Tam thực bêc hai v phữỡng trẳnh bêc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các hệ số và a khác 0 Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, với x là ẩn và a, b, c là các hệ số, a khác 0 Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có dạng f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0, hoặc f(x) ≥ 0, trong đó f(x) là một tam thức bậc hai.

Nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc hai

X²t phữỡng trẳnh bêc hai f(x) =ax 2 +bx+c = 0 (1.1)

4a 2 °t ∆ = b 2 −4ac, khi õ ∆ ữủc gồi l biằt thực cừa phữỡng trẳnh Suy ra

• Náu ∆ < 0 thẳ phữỡng trẳnh (1.1) vổ nghiằm.

• Náu ∆ = 0 thẳ phữỡng trẳnh (1.1) cõ nghiằm k²p x = − b

• Náu ∆ > 0 thẳ phữỡng trẳnh (1.1) cõ hai nghiằm phƠn biằt x 1 = −b+√

• Náu b l số chđn, thẳ ta °t b = 2b 0 ,∆ 0 = b 02 −ac Khi õ, ∆ = 4∆ 0 v x 1 = −b 0 +√

• Náu ac < 0, thẳ ∆ > 0 Do õ, phữỡng trẳnh bêc hai luổn cõ hai nghiằm phƠn biằt.

B i toĂn 1.2.1 GiÊi phữỡng trẳnh bêc hai chựa tham số

Phữỡng phĂp: X²t cĂc trữớng hủp cừa hằ số a.

• Náu a = 0, thẳ tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc nhĐt bx+c = 0 ⇔x = −c b.

• Náu a 6= 0, thẳ tián h nh cĂc bữợc sau

Bữợc 2: X²t cĂc trữớng hủp cừa ∆ náu ∆ cõ chựa tham số.

Bữợc 3: Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh theo tham số õ.

Vẵ dử 1.2.1 GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh sau theo tham số m

(m −1)x 2 −2mx+m+ 2 = 0 (1.2) Lới giÊi Náu m−1 = 0 ⇔m = 1, thẳ (1.2) trð th nh

• Náu ∆ 0 < 0 ⇔ 2−m < 0 ⇔m > 2, thẳ phữỡng trẳnh (1.2) vổ nghiằm.

• Náu ∆ 0 = 0 ⇔ 2−m = 0 ⇔m = 2, thẳ phữỡng trẳnh (1.2) cõ nghiằm k²p x 1 = x 2 = 2.

• Náu ∆ 0 > 0 ⇔ 2 −m > 0 ⇔ m > 2, thẳ phữỡng trẳnh (1.2) cõ hai nghiằm phƠn biằt. x 1 = m+√

B i toĂn 1.2.2 Biằn luên theo tham số vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) =ax 2 +bx+c = 0.

♣ Trữớng hủp 1 Náu a = 0, thẳ bx+c = 0 Do õ,

• Náu b = 0 v c 6= 0, thẳ phữỡng trẳnh vổ nghiằm.

• Náu b = 0 v c = 0, thẳ phữỡng trẳnh cõ vổ số nghiằm.

• Náu b 6= 0, thẳ phữỡng trẳnh cõ mởt nghiằm duy nhĐt x = −c b.

• f(x) = 0 vổ nghiằm khi v ch¿ khi ∆ < 0.

• f(x) = 0 cõ nghiằm khi v ch¿ khi ∆ ≥ 0.

• f(x) = 0 cõ hai nghiằm phƠn biằt khi v ch¿ khi ∆ > 0.

• f(x) = 0 cõ nghiằm k²p khi v ch¿ khi ∆ = 0.

Vẵ dử 1.2.2 Cho phữỡng trẳnh mx 2 + (2m+ 3)x+m+ 5 = 0 (1.3) Tẳm cĂc giĂ trà cừa m º phữỡng trẳnh (1.3) thọa mÂn

3 Cõ hai nghiằm phƠn biằt.

Trữớng hủp 1 Náu m = 0, thẳ ta cõ

Do õ, phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt.

Trữớng hủp 2 Náu m 6= 0, thẳ ta cõ

8. (1.3) cõ hai nghiằm phƠn biằt ⇔ ∆ 0 > 0 ⇔ m < 9

• (1.3) cõ hai nghiằm phƠn biằt ⇔ m 6= 0 v m < 9

Vẵ dử 1.2.3 Chựng minh rơng phữỡng trẳnh

(x+ 1)(x+ 3) +m(x+ 2)(x+ 4) = 0 (1.4) luổn cõ nghiằm thỹc vợi mồi m ∈ R.

• Trữớng hủp 1 Náu m = −1, thẳ phữỡng trẳnh (1.4) trð th nh

• Trữớng hủp 2 Náu mm 6= −1, thẳ phữỡng trẳnh (1.4) l phữỡng trẳnh bêc hai cõ biằt thực

Do õ, phữỡng trẳnh (1.4) cõ hai nghiằm phƠn biằt.

Nhữ vêy, phữỡng trẳnh  cho luổn cõ nghiằm vợi mồi m ∈ R 2

ành lẵ Vi±te

Náu phữỡng trẳnh bêc hai ax 2 +bx+c = 0 cõ nghiằm, thẳ nghiằm cừa phữỡng trẳnh luổn ữủc viát dữợi dÔng x 1 = −b+√

Do õ, ta cõ ành lẵ sau. ành lẵ 1.3.1 Náu x 1 , x 2 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc hai ax 2 +bx+c = 0, thẳ ta cõ

S = x 1 +x 2 = −b a , P = x 1 x 2 = c a. Nhên x²t 1.3.1 Náu phữỡng trẳnh bêc hai ax 2 +bx+c = 0 thọa mÂn

• a+b+c = 0, thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm l x 1 = 1 v x 2 = c a.

• a−b+c = 0, thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm l x1 = −1 v x2 = −c a

TrĂi lÔi, giÊ sỷ hai số cõ tờng b¯ng S v tẵch bơng P Náu ta gồi mởt số l x, thẳ số kia l S −x Theo giÊ thiát ta thu ữủc phữỡng trẳnh x(S −x) = P ⇔x 2 −Sx+P = 0.

Nhữ vêy, iãu kiằn º hai số trản tỗn tÔi l S 2 −4P ≥ 0 Nhớ õ, ta thu ữủc ành lẵ sau. ành lẵ 1.3.2 Náu hai số cõ tờng bơng S v cõ tẵch bơng P thọa mÂn

S 2 −4P ≥0, thẳ hai số õ l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnhx 2 −Sx+P = 0. Nhên x²t 1.3.2 iãu kiằn º phữỡng trẳnh bêc hai cõ

Vẵ dử 1.3.1 Cho phữỡng trẳnh x 2 −5x+m = 0 (1.5)

1 Náu phữỡng trẳnh cõ mởt nghiằm bơng 2, tẳm m v nghiằm cỏn lÔi;

2 Náu phữỡng trẳnh cõ hiằu cừa hai nghiằm bơng 7, tẳmm v hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh.

Lới giÊi 1 Thay x 1 = 2 v o phữỡng trẳnh (1.5) ta cõ

4−10 +m = 0, k²o theo m = 6 Theo ành lẵ Vi±te thẳ x 1 x 2 = m

2 Bði vẳ vai trỏ cừa x1 v x2 l nhữ nhau nản ta giÊ sỷ x1 > x2 Khi õ, theo b i ra x 1 −x 2 = 7 v theo ành lẵ Vi±te ta cõ x 1 +x 2 = 5, x 1 x 2 = m. GiÊi hằ phữỡng trẳnh

Do â x 1 = 6, x 2 = −1, m = −6 2 Vẵ dử 1.3.2 Gồi x 1 , x 2 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh

(m−1)x 2 −2mx+m−4 = 0 (1.6) Chựng minh rơng biºu thực A = 3(x 1 +x 2 ) + 2x 1 x 2 −8 khổng phử thuởc v o gi¡ trà cõa m.

Lới giÊi Phữỡng trẳnh (1.6) cõ 2 nghiằm x 1 , x 2 khi v ch¿ khi m−1 6= 0

Theo ành lẵ Vi±te ta cõ x 1 +x 2 = 2m m−1, x 1 x 2 = m−4 m−1, thay v o A ta câ

Ta thĐy rơng A = 0 vợi mồi m 6= 1 v m ≥ 5

4 Do õ, A khổng phử thuởc v o gi¡ trà cõa m 2

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách xác định điều kiện cho tham số trong phương trình bậc hai với hai nghiệm Sau đó, chúng ta sẽ rút gọn tham số theo từng nghiệm và tách biệt chúng Lưu ý rằng, việc xác định các giá trị có thể mở rộng biểu thức chứa nghiệm là rất quan trọng và không phụ thuộc vào tham số.

