Lỵ thuyát sai số
Sai số tuyằt ối, sai số tữỡng ối
Trong toán học, chúng ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của một số thực Gọi a là giá trị thực và a* là giá trị gần đúng, sai số tuyệt đối được xác định là |a - a*|, thể hiện độ sai lệch giữa a và a* Do không biết giá trị thực a, chúng ta cũng không thể xác định sai số ∆ Tuy nhiên, chúng ta có thể khẳng định rằng ∆ ≥ 0, đây là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện cần thiết.
|a−a ∗ | ≤ ∆a (1.1) haya − ∆a ≤ a ∗ ≤a + ∆a ữỡng nhiản ∆a thọa mÂn iãu kiằn (1.1) c ng nhọ c ng tốt Sai số tữỡng ối cừa a l : δa := ∆a
Sai số thu gồn
Mởt số thêp phƠn a cõ dÔng tờng quĂt nhữ sau: a = ±(β p 10 p + β p−1 10 p−1 + +β p−s 10 p−s )
Trong khoảng 0 ≤ β_i ≤ 9 (i = p−1, 1−s); β_p > 0 là những số nguyên Nếu p−s ≥ 0 thì a là số nguyên; p−s = −m (m > 0) thì a có phần là gồm m chữ số Nếu s = +∞, a là số thép phân vổ hơn Thu gọn một số a là "vật bọc" một số các chữ số bản phải a, giữ được một số a ngần gọn hơn và gần đúng với a.
Gi£ sû a = (β p 10 p + + β j 10 j + +β p−s 10 p−s ) v ta giỳ lÔi án số hÔng thự j Gồi phƯn "vựt bọ" l ϕ, ta °t a = β p 10 p + +β j+1 10 j+1 +βe j 10 j trong â: βe j :
Náu ϕ = 0.5ì10 j thẳ βe j = β j náu β j chđn v βe j = β j + 1 náu β j l´ vẳ tẵnh toĂn vợi số chđn thuên tiằn hỡn.
Sai số tẵnh toĂn
Trong toán học, chúng ta thường gặp bốn loại sai số chính: Thứ nhất, sai số thiết lập do việc mô hình hóa và lược đồ hóa không chính xác, dẫn đến sai số lớn Thứ hai, sai số phương pháp, xuất hiện khi các bài toán phức tạp không thể giải quyết bằng các phương pháp gần đúng, và mỗi phương pháp đều có sai số riêng Thứ ba, sai số dữ liệu, phát sinh từ việc thu thập số liệu không chính xác Cuối cùng, sai số tính toán, xảy ra khi các số liệu ban đầu có sai số, gây ra sai số trong kết quả tính toán.
GiÊ sỷ phÊi tẳm Ôi lữủng y theo cổng thực: y = f(x 1 , x 2 , , x n )
Gồi x ∗ i , y ∗ (i = 1, n) v x i , y(i = 1, n) l cĂc giĂ trà úng v gƯn úng cừa cĂc ối số v h m số Náu f dữỡng khÊ vi liản tửc thẳ
|f i 0 ||x i −x ∗ i |. trong â f i 0 l ¤o h m dx df i tẵnh tÔi thới iºm trung gian Do dx df i liản tửc v
∆x i kh¡ b², ta câ thº coi
Nghiằm v khoÊng phƠn li nghiằm
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh
Trong õ f l mởt h m số cho trữợc cừa ối số x.
Nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh (1.3) l số thỹc α thọa mÂn (1.3) tực l khi thay α v o x ð vá trĂi ta ữủc: f(α) = 0 (1.4)
ị nghắa hẳnh hồc cừa nghiằm
Ta có hàm số y = f(x) trong mặt phẳng tọa độ ở vùng góc Oxy Giả sử hàm số này cắt trục hoành tại điểm M có tọa độ y = 0 và cắt trục tung tại x = α Thay các giá trị này vào hàm số, ta sẽ nhận được kết quả cần thiết.
