KHI NI›M V— SÈ G†N ÓNG

Sai số tuyằt ối, sai số tữỡng ối

Trong toán học, chúng ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các số thực Một số gần đúng được ký hiệu là a*, và sai số giữa a và a* được định nghĩa là ∆ = |a - a*|, trong đó ∆ là sai số tuyệt đối của a Do không biết giá trị chính xác của a*, chúng ta cũng không thể xác định ∆ Tuy nhiên, chúng ta có thể xác định rằng ∆a ≥ 0, từ đó có thể tính toán sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn các điều kiện đã nêu.

|a−a ∗ | ≤∆a (1.1) hay a−∆a ≤ a ∗ ≤ a+ ∆a ữỡng nhiản ∆a thọa mÂn iãu kiằn (1.1) c ng nhọ c ng tốt Sai số tữỡng ối cừa a l δa := ∆a

Sai số thu gồn

Mởt số thêp phƠn a cõ dÔng tờng quĂt nhữ sau: a = ±(β p 10 p +β p−1 10 p−1 + +β p−s 10 p−s )

Trong khoảng 0 ≤ βi ≤ 9 (i = p−1, p−s) với βp > 0 là những số nguyên Nếu p−s ≥ 0 thì đó là số nguyên; nếu p−s = −m (m > 0) thì có phần là gồm m chữ số Nếu s = +∞, thì là số thép phân vô hạn Thu gọn một số a là vật bọc một số các chữ số bản phải a, được mở rộng hơn và gần gũi hơn với a.

Qui tưc thu gồn: GiÊ sỷ a = (β p 10 p + +β j 10 j + +β p−s 10 p−s ) v ta giỳ lÔi án số hÔng thự j Gồi phƯn vựt bọ l à, ta °t a = β p 10 p + + β j+1 10 j+1 +βe j 10 j ) trong â: βe j :( βj + 1 náu 0.5ì10 j < à < 10 j , β j náu 0 < à < 0.5ì10 j , (1.2)

Náu à = 0.5ì10 j thẳ βe j = β j náu β j l chđn v βe j = β j+1 náu β j l´ vẳ tẵnh toĂn vợi số chđn thuên tiằn hỡn.

SAI SÈ TNH TON

Trong tính toán, thường gặp bốn loại sai số chính: Thứ nhất, sai số thiết bị, xảy ra do hạn chế của công cụ đo lường, dẫn đến sai lệch không thể tránh khỏi Thứ hai, sai số phương pháp, phát sinh từ sự phức tạp của các bài toán, khi không thể áp dụng chính xác các phương pháp giải Thứ ba, sai số số liệu, liên quan đến sự không chính xác trong quá trình thu thập dữ liệu Cuối cùng, sai số tính toán, xảy ra khi các số liệu có sai số và có thể dẫn đến sai lệch trong kết quả tính toán.

GiÊ sỷ phÊi tẳm Ôi lữủng y theo cổng thực: y = f(x 1 , x 2 , , x n )

Gồi x ∗ i , y ∗ (i = 1, n) v x i , y(i = 1, n) l cĂc giĂ trà úng v gƯn úng cừa cĂc ối số v h m số Náu f khÊ vi liản tửc thẳ

|f i 0 ||x i −x ∗ i |. trong õ f i 0 l Ôo h m dx df i tẵnh tÔi cĂc thới iºm trung gian Do dx df i liản tửc v ∆x i khĂ b² ta cõ thº coi

NGHI›M V€ KHOƒNG PH N LI NGHI›M

Nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh mởt ân

X²t phữỡng trẳnh mởt ân: f(x) = 0 (1.3) trong õ f l mởt h m số cho trữợc cừa ối số x.

Nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh (1.3) l số thỹc α thọa mÂn (1.3) tực l khi thay α v o x ð vá trĂi ta ữủc: f(α) = 0 (1.4)

ị nghắa hẳnh hồc cừa nghiằm

Ta có hàm số y = f(x) trong mặt phẳng tọa độ Oxy Giả sử hàm số này có một điểm M tại y = 0 và x = α Thay các giá trị này vào hàm số, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng.

Vêy ho nh ở α cừa giao iºm M chẵnh l mởt nghiằm cừa (1.3).

Hẳnh 1.1: ị nghắa hẳnh hồc cừa nghiằm

Trữợc khi v³ ỗ thà ta cụng cõ thº thay phữỡng trẳnh (1.3) bơng phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: g(x) = h(x) (1.7)

Rỗi v³ ỗ thà cừa hai h m số (Hẳnh 1.2) y = g(x), y = h(x) (1.8)

GiÊ sỷ hai ỗ thà Đy cưt nhau tÔi iºm M cõ ho nh ở x = α thẳ ta cõ: g(α) = h(α) (1.9)

Vêy ho nh ở α cừa giao iºm M cừa hai ỗ thà (1.8) chẵnh l mởt nghiằm cừa (1.7), tực l cừa (1.3).

Sỹ tỗn tÔi nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh mởt ân 10

Trước khi tắm cách tĩnh gần ứng nghiệm của phương trình (1.3), ta phải kiểm tra xem nghiệm thực của nó có tồn tại hay không Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp ở mục 1.3.2 Cụ thể, nếu có hai số thực a và b (với a < b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a) * f(b) < 0, thì hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] sẽ đảm bảo rằng trong khoảng (a, b) có ít nhất một nghiệm thực của phương trình (1.3).

Chia oÔn [a, b] th nh hai phƯn bơng nhau bði iºm a+b 2

Chia oÔn [a 1 , b 1 ] th nh hai phƯn bơng nhau bði iºm a 1 +b 2 1

Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta xĂc ành ữủc hai dÂy {a n },{b n } m {a n } l dÂy tông, {b n } l dÂy giÊm v f(a n ) cũng dĐu vợi f(a), f(b n ) cũng dĐu vợi f(b).