Vẵ dử 1.3.3 Cho phữỡng trẳnh x 2 −(2m+ 1)x+m 2 + 2 = 0 (1.8)Tẳm m º phữỡng trẳnh cõ 2 nghiằm x 1 , x 2 thọa mÂn hằ thực

Lới giÊi iãu kiằn º phữỡng trẳnh (1.8) cõ 2 nghiằm x 1 , x 2 l

Theo ành lẵ Vi±te ta cõ x1 +x2 = 2m+ 1, x1x2 =m 2 + 2.

Hỡn nỳa, tứ giÊ thiát 3x 1 x 2 −5(x 1 +x 2 ) + 7 = 0, ta suy ra

Vẵ dử 1.3.4 Gồi x1, x2 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh

2x 2 + 5x−6 = 0 (1.10) HÂy thiát lêp phữỡng trẳnh cõ cĂc nghiằm l y 1 = 1 x 1 + 1, y 2 = 1 x 2 + 1.

Lới giÊi Do x 1 , x 2 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.10) nản theo ành lẵ Vi±te ta câ x 1 +x 2 = −5

9. Nhữ vêy, y 1 , y 2 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh

Do õ, phữỡng trẳnh cƯn lêp l 9X 2 −X −2 = 0 2

ành lẵ vã dĐu cừa tam thực bêc hai

H ành lẵ thuên vã dĐu cừa tam thực bêc hai

Cho tam thực bêc hai f(x) = ax 2 +bx+c, vợi a 6= 0, ∆ =b 2 −4ac Khi õ,

• Náu ∆ < 0, thẳ af(x) > 0 vợi mồi x ∈ R.

• Náu ∆ > 0, thẳ tam thực cõ hai nghiằm x 1 < x 2 Ta cõ af(x) > 0 ⇔ x < x 1 x > x 2 af(x) < 0 ⇔x 1 < x < x 2 B£ng x²t d§u x −∞ x 1 x 2 +∞

∆ > 0 còng d§u a 0 tr¡i d§ua 0 còng d§ua

Vẵ dử 1.4.1 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh sau

Nhữ vêy, têp nghiằm cừa bĐt phữỡng trẳnh  cho l

Vẵ dử 1.4.2 Tẳm m º bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm mx 2 −(m + 1)x+ 2m > 0 (1.12) Lới giÊi Ta x²t hai trữớng hủp sau.

• Trữớng hủp 1 Náu m = 0, thẳ phữỡng trẳnh (1.12) trð th nh

• Trữớng hủp 2 Náu m 6= 0, thẳ vá trĂi cừa phữỡng trẳnh (1.12) l tam thực bêc hai cõ

Tứ bÊng x²t dĐu ta cõ

7 ta suy ra a < 0 v ∆ ≤ 0, k²o theo f(x) ≤ 0 vợi mồi x ∈ R Do õ, (1.12) vổ nghiằm.

7 < m < 0 ta suy ra a < 0 v ∆ > 0, suy ra (1.12) cõ têp nghiằm S = (x 1 , x 2 ).

7 ta suy ra a > 0 v ∆ > 0 Do õ, (1.12) cõ têp nghiằm S = (−∞, x 1 )∪(x2,+∞).

7 < m < +∞ta suy ra a > 0 v ∆ ≤ 0, k²o theof(x) > 0 vợi mồi x ∈ R Suy ra (1.12) cõ têp nghiằm S = R.

7 thẳ bĐt phữỡng trẳnh (1.12) cõ nghiằm 2

Chú ỵ 1.4.1 Ta cõ thº giÊi b i toĂn bơng cĂch tẳm iãu kiằn º bĐt phữỡng trẳnh vổ nghiằm, tực l tẳm iãu kiằn º mx 2 −(m+ 1)x+ 2m < 0 vợi mồi x∈ R.

H ành lẵ Êo vã dĐu cừa tam thực bêc hai

Cho tam thực bêc hai f(x) =ax 2 +bx+c v số thỹc α Khi õ,

• Náu af(α) < 0 thẳ f(x) cõ hai nghiằm phƠn biằt x 1 , x 2 thọa mÂn x 1 < α < x 2

• Náu af(α) > 0 thẳ f(x) vổ nghiằm ho°c cõ nghiằm x 1 ≤x 2 khi α ∈ (−∞, x 1 )∪(x 2 ,+∞).

Vẵ dử 1.4.3 Chựng minh phữỡng trẳnh sau luổn cõ nghiằm vợi mồiα ∈ R. f(x) = (5α 4 + 3)x 2 −(α 8 + 6α 4 −3)x+α 8 −4α 4 −9 = 0 (1.13)

Lới giÊi Ta thĐy 5α 4 + 3 > 0 nản (1.13) l tam thực bêc hai X²t x = 1, ta suy ra vợi mồi α ∈ R, ta cõ f(1) = (5α 4 + 3)−(α 8 + 6α 4 −3) +α 8 −4α 4 −9 = −5α 4 −3 < 0. Suy ra af(1) = (5α 4 + 3)(−5α 4 −3) = −(5α 4 + 3) 2 < 0.

Nhữ vêy, theo ành lẵ Êo vã dĐu cừa tam thực bêc hai ta suy ra phữỡng trẳnh f(x) = 0 luổn cõ hai nghiằm x1, x2 v x1 < 1 < x2 2

Bài toán chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm thường được giải quyết bằng cách tính Δ và chứng minh Δ ≥ 0 Tuy nhiên, khi các hệ số của x phức tạp, việc tính toán và chứng minh Δ ≥ 0 sẽ trở nên khó khăn Do đó, áp dụng định lý về độ bền của tam thức bậc hai là cần thiết trong những bài toán như vậy Để xác định các hệ số của x², cần chọn α sao cho f(α) < 0 thỏa mãn yêu cầu Tuy nhiên, đối với bài toán mà hệ số của x² không xác định đủ, cần chứng minh m không phụ thuộc vào hệ số của x² bằng cách áp dụng các quy tắc rút ra từ định lý đó.

Hằ quÊ 1.4.1 Cho tam thực bêc hai f(x) = ax 2 +bx+c v số thỹc α, β

(α < β) Khi õ, f(α)f(β) < 0 khi v ch¿ khi f(x) cõ hai nghiằm phƠn biằt x 1 < x 2 v cõ duy nhĐt mởt nghiằm nơm trong khoÊng (α, β).

Vẵ dử 1.4.4 Chựng minh rơng phữỡng trẳnh sau luổn cõ nghiằm vợi mồi sè thüc α, β. f(x) = 2x 2 −2(α−β)x−αβ = 0 (1.14)

Ta thĐy f(α − β)f(α) = −αβ.αβ = −(αβ) 2 ≤ 0 vợi mồi α, β ∈ R. Nhữ vêy, phữỡng trẳnh (1.14) luổn cõ nghiằm vợi mồi α, β ∈ R 2

Nhên x²t 1.4.2 Náu f(α)f(β) = 0, thẳα ho°c β l nghiằm Khi õ, náu α, β l hai số thọa mÂn f(α)f(β) ≤0, thẳ cõ thº kát luên ngay rơng f(x) luổn cõ nghiằm.

Khi áp dụng các tham số trong quá trình tính toán f(α), việc lựa chọn tham số phù hợp rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác Những tham số này thường có ảnh hưởng lớn đến kết quả cuối cùng, vì vậy cần phải xem xét kỹ lưỡng để tối ưu hóa hiệu suất.

Tứ ành lẵ Êo vã dĐu cừa tam thực bêc hai, chúng ta có thể rút ra quy tắc so sánh nhằm của tam thực bêc hai với các số thực như sau:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có hai nghiệm thực x₁ và x₂, với tổng S = x₁ + x₂ Để so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số thực, trước hết ta cần tính các yếu tố như delta (∆), af(α), af(β), và tổng S.

So sĂnh nghiằm cừa tam thực bêc hai ối vợi mởt số

So sĂnh nghiằm cừa tam thực bêc hai ối vợi hai số

Chú ỵ 1.4.2 ối vợi b i toĂn m hằ số a cõ chựa tham số, ta cƯn x²t riảng trữớng hủp suy bián a = 0.

Vẵ dử 1.4.5 Tẳm m º hằ phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm

Lới giÊi º ỡn giÊn b i toĂn, chúng ta dũng phữỡng phĂp giĂn tiáp, cử thº l tẳm m º hằ (1.15) vổ nghiằm.