Vêy ho nh ở α cừa giao iºm M chẵnh l mởt nghiằm cừa (1.3).
Hẳnh 1.1: ị nghắa hẳnh hồc cừa nghiằm.
Trữợc khi v³ ỗ thà ta cụng cõ thº thay phữỡng trẳnh (1.3) bơng phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: g(x) =h(x), (1.7) rỗi v³ ỗ thà hai h m số (Hẳnh 1.2): y = g(x), y = h(x) (1.8)
GiÊ sỷ hai ỗ thà cưt nhau tÔi iºm M cõ ho nh ở x = α thẳ ta cõ: g(α) =h(α) (1.9)
Vêy ho nh ởα cừa giao iºm M cừa hai ỗ thà (1.8) chẵnh l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.7), tực l cừa (1.3).
Sỹ tỗn tÔi nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh
Trước khi tầm cách tĩnh gần ứng nghiệm của phương trình (1.3), ta cần kiểm tra xem nghiệm thức đó có tồn tại hay không Để làm điều này, ta có thể áp dụng phương pháp sau: Nếu có hai số thực a và b (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a).f(b) < 0, thì theo định lý liên tục, trong khoảng (a, b) sẽ tồn tại ít nhất một nghiệm thức của phương trình (1.3).
Chia oÔn [a, b] th nh hai phƯn bơng nhau bði iºm a+b 2
Chia oÔn [a1, b1] th nh hai phƯn bơng nhau bði iºm a 1 +b 2 1
Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta xĂc ành ữủc hai dÂy an, bn m an l dÂy tông, b n l dÂy giÊm v f(a n ) cũng dĐu vợi f(a), f(b n ) cũng dĐu vợi f(b).
DÂy a n tông, bà ch°n trản bði b ⇒ lim n→∞a n tỗn tÔi.
DÂy b n giÊm, bà ch°n dữợi bði a ⇒ lim n→∞b n tỗn tÔi. °t α = lim n→∞a n , β = lim n→∞b n ,
Về ảnh lẫy 1.1, ước chứng minh cho hàm số y = f(x) trong khoảng a ≤ x ≤ b, ta có thể xác định một đường liên tục nối hai điểm A và B Điểm A nằm dưới, trong khi điểm B là điểm cực trị nằm trên đường đồ thị Hàm số này có giá trị cực đại trong khoảng (a, b).
KhoÊng phƠn li nghiằm
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm về khoảnh (a, b) trong ngữ cảnh của phương trình (1.3) Một khoảnh được coi là một phần liền mạch nếu nó chứa các giá trị f(a) và f(b) trái ngược nhau, điều này cho phép chúng ta áp dụng định lý về giá trị trung gian Hơn nữa, khoảnh (a, b) sẽ là một phần liền mạch của phương trình (1.3) nếu nó thỏa mãn các điều kiện đã nêu.
Tứ giÊ thiát, vẳ f(x) liản tửc v ỡn iằu nản trản (a, b), f(x) tông ho°c gi£m.
Hỡn nỳa, tứ iãu kiằn f(a).f(b) < 0 chựng tọ hai Ưu mút cừa ỗ thà h m số f(x) nơm vã hai phẵa cừa trửc ho nh.
Kát hủp vợi tẵnh ỡn iằu cừa h m số ta suy ra (a, b) l khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0.
Vẽ ảnh lẵ 1.2 ước chứng minh rằng hàm số y = f(x) có cực trị trong khoảng (a, b) Khoảng (a, b) chứa một vài cực trị của phương trình (1.3).
Hẳnh 1.4: KhoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh f (x) = 0
Náu f(x) cõ Ôo h m thẳ iãu kiằn ỡn iằu cõ thº thay bơng iãu kiằn khổng ời dĐu cừa Ôo h m vẳ Ôo h m khổng ời dĐu thẳ h m số ỡn iằu Ta câ: ành lỵ 1.3 Náu [a, b] l mởt khoÊng trong õ h m f(x) liản tửc, Ôo h m f 0 (x) khổng ời dĐu v f(a), f(b) trĂi dĐu thẳ (a, b) l mởt khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng cừa phữỡng trẳnh (1.3).