DÂy {a n } tông, bà ch°n trản bði b ⇒ lim n→∞a n tỗn tÔi.

DÂy {b n } giÊm, bà ch°n dữợi bði a ⇒ lim n→∞b n tỗn tÔi. °t α = lim n→∞a n , β = lim n→∞b n ,

Vẽ ảnh lẵ 1.1 chứng minh rằng có thể chứng minh hàm số y = f(x) trong khoảng a ≤ x ≤ b Đường liên tục nối hai điểm A và B, với A nằm dưới và B nằm trên, phải cắt trục hoành tại ít nhất một điểm trong khoảng từ a đến b Do đó, phương trình (1.3) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).

Hẳnh 1.3: ỗ thà cừa h m số y(x) tÔi a ≤ x ≤ b

KhoÊng phƠn li nghiằm

Khoảng (a, b) là một khoảng phân li nghiêm ngặt của phương trình (1.3) nếu như nó chứa một giá trị mà hàm số f(x) liên tục và có dấu hiệu trái ngược tại f(a) và f(b) Điều này có nghĩa là nếu f(a) và f(b) có dấu hiệu khác nhau, thì theo định lý Bolzano, tồn tại ít nhất một giá trị c nằm trong khoảng (a, b) sao cho f(c) = 0, từ đó khẳng định (a, b) là một khoảng phân li nghiêm ngặt của phương trình (1.3).

Tứ giÊ thiát, vẳ f(x) liản tửc v ỡn iằu nản trản (a, b), f(x) tông ho°c gi£m.

Hỡn nỳa, tứ iãu kiằn f(a).f(b) < 0 chựng tọ hai Ưu mút cừa ỗ thà h m số f(x) nơm vã hai phẵa cừa trửc ho nh.

Kát hủp vợi tẵnh ỡn iằu cừa h m số ta suy ra (a, b) l khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0.

Vêy ành lẵ 1.2 Â ữủc chựng minh cho thấy rằng hàm số y = f(x) có thể được mô tả thông qua đồ thị (Hình 1.4) Đồ thị của hàm số này nằm trong khoảng (a, b), nơi chứa một số điểm và các giá trị của hàm số Khoảng (a, b) này thể hiện các điểm cực trị của phương trình (1.3).

Hẳnh 1.4: KhoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh f (x) = 0

Náu f(x) cõ Ôo h m thẳ iãu kiằu kiằn ỡn iằu cõ thº thay bơng iãu kiằn khổng ời dĐu cừa Ôo h m vẳ Ôo h m khổng ời dĐu thẳ h m số ỡn iằu Ta cõ: ành lỵ 1.3 Náu (a, b) l mởt khoÊng trong õ h m f(x) liản tửc, Ôo h m f 0 (x) khổng ời dĐu v f(a), f(b) trĂi dĐu thẳ (a, b) l mởt khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.3).

Muốn tẳm cĂc khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.3) thữớng ngữới ta nghiản cựu sỹ bián thiản cừa h m số y = f(x) rỗi Ăp dửng ành lẵ 1.3.

Vẵ dử 1.1 Cho phữỡng trẳnh: f(x) =x 3 −x−1 (1.11)

HÂy chựng tọ phữỡng trẳnh (1.11) cõ nghiằm thỹc v tẳm khoÊng phƠn li nghiằm.

Trữợc hát ta x²t sỹ bián thiản cừa h m số f(x) Nõ xĂc ành v liản tửc tÔi mồi x, ỗng thới f 0 (x) = 3x 2 −1 = 0 ⇐⇒ x = ± 1

Ta cõ bÊng bián thiản nhữ trong Hẳnh 1.5: trong â: f(M) =f(− 1

Hẳnh 1.5: BÊng bián thiản cừa h m số f (x) = x 3 − x − 1

Vêy ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi mởt iºm duy nhĐt (Hẳnh 1.6), do õ phữỡng trẳnh (1.11) cõ mởt nghiằm thỹc duy nhĐt, kẵ hiằu nõ l α.

Hẳnh 1.6: ỗ thà h m số f (x) = x 3 − x − 1 trong khoÊng [1, 2]

Ta tẵnh thảm: f(1) = 1 3 −1−1 = −1< 0; f(2) = 2 3 −2−1 = 5 > 0. Nhữ vêy, f(1).f(2) < 0.

Vêy khoÊng (1,2) chựa nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.11).

PH×ÌNG PHP DY CUNG

TM NGHIM GN ÓNG CÕAPH×ÌNG TRNH

GIẻI THI›U

CĂch giÊi quyát

Thổng thữớng, quĂ trẳnh giÊi phữỡng trẳnh (2.1) bao gỗm hai bữợc sau:

• Bữợc giÊi sỡ bở: é giai oÔn n y, ta tẳm mởt khoÊng ừ b² chựa nghiằm cừa f(x).

Bước giải quyết vấn đề: Tắm nghiềm vợi ở chính xác cần thiết Giải sở bở phương trình (2.1) ta có thể sử dụng các phương pháp ẩn như phương pháp chia ổi và phương pháp ỗ thà Phương pháp chia ổi là một trong những kỹ thuật quan trọng trong việc giải quyết các phương trình phức tạp.

GiÊ sỷ h m số f(x) liản tửc trản oÔn [a, b] v f(a).f(b) < 0.

Gồi ∆ 0 := [a, b], ta chia ổi ∆ 0 v chồn ∆ 1 := [a 1 , b 1 ] l mởt trong hai nûa cõa ∆0 sao cho f(a1).f(b1) ≤ 0.