BƠy giớ, x²t phữỡng trẳnh 2x 2 + 6mx−3 = 0, ta cõ

Do õ, tam thực luổn cõ hai nghiằm phƠn biằt x 1 < x 2 Theo hằ thực Vi±te ta câ x 1 x 2 = −3

2, k²o theo x 1 v x 2 trĂi dĐu Tứ õ suy ra hằ (1.15) vổ nghiằm khi x 1 , x 2 thọa mÂn iãu kiằn x 1 < −2 < 2 < x 2 ⇔

12. Nhữ vêy, hằ (1.15) cõ nghiằm khi m ∈

Vẵ dử 1.4.6 Cho phữỡng trẳnh

(m−1)x 2 −2(m + 1)x−3(m−2) = 0 (1.16) HÂy tẳm cĂc giĂ trà cừa m sao cho

1 Phữỡng trẳnh cõ úng mởt nghiằm thuởc khoÊng (−1,1);

2 Náu phữỡng trẳnh cõ nghiằm thẳ nghiằm lợn cừa phữỡng trẳnh thuởc kho£ng (−2,1).

Lới giÊi 1 Ta x²t hai trữớng hủp sau.

• Náu m 6= 1, thẳ iãu kiằn l (1.16) cõ nghiằm k²p thuởc khoÊng(−1,1)ho°c (1.16) cõ hai nghiằm phƠn biằt trong õ cõ mởt nghiằm khoÊng(−1,1).

◦ Trữớng hủp 1: (1.16) cõ nghiằm k²p thuởc (−1,1), nghắa l

◦Trữớng hủp 2: (1.16) cõ hai nghiằm phƠn biằt, trong õ cõ mởt nghiằm thuởc khoÊng (−1,1) iãu n y tữỡng ữỡng vợi f(−1)f(1) ≤ 0 ⇔ 7(−4m+ 3) ≤ 0 ⇔m ≥ 3

4 ta ữủc x 2 + 14x−15 = 0 ⇔ x = 1 x = −15, khổng thọa mÂn iãu kiằn ã b i.

2 º nghiằm cừa phữỡng trẳnh thuởc khoÊng (−2,1), iãu kiằn l x1 ≤ −2 < x2 < 1, tữỡng ữỡng vợi

ỗ thà cừa tam thực bêc hai

Cho tam thực bêc hai f(x) = ax 2 +bx + c Khi õ, ỗ thà cừa f(x) ữủc chia th nh cĂc trữớng hủp sau.

Sỷ dửng tam thực bêc hai trong viằc giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh

Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các dòng toán và ứng dụng thực tế liên quan đến việc giải bài toán phương trình, đặc biệt là phương trình trong khuôn khổ của giáo dục phổ thông Hơn nữa, mỗi dòng toán đều được chúng tôi cho những ví dụ minh họa cụ thể Nội dung của bài viết được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6].

DĐu cừa tam thực bêc hai trản mởt miãn v b i toĂn biằn luên bĐt phữỡng trẳnh

v b i toĂn biằn luên bĐt phữỡng trẳnh

Đu cừa tam thực bêc hai là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt liên quan đến các bài toán có tham số Dưới đây là các dạng toán thường gặp liên quan đến đu cừa tam thực bêc hai, giúp người học nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả trong giải quyết bài toán.

DÔng 1 Cho tam thực bêc hai f(x) = ax 2 +bx+c HÂy tẳm iãu kiằn º f(x) > 0 (ho°c f(x)< 0) vợi mồi x.

DÔng 2 Cho tam thực bêc hai f(x) = ax 2 +bx+c HÂy tẳm iãu kiằn º f(x) > 0 (ho°c f(x)< 0) vợi mồi x > α.

• Náu a > 0, thẳ f(x) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm lản trản Do õ, f(x) > 0 vợi mồi x ∈ (α,+∞) ⇔

Khi hàm số f(x) có hệ số a < 0, đồ thị của nó sẽ là một parabol quay lóm xuống dưới Điều này dẫn đến kết quả f(x) > 0 khi và chỉ khi x nằm trong khoảng (x1, x2), trong đó x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt Do đó, không thể xảy ra f(x) > 0 với mọi x ∈ (α, +∞) Ví dụ, xét phương trình f(x) = (a−1)x^2 + (2a+3)x + a−3 > 0, chúng ta cần tìm điều kiện để phương trình này thỏa mãn.

2 Vợi giĂ trà n o cừa a thẳ (2.1) cõ nghiằm úng vợi mồi x > 1.

Lới giÊi 1 Ta dũng phữỡng phĂp giĂn tiáp, nghắa l trữợc tiản ta tián h nh tẳm a º (2.1) vổ nghiằm iãu n y tữỡng ữỡng vợi tẳm a º f(x) ≤ 0 cõ nghiằm vợi mồi x ∈ R, tực l

• Náu a > 1, thẳf(x) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm lản trản Suy ra f(x) > 0 vợi mồi x > 1 ⇔

 a < 3 28 a > 1. Kát hủp vợi a > 1 ta cõ a > 1 Nhữ vêy, a ≥ 1 l cĂc giĂ trà cƯn tẳm 2 DÔng 3 Tẳm iãu kiằn º bĐt phữỡng trẳnh bêc hai f(x) = ax 2 +bx+c > 0 nghiằm úng vợi mồi x∈ (α, β).

• Náu a > 0, thẳ f(x) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm lản trản Do õ, f(x) > 0 vợi mồi x ∈ (α, β)⇔

• Náu a < 0, thẳ f(x) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm xuống dữợi. Nhữ vêy, f(x) > 0 vợi mồi x ∈ (α, β) ⇔x 1 ≤ α < β ≤ x 2 ⇔

Vẵ dử 2.1.2 Tẳm cĂc giĂ trà cừa m º phữỡng trẳnh sau nghiằm úng vợi mồi x ∈ − 1

• Náu m = 0, thẳ f(x) = −2x > 0 ⇔x < 0, khổng thọa mÂn.

• Náu −m < 0 ⇔ m > 0, thẳ f(x) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm xuống dữợi Do õ, f(x) > 0 vợi mồi x ∈

• Náu −m > 0 ⇔ m < 0, thẳ ta cõ f(x) > 0 vợi mồi x ∈

∆ = 4(1−m 2 ) < 0 ⇔ |m|> 1, kát hủp vợi m < 0 cho ta m 0 vợi mồi x < α (2.3) Líi gi£i Ta câ

• Náu a < 0, thẳ phữỡng trẳnh vổ nghiằm 2

Vẵ dử 2.1.3 Tẳm iãu kiằn cừam º bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm vợi mồi x ∈ − π

. m −3 cos 2 x+ (2m−1) sinxcosx > 0 (2.4) Líi gi£i Ta câ

2,π 4 nản tanx ∈ (−∞,1) °t y = tanx, khi õ b i toĂn trð th nh tẳm m º bĐt phữỡng trẳnh f(y) = my 2 + (2m −1)y +m−3 > 0, (2.5) cõ nghiằm vợi mồi y < 1.

Kát hủp vợi m > 0 ta suy ra bĐt phữỡng trẳnh vổ nghiằm.

• Náu m < 0, thẳ do ỗ thà cừa f(y) l parabol cõ bã lóm quay xuống dữợi Do õ, (2.5) khổng thº cõ nghiằm vợi mồi y < 1.

Tõm lÔi, khổng tỗn tÔi m thọa mÂn yảu cƯu b i toĂn 2

Phữỡng trẳnh chựa dĐu giĂ trà tuyằt ối

º giÊi phữỡng trẳnh chựa dĐu giĂ trà tuyằt ối ta cõ thº chuyºn phữỡng trẳnh th nh phữỡng trẳnh bêc hai bơng cĂch sau:

• CĂch 1: Sỷ dửng ph²p bián ời tữỡng ữỡng

• CĂch 2: Sỷ dửng phữỡng phĂp °t ân phử.