Để tìm các khoảng phân li nghiệm của phương trình (1.3), người ta thường sử dụng các kỹ thuật phân tích hàm số y = f(x) với f(x) = x³ - x - 1 (1.11) Việc áp dụng các phương pháp này giúp xác định các nghiệm của phương trình một cách chính xác.
HÂy chựng tọ phữỡng trẳnh (1.11) cõ nghiằm thỹc v tẳm khoÊng phƠn li nghiằm.
Trữợc hát ta x²t sỹ bián thiản cừa h m số f(x) Nõ xĂc ành v liản tửc tÔi mồi x, ỗng thới f 0 (x) = 3x 2 −1 = 0 ⇐⇒ x = ± 1
Ta cõ bÊng bián thiản nhữ trong hẳnh 1.5:
Hẳnh 1.5: BÊng bián thiản cừa h m số f (x) = x 3 − x − 1
Vêy ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi mởt iºm duy nhĐt (Hẳnh 1.6), do õ phữỡng trẳnh (1.11) cõ mởt nghiằm thỹc duy nhĐt, kẵ hiằu nõ l α.
Hẳnh 1.6: ỗ thà h m số f (x) = x 3 − x − 1 tÔi khoÊng (1, 2)
Ta tẵnh thảm: f(1) = 1 3 −1−1 = −1 < 0;f(2) = 2 3 −2−1 = 5 > 0. Nhữ vêy, f(1).f(2) < 0.
Vêy khoÊng (1,2) chựa nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.11).
Vẵ dử 1.2 Tẳm khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau:
√ 2x− 27 11 −2(x+ 1) º tẳm khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.12), ta nhớ phƯn mãm Mathematica v³ ỗ thà h m sè y = f(x) = 3( sin πx 2 ) 2 + e
√ 2x− 27 11 −2(x+ 1) trong kho£ng (2, 3) nhữ trong hẳnh (1.7).
Nhẳn v o ỗ thà hẳnh (1.7) ta thĐy ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi mởt iºm trong khoÊng (2, 3) Tuy nhiản º chẵnh xĂc hỡn ta cƯn tẵnh giĂ trà h m số t¤i c¡c iºm x = 2 v x = 3.
Ta cõ: f(2) = −1.0565 < 0;f(3) = 1.14814 > 0 Nhữ vêy, f(2).f(3) < 0.Vêy khoÊng (2,3) chựa nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.12).
TM NGHIM GN ÓNG CÕA PH×ÌNG TRNH BNG
Giợi thiằu
CĂch giÊi quyát
ị tữðng chung cừa phữỡng phĂp tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) l xƠy dỹng mởt dÂy cĂc số x 0 , x 1 , x 2 , , x n , vỡi x 0 l giĂ trà xuĐt phĂt sao cho: n→∞lim x n = α.
Nhữ vêy vợi n khĂ lợn, ta cõ thº xem xn l xĐp x¿ cừa nghiằm α.
Ta có thể ước lượng ảnh giá và sai số tường quát cho hữu hạn các phép lặp như sau: Đối với hàm f(x) liên tục và khép kín trên đoạn [a, b], ngoài ra:
∃m 1 : 0 < m 1 < |f 0 (x)|;∀x ∈ [a, b] (2.3) khi â ta câ ¡nh gi¡:
Phữỡng phĂp chia ổi
Mổ tÊ phữỡng phĂp
Giới thiệu về hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], với f(a) và f(b) có dấu trái ngược Trong khoảng này, tồn tại ít nhất một nghiệm α Chúng ta sẽ tìm nghiệm này bằng cách chia nhỏ khoảng (a, b), chọn khoảng con chứa nghiệm, và tiếp tục chia nhỏ cho đến khi tìm thấy nghiệm hoặc xác định rằng không còn khoảng nào chứa nghiệm Phương pháp này giúp xác định vị trí nghiệm trong khoảng đã cho.