Nõi chung ð bữợc thự n, ta cõ:

Ngo i ra b n − a n = (b−a) 2 n → 0(khi n → ∞) Dạ thĐy dÂy a n ỡn iằu tông, bà ch°n trản bði b cỏn dÂy b n ỡn iằu giÊm, bà ch°n dữợi bði a. Hìn núa, do b n −a n → 0 suy ra a n , b n → α(n → ∞).

Vẳf(a n ).f(b n ) ≤ 0nản chon→ ∞, ta cõ[f(α)] 2 ≤ 0, suy raf(α) = 0. Ngo i ra, ta cõ ữợc lữủng sai số sau:

Phương pháp chia ổi là một kỹ thuật toán học đơn giản nhưng hiệu quả, giúp giải quyết các bài toán phức tạp Phương pháp này không chỉ tiết kiệm thời gian mà còn cung cấp thông tin chính xác cho người dùng Ngoài ra, phương pháp này còn dễ dàng áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ toán học đến công nghệ thông tin.

V³ là một hàm số y = f(x) trên một khoảng ổn định Hình học của giao điểm giữa hai hàm y = ϕ(x) và y = ψ(x) cho thấy mối quan hệ giữa chúng Để tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, ta cần xác định các giao điểm này Nghiệm của phương trình được xác định bởi các giao điểm của hai hàm số trên.

Vẵ dử 2.1: Tẳm khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau:

3x−2√ 8 x−5 = 0 (2.3) °t y = f(x) = 3x−2√ 8 x−5 Ta cõ thº dạ d ng tẵnh ữủc f(0) = −5 v f(5) = 3.5−2√ 8

5−5' 7,5543109 > 0 Do õ, phữỡng trẳnh (2.3) cõ ẵt nhĐt 1 nghiằm trong khoÊng (0,5) º xem dĂng iằu hẳnh hồc cừa ỗ thà, ta cõ thº nhớ phƯn mãm Mathematica v³ ỗ thà trong khoÊng

Nhẳn v o ỗ thà (2.1) ta thĐy ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi mởt iºm trong khoÊng(2,3) Tuy nhiản, º chẵnh xĂc hỡn ta cƯn tẵnh giĂ trà cừa h m số t¤i c¡c iºm x = 2 v x = 3 Ta câ: f(2) = −1,181< 0, f(3) = 1,706>

Vêy phữỡng trẳnh (2.3) cõ mởt nghiằm duy nhĐt trong khoÊng (2,3)

Sau khi xác định mục tiêu chính xác, việc tiếp theo là lựa chọn phương pháp phù hợp để thực hiện Có nhiều phương pháp có thể áp dụng như phương pháp lập, phương pháp dây cung, và phương pháp tiếp tuyến Tuy nhiên, do thời gian có hạn trong quá trình thực hiện, tôi sẽ tập trung vào phương pháp dây cung, vì nó giúp đạt được mục tiêu một cách hiệu quả nhất.

PH×ÌNG PHP D Y CUNG

Mổ tÊ phữỡng phĂp

Giải sỹ răng ta tìm hiểu phương trình (2.1) với khoảng (a, b) Chúng ta luôn thiết lập các điều kiện sau cho bài toán: a Phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất trong khoảng (a, b) b Hàm f thuộc C²[a, b] và f'(x), f''(x) không đổi dấu trong khoảng (a, b).

Vã nguyản tưc phữỡng pháp dƠy cung giống như phữỡng pháp chia ổi, nghĩa là dựa vào hai điểm a0 = a, b0 = b ban đầu Ta sẽ chọn các điểm xn nằm trong khoảng (an, bn) sao cho khoảng chọn luôn chứa nghiệm của phương trình Theo phương pháp chia ổi, xn được chọn nằm giữa hai khoảng (an, bn) và (an+1, bn+1) tiếp theo, sao cho khoảng chứa nghiệm trong hai khoảng con (an, xn) hoặc (xn, bn) Như vậy, khoảng (an, bn) sẽ dần tiệm cận tới 0, cho phép ta xem xét các điểm nằm trong khoảng là nghiệm của phương trình.

Cỏn có phương pháp dạy cung cấp trà xanh nước chồn tiệp theo lối giao tiếp của dạy, giúp nối 2 điểm biểu diễn ở thà tôi 2 ưu khoáng con vợi trực hoành.

Ta lữu ỵ l trong phương pháp chia ổi ở dải khoảng (an, bn) tiến dần tới 0, nhưng trong phương pháp này cũng giữ nguyên tính chất Có thể mở một trong hai giá trị a hoặc b để giữ sự ổn định Giá trị này sẽ luôn đóng vai trò là an hoặc bn Nếu b giữ nguyên thì luôn đóng vai trò bn, thì an sẽ thay đổi và chính là xn−1, với n = 1, 2, Dãy x0, x1, , xn, là dãy số tổng hợp hoặc dãy số hội tụ Không những vậy, phương pháp chia ổi, điều kiện đứng ở dải khoảng (an, bn) mà còn ở dải khoảng (xn, xn−1) Ta sẽ đứng thuế toán và xem xn là nghiệm xấp xỉ nếu |xn − xn−1| ≤ ε hoặc (v).

Ta biát rơng phữỡng trẳnh ữớng th¯ng i qua hai iºmA(a, f(a)), B(b, f(b)) câ d¤ng: y −f(a) f(b)−f(a) = x−a b−a (2.4)

DƠy cung AB cưt trửc ho nh tÔi iºm cõ tồa ở (c,0), do õ ta cõ:

Trước hết, ta có hai biến a và b, cùng với một khoảng mở ε > 0 và δ > 0 để kiểm tra tính chính xác của các giá trị Ta cũng xác định số bước lặp tối đa là k Sau k bước lặp, ta sẽ thu được kết quả cuối cùng và tổng hợp số bước lớn nhất, đồng thời kiểm tra tính đúng đắn của kết quả.

