Hinhhoc10-Chuong2

Toán 10 – Hình học – Chương 2 Tích vô hướng và ứng dụng Toán 10 – Hình học – Chương 2 Tích vô hướng và ứng dụng Vi Minh Toàn 1 CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A LÝ T[.]

Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng CHƯƠNG II: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A LÝ THUYẾT I/ Giá trị lượng giác góc (từ 00 đến 1800) Với góc  ( 00    1800 ), ta xác định điểm M(x; y) nửa đường tròn đơn vị cho xOM =  Gọi (x, y) toạ độ điểm M ta có: _ Tung độ y M sin góc  , ký hiệu sin  _ Hoành độ x M cos góc  , ký hiệu cos  y (x  0) tang góc  , ký hiệu tan  x x _ Tỉ số (y  0) cotang góc  , ký hiệu cot  y Các số sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc  Suy ra: _ Tỉ số • 00    900  sin ,cos,tan ,cot   • 900    1800  sin   0; cos,tan ,cot   • 00    1800   sin   1; −1  cos  Ta có tính chất sau: sin  = sin(1800 –  ) cos  = – cos(1800 –  ) tan  = – tan (1800 –  ) cot  = – cot(1800 –  ) Bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt: Góc 00 300 450 600 sin 2 2 cos 1 2 tan cot kxđ 3 2 3 900 kxđ 1200 1350 − 2 − − 3 1500 2 −1 − − 3 −1 − − 1800 −1 kxđ II/ Góc hai vectơ Cho hai vectơ a,b khác vectơ Từ điểm O bất kỳ, vẽ OA = a , OB = b Góc  = AOB (với 00    1800 hay     ) góc a b ( ) Ký hiệu a; b Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Chú ý: • Nếu a = hay b = ta xem góc vectơ tuỳ ý từ 00 đến 1800 • Nếu  = 00  a b hướng • Nếu  = 1800  a b ngược hướng • Nếu  = 900  a ⊥ b III/ Tích vơ hướng hai vectơ a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a b khác Tích vô hướng hai vectơ a b số, ký hiệu a.b Được định nghĩa tích độ dài hai vectơ với cosin góc hai vctơ đó: ( ) a.b = a b cos a; b Như OA.OB = OA.OB.cosAOB Ta có: 2 • a = a.a = a • • AB = AB2 0.a = a.0 = với a Chú ý: Nếu a = hay b = ta quy ước: a.b = b) Kết quả: ➢ ➢ ➢ ➢ (a; b) =  a b hướng: a.b = a b (a; b) = 180  avà b ngược hướng: a.b = − a b (a; b)  90  a.b  (a; b)  90  a.b  0 0 Điều kiện vng góc: (a; b) = 90  a ⊥ b  a.b = 0 c) Tính chất tích vơ hướng: Với vectơ a, b,c số thực m, ta có: ➢ a.b = b.a (Tính giao hốn) ( ) a( b − c) = a.b − a.c (Tính phân phối phép trừ) ( m.a).b = m(a.b) (Tính kết hợp) ➢ a b + c = a.b + a.c (Tính phân phối phép cộng) ➢ ➢ Từ tính chất ta suy đẳng thức sau: • • • ( ) ( a − b) = a − 2a.b + b ( a + b)( a − b) = a − b 2 2 2 a + b = a + 2a.b + b 2 d) Biểu thức toạ độ tích vơ hướng: Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Cho hai vectơ a = (x;y) b = (x';y') Khi đó: • a.b = x.x'+ y.y' • a = x2 + y2 • cos a; b = • Đặc biệt a ⊥ b  x.x'+ y.y' = ( ) x.x '+ y.y ' x + y x '2 + y '2 (với a  b  ) Hệ quả: Cho hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) Khi độ dài đoạn AB là: AB = AB = Vi Minh Toàn (x − xB ) + ( yA − yB ) A Toán 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề 1: Tính tích vơ hướng hai vectơ – góc hai vectơ Phương pháp: ❖ Để tính tích vơ hướng hai vectơ, ta sử dụng: • Định nghĩa, tính chất tính vơ hướng • Định lý hình chiếu (2) ❖ Để tính góc hai vectơ, ta sử dụng cơng thức: • • ( ) cos a; b = ( ) cos a; b = a.b a b x.x '+ y.y ' (với a  b  ) x + y x '2 + y '2 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a, có đường cao AH trọng tâm G Tính tích vơ hướng: AB.AC; AH.BC; HA.AB; BG.AG; BH.CB; AB.GC; AB.HG; AB.BA; GC.BH Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Tính tích vơ hướng sau: a) AB.AC b) AH.AC ( ) AC( AC − AB) ( AB + AC)(AC − AB) c) AB AB + AC d) e) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng góc C có CA = b Tính AB.CA Ví dụ 4: a) Cho a = 1; b = 2a − 3b = Tính a.b ( ) ( )( ) b) Cho a = 1; b = a; b = 300 Tính 2a − 3b 3a + 2b Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(1; −2) B(−3;1) a) Tính OA.OB b) Tính góc AOB Vấn đề 2: Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp: Ta thường sử dụng: • ( Quy tắc biến đổi BC2 = BC = AC − AB ) tức biến đổi phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính tích vơ hướng • Cơng thức toạ độ: AB = AB = (x − x