Cử thº trữợc hát ta °t a 0 = a, b 0 = b v cho trữợc mởt giĂ trà ε > 0 ừ nhọ º dũng l m iãu kiằn xĐp x¿ nghiằm v dứng quĂ trẳnh tẵnh toĂn.
Sau õ ta thỹc hiằn cĂc bữợc sau:
Vẳ f(a 0 )f(b 0 ) < 0, do õ mởt trong 2 trữớng hủp sau xÊy ra:
1 f(x 0 ) = 0 Ta cõ x 0 l nghiằm v kát thúc.
2 f(x 0 ) 6= 0 Náu f(a)f(x 0 ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (a, x 0 ) do õ ta °t a 1 = a 0 , b 1 = x 0 Náu f(x 0 )f(b) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (x 0 , b) do õ ta °t a 1 = x 0 , b 1 = b.
Vẳ f(a 1 )f(b 1 ) < 0, do õ mởt trong 2 trữớng hủp sau xÊy ra: a f(x 1 ) = 0 Ta cõ x 1 l nghiằm v kát thúc. b f(x 1 ) 6= 0.
Náu f(a 1 )f(x 1 ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (a 1 , x 1 ) do õ ta °t a 2 = a 1 , b 2 = x 1 Náu f(x 1 )f(b 1 ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (x 1 , b 1 ) do õ ta °t a 2 = x 1 , b 2 = b 1
Vẳ f(a n )f(b n ) < 0, do õ mởt trong 2 trữớng hủp sau xÊy ra: a f(x n ) = 0 Ta cõ x n l nghiằm v kát thúc. b f(xn) 6= 0.
Náu f(a n )f(x n ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (a n , x n ) do õ ta °t a n+1 = a n , b n+1 = x n Náu f(x n )f(b n ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (x n , b n ) do õ ta °t a n+1 = x n , b n+1 = b n
Vẳ nghiằm α ∈ (an+1, bn+1), ta cõ |x n −α| ≤ |b n+1 −an+1| = 2 b−a n+1.
Ta kiºm tra xem náu 2 b−a n+1 ≤ ε thẳ kát thúc, náu khổng thẳ chuyºn sang bữợc n+ 1.
Vẵ dử 2.1 X²t phữỡng trẳnh (1.11): x 3 −x−1 = 0, vợi sai số ε= 10 −1
Ta  chựng minh rơng phữỡng trẳnh n y ch¿ cõ mởt nghiằm thỹc α  phƠn li trong khoÊng (1,2) Vêy: α ∈ (1,2) v f(1) = 1−1−1 < 0 ; f(2) = 2 3 −2−1 > 0
Ta chia ổi khoÊng (1,2) iºm chia l 3 2
Ta chia ổi khoÊng (1, 3 2 ), iºm chia l 5 4 Ta cõ f( 5 4 ) < 0, cũng dĐu vợi f(1). Vêy α ∈ ( 5 4 , 3 2 ).
Ta chia ổi khoÊng ( 5 4 , 3 2 ), iºm chia l 11 8 Ta cõ f( 11 8 ) > 0, trĂi dĐu f( 5 4 ). Vêy α ∈ ( 5 4 , 11 8 ).
Ta chia ổi khoÊng ( 5 4 , 11 8 ), iºm chia l 21 16
Vẳ sai số 2 1 4 = 16 1 = 0.0625 < ε = 10 −1 Nản ta dứng quĂ trẳnh chia ổi tÔi Ơy v lĐy 21 16 = 1.3125 l nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh.
Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp
DÂy a n l dÂy ỡn iằu tông, bà ch°n trản bði b, dÂy b n l dÂy giÊm v bà ch°n dữợi bði a nản cÊ hai dÂy ãu cõ giợi hÔn.
Do bn−an = b−a 2 n nản lim n→∞(bn−an) = 0 hay lim n→∞(an) = lim n→∞(bn) = x.