Sau õ ta thỹc hiằn cĂc bữợc sau:

Vẳ f(a 0 )f(b 0 ) < 0, do õ mởt trong hai trữớng hủp sau Ơy s³ xÊy ra: a |f(x 0 )| ≤ δ Ta cõ x 0 l nghiằm xĐp x¿ v kát thúc. b f(x 0 ) 6= 0.

Náu f(a)f(x 0 ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (a, x 0 ) do õ ta °t: a 1 = a 0 , b 1 = x 0

Náu f(x0)f(b) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (x0, b) do õ ta °t: a 1 = x 0 , b 1 = b 0 Chuyºn sang bữợc 1

Vẳ f(a 1 )f(b 1 ) < 0, do õ mởt trong hai trữớng hủp sau Ơy s³ xÊy ra: a |x 1 −x 0 | ≤ ε v |f(x 1 )| ≤ δ Ta cõ x 1 l nghiằm xĐp x¿ v kát thóc. b f(x1) 6= 0.

Náu f(a 1 )f(x 1 ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (a 1 , x 1 ) do õ ta °t: a2 = a1, b2 = x1.

Náu f(x 1 )f(b 1 ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (x 1 , b 1 ) do õ ta °t: a 2 = x 1 , b 2 = b 1

Vẳ f(a n )f(b n ) < 0, do õ mởt trong hai trữớng hủp sau Ơy s³ xÊy ra: a |x n −x n−1 | ≤ε v |f(x n )| ≤ δ Ta cõ x n l nghiằm xĐp x¿ v kát thóc. b f(xn) 6= 0.

Náu f(a n )f(x n ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (a n , x n ) do õ ta °t: a n+1 = a n , b n+1 = x n

Náu f(x n )f(b n ) < 0 thẳ nghiằm s³ ð trong khoÊng (x n , b n ) do õ ta °t: a n+1 = x n , b n+1 = b n Náu n > k (trong õ k l số bữợc l°p tối a) thẳ thổng bĂo số bữợc  quĂ lợn v kát thúc.

Vẵ dử 2.2: Ta x²t phữỡng trẳnh: f(x) = sinx−x 2 cosx = 0.

Phữỡng trẳnh n y cõ nghiằm úng l x = 0

Ta có a = -0,5 và b = 2 với giá trị f(a) = -0,6988 và f(b) = 2,5739 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp bisection Với ε = 10^-3 và sử dụng phần mềm Mathematica 5.2, sau 4 bước lặp, chúng ta nhận được kết quả gần đúng là 0,00044.

Vã ỵ tữðng thẳ phữỡng phĂp dƠy cung rĐt ỡn giÊn v dạ hiºu Tuy nhiản º khÊo sĂt mởt cĂch ch°t ch³ thẳ ta phÊi phƠn ra mởt số iãu kiằn h m lỗi ho°c lóm trong khoÊng [a, b] é Ơy, chúng ta s³ khổng i quĂ v o cĂc chi tiết n y.

Ta viát lÔi cổng thực (2.5) c = a− f(a)(b−a) f(b)−f(a) = a− f(a)(a−b) f(a)−f(b). Vẳ khi tẵnh c thẳ a v b ãu bẳnh ¯ng nản c = b− f(b)(b−a) f(b)−f(a) = b− f(b)(a−b) f(a)−f(b).

Trong bài toán tối ưu hóa hàm số f(x) trên đoạn [a, b], nếu f''(x) < 0, hàm f(x) có tính lồi, và nếu f''(x) > 0, hàm f(x) có tính lõm Khi đó, một trong hai điểm a hoặc b sẽ được cố định Nếu cố định d là một trong hai đầu mút, giá trị còn lại x₀ sẽ được tính theo công thức: xₙ = xₙ₋₁ - f(xₙ₋₁)(xₙ₋₁ - d) / (f(xₙ₋₁) - f(d)), với n = 0, 1, 2, Trong trường hợp hàm f(x) lồi trên đoạn [a, b], ta có f''(x) ≤ 0 và d cũng sẽ được cố định theo f''(x) Cụ thể, nếu d = a thì x₀ = b và ngược lại, nếu d = b thì x₀ = a Ngược lại, nếu hàm f(x) lõm trên đoạn [a, b], tức là f''(x) ≥ 0, d cũng sẽ được cố định tương tự.

Vêy ta luổn chồn d cũng dĐu vợi f 00 (x).

Ngo i ra, phữỡng phĂp dƠy cung cụng cõ thº thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau: °t: x 0 = a, B = b khi f(a).f” < 0, x0 = b, B = a khi f(a).f 00 > 0 (2.7) v tẵnh xk+1 theo cổng thực ằ quy: x k+1 = x k − (B −xk).f(xk) f(B)−f(x k ) (2.8)

Chú ý rằng khi f(x) không liên tục, ta cần áp dụng phương pháp dây ốm để xác định giới hạn Do sai số cho phép là ε, sau bước lập thuyết, ta kiểm tra giá trị f(xk) và f(xk + s.ε) Nếu x0 = a, thì s = 1; nếu x0 = b, thì s = -1 Nếu f(xk) và f(xk + s.ε) có dấu trái ngược nhau, điều này cho thấy tồn tại ít nhất một giá trị x nằm trong khoảng xk ± ε.

Vẵ dử 2.3: LÔi x²t phữỡng trẳnh (1.11) x 3 −x−1 = 0.