Vẵ dử 2.2.1 GiÊi phữỡng trẳnh

Lới giÊi Phữỡng trẳnh (2.6) cõ dÔng |X| = −X iãu n y xÊy ra khi v ch¿ khi X ≤ 0 Do â,

(2.6) ⇔ −x 2 + 10x−21 ≤0 ⇔ x≤ 3 x≥ 7. º giÊi bĐt phữỡng trẳnh chựa dĐu trà tuyằt ối, ta vên dửng tẵnh chĐt:

Vẵ dử 2.2.2 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh

(2.7) ⇔(x 2 −10x+ 23) 2 ≥ 4 ⇔ (x−5) 2 (x 2 −10x+ 21) ≥ 0. °t f(x) = (x−5) 2 (x 2 −10x+ 21) ta câ b£ng x²t d§u cõa f(x) nh÷ sau x −∞ 3 5 7 +∞

Tứ bÊng x²t dĐu trản, ta thĐy nghiằm cừa bĐt phữỡng trẳnh (2.7) l x ≤ 3, x = 5, ho°c x ≥ 7 2

Vẵ dử 2.2.3 GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh

Khi õ, ta so sĂnh cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0 vợi hai số -1 v -2, ta thu ữủc f(−2) = 2(3−m)4−12(3−m) + (5−m) 2 −4

• Náu m = 3 thẳ f(x) = 0 vợi mồi x Do õ, phữỡng trẳnh cõ nghiằm vợi mồi x ≤ −2 v x ≥ −1.

2, phữỡng trẳnh f(x) = 0 vổ nghiằm nản hằ (2.9) vổ nghiằm.

( m > 5 m 6= 32 thẳ f(x) cõ hai nghiằm x 1 , x 2 Ta cõ

∗ Náu m >3, thẳ a < 0, k²o theo af(−1) < 0 af(−2) < 0 ⇔x 1 < −2 < −1 < x 2 Nhữ vêy,

• m < 3 phữỡng trẳnh (2.8) Â cho vổ nghiằm.

• m = 3 phữỡng trẳnh (2.8) cõ vổ số nghiằm x ∈ (−∞,−2]∪ [−1,+∞).

• m > 3 phữỡng trẳnh (2.8) cõ hai nghiằm 2

Phữỡng trẳnh vổ t

Phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh chựa côn thực cõ thº ữủc giÊi bơng phữỡng phĂp ữa vã phữỡng trẳnh bêc hai vợi cĂc cĂch sau

• CĂch 1: Sỷ dửng ph²p bián ời tữỡng ữỡng pf(x) = g(x) ⇔

• CĂch 2: Sỷ dửng phữỡng phĂp °t ân phử.

Nhên x²t 2.3.1 Phương pháp lũy thừa hai và các phương trình bậc hai là những phương pháp tối ưu nhất để giải phương trình và bậc phương trình Tuy nhiên, khi lũy thừa với số mũ chẵn, cần phải đảm bảo rằng bậc phương trình phải không âm.

Ngoài ra, các phương trình bất phương trình có chứa con thực cụng có thể giải bằng phương pháp ẩn phụ Khi giải bất phương trình này, ta phải chú ý trong việc tìm miền của ẩn phụ.

Vẵ dử 2.3.1 Tẳm m º phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm p2x 2 −2(m+ 4)x+ 5m+ 10−x+ 3 = 0 (2.10)

B i toĂn trð th nh tẳm m º phữỡng trẳnh (b) cõ nghiằm thọa (a), hay tẳm m º f(x) = x 2 −2(m+ 1)x+ 5m+ 1 cõ nghiằm trản [3,+∞) Khi õ, xÊy ra cĂc trữớng hủp sau

◦ Náu f(x) cõ hai nghiằm thuởc (3,+∞), thẳ

⇔3 ≤ m < 4.Kát hủp cĂc bữợc giÊi ta cõ Ăp số l m ≥ 3 2

Vẵ dử 2.3.2 Tẳm m º phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm x 2 + 2x+mp3−2x−x 2 = m 2 (2.11) Hỡn nỳa, vợi giĂ trà n o cừa m thẳ phữỡng trẳnh cõ 4 nghiằm phƠn biằt.

Lới giÊi iãu kiằn º phữỡng trẳnh cõ nghắa l −3 ≤x ≤ 1 °t t= p

Ta cõ bÊng bián thiản x ϕ 0 (x) ϕ(x)

B i toĂn trð th nh tẳm m º phữỡng trẳnh f(t) = t 2 −mt+m 2 −3 = 0 cõ nghiằm trản oÔn [0,2].

3 Do õ, phữỡng trẳnh (2.11) cõ 4 nghiằm.

♣ Trữớng hủp 2: X²t t = 2, ta cõ f(2) = m 2 −2m+ 1 = 0 ⇔m = 1.Khi õ, f(t) = t 2 −t−2 = 0 cõ nghiằm t = 2, t = −1 (loÔi).

3 ≤ m < 2, phữỡng trẳnh  cho cõ 4 nghiằm phƠn biằt 2

Phữỡng trẳnh bêc cao

Phương trình bậc cao có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau, tùy thuộc vào độ khó của mỗi dòng phương trình Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung vào các phương pháp giải phương trình bậc cao và phương trình bậc hai, cùng với những dòng phương trình bậc ba và bậc bốn mà học sinh phổ thông thường gặp.

D¤ng têng qu¡t ax 3 +bx 2 +cx+d = 0, a 6= 0 (2.12)

Ta nhận thấy phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực Do đó, ta dùng phương pháp trực tiếp hoặc phương pháp nhẩm số hạng để tìm ra nghiệm thực này Giả sử α là nghiệm thực, lúc này (2.12) tương ứng với phương trình.

(x−α)(ax 2 +Bx+C) = 0, v số nghiằm cừa (2.12) s³ phử thuởc số nghiằm cừa tam thực bêc hai f(x) = ax 2 +Bx+C v quan hằ giỳa cĂc nghiằm õ vợi α.

Vẵ dử 2.4.1 Tẳm m º phữỡng trẳnh sau cõ 3 nghiằm phƠn biằt x 3 −mx 2 −(m+ 1)x+m 2 +m = 0 (2.13) Lới giÊi Tứ phữỡng trẳnh (2.13) ta cõ f(m) = m 2 −(x 2 +x−1)m+x 3 −x = 0.

Do â, f(m) = 0 ⇔ m = x 2 −1 m = x ⇔ x = m x 2 =m + 1. Phữỡng trẳnh (2.13) cõ 3 nghiằm phƠn biằt khi v ch¿ khi m + 1> 0 m 2 6= m+ 1 ⇔

Vẵ dử 2.4.2 Tẳm iãu kiằn cừa tham số m º phữỡng trẳnh x 3 +mx 2 + (1−2m 2 )x−m = 0, (2.14) cõ 3 nghiằm thọa mÂn x1 < 1 < x2 ≤x3 (2.15)

⇔ x = m f(x) = x 2 + 2mx+ 1 = 0. º (2.14) cõ 3 nghiằm thọa mÂn (2.15) thẳ trữợc tiản f(x) = 0 phÊi cõ nghiằm, tực l

Khi õ, f(x) = 0 cõ hai nghiằm x 1 , x 2 Ta cõ

◦ Náu m ≥ 1, thẳ theo ành lẵ Vi±te ta cõ x 1 +x 2 = −2m 0 x 1 x 2 = 1.

Nhữ vêy, khổng cõ giĂ trà n o cừa m thọa mÂn iãu kiằn 2

Vẵ dử 2.4.3 GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh

♣ Náu m 6= 0, thẳ f(x) l tam thực bêc hai cõ ∆ = 6m+ 1 Khi õ,

6, phữỡng trẳnh (2.18) cõ hai nghiằm phƠn biằt x1 = 1 +√

Ta cõ x 1 = 2 l nghiằm cừa (2.18) nản f(2) = 0, k²o theo m = 5

2 Khi â, nghiằm cỏn lÔi cừa (2.18) l x2 = −6

5. Nhữ vêy, nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.17) theo giĂ trà m nhữ sau.

Vã nguyản tưc là một phương trình bậc bốn trong toán học, có vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán thực tiễn Để hiểu rõ hơn về phương trình này, chúng ta cần xem xét các dạng thức và tính chất của nó Một trong những dạng chính của phương trình bậc bốn là phương trình hồi quy, giúp phân tích và dự đoán các mối quan hệ giữa các biến số trong dữ liệu.

D¤ng têng qu¡t ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e = 0, (2.19) trong â a 6= 0, e 6= 0, e a = d b

Ta nhên thĐy rơng x = 0 khổng l nghiằm cừa (2.19) Do õ, chia hai vả cừa (2.19) cho x 2 ta ữủc

Lúc n y, ta ữa (2.20) vã phữỡng trẳnh bêc hai vợi ân t rỗi giÊi. b DÔng phữỡng trẳnh trũng phữỡng

D¤ng têng qu¡t ax 4 +bx 2 +c = 0, a 6= 0 (2.21) °t t = x 2 , khi â t≥ 0 v

Ta s³ giÊi b i toĂn  cho thổng qua viằc giÊi (2.22) trản miãn [0,+∞). Ngo i ra, phữỡng trẳnh dÔng (a+x) 4 + (b+x) 4 = 0 cụng ữa vã phữỡng trẳnh trung phữỡng bơng cĂch °t t = a+b

Ta °t t = x 2 + (a+b)x+ab vợi iãu kiằn t≥ −(a−b) 2

4 Ta ÷a ph÷ìng trẳnh (2.23) vã dÔng phữỡng trẳnh bêc hai ân t.

D¤ng 2. ax 2 +bx+c+ m ax 2 +bx+d = k. °t t = ax 2 +bx+c+d ta ữa ữủc vã phữỡng trẳnh bêc hai ân t.