Do tẵnh liản tửc cừa h m số y = f(x), lĐy giợi hÔn trong biºu thực f(an).f(bn) ≤ 0 ta ữủc f 2 (x) = lim n→∞f(an).f(bn) ≤ 0.Suy ra f(x) = 0 hay xl mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0 trong[a, b].
TÔi bữợc thự n ta cõ an < x < bn v bn −an = b−a a n Náu chồn nghiằm gƯn úng l x = a n thẳ |x−x| ≤˜ b n −a n = b−a 2 n
Náu chồn nghiằm gƯn úng l x˜ = b n thẳ |˜x−x| ≤b n −a n = b−a 2 n
Náu chồn nghiằm gƯn úng l x˜ = a n +b 2 n thẳ ta cõ Ănh giĂ: :
Nhữ vêy, sau bữợc thự n, nản chồn nghiằm gƯn úng l x˜ = c n = a n +b 2 n , ta s³ ữủc nghiằm chẵnh xĂc hỡn.
Náu chồn x˜ = a n +b 2 n thẳ |x −x| ≤˜ b n −a 2 n = 2 b−a n+1 Do õ vợi mội ε > 0 cho trữợc ( ở chẵnh xĂcε> 0 cho trữợc) ta cõ |x−x|˜ < ε vợi mồin > log 2 ( b−a ε ). Náu tÔi mội bữợc n ta ãu chồn x˜= a n +b 2 n thẳ ta cụng cõ:
2 n , do õ khi tẵnh toĂn, ta cõ thº dứng tẵnh toĂn khi x n−1 = x n = x n+1 = úng án chỳ số thêp phƠn cƯn thiát.
Mởt số b i toĂn tẳm nghiằm gƯn úng vợi phữỡng phĂp chia ổi
Vẵ dử 2.2 GiÊi phữỡng trẳnh : x 99 +x−10 = 0, (2.5) vợi ε= 10 −6
Tứ nhên x²t phữỡng trẳnh (2.5) l mởt a thực cõ Ôo h m f 0 (x) = 99x 98 + 1 luổn luổn dữỡng, nản ỡn iằu tông, f(1) = −8 v f(1.03) = 9.688 do õ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt trong khoÊng (1,1.03). x 0 = 1+1.03 2 = 1.015;∆x 0 = 0.015;f(x 0 ) = −4.61845trĂi dĐu vợif(1.03).
Bơng phữỡng phĂp chia ổi qua 12 bữợc l°p ta s³ cõ x 12 = 1.02242 v sai sè 1.03−1 2 12 = 0.00000732 < 10 −6
Vẵ dử 2.3 GiÊi phữỡng trẳnh Ôi số siảu viằt: x 2016 + 21√ 5 x−5 cosx−14 = 0 (2.6)
Tứ nhên x²t phữỡng trẳnh (2.6) l mởt a thực cõ Ôo h mf 0 (x) = 2016x 2015 +
√5 x 4 + 5 sinx, f(0) = −19 v f(1) = 3 do õ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nh§t trong kho£ng (0,1).
Nghiệm của phương trình (2.6) là giao của hai đồ thị ỗ thà h m số y = 2016 + 21√5 x - 14 = 0 và y = 5 cos x Chúng ta có thể sử dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm trong khoảng (0, 1), và phương trình cũng có một hàm số trực tiếp ở hình (2.1).
Hẳnh 2.1: ỗ thà hai h m số y = x 2016 + 21 √ 5 x − 14 v y = 5 cosx
Nhẳn v o ỗ thà (2.1) ta thĐy hai h m số cưt nhau tÔi mởt iºm trong khoÊng (0.4,0.7) Tuy nhiản, º chẵnh xĂc hỡn ta cƯn tẵnh giĂ trà cừa h m sè t¤i x = 0.4;x = 0.7 Ta câ: f(0.4) = −1.51626;f(0.7) = 0.55452.
Vêy phữỡng trẳnh (2.6) cõ nghiằm duy nhĐt trong khoÊng (0.4,0.7).