Vợi khoÊng phƠn li nghiằm  biát l (1,2)

Trản khoÊng (1,2) cõ f 00 (x) = 6x > 0, f(1) = −1 Do õ vợi phữỡng phĂp dƠy cung chồn x 0 = a = 1;B = b = 2;s = 1 Tiáp theo l tẵnh toĂn theo cổng thực l°p (2.8).

Sỷ dửng phƯn mãm Mathematica 5.2 vợi sai số cho ph²p l ε = 10 −4 thẳ sau 10 bữợc l°p ta nhên ữủc cĂc giĂ trà nghiằm xĐp x¿ nhữ trong bÊng(2.1)

Số bữợc l°p GiĂ trà nghiằm xĐp x¿ cừa phữỡng trẳnh (2.8)

BÊng 2.1: CĂc giĂ trà nghiằm xĐp x¿ vợi ε = 10 −4

Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp v Ănh giĂ sai số

DÂy xĐp x¿ liản tiáp l mởt dÂy tông, bà ch°n trản: a = x 0 < x 1 < < x n < x n+1 < α < b, ho°c l dÂy giÊm, bà ch°n dữợi b = x0 > x1 > > xn > xn+1 > α > a,

Do õ hởi tử án giĂ trà α.

Hỡn nỳa, chuyºn qua giợi hÔn trong cổng thực: x n = x n−1 − f(x n−1 )(x n−1 −d) f(x n−1 )−f(d) ta ữủc: α = α− f(α)(a−d) f(α)−f(d).

Tứ Ơy suy ra f(α) = 0 hay α chẵnh l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) trong kho£ng (a, b). b) ¡nh gi¡ sai sè

GiÊ sỷ f 0 (x) khổng ời dĐu trản (a, b) v 0 < m ≤ |f 0 (x)| ≤ M < ∞ vợi ∀x ∈ (a, b).

Ta cõ cĂc cổng thực Ănh giĂ sai số sau Ơy:

Chùng minh: p dửng ành lẵ giĂ trà trung bẳnh Lagrange (Cổng thực số gia hỳu h¤n), ta câ: f(x n )−f(α) = f 0 (c)(x n −α)(x n −α) vợi c ∈ (x n , α) ⊂ (a, b).

Nhữ vêy, º Ănh giĂ ở chẵnh xĂc cừa nghiảm nhên ữủc bơng phữỡng phĂp dƠy cung, ta cõ thº sỷ dửng cổng thực:

Ngo i ra, náu biát 2 giĂ trà gƯn úng liản tiáp, ta cõ thº Ănh giĂ sai sè nh÷ sau:

Tứ trản (chựng minh sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp dƠy cung) ta cõ: x n = x n−1 − f(x n−1 )(x n−1 −d) f(x n−1 )−f(d) , n = 0,1,2,

Vẳ α l nghiằm úng cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0 nản ta cõ thº viát: f(α)−f(x n−1 ) = f(x n−1 )−f(d) x n−1 −d (x n −x n−1 ). p dửng ành lẵ giợi hÔn trung bẳnh Lagrange, ta cõ: f 0 (c 1 )(α−x n−1 ) = f(α)−f(x n−1 ) v f 0 (c 2 )(x n−1 −d) = f(x n−1 )−f(d) trong õ, c 1 nơm giỳa α v x n−1 , c 2 nơm giỳa x n−1 v d.

Theo giÊ thiát ta cõ:

Nhữ vêy, ta cõ 2 cổng thực Ănh giĂ sai số:

Vẵ dử 2.4: X²t phữỡng trẳnh: x 3 + 2x−1 = 0. vợi sai số cho ph²p ε= 0,000001

* Trữợc tiản, ta i tẳm khoÊng li nghiằm:

Tứ nhên x²t h m f(x) = x 3 + 2x−1 cõ Ôo h m l f 0 (x) = 3x 2 + 2 luổn luổn dữỡng, nản ỡn iằu tông, f(0) = −1, f(1) = 2 do õ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt trong oÔn (0,1).

* Vợi khoÊng phƠn li nghiằm l (0,1)

Trản khoÊng (0,1) cõf 00 (x) = 6x > 0, f(0) = −1 Do õ chồn x 0 a;B = b = 1;s = 1 v tẵnh theo cổng thực l°p (2.8).

Sỷ dửng phƯn mãm Mathematica 5.2 vợi x 0 = a, s = 1 v ta tẵnh ữủc x 11 = 0,453397 vợi ε = 10 −6

Tứ õ suy ra: f(x11+ε) trĂi dĐu vợi f(x11).

MậT Sẩ B€I TON TœM NGHI›M G†N ểNG VẻI PH×ÌNG PHP D Y CUNG

PH×ÌNG PHP DY CUNG

Vẵ dử 2.5:GiÊi phữỡng trẳnh Ôi số bêc cao: x 9 +x−3 = 0 (2.9)

Tuy phương trình (2.9) chỉ là một phương trình thực, nhưng bề cửa nó khá cao, nên khó có thể giải được bằng các kỹ thuật của Ôi số như ước ẩn phương, nhóm số hồng, và các phương pháp bậc thấp hơn Phương trình được thể hiện dưới dạng y = f(x) = x^9 + x^(-3).

Để giải phương trình \( y = 9x^8 + 1 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \), ta nhận thấy rằng \( f(1) = -1 < 0 \) và \( f(2) = 511 > 0 \) Điều này cho thấy phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng (1,2) Tiếp theo, chúng ta áp dụng phương pháp dồn để tìm nghiệm gần đúng của phương trình Với khoảng phân li nghiệm (1,2), ta có \( f'(x) = 72x^7 > 0 \) và \( f(1) = -1 \).

Do õ chồn x 0 = a;B = b = 1;s = 1 v tẵnh theo cổng thực l°p (2.8).