Vẵ dử 2.4.4 Tẳm m º phữỡng trẳnh x 4 −(2m+ 3)x 2 +m+ 5 = 0, (2.24) cõ cĂc nghiằm thọa mÂn

Líi gi£i °t t= x 2 , khi â t ≥ 0 v (2.24) trð th nh t 2 −(2m+ 3)t+m+ 5 = 0 (2.26) º (2.24) cõ 4 nghiằm phƠn biằt thẳ (2.4) phÊi cõ hai nghiằm dữỡng phƠn biằt t 1 < t 2 Khi õ, (2.24) cõ nghiằm nhữ sau. x 1 = −√ t 2 , x 2 = −√ t 1 , x 3 = √ t 1 , x 4 = √ t 2 iãu kiằn (2.25) trð th nh

(vổ nghiằm).Nhữ vêy, khổng cõ giĂ trà n o cừa m thọa mÂn yảu cƯu b i ra 2

Vẵ dử 2.4.5 Tẳm m º phữỡng trẳnh x 4 + (m−1)x 3 +x 2 + (m−1)x+ 1 = 0 (2.27) cõ khổng ẵt hỡn hai nghiằm Ơm khĂc nhau.

Lới giÊi Ta thĐy x = 0 khổng l nghiằm cừa (2.27) Chia cÊ hai vã cừa (2.27) cho x 2 ta ữủc

−1 = 0. °t t = x+ 1 x, khi â |t| ≥ 2 v f(t) = t 2 + (m−1)t−1 (2.28) X²t phữỡng trẳnh phử t = x+ 1 x ⇔x 2 −tx+ 1 = 0 (2.29) Khi â, ∆ = t 2 −4 Lóc n y ta câ

• Náu t > 2, thẳ (2.29) cõ hai nghiằm dữỡng.

• Náu t= −2, thẳ (2.29) cõ nghiằm x = −1 l nghiằm Ơm.

• Náu t= 2, thẳ (2.29) cõ nghiằm x = 1 l nghiằm khổng Ơm.

• Náu t < −2, thẳ (2.29) cõ hai nghiằm Ơm.

Theo phương trình (2.28), để có hai nghiệm thực, điều kiện cần là t < -2 Hơn nữa, phương trình này sẽ có hai nghiệm trái dấu nếu thỏa mãn điều kiện 1 < -2 < t2, tương đương với việc af(-2) < 0 và m ≥ 5.

Phữỡng trẳnh mụ v phữỡng trẳnh logarit

Phương pháp tam thức bậc hai và phương trình logarit có thể được sử dụng để giải phương trình mũ và phương trình logarit thông qua cách biến đổi phương trình mũ và phương trình logarit Khi thực hiện biến đổi, cần chú ý đến các điều kiện liên quan đến phương trình mũ và điều kiện của cơ số, cũng như điều kiện của biểu thức trong dấu logarit.

Vẵ dử 2.5.1 Cho phữỡng trẳnh sau

4 x −m2 x+1 + 2m+ 1 = 0 (2.30) Tẳm cĂc giĂ trà cừa m º phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm phƠn biằt thọa mÂn

Lới giÊi °tt = 2 x , khi õ t > 0 Hỡn nỳa, vẳ t= 1 khổng phÊi l nghiằm cừa phữỡng trẳnh nản phữỡng trẳnh (2.30) trð th nh t 2 −2mt+ 2m + 1 = 0 ⇔m = t 2 + 1

Ta thĐy rơng, vợi mội t > 0, phữỡng trẳnh 2 x = t cõ nghiằm duy nhĐt.

Do õ, yảu cƯu b i toĂn thọa mÂn khi (2.30) cõ hai nghiằm thọa mÂn

2(t−1) vợi t ≥ 0 Khi õ, f(t) liản tửc trản [0,+∞)\{1}, f 0 (t) = 2t 2 −2t−1

Ta cõ bÊng bián thiản cừa h m f(t) t f 0 (t) f(t)

Do vêy, b i toĂn ữủc thọa mÂn khi m > 1 +√

Vẵ dử 2.5.2 Tẳm m º phữỡng trẳnh m9 x −(2m+ 1)3 x +m+ 4 = 0, (2.32) cõ hai nghiằm trĂi dĐu.

Lới giÊi °t t= 3 x , khi õ b i toĂn trð th nh tẳm m º phữỡng trẳnh f(t) = mt 2 −(2m+ 1)t+m + 4 = 0, cõ nghiằm thọa mÂn iãu kiằn cho trữợc x 1 < 0 < x 2 ⇔0 < 3 x 1 < 3 0 < 3 x 2 ⇔0 < t 1 < 1 < t 2

Theo ành lẵ vã dĐu cừa tam thực bêc hai, ta cõ mf(1) < 0 mf(0) > 0 ⇔

Do vêy, m ∈ (−∞,−4) thẳ phữỡng trẳnh (2.32) cõ hai nghiằm trĂi dĐu 2 Vẵ dử 2.5.3 Vợi nhỳng giĂ trà n o cừa m thẳ bĐt phữỡng trẳnh m4 x + (m−1)2 x+2 +m−1 > 0, (2.33) nghiằm úng vợi mồi x.

Lời giải cho phương trình \(2x = t\) khi \(t > 0\) cho thấy rằng với mọi \(t > 0\) chỉ có duy nhất một giá trị \(x\) thoả mãn Để đảm bảo điều này, biểu thức \(mt^2 + 4(m-1)t + m-1 > 0\) phải được thoả mãn Như vậy, phương trình (2.33) sẽ có nghiệm với mọi \(x\) khi (2.34) thoả mãn cho mọi \(t > 0\) Ta định nghĩa hàm số \(f(t) = mt^2 + 4(m-1)t + m-1\), từ đó có hai trường hợp xảy ra cho các giá trị của \(t\).

◦ Náu m < 0, thẳ f(t) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm xuống dữợi, do õ khổng thº xÊy ra f(t) > 0 vợi mồi t > 0.

◦ Náu m > 0, khi õ f(t) > 0 ch¿ xÊy ra cĂc khÊ nông sau

Khi õ, phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm t 1 , t 2 (t 1 ≤ t 2 ≤ 0), ta cõ

Do vêy, º (2.33) thọa mÂn vợi mồi x thẳ m ∈ (−∞,0)∪

Vẵ dử 2.5.4 Tẳm a º phữỡng trẳnh log 3 (x 2 + 4ax) + log 1

( x > 2a+ 1 g(x) =2x 2 + 2(2a−1)x+ 2a+ 1 = 0. Phữỡng trẳnh (2.36) cõ nghiằm duy nhĐt, xÊy ra hai trữớng hủp sau.

• Trữớng hủp 1: g(x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt x > 2a+ 1

• Trữớng hủp 2: g(x) = 0 cõ hai nghiằm x1 ≤ 2a+ 1

10 thẳ phữỡng trẳnh (2.36) cõ nghiằm duy nh§t 2

Vẵ dử 2.5.5 Tẳm cĂc giĂ trà cừa tham số m º mồi nghiằm cừa bĐt phữỡng trẳnh log x (x 3 + 1).log x+1 x−2 < 0 (2.37) ãu l nghiằm cừa bĐt phữỡng trẳnh log 1

Bði vẳ f(x) = x 2 −2x+m cõ hằ số cừa x 2 l 1 v ho nh ở ¿nh cừa ỗ thà l x 0 = 1 nản f(x) > 0 vợi mồi x ∈ (0,1)∪(1,2) khi v ch¿ khi f(1) = m−1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1.

M°t khĂc, vẳ g(x) = x 2 −2x+m−8 cõ hằ số cừa x 2 l 1, ho nh ở ¿nh cừa ỗ thà l x0 = 1 nản g(x) < 0 vợi mồi x ∈ (0,1)∪(1,2) ⇔ g(0) ≤ 0 g(2) ≤ 0

Phữỡng trẳnh lữủng giĂc

Khi giÊi mởt số cĂc phữỡng trẳnh lữủng giĂc, ta cõ thº chuyºn ữủc vã phữỡng trẳnh bêc hai bơng cĂch °t ân phử.

