiman, P Udomkavanich, The Gray image of codes over finite chain rings, Int J Contemp Math Sci (2010) 449–458 [17] X Kai, S Zhu, P Li, (1 + λu)-constacyclic codes over F p [u]/ um , J Franklin Inst 347 (2010) 751–762 [18] X Kai, S Zhu, Negacyclic self-dual codes over finite chain rings, Des Codes Cryptogr 62 (2012) 161–174 [19] P Kanwar, S.R López-Permouth, Cyclic codes over the integers modulo pm , Finite Fields Appl (1997) 334–352 [20] J L Massey, D J Costello and J Justesen (1973), Polynomial weights and code constructions, IEEE Trans Information Theory 19, 101-110 [21] B R McDonald (1974), Finite rings with identity, Pure and Ap- plied Mathematics, Vol 28, Marcel Dekker, New York [22] F.J MacWilliams, N.J.A Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, 10th impression, North-Holland, Amsterdam, 1998 [23] A.A Nechaev, Kerdock code in a cyclic form, Diskr Math (USSR) (1989) 123–139 (in Russian); English translation in: Discrete Math Appl (1991) 365–384 [24] V Pless and W C Huffman (1998), "Handbook of coding theory", Elsevier, Amsterdam [25] J.F Qian, L.N Zhang, S.-X Zhu, (1 + u)-constacyclic and cyclic codes over F + uF , Appl Math Lett 19 (2006) 820–823 [26] R M Roth and G Seroussi (1986), On cyclic MDS codes of length q over GF(q), IEEE Trans Inform Theory 32, 284-285 [29] L Rudolf, N Harald and P M Cohn (2003), Finite fields, Ency- clopedia of mathematics and its applications, Cambridge university press [28] A Sa˘la˘gean, Repeated-root cyclic and negacyclic codes over finite chain rings, 49 Discrete Appl Math 154 (2006) 413–419 [29] H Tapia-Recillas, G Vega, Some constacyclic codes over Z 2k and binary quasi-cyclic codes, Discrete Appl Math 128 (2003) 305-316 [30] Yonglin Cao, On constacylic codes over finite chain rings, Finite Fields and Their Applications 24 (2013) 124-135 ... 1.2.1 vành giao hoán hữu hạn (i) Tập vành đƣợc gọi mã có độ dài (ii) Tập vành đƣợc gọi mã tuyến tính có độ dài mơđun – môđun vành vành Mỗi phần tử đƣợc gọi từ mã mã Định nghĩa Cho vành 1.2.2... [22]) 2.1.1 Mệnh đề Mã tuyến tính có độ dài iđêan vành thương chính, iđêan tạo mã [ ] 〈 〉 Hơn nữa, [ ] 〈 vành iđêan 〉 Mã đối ngẫu mã cyclic mã cyclic, mã đối ngẫu mã negacyclic mã negacyclic Nhìn... có độ dài 〈 [ ] 〉 〈 Mỗi mã 〈 〉 chứa (ii) (m lẻ), mã Giả sử 〈 từ mã [ ] 〉 〈 〉 Mỗi mã 〈 〉 〉 chứa từ mã Mã Θ -constacyclic có độ dài (iii) 〈 〉 Mỗi mã 〈 [ ] 〈 〉 chứa 〉 từ mã Chứng minh Theo nhƣ phần