A ) + ( y B − y A ) (nếu đề có liên quan đến toạ độ) B Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = a, A = 600 Tính AB.AC Suy độ dài BC độ dài trung tuyến AM Ví dụ 7: Cho hai điểm A(4; 3) B(2; −1) a) Tìm điểm N thuộc Oy cho N cách hai điểm A B b) Tìm điểm M trục hoành cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Vấn đề 3: Chứng minh vng góc hai vectơ, hai đường thẳng Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Phương pháp: • Muốn chứng minh hai vectơ AB CD vng góc với nhau, ta chứng minh AB.CD = • Muốn chứng minh hai đường thẳng d1 d2 vng góc nhau, ta tìm đường thẳng d1 vectơ a1  • đường d2 vectơ a2  cho a1.a2 = Dùng biểu thức toạ độ (nếu đề có liên quan đến toạ độ): Cho hai vectơ a = (x;y) b = (x';y') Khi a ⊥ b  x.x'+ y.y' = Ví dụ 8: Chứng minh hai đường chéo hình thoi ABCD vng góc với Ví dụ 9: Cho ba điểm A, B, M Gọi O trung điểm đoạn AB Chứng minh 4MO2 = AB2  MA ⊥  Ví dụ 10: Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Gọi M N trung điểm AO BC a) Tính AB.DO b) Tính AB.ND c) Tính BD.MN d) Chứng minh MD vng góc MN Ví dụ 11: Cho tam giác ABC với A(10; 5); B(3; 2) C(6; −5) Chứng minh tam giác ABC vng cân B Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có A(5; 3); B(2; −1) ; C(−1;5) a) Tính toạ độ trực tâm H tam giác ABC b) Tính toạ độ chân đường cao vẽ từ A Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài Phương pháp: Dùng tính chất tích vơ hướng, định nghĩa, định lý hình chiếu, quy tắc: ba điểm, trung điểm, hình bình hành, trọng tâm lưu ý BC = BC2 Ví dụ 13: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi I trung điểm AB Chứng minh CA + CB2 = 2CI + AB2 Ví dụ 14: Cho điểm A, B, C, D a) Chứng minh rằng: AB.CD + BC.AD + CA.BD = b) Suy ba đường cao tam giác đồng quy điểm gọi trực tâm Vấn đề 5: Tìm tập hợp điểm thoả đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài Phương pháp: Loại 1: MA.v = A cố định, v vectơ cố định Khi tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng góc với v Loại 2: MA.MB = k (A, B hai điểm cố định cho trước, k số thực cho trước) • Nếu k = 0: Tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB • Nếu k  0: Gọi I trung điểm đoạn AB, đưa đẳng thức dạng sau: ( )( ) ( )( ) 2 MA.MB = k  MI + IA MI + IB = k  MI + IA MI − IA = k  MI − IA = k  MI − IA = k  MI = IA + k Như tập hợp điểm M là: Đường trịn tâm I bán kính IA + k IA + k  Điểm I IA + k =  IA + k  Loại 3: .MA + .MB2 + .MC2 = k (với  +  +   ; A, B, C cố định; k số thực cho trước) Vi Minh Toàn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Gọi I điểm cố định thoả: IA +IB + IC = ( .MA + .MB2 + .MC2 = k  (  +  +  ) MI = k − .IA + .IB2 + .IC2 Ta có:  MI = ( k − .IA + .IB2 + .IC2  ++  Như vậy, tập hợp điểm M là: Đường trịn tâm I, bánh kính Điểm I h =  h < ) (= h) ) h h > Loại 4: MA.BC = k (trong A, B, C điểm cố định, k số cho trước)  M ' A '.BC = k (*) (trong M’ A’ hình chiếu M A giá BC ) Ta có A cố định BC cố định nên A’ cố định Do A’ cố định k không đổi nên M’ cố định Vậy tập hợp điểm M đường thẳng cố định d vng góc với đường thẳng BC cố định qua điểm M’ cố định xác định (*) Ví dụ 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) AM.AB = AB.AC b) MA.MB + MA.MC = c) ( MA + MB).AB = d) MA.MB = AB.AB Ví dụ 16: Cho tam giác ABC vng A có AB = a Tìm tập hợp điểm M thoả CM.AB = −2a2 C BÀI TẬP Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng ❖ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Bài 1: Tính tích vơ hướng: ( ) b = 3; ( a; b) = 120 Tính a.b a) Cho a = 7; b = 2; a; b = 450 Tính a.b b) Cho a = 2; c) Cho a = 2; b = 3a Tính a.b a2 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, BC = a , M trung điểm BC Biết AM.BC = Hãy tính AB, AC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD với AB = , AD = BAD = 300 a) Hãy tính AD.AB; BA.BC b) Tính độ dài đường chéo AC BD ( c) Tính cos AC;BD ) Bài 4: Cho hình vng ABCD có tâm O canh a ( ) a) Tính AB + AD AC ( )( b) Với M trung điểm AB Tính MA + MB + MC + MD DB + AD ) c) Biết AI = AB