Sỷ dửng phƯn mãm Mathematica 5.2 vợi x 0 = a, s = 1 v ta tẵnh ữủc x 16 = 1,02651 vợi ε = 0,05.

Giải phương trình x³ − cos x = 0, ta định nghĩa hàm f(x) = x³ − cos x Tính giá trị tại f(0) = −1 và f(1) ≈ 0,4597 cho thấy f(0) < 0 và f(1) > 0, do đó phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, 1) Nghiệm của phương trình có thể được hiểu là giao điểm của hai đồ thị y = x³ và y = cos x Sử dụng phần mềm Mathematica, ta có thể xác định nghiệm trong khoảng (0, 1) với đồ thị rõ ràng trong hình (3.3).

Trong khoảng (0,8; 1), ta nhận thấy rằng hàm số có giá trị f(0,8) = -0,4879 và f(1) = 1,523048 × 10^(-4) Điều này cho thấy phương trình (2.10) có một nghiệm duy nhất trong khoảng này Với đạo hàm bậc hai f''(x) = 6x > 0, hàm số đang tăng trong khoảng (0,8; 1).

Sỷ dửng phƯn mãm Mathematica 5.2 vợi x 0 = a, s = 1 v ta tẵnh ữủc x6 = 0.865474 vợi ε= 10 −6

Ch÷ìng 3 ÙNG DệNG PHN MM

MATHEMATICA CHO PH×ÌNGPHP DY CUNG

MËT V€I N’T V— PH†N M—M MATHEMATICA

Giợi thiằu

Trong cĂc vẵ dử trong cĂc chữỡng vứa rỗi, chúng ta cõ ã cêp án phƯn mãm Mathematica, vêy Mathematica l gẳ v nõ cõ cổng dửng ra sao trong ã t i nghiản cựu n y.

Mathematica, phần mềm ưu tiên của Wolfram Research, được phát triển vào năm 1988, là một hệ thống mạnh mẽ thực hiện các tính toán toán học trên máy tính Đây là một công cụ tích hợp các tính toán bậc cao, tính toán số, và hỗ trợ lập trình tinh vi Kể từ khi phiên bản 1 được phát hành, nó đã trở thành phần mềm quan trọng cho nhiều ngành khoa học, công nghệ và toán học.

Ngày nay, Mathematica không chỉ được sử dụng trong các ngành khoa học tự nhiên như vật lý, sinh học, toán học, hóa học, mà còn trở thành một phần quan trọng trong các ngành khoa học xã hội như kinh tế Trong ngành công nghiệp hiện nay, người ta sử dụng Mathematica trong các tác phẩm thiết kế và rất nhiều ứng dụng khác của phần mềm này Số lượng người sử dụng Mathematica hiện tại đang tăng lên đáng kể Theo số liệu gần đây, hầu hết các công ty trong Fortune 50, bao gồm 15 trong số các doanh nghiệp hàng đầu của Hoa Kỳ và 50 trường đại học lớn nhất thế giới đều sử dụng Mathematica.

Stephen Wolfram, tác giả của Mathematica, được coi là một trong những nhân vật sáng tạo quan trọng nhất trong lĩnh vực toán học và khoa học kỹ thuật hiện nay Sinh năm 1959 tại London, ông đã học tại các trường Eton, Oxford và Caltech Wolfram bắt đầu phát triển Mathematica vào năm 1986, và phiên bản đầu tiên của phần mềm này được công bố vào ngày 23 tháng 6 năm đó.

1988 Cổng trẳnh n y ữủc xem l th nh tỹu chẵnh trong lắnh vỹc khoa hồc tẵnh toĂn cụng nhữ l mởt phƯn mãm toĂn hồc nời tiáng v o bêc nhĐt hiằn nay.

Mathematica l ngổn ngỳ tẵch hủp Ưy ừ nhĐt cĂc tẵnh toĂn kắ thuêt.

Lập trình ngôn ngữ là một phần quan trọng trong việc phát triển các ứng dụng hiện đại Nhờ khả năng mô phỏng và phân tích, Mathematica hỗ trợ người dùng trong nhiều lĩnh vực, từ kỹ thuật đến toán học, giúp giải quyết các vấn đề phức tạp một cách hiệu quả.

Giao diằn tữỡng tĂc cừa Mathematica

Mathematica cung cấp một giao diện rất thân thiện cho người sử dụng thông qua các notebook Các notebook là định dạng tài liệu đặc trưng của Mathematica, bao gồm cả mã nguồn và kết quả thực thi Chúng cho phép người dùng lưu trữ và chia sẻ các công thức, kết quả và hình ảnh một cách dễ dàng Tệp notebook thường có đuôi *.nb, giúp người dùng dễ dàng nhận diện và mở trong phần mềm Mathematica.

Các bên ghi nhận tờ chủ tịch các ổ (cells) một cách có trật tự và thực tế Ta có thể nhóm một nhóm ổ lôi sao cho chỉ thấy ổ ưu của nhóm ổ đó (với số nhóm lỗng tùy ý).

Mathematica đã ra mắt giao diện người dùng với các bảng lệnh (Palettes) và các nút lệnh (Button) Người sử dụng có thể nhập liệu một cách dễ dàng và có thể tùy biến theo ý muốn của mình.

CĂc tẵnh nông cừa Mathematica

a) KhÊ nông tẵnh toĂn bơng số

Mathematica cho phép tính toán một cách trực tiếp giống như một máy tính với độ chính xác cao Bạn có thể nhập một biểu thức phức tạp và sử dụng tổ hợp phím SHIFT + ENTER để tính toán Ngoài ra, Mathematica cũng hỗ trợ tính toán với biến số và các biểu thức toán học khác một cách dễ dàng.