Vẵ dử 2.6.1 XĂc ành m sao cho phữỡng trẳnh cos 3x−cos 2x+mcosx−1 = 0, (2.39) cõ úng 7 nghiằm khĂc nhau thuởc

4 cos 2 x−2 cosx+m−3 = 0 (2) (2.40) Trong kho£ng

2 Do â, º (2.39) cõ úng 7 nghiằm khĂc nhau thuởc

2 °t t = cosx, khi â |t| ≤1 v (2) trð th nh f(t) = 4t 2 −2t+m−3 = 0 (2.41)

Do phữỡng trẳnh cosx = t (|t| ≤ 1) cõ hai nghiằm phƠn biằt thuởc −π

2 nản º phữỡng trẳnh (2) cõ úng 5 nghiằm khĂc nhau thuởc

2 thẳ (2.41) phÊi cõ hai nghiằm t1, t2 thọa mÂn

Vẵ dử 2.6.2 Vợi giĂ trà n o cừa m thẳ phữỡng trẳnh

2, k ∈ Z Vợi iãu kiằn n y ta cõ

(2.42) ⇔ cosx−sinx sinx.cosx = m. °t t = cosx−sinx, khi â sinx.cosx = 1 −t 2

1 Phữỡng trẳnh (2.42) cõ nghiằm khi v ch¿ khi (2.43) cõ nghiằm t ∈ h−√

Ta nhên thĐy rơng (2.43) khổng nhên ±1 l m nghiằm, do õ (2.43) cõ nghiằm thọa mÂn t ∈ h−√

2,√ 2 i\{−1,1}, tữỡng ữỡng vợi (2.43) cõ nghiằm thuởc h

∆ 0 = 1 +m 2 > 0 vợi mồi m nản (2.43) luổn cõ 2 nghiằm phƠn biằt Hỡn nỳa, náu ta gồi hai nghiằm cừa (2.43) l t 1 , t 2 , thẳ ta cõ

- Náum 6= 0, thẳ|t 1 t 2 |= 1 nản tỗn tÔi mởt giĂ trà giÊ sỷ l t 1 ∈ (−1,1).

Do vêy, vợi mồi m, phữỡng trẳnh (2.42) luổn cõ nghiằm.

2 nản t ∈ (−1,1), do õ b i toĂn trð th nh tẳm m º phữỡng trẳnh f(t) = mt 2 −2t−m = 0 cõ nghiằm t ∈ (−1,1).

Ta sỷ dửng phữỡng phĂp giĂn tiáp, nghắa l ta tẳm nhỳng giĂ trà cừa m º f(t) = 0 vổ nghiằm trản (−1,1) X²t cĂc trữớng hủp sau.

◦ Náu m 6= 0, thẳ ta cõ c a = −1 < 0 Do õ, f(t) luổn cõ hai nghiằm t1, t2 trĂi dĐu Khi õ, f(t) = 0 vổ nghiằm trản (−1,1) khi v ch¿ khi f(−1) < 0 f(1) < 0 ⇔

Nhữ vêy, m = 0 l giĂ trà cƯn tẳm 2

Ch÷ìng 3 Ùng dửng tam thực bêc hai trong kh£o s¡t h m sè

Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của tam thức bậc hai trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số Cụ thể, chúng tôi sẽ đề cập đến bài toán và tính chất của hàm số, cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cũng như sự tương giao giữa các đồ thị hàm số Mỗi ứng dụng được chúng tôi minh họa bằng nhiều ví dụ cụ thể Nội dung của bài viết được tham khảo từ các tài liệu [3], [4], [5], [6].

Tẳm miãn xĂc ành v miãn giĂ trà cừa h m số

Miãn xĂc ành cừa h m số y = f(x) l têp hủp tĐt cÊ cĂc giĂ trà cừa x sao cho biºu thực f(x) cõ nghắa.

Náu h m số y = f(x) cõ miãn xĂc ành l D v T l miãn giĂ trà cừa h m sốf(x), thẳ luổn tỗn tÔi giĂ trà y 0 ∈ T vợix 0 ∈ D sao cho y 0 = f(x 0 ).

Do õ, miãn giĂ trà cừa h m số y = f(x) ữủc xĂc ành theo miãn giĂ trà cừa y sao cho phữỡng trẳnh y = f(x) cõ nghiằm x ∈ D.

Vẵ dử 3.1.1 Tẳm a º h m số y = p sin 6 x+ cos 6 x+asinxcosx, (3.1) xĂc ành vợi mồi x ∈ R.

Lới giÊi º h m số xĂc ành vợi mồi x ∈ R ta cƯn cõ sin 6 x+ cos 6 x+asinxcosx ≥ 0 vợi mồi x ∈ R

⇔ (sin 2 x+ cos 2 x) 3 −3 sin 2 xcos 2 x(sin 2 x+ cos 2 x)

⇔ 3 sin 2 2x−2asin 2x−4 ≤ 0 vợi mồi x ∈ R (3.2) °t t = sin 2x, khi õ |t| ≤ 1, v bĐt phữỡng trẳnh (3.2) trð th nh

Bði vẳ f(t) = 3t 2 −2at−4 cõ ỗ thà l parabol bã lóm quay lản trản nản f(t) ≤0 vợi mồi t ∈ [−1,1] ⇔ x 1 ≤ −1 < 1 ≤ x 2

Vẵ dử 3.1.2 Tẳm a º h m số sau xĂc ành vợi mồi x > 1. y = log a [(a+ 1)x 2 −2(a−1)x+ 3a−3], (3.3)

Lới giÊi iãu kiằn a > 0, a 6= 1 Khi õ, yảu cƯu b i toĂn tữỡng ữỡng vợi tẳm a º f(x) = (a+ 1)x 2 −2(a−1)x+ 3a−3 > 0 vợi mồi x > 1 (3.4)

∆ 0 ≥ 0 t 1 ≤ t 2 < 1 (3.3.2) vợi t1, t2 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0.

Do vêy, Ăp số cừa b i toĂn l a > 0, a 6= 1 2

3.2 H m số ỗng bián, nghàch bián trản mởt miãn

Tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số là một trong những yếu tố quan trọng trong việc xác định tính chất của hàm số trong miền xác định Nếu hàm số có chứa tham số, việc phân tích tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số sẽ trở nên phức tạp hơn, nhưng vẫn có thể áp dụng các phương pháp liên quan để xác định Điều này giúp người học hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trong miền xác định và mối liên hệ giữa các giá trị của hàm.

Các dòng hàm số chứa yếu tố THPT có thể được phân loại thành hai nhóm chính: hàm số bậc hai và hàm số bậc ba, cùng với hàm phân thức Những hàm số này thường thể hiện các tính chất biến thiên, nghịch biến và đồng biến, tạo thành nền tảng quan trọng trong việc nghiên cứu toán học.

X²t h m số bêc ba y = ax 3 +bx 2 +cx+d, (a 6= 0).

Khi õ, y 0 = 3ax 2 + 2bx+ c H m số ỗng bián (nghàch bián) trản miãn xĂc ành D khi v ch¿ khi y 0 ≥ 0 (y 0 ≤ 0) vợi mồi x ∈ D.

Vẵ dử 3.2.1 Cho h m số y = x 3 −3mx 2 + 6mx+m 2 −5 (3.5)

1 Chựng minh h m số khổng thº luổn nghàch bián;

2 Tẳm m º h m số nghàch bián trong khoÊng

Líi gi£i X²t y 0 = 3x 2 −6mx+ 6m = 3(x 2 −2mx+ 2m) Khi â,

1 Bði vẳ hằ số cừa x 2 l a = 1 > 0 nản x 2 −2mx+ 2m khổng thº nhọ hỡn 0 vợi mồi x∈ R Do vêy, h m số khổng thº luổn nghàch bián.

2 °t f(x) = x 2 −2mx + 2m º h m số nghàch bián trong khoÊng

. Bði vẳ f(x) cõ ỗ thà l parabol quay bã lóm lản trản nản f(x) < 0 vợi mồi x ∈ 0,1

4 h m số nghàch bián trong khoÊng

Vẵ dử 3.2.2 Tẳm m º h m số sau ỗng bián vợi x > −1. y = mx 3 + 2(3m−2)x 2 + 5mx −x+ 3 (3.6) Líi gi£i Ta câ y 0 = f(x) = 3mx 2 + 4(3m−2)x+ 5m−1.