Vợi khoÊng phƠn li nghiằm(0.4,0.7), vợi phữỡng phĂp chia ổi cũng vợi sỹ hộ trủ cừa phƯn mãm Mathematica sau 20 bữợc l°p ta cõ nghiằmx 20 = 0.510998 v sai số nhọ hỡn 0.7−0.4 2 20 = 2.861022949.10 −7
Ch÷ìng 3 ÙNG DệNG PHN MM
GN ÓNG CÕA PH×ÌNG
TRNH BNG PH×ÌNG PHP
Mởt v i n²t vã phƯn mãm Mathematica
Giợi thiằu
Mathematica là phần mềm ưu tiên của Wolfram Research, được phát triển vào năm 1988, nhằm cung cấp một hệ thống thực hiện các tính toán toán học trên máy tính hiện đại Đây là một công cụ mạnh mẽ cho các nhà khoa học, kỹ sư và toán học, cho phép thực hiện các phép toán phức tạp và xử lý dữ liệu Kể từ khi phiên bản đầu tiên được phát hành, Mathematica đã trở thành phần mềm quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, đóng góp vào sự tiến bộ trong nghiên cứu và ứng dụng công nghệ.
Mathematica l ngổn ngỳ tẵch hủp Ưy ừ nhĐt cĂc tẵnh toĂn kÿ thuêt.
Ngôn ngữ lập trình Mathematica nổi bật với khả năng xử lý dữ liệu mạnh mẽ và giao diện thân thiện, giúp người dùng dễ dàng thao tác và phân tích dữ liệu phức tạp Với các tính năng vượt trội, Mathematica là lựa chọn hàng đầu cho những ai cần làm việc với dữ liệu lớn và thực hiện các phép toán phức tạp, không kém cạnh so với các ngôn ngữ lập trình khác.
Nhớ khê nông mổ hình hóa và mổ phỏng các hàm lợn, cần kết hợp các hàm ở ng Mathematica khổng chứa được dựng dữ liệu trong lãnh vực vật lý, kết thuết và toán học còn được mở rộng trong các lãnh vực như sinh học, các khoa học xã hội, cần kết hợp các lãnh vực tài chính phức tạp.
Mathematica cung cấp giao diện thân thiện cho người sử dụng thông qua các bên ghi (notebook) Các bên ghi này là các dòng của sự biểu diễn mở lưới sử dụng Mathematica, bao gồm các ghi chú, mã nguồn, và kết quả thực hiện Tệp bên ghi có định dạng *.nb Ngoài ra, Mathematica còn cung cấp giao diện phong phú với các bảng lệnh (Palettes) và các nút lệnh (Button), giúp người sử dụng dễ dàng nhập chuỗi lệnh và tùy biến theo nhu cầu.
Mathematica là một công cụ mạnh mẽ trong lĩnh vực toán học, hỗ trợ tính toán số, đại số, và giải tích Phần mềm này cung cấp khả năng xử lý các bài toán nông, bao gồm tính toán bậc một và bậc hai, cũng như các biến số trong các hệ thống đa chiều Với tính năng phong phú, Mathematica trở thành một cuốn bách khoa toàn thư hữu ích cho các nhà nghiên cứu và sinh viên trong lĩnh vực toán học và khoa học.
Mởt số h m thổng dửng
Hẳnh 3.1: Mởt số h m thổng dửng trong phƯn mãm Mathematica.
Ùng dửng phƯn mãm Mathematica giÊi phữỡng trẳnh bơng phữỡng phĂp chia ổi
Việc lập trình trản phân mãn Mathematica giúp thực hiện một số thuật toán tham số nhanh hơn Tuy nhiên, để giải quyết phương trình tầm nghiềm gần đúng bằng phương pháp chia ổi thống qua việc lập trình máy tính, cần chú ý đến các ứng dụng trong sinh viên khối ô học, cao đẳng Trong bài viết này, tôi sẽ trình bày cách sử dụng phần mềm Mathematica để tìm kiếm và xác định giá trị của phương trình bằng các gói công cụ lập trình.