Mathematica là công cụ hữu ích cho việc giải các phương trình hay tính toán các biểu thức phức tạp, đồng thời hỗ trợ phân tích kết quả biểu diễn dưới dạng đồ thị Ngoài ra, nó còn cho phép khai thác các khía cạnh nông của hồ hóa trong hai chiều và ba chiều, giúp người dùng dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về dữ liệu.

Mathematica là công cụ mạnh mẽ hỗ trợ việc tính toán và mô phỏng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Nó cho phép người dùng làm việc với các hàm số phức tạp và cấu trúc dữ liệu đa chiều, bao gồm hai chiều, ba chiều và các dạng hình học khác Bên cạnh đó, Mathematica còn cung cấp khả năng xử lý dữ liệu nông và tính toán toán học nâng cao, giúp tối ưu hóa quy trình làm việc và nâng cao hiệu quả nghiên cứu.

Mathematica cõ khÊ nông chĐp nhên cĂc dỳ liằu lợn bĐt ký v xỷ lỵ nâ trong thíi gian v i gi¥y.

Mathematica cho phép tính toán các phép toán ô số với độ chính xác cao, nhờ vào khả năng xử lý của nó Người dùng có thể thực hiện các phép toán ô số mà không cần phải thực hiện thủ công, giúp tiết kiệm thời gian và nâng cao hiệu quả Đồng thời, Mathematica hỗ trợ sử dụng các thuật toán để giải quyết các bài toán phức tạp và biểu thức toán học.

- Khi chÔy, Mathematica tỹ chồn cĂc thuêt toĂn thẵch hủp cho mội tẵnh toĂn gƯn úng bơng số.

- Mathematica l mởt cổng cử dạ d ng º xỷ lỵ cĂc ma trên.

Mathematica có thể giải các phương trình vi phân bằng cách cung cấp lời giải chính xác và lời giải gần đúng cho các kết quả mở rộng Đồng thời, nó biểu diễn các lời giải một cách trực quan Mathematica là một cuốn bách khoa toàn thư về toán học và toán học ứng dụng.

- Mathematica cõ chựa sđn hƯu hát cĂc h m °c biằt ð dÔng thuƯn túy toĂn ho°c ð cĂc dÔng ựng dửng cừa nõ.

- Mathematica cho ph²p tẵnh toĂn mởt cĂch chẵnh xĂc mởt số lữủng lợn cĂc tẵch phƠn kº cÊ tẵch phƠn °c biằt.

- Mathematica cụng cho ph²p tẵnh toĂn chẵnh xĂc cĂc tờng v tẵch vổ h¤n.

Mởt số h m thổng dửng

Trong Mathematica Biºu thùc to¡n

Factor Integer PhƠn tẵch ra thứa số nguyản tố cừa n

Limit [f (x), x → x 0 ] Tẵnh giợi hÔn Sum[biºu thực, i, i min , i max ] Tẵnh tờng

Tích phân hàm [f(x), x] tính nguyên hàm, tích phân hàm [f(x), x, a, b] tính nguyên hàm xác định Giải phương trình [f(x) == 0, x] tìm nghiệm của phương trình, giải hệ phương trình [f1 == 0, f2 == 0, x, y] Đơn giản hóa biểu thức [f(x), x] để có dạng gọn hơn Vẽ đồ thị [f(x), x, a, b] để trực quan hóa hàm số Bảng 3.1: Một số hàm thống dụng trong phần mềm Mathematica.

Ngo i ra Mathematica cỏn cõ tẵnh nông khai bĂo h m số mợi.

ÙNG DệNG PH†N M—M MATHEMATICA CHO PHìèNG PHP D Y CUNG

Việc lập trình vi tính thực hiện một thuật toán giúp cải thiện kích thước và thuật toán của người lập trình tham phân sức khỏe hơn Tuy nhiên, để giải quyết phương trình bằng phương pháp dãy cũng thông qua lập trình máy tính văn chương, đặc biệt là trong sinh viên các khối ô học Vẫn thấy trong bài viết này, tôi nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica để tập trung chính xác và nghiên cứu giải quyết của phương trình bằng các gói cấu thành được lập trình.

Quay trð lÔi vợi vẵ dử 2.3: º tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh: x 3 −x−1 = 0.

Bơng phữỡng phĂp dƠy cung vợi cĂch tẵnh toĂn thừ cổng thổng thữớng ta l m nh÷ sau:

Sau khi biát ữủc khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh l (1,2).

Ta cõf 00 (x) = 6x > 0, f(1) = −1 Do õ vợi phữỡng phĂp dƠy cung chồn x 0 = a = 1;B = b = 2;s = 1 Tiáp theo l tẵnh toĂn theo cổng thực l°p

(2.8) vợi sai số cho ph²p ε = 10 −4

Cho án khi ta tẵnh ữủc: x 10 = x 9 − (B −x 9 ).f(x 9 ) f(B)−f(x 9 ) = 1,32464

Để sử dụng phần mềm Mathematica 5.2, bạn cần mở một file mới và xây dựng các cấu trúc phức tạp Bằng cách nhấn tổ hợp phím Shift và Enter, bạn sẽ nhận được kết quả như trong hình (3.1).

Hẳnh 3.1: Vẵ dử 2.3 vợi phƯn mãm Mathematica 5.2

Thổng qua phƯn mãm Mathematica ta cụng cõ thº v³ ỗ thà cừa vẵ dử 2.1 º tẳm khoÊng phƠn li nghiằm cừa phữỡng trẳnh nhữ trong hẳnh (3.2).