Nhên x²t rơng, vợi m < 0, h m số khổng thọa mÂn ã b i Do õ, m ≥ 0.

Ta x²t hai trữớng hủp sau.

Ta cõ f(x) = −4x ≥ 0 vợi mồi x ≤0 (khổng thọa mÂn).

42 Suy ra f(x) ≥ 0 vợi mồi x ∈ R (khổng thọa mÂn).

Nhớ Trữớng hủp 2 ta suy ra rơng m ∈

# Do vêy, cĂc giĂ trà cƯn tẳm l m ∈

Trong mửc n y, chúng tổi ch¿ x²t dÔng h m phƠn thực sau. y = ax 2 +bx+c mx 2 +nx+p, (a 2 +m 2 6= 0) (3.7)

Ta câ y 0 = (am−bm)x 2 −2(ap−cm)x+bp−cn

Náu an 6= bm, thẳ º x²t tẵnh ỡn iằu cừa h m số ta ữa vã b i toĂn x²t dĐu cừa tam thực bêc hai f(x) = (am−bm)x 2 −2(ap−cm)x+bp−cn Ví dụ, cho h m số y = x 2 + 2mx+ 3m x−2m.

HÂy tẳm cĂc giĂ trà cừa m sao cho

1 H m số ỗng bián trản tứng khoÊng xĂc ành;

Líi gi£i Ta câ y 0 = x 2 −4mx −4m 2 −3m

1 H m số ỗng bián trản tứng khoÊng xĂc ành khi v ch¿ khi f(x) ≥ 0 vợi mồi x 6= 2m ⇔ x 2 −2mx −4m 2 −3m ≥ 0 vợi mồi x 6= 2m

2 H m số ỗng bián trản [1,+∞) khi v ch¿ khi f(x) ≥ 0 vợi mồi x ∈ [1,+∞).

3.3 Cỹc trà v dÔng ỗ thà cừa h m số

Trong trường hợp hàm số y = f(x) có một điểm x₀, nếu f'(x₀) = 0 và f'(x) đổi dấu khi đi qua x₀, thì x₀ là điểm cực trị của hàm số Do đó, điều kiện cần để hàm số y = f(x) có cực trị là phương trình f'(x) = 0 có nghiệm tại x₀ Sau đó, bạn cần sử dụng các quy tắc xác định từ x₀ là cực trị của hàm số.

Hàm số y = f(x) có tính chất cực tiểu tại x₀ nếu f(x) ≤ f(x₀) với mọi x gần x₀, và có tính chất cực đại tại x₀ nếu f(x) ≥ f(x₀) với mọi x gần x₀ Đối với hàm số bậc hai, để có cực trị tại y₀ = 0, phải có hai nghiệm phân biệt Do đó, yêu cầu của bài toán được chuyển thành: Tìm m để phương trình bậc hai y₀ = 0 có các nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3x 3 −mx 2 + 2(5m−8)x+ 1 (3.10) Tẳm m º h m số ỗng thới Ôt cỹc Ôi v cỹc tiºu tÔi nhỳng iºm cõ ho nh ở lợn hỡn 1.

Lời giải cho phương trình bậc hai \( y = x^2 - 2mx + 2(5m - 8) \) cho thấy rằng, để có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( 1 < x_1 < x_2 \), cần đảm bảo rằng hệ số của phương trình này có giá trị lớn hơn 1 Điều này có nghĩa là cần kiểm tra điều kiện của m để xác định các nghiệm của phương trình.

Nhữ vêy, h m số ỗng thới Ôt cỹc Ôi v cỹc tiºu tÔi cĂc iºm cõ ho nh ở lợn hỡn 1 khi v ch¿ khi m ∈ 15

∪(8,+∞) 2 Vẵ dử 3.3.2 XĂc ành a sao cho h m số sau cõ cỹc Ôi y = −2x+ 2 +a√ x 2 −4x+ 5. Líi gi£i Ta câ x 2 −4x+ 5 = (x−2) 2 + 1 > 0 vợi mồi x ∈ R.

Do vêy, miãn xĂc ành cừa h m số l R.

• Náu a = 0, thẳ y =−2x+ 2 l h m số bêc nhĐt nản khổng cõ cỹc trà.

Bði vẳ a 6= 0 nản y 00 6= 0 vợi mồi x ∈ R º h m số cõ cỹc Ôi, iãu kiằn cƯn v ừ l y 0 = 0 cõ nghiằm v y 00 (0) < 0, tực l hằ sau cõ nghiằm

Tữỡng ữỡng vợi hằ sau x < 2 f(x) = (a 2 −4)x 2 −4(a 2 −4)x+ 4(a 2 −5) = 0 (3.11)

B i toĂn trð th nh tẳm a < 0 º hằ (3.11) cõ nghiằm x∈ (−∞,2).

◦ Náu a 2 −4 = 0 ⇔a = ±2 Khi õ, (3.11) trð th nh −4 = 0 (vổ lỵ).

◦ Náu a 2 −4 6= 0, thẳ (3.11) cõ nghiằm khi v ch¿ khi

M°t khĂc, x²t thĐy f(2)(a 2 −4) < 0 vợi mồi a ∈ (−∞,−2) nản vợi mồi a ∈ (−∞,−2), hằ (3.11) cõ nghiằm nhọ hỡn 2.

Do vêy, Ăp số cừa b i toĂn l a < −2 2

3.4 GiĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m sè chùa tham sè

GiĂ trà lợn nhĐt, nhọ nhĐt cừa h m số f(x) = ax 2 +bx +c ữủc xĂc ành nh÷ sau.

4a. Vẵ dử 3.4.1 HÂy xĂc ành m º giĂ trà lợn nhĐt cừa h m số sau trản

Lới giÊi iãu kiằn º max x∈[1,3]y = 2 l tỗn tÔi ẵt nhĐt x 0 ∈ [1,3] sao cho y = x 2 0 +x 0 +m+ 4 x 0 −m = 2 ⇔ x 0 −m 6= 0 f(x0) = x 2 0 −x0 + 3m + 4 cõ nghiằm.

Do vêy, g(x) cõ 2 nghiằm x 1 , x 2 thọa mÂn x 1 < x 2 < 1 LÔi cõ, hằ số cừa x 2 l a = 1 > 0 ⇔ g(x) > 0 vợi mồi x ∈ [1,3], do õ h m số Â cho ỗng bián trản [1,3] Suy ra x∈[1,3]max y = y(3) = 16 +m

Vẵ dử 3.4.2 XĂc ành p, q sao cho h m số y = x 2 +px+q x 2 + 1 , cõ giĂ trà nhọ nhĐt bơng −1 v giĂ trà lợn nhĐt bơng 9.

Lới giÊi GiÊ sỷ h m số cõ giĂ trà nhọ nhĐt bơng −1 v giĂ trà lợn nhĐt bơng 9 Khi õ,

−1 ≤ x 2 +px+q x 2 + 1 ≤ 9 vợi mồi x ∈ R, ỗng thới tỗn tÔi cĂc giĂ trà cừa x º dĐu = xÊy ra Tứ õ, x 2 +px+q ≤9x 2 + 9 x 2 +px+q ≥ −x 2 −1 vợi mồi x ∈ R, tữỡng ữỡng vợi

2x 2 +px+q + 1≥ 0 vợi mồi x∈ R. Gồi ∆1,∆2 lƯn lữủt l biằt thực cừa tam thực ð vá trĂi cừa hằ bĐt phữỡng trẳnh trản º dĐu = xÊy ra thẳ ∆ 1 = ∆ 2 = 0 Ta cõ

∆2 = 0 ⇔ p 2 −32(9−q) = 0 p 2 −8(1 +q) = 0. GiÊi hằ n y ta ữủc hai nghiằm l p = 8 q = 7 ho°c p= −8 q = 7.

Nhữ vêy, vợi hai c°p giĂ trà trản, h m số Â cho cõ giĂ trà nhọ nhĐt bơng

−1 v giĂ trà lợn nhĐt bơng 9 2

3.5 Sỹ tữỡng giao cừa ỗ thà h m số vợi mởt ÷íng th¯ng

Sỹ tữỡng giao cừa ỗ thà h m số vợi mởt ữớng th¯ng thữớng ữủc xĂc ành bơng cĂch giÊi phữỡng trẳnh Tuy nhiên, khi khổng tẳm ữủc nghiằm cừa phữỡng trẳnh, sỹ tữỡng giao n y s³ ữủc xĂc ành dỹa v o ỗ thà h m sè.