Quay trð lÔi vợi vẵ dử 2.2: º tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh: x 99 +x−10 = 0Vợi mởt số cƠu lằnh trản phƯn mãm Mathematica ta cõ ữủc kát quÊ nhữ sau:
Hẳnh 3.2: Vẵ dử 2.2 vợi phƯn mãm Mathematica 5.2
Trð lÔi vợi vẵ dử 2.3.
Trong quá trình sử dụng phần mềm Mathematica, chúng ta có thể nhận thấy rằng việc tính toán với hai hàm số tràn có thể trở nên phức tạp và tốn thời gian Điều này dẫn đến nguy cơ xảy ra sai sót trong quá trình tính toán Do đó, việc sử dụng tính năng hỗ trợ của phần mềm Mathematica giúp chúng ta có thể tin tưởng vào kết quả tính toán và tiết kiệm thời gian hơn.
Hẳnh 3.3: Vẵ dử 2.3 vợi phƯn mãm Mathematica 5.2
BƠy giớ ta tiáp tửc x²t nhỳng b i toĂn phực tÔp hỡn m rĐt khõ º cõ thº tẵnh toĂn thừ cổng.
Vẵ dử 3.1 GiÊi phữỡng trẳnh sau bơng phữỡng phĂp chia ổi:
Nhớ sỹ hộ trủ cừa phƯn mãm Mathematica, ta cõ thº dạ d ng v³ ữủc ỗ thà cõa h my = f(x) = Log 10 (2cosx− sin5x+99)+ sin2x+e x −2x 14 +q x+2 1 x trong khoÊng (1,2) nhữ hẳnh (3.4).
Hẳnh 3.4: ỗ thà vẵ dử 3.1 trong khoÊng [1, 2]
Nhẳn v o ỗ thà, ta thĐy ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi 1 iºm trong khoÊng
Trong bài viết này, chúng ta xác định rằng phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất trong khoảng (1,2) Cụ thể, chúng ta có f(1) = 5.9448 (lớn hơn 0) và f(2) = -32755.52 (nhỏ hơn 0), cho thấy sự tồn tại của nghiệm trong khoảng này Do đó, thông qua việc phân tích hàm số, chúng ta có thể tìm được nghiệm gần đúng của phương trình (3.1) bằng các phương pháp số học.
Hẳnh 3.5: GiÊi phữỡng trẳnh y = f (x) = Log 10 (2 cosx − sin5x + 99) + sin2x + e x − 2x 14 + q
1 x+2 x ị nghắa thuêt toĂn trản Mathematica: f(x) = Log 10 (2 cosx− sin5x+ 99) + sin2x+e x −2x 14 +q x+2 1 x; {a, b} {1,2}; dũng º khai bĂo h m f(x) v khoÊng phƠn li nghiằm [a, b].
Sỹ dửng lằnh "Do yêu cầu máy thực hiện tình thực hiện tình toán có thảm lằnh Print [(a + b)/2]" sẽ hiển thị kết quả từng bước lặp lẩn m lần, với (cử thể lặp 20 bước in kết quả (a+b)/2) Các giá trị [a, b] được xác định như sau: nếu f[a] * f[(a + b)/2] < 0 thì {a, b} = {a, (a+b)/2} ngược lại {a, b} = {(a + b)/2, b} Nhấn tổ hợp phím Shift + Enter để chạy chương trình.
Kát luên: Sau 20 bữợc l°p, nghiằm hởi tử, ta ữủc nghiằm cuối cũng x 20 = 1.086.
Vẵ dử 3.2 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau bơng phữỡng phĂp chia ổi: x 1994 − Log 7 (2010 + 14x 2 )−2 T an5x+ 12 √ x+ 1001 + cosπx
4 = 0 (3.2) º tẳm khoÊng phƠn ly nghiằm, ta nhớ Mathematica v³ ỗ thà h m số y = f(x) = x 1994 − Log 7 (2010 + 14x 2 ) −2 T an5x+ √ 12 x+ 1001 + cos πx 4 nhữ trong hẳnh (3.6).