Hẳnh 3.2: ỗ thà cừa phữỡng trẳnh Vẵ dử 2.2 vợi phƯn mãm Mathematica 5.2

Ta có thể sử dụng phần mềm Mathematica để tìm giao điểm của hai hàm số được tách ra từ phương trình 2.6 trong khoảng (0,1) Điều này cho phép xác định được hàm số liên quan trong hình (3.3) và tìm ra giao điểm của hai hàm số Từ đó, chúng ta có thể thu hẹp không gian nghiệm của phương trình 2.6.

Hẳnh 3.3: ỗ thà giao iºm cừa Vẵ dử 2.6

V vợi nhỳng cƠu lằnh nhữ trản ta cõ thº tẳm cĂc nghiằm xĐp x¿ cừa vẵ dử 2.6 mởt cĂch dạ d ng nhữ trong hẳnh (3.4).

Hẳnh 3.4: Vẵ dử 2.6 vợi phƯn mãm Mathematica

Trong Vẽ dử 2.5, chúng ta thấy số bước lập tưởng đối lớn Vì vậy, việc tính toán từ cổng số rất tốn thời gian và dễ gặp phải sai sót trong quá trình tính toán Do đó, việc sử dụng hỗ trợ của phần mềm Mathematica sẽ giúp chúng ta tin tưởng vào giá trị tính toán hơn.

Hẳnh 3.5: Vẵ dử 2.5 vợi phƯn mãm Mathematica

BƠy giớ, ta x²t tiáp nhỳng b i toĂn phực tÔp hỡn m rĐt khõ º cõ thº tẵnh toĂn thừ cổng.

Vẵ dử 3.1:GiÊi phữỡng trẳnh sau bơng phữỡng phĂp dƠy cung:

Nhớ sỹ hộ trủ cừa phƯn mãm Mathematica, ta cõ thº dạ d ng v³ ữủc ỗ thà cừa h my = f(x) = 2 x + sin 2x−2 cos 2x−1 + √ x+1 1 trong khoÊng [ −1 2 ,1] nhữ trong hẳnh (3.6).

Nhẳn v o ỗ thà, ta thĐy ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi 1 iºm trong khoÊng

Tuy nhiên, để xác định chính xác hơn, chúng ta cần tìm giá trị của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 2 Cụ thể, ta có: f(0) = −1 < 0 và f(2) = 1,652 > 0 Như vậy, phương trình (3.1) có một nghiệm duy nhất trong khoảng (0, 2) Từ đó, thông qua phân tích hàm số, ta có thể xác định nghiệm gần đúng của phương trình (3.1) bằng những câu lệnh đơn giản trong hình (3.7).

Hẳnh 3.6: ỗ thà vẵ dử 3.1 trong khoÊng [ −1 2 , 2]

Vẵ dử 3.2:Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau bơng phữỡng phĂp d¥y cung. log 10 (2015 + 10x)−2x 2 + cos πx

2 + sinπx = 0 (3.2) º tẳm khoÊng phƠn li nghiằm, ta nhớ Mathematica v³ ỗ thà h m số y = f(x) = log 10 (2015 + 10x)−2x 2 + cos πx 2 + sinπx nhữ trong hẳnh (3.8).

Hẳnh 3.8: ỗ thà Vẵ dử 3.2 trong khoÊng [0, 2]

Nhẳn v o ỗ thà hẳnh (3.8), ta cõ thº thĐy phữỡng trẳnh (3.2) cõ nghiằm x = 1 trong khoÊng [0,2] Ta tẵnh ữủc f(1) = 2.36085291 >

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải phương trình có một nghiệm duy nhất trong khoảng (0,1) với điều kiện f(2) = −3,58349583 < 0 Để giải phương trình này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp dãy cung với sự hỗ trợ của phần mềm Mathematica như đã trình bày trong hình (3.9) Sau 9 bước lặp, chúng ta tìm được nghiệm x ≈ 1,28589 với độ chính xác ε = 10^−6.

Hẳnh 3.9: Tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh (3.2)

Nhữ vêy ngo i viằc am hiºu vã cĂc cĂch giÊi nghiằm phữỡng trẳnh thẳ trong thới Ôi cổng nghiằp hõa hiằn nay, sinh viản nản tẳm hiºu thảm cĂc phƯn mãm toĂn hồ trủ viằc thỹc hiằn tẵnh toĂn mởt cĂch nhanh chõng v dạ d ng hỡn iºn hẳnh nhữ phƯn mãm Mathematica m tổi  sỷ dửng trong ã t i nghiản cựu n y.

Sau mởt thới gian nộ lỹc, nghiảm túc nghiản cựu v tẳm tỏi ã t i "Ùng dửng phƯn mãm Mathematica cho phữỡng phĂp dƠy cung " Â Ôt ữủc nhỳng kát quÊ sau Ơy:

1 Tẳm hiºu, trẳnh b y v hằ thống lÔi nhỳng kián thực cỡ bÊn vã ph÷ìng ph¡p d¥y cung.

2 Trẳnh b y mởt cĂch c°n k³ vã phữỡng phĂp dƠy cung º tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0.

3 Ùng dửng phƯn mãm Mathematica º giÊi quyát cĂc b i toĂn giÊi phữỡng trẳnh bơng phữỡng phĂp dƠy cung.

Sử dụng phần mềm Mathematica có thể giúp phân tích dữ liệu một cách hiệu quả và chính xác Phần mềm này cung cấp nhiều công cụ mạnh mẽ cho việc xử lý và trực quan hóa thông tin, từ đó hỗ trợ cho các nghiên cứu và dự án liên quan đến lĩnh vực mà bạn đang quan tâm Bằng cách khai thác các tính năng của Mathematica, người dùng có thể tạo ra những mô hình và biểu đồ sinh động, giúp tăng cường khả năng hiểu biết và ứng dụng trong thực tế.