Hàm số bậc ba có dạng y = ax³ + bx² + cx + d, với a, b, c, d là các hệ số Để xác định hình dạng đồ thị của hàm số này, ta cần phân tích các đặc điểm như số nghiệm, vị trí của các cực trị và sự thay đổi của hàm số Điều này giúp nhận diện được đồ thị có thể có hình dạng lớn hơn hoặc nhỏ hơn, từ đó đưa ra những nhận định chính xác về hành vi của hàm số.

Lời giải cho bài toán này yêu cầu tìm hai nghiệm phân biệt của hàm số bậc ba có dạng f(x) = 0 Để xác định hai nghiệm này, cần có hai cực trị trái dấu, tức là f(x1) và f(x2) phải thỏa mãn điều kiện f(x1)f(x2) < 0.

Do vêy, º ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi 3 iºm phƠn biằt cõ ho nh ở lợn hỡn α thẳ phÊi thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:

M°t khĂc, º ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi 3 iºm phƠn biằt cõ ho nh ở nhọ hỡn α thẳ phÊi thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:

Vẵ dử 3.5.1 Cho h m số y = f(x) = x 3 −3mx 2 + 3(m 2 −1)x−(m 2 −1).

Tẳm tĐt cÊ cĂc giĂ trà cừa m º ỗ thà h m số cưt trửc ho nh tÔi 3 iºm phƠn biằt vợi ho nh ở dữỡng.

Lới giÊi º ỗ thà h m số cưt trửc ho nh tÔi 3 iºm phƠn biằt vợi ho nh ở dữỡng, iãu kiằn cƯn v ừ l

 f 0 (x) = 3x 2 −6mx+ 3(m 2 −1) cõ hai nghiằm phƠn biằt x 1 , x 2 f(x 1 )f(x 2 )< 0 af 0 (0) > 0 af(0) < 0

Do vêy, Ăp số cừa b i toĂn l √

Vẵ dử 3.5.2 Cho h m số sau cõ ỗ thà (C). y = f(x) = 1

HÂy xĂc ành m º (C) cưt trửc ho nh tÔi 3 iºm phƠn biằt cõ ho nh ở nhọ hỡn 1.

Líi gi£i Ta câ f 0 (x) = x 2 −2mx+m. º (C) cưt trửc ho nh tÔi 3 iºm phƠn biằt cõ ho nh ở nhọ hỡn 1, iãu kiằn cƯn v ừ l

 f 0 (x) = 0 cõ hai nghiằm phƠn biằt x 1 < x 2 < 1 f(1) > 0 f(x 1 )f(x 2 ) < 0

(1−2x1)(1−2x2) < 0 (3.13) Theo ành lẵ Vi±te ta cõ x 1 +x 2 = 2m x 1 x 2 = m.

Nhữ vêy, khổng cõ giĂ trà n o cừa m thọa yảu cƯu b i toĂn 2

Nhên x²t 3.5.1 Trong quĂ trẳnh giÊi, f(x 1 ) v f(x 2 ) ð trản ữủc tẵnh nhớ ph²p chia f(x) cho f 0 (x) rỗi sỷ dửng ành lẵ Vi±te, khổng nản tẵnh cử thº x 1 , x 2 vẳ s³ rĐt phực tÔp.

H Sỹ tữỡng giao cừa ỗ thà h m sổ bêc bốn vợi ữớng th¯ng

Bài toán xác định sự giao cắt giữa hai hàm số bậc bốn mở ra hướng thông lộ cho học sinh phổ thông Trong mức này, chúng tôi sẽ cung cấp các bài toán liên quan đến hàm số bậc bốn trong phần: f(x) = ax^4 + bx^2 + c = 0 (a ≠ 0) Ví dụ 3.5.3: Cho hàm số cong y = f(x) = x^4 + 2(2m + 1)x^2 - 3m (C) Tìm m để đường cong chạm trán trực tiếp hai điểm bậc ba.

Lí thuyết về hàm số y = x² và hàm số g(y) = y² + 2(2m + 1)y - 3m cho thấy sự liên hệ giữa các hàm này Đường cong (C) có tính chất chậm trễ và cần phải xác định các điểm phân biệt để phân tích sự biến thiên của nó Việc nghiên cứu đặc điểm của đường cong này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của hàm số và các yếu tố ảnh hưởng đến hình dạng của nó.

Do vêy,g(y)cõ 2 nghiằm phƠn biằty 1 , y 2 > 0phƠn biằt thọa mÂny 2 = 9y 1 , tùc l

H Giao iºm cừa ữớng th¯ng vợi nhĂnh cừa hypebol

X²t h m sè câ d¤ng y = f(x) = mx 2 +nx+p dx+e Ơy l hypebol cõ mởt tiằm cên ựng x = −e d ỗ thà h m số chia l m hai nhĂnh nơm vã hai phẵa cừa ữớng tiằm cên.

Để giải quyết vấn đề về giao điểm của đường thẳng y = kx + q với hàm bậc hai mx² + nx + q, cần xác định các nghiệm của phương trình kx + q = mx² + nx + q Để có giao điểm thuộc một nhánh, phương trình phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x₁ < x₂ < -e_d hoặc -e_d < x₁ < x₂ Nếu giao điểm thuộc hai nhánh khác nhau, thì cũng cần có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x₁ < -e_d < x₂.

Vẵ dử 3.5.4 Cho h m số y = x 2 −2x x−1 cõ ỗ thà (P).

1 Chựng minh rơng ữớng th¯ng (d)y = −x+k luổn cưt ỗ thà (P) tÔi hai iºm phƠn biằt A v B;

Lới giÊi 1 Ho nh ở giao iºm cừa (d)v (P) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 2 −2x x−1 = −x+k ⇔ 2x 2 −(k + 3)x+k = 0 (3.15) Dạ thĐy rơng x = 1 khổng phÊi l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.15) Ta cõ

Do õ, phữỡng trẳnh (3.15) luổn cõ hai nghiằm phƠn biằt vợi mồi k ∈ R. Bði vêy, ữớng th¯ng (d) luổn cưt ỗ thà (P) tÔi hai iºm phƠn biằt.

2 Ta cõ hằ số gõc cừa OA v OB lƯn lữủt l a = y A x A =

Do â, OA⊥OB khi v ch¿ khi a.b = −1 ⇔ −x A +k x A

⇔ x A x B −k(x A +x B +k 2 ) x A x B = −1 (3.16) Theo ành lẵ Viet, ta cõ xA +xB = k + 3

2. Thay v o (3.16) ta thu ữủc k = 1 Nhữ vêy, OA⊥OB khi v ch¿ khi k = 1 2

Vẵ dử 3.5.5 Cho h m số sau vợi ỗ thà l (C). y = 2x+ 4 x+ 1 , v (d) l ữớng th¯ng qua E(−4,2) v cõ hằ số gõc m XĂc ành m º (d) cưt (C) tÔi hai iºm A, B lƯn lữủt thuởc hai nhĂnh cừa (C).

Lới giÊi Phữỡng trẳnh ữớng th¯ng (d) cõ dÔng y = m(x+ 4) + 2 = mx+ 4m+ 2.

Ho nh ở giao iºm cừa (d) v (C) nghiằm cừa phữỡng trẳnh. mx+ 4m+ 2 = 2x+ 4 x+ 1 ⇔ f(x) = mx 2 + 5mx+ 4m −2 = 0 x 6= −1 (3.17) º(d) cưt (C) tÔi hai iºm A, B thuởc hai nhĂnh thẳ (3.17) cõ hai nghiằm x1, x2 thọa mÂn x 1 < −1 < x 2 ⇔ mf(−1) < 0 ⇔ m >0.

Luận văn ứng dụng phương pháp tam thức bậc hai vào các bài toán trung học phổ thông nhằm nâng cao khả năng giải quyết vấn đề Nội dung chính của luận văn bao gồm việc phân tích và thực hiện các phương pháp cụ thể để áp dụng tam thức bậc hai vào các bài toán, từ đó góp phần cải thiện kỹ năng toán học cho học sinh.

Hệ thống lồi mởt số kiến thức và tam thức bậc hai là phương pháp quan trọng trong việc giải các bài toán Cần lưu ý rằng luôn tồn tại mối quan hệ và phương pháp tam thức bậc hai trong quá trình giải quyết vấn đề.

Ùng dửng phương pháp tam thực bậc hai là một kỹ thuật hiệu quả trong việc giải các bài toán cỡ bậc cao liên quan đến phương trình bậc hai Phương pháp này không chỉ giúp tìm nghiệm cho các phương trình mà còn áp dụng vào các bài toán vật lý và kỹ thuật, đặc biệt trong lĩnh vực khéo sát hệ số.