Hẳnh 3.6: ỗ thà vẵ dử 3.2 trong khoÊng (−1.001, 0.99)
Trong khoảng (-1.001, 0.99), phương trình (3.2) có một nghiệm duy nhất Ta tính giá trị f(-1.001) = 6.3787 > 0 và f(-0.99) = -0.9607 < 0, cho thấy phương trình có một nghiệm trong khoảng này Sử dụng sự hỗ trợ của phần mềm Mathematica, chúng ta có thể tìm nghiệm của phương trình một cách hiệu quả như trình bày trong hình (3.7).
Hẳnh 3.7: Tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh (3.2)
Kát luên: Sau 17 bữợc l°p, nghiằm hởi tử, ta ữủc nghiằm cuối cũng x 17 = −0.99.
Vẵ dử 3.3 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau bơng phữỡng phĂp chia ổi: e 5x + ( Sinx) 3 −3( Ln2) 2 e 2x + cosx
Phương trình √x² + 100 = 0 không có nghiệm thực, nhưng trong đồ thị y = f(x) = e^(5x) + (Sinx)³ − 3(Ln2)² e^(2x) + √(cosx) x² + 100, ta nhận thấy rằng phương trình này có nghiệm trong khoảng [-π/2, -6/5] Tính giá trị f(−π/2) = 0.0368 > 0 và f(−6/5) = −0.0290216 < 0, cho thấy phương trình có một nghiệm duy nhất trong khoảng (-π/2, -6/5).
Hẳnh 3.8: ỗ thà vẵ dử 3.3 trong khoÊng ( −π 2 , −6 5 )
Tiáp theo ta giÊi phữỡng trẳnh n y bơng phữỡng phĂp chia ổi vợi sỹ hộ trủ cừa phƯn mãm Mathematica nhữ trong hẳnh (3.9).
Hẳnh 3.9: Tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh (3.3)
Kát luên: Sau 19 bữợc l°p, nghiằm hởi tử, ta ữủc nghiằm cuối cũng x 19 = −1.2.
Nhên x²t là một phương pháp hữu ích trong việc chia ổi ỡn và xử lý các hởi tử khĂ chêm Tuy nhiên, việc sử dụng phần mềm Mathematica có thể giúp chúng ta đạt được độ chính xác cao hơn trong các phép tính, đồng thời mở ra nhiều cách giải nhanh chóng và hiệu quả hơn trong việc giải quyết vấn đề.
Sau thời gian nỗ lực, nhóm nghiên cứu đã sử dụng phần mềm Mathematica để phân tích và tìm ra những kết quả quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu của họ.
1 Tẳm hiºu, trẳnh b y v hằ thống lÔi nhỳng kián thực tờng quĂt vã lỵ thuyát sai số, khoÊng phƠn ly nghiằm, phữỡng phĂp chia ổi.
2 Trẳnh b y mởt cĂch c°n k³ vã cĂch xƠy dỹng cổng thực l°p, tẵnh hởi tử, Ănh giĂ sai số cừa phữỡng phĂp chia ổi º giÊi phữỡng trẳnh f(x) = 0.
3 Ùng dửng phƯn mãm Mathematica º giÊi quyát cĂc b i toĂn giÊi phữỡng trẳnh bơng phữỡng phĂp chia ổi.
Sỷ dửng phần mềm Mathematica là công cụ hữu ích trong việc phân tích dữ liệu và mô phỏng các hệ thống phức tạp Phần mềm này cung cấp nhiều tính năng mạnh mẽ để hỗ trợ các nhà nghiên cứu trong việc thu thập và xử lý thông tin Đồng thời, Mathematica cũng giúp tối ưu hóa quy trình làm việc và nâng cao hiệu quả trong các dự án nghiên cứu, đặc biệt là trong lĩnh vực phân tích số liệu và mô hình hóa.