Tính IC.ID Bài 5: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c Tính theo a, b, c tích vô hướng sau: AB.BC; BC.CA; CA.AB Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 2; BC = 4; AC = a) Tính AC.AB b) Gọi I trung điểm AB, J điểm thoả AJ = AC Tính AI.AJ suy độ dài đoạn IJ Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 2; AC = 3; BAC = 1200 Gọi AD phân giác tam giác a) Tính AD theo AB; AC b) Suy độ dài đoạn AD Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a Gọi D trung điểm AC, M điểm thoả BM = BC Chứng minh BD vng góc với AM Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c Chứng minh điều kiện cần đủ để: a) Tam giác ABC vuông A BA.BC = AB2 b) Trung tuyến BM CN vng góc với b2 + c2 = 5a2 Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = a, góc A 1200 Gọi M trung điểm AC a) Tính BC BM b) Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính AN theo BC; AC Suy giá trị x để AN vng góc với BM Bài 11: Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng: BC.AD + CA.BE + AB.CF = Bài 12: Cho tam giác ABC Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng a) Chứng minh rằng: AB.AC = ( ) AB2 + AC2 − BC2 Suy giá trị A AB = 5; BC = 7; AC = b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AB.AC = MA − MB2 Bài 13: Cho điểm S nằm đường tròn (O) Từ S vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt đường trịn điểm theo thứ tự A, B, C, D Chứng minh trung tuyến kẻ từ S tam giác SAC vng góc BD Bài 14: Cho đoạn AB có độ dài 3a Tìm tập hợp điểm M thoả: a) MA.MB = AB2 b) MA + 2MB2 = AB2 Bài 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) MA.MB = MA.MC b) ( MB + MC − 2MA )( MA + MB + MC) = c) 2MA + MA.MB = MC.MA ❖ TÍCH VƠ HƯỚNG TÍNH THEO TOẠ ĐỘ Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy tính góc hai vectơ a b trường hợp sau: ( a) a = (2; −3), b = (6;4) ) ( b) a = −2; −2 , b = 3; ) Bài 17: Cho a = (−3;4) b = (4;6) Tính a.b; a b; 2a − 3b ( ) ( ) ( ) Bài 18: Cho vectơ s+ 2t , 5s− 4t vng góc với Xác định góc s;t , biết s = t = Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( −2;1) Gọi B điểm đối xứng A qua gốc toạ độ O Tìm toạ độ điểm C có tung độ cho tam giác ABC vuông C Bài 20: Cho A ( −3;3) Gọi B điểm đối xứng A qua gốc toạ độ O a) Tìm điểm C nằm trục hồnh để tam giác ABC vng A Suy tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC Bài 21: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;3); B(4;2) a) Tìm toạ độ điểm D thuộc trục Ox cho DA = DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng tỏ AO vng góc với AB từ tính diện tích tam giác OAB d) Tìm toạ độ vectơ đơn vị phương với AB Bài 22: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho bốn điểm A(7; −3); B(8;4); C(1;5); D(0; − 2) Chứng minh ABCD hình vng Bài 23: Cho tam giác ABC có A(−4;1); B(2;4); C(2; − 2) a) Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Từ kiểm tra tính chất thẳng hàng điểm c) Gọi H’ điểm đối xứng H qua BC Chứng minh ABHC nội tiếp đường tròn Bài 24: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2; 3); B(−1; −1) ; C(6; 0) D (x; −3) a) b) c) d) Chứng minh tam giác ABC vuông A Tìm x để A, B, D thẳng hàng Tìm điểm M thuộc Oy để tam giác ABM vng M Tìm điểm N(3; y – 1) cho N cách hai điểm A B Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG A LÝ THUYẾT Bài tốn 1: Cho tứ giác ABCD bất kỳ: a) Chứng minh AB2 + CD2 = BC2 + AD2 + 2AC.DB b) Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc tổng bình phương cặp cạnh đối diện Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả: MA.MB = k Bài toán 3: Cho hai vectơ OA;OB Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA Chứng minh OA.OB = OA.OB' Chú ý: • Vectơ OB' gọi hình chiếu vectơ OB đường thẳng OA • • Cơng thức OA.OB = OA.OB' gọi cơng thức hình chiếu Tổng qt định lý hình chiếu: Định lý: Gọi C’ D’ hình chiếu C D lên trục chứa AB, ta có: AB.CD = AB.C'D' Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính tích vơ hướng sau: ( a) AC AB + AD b) ) ( AB + AC)(BC + BD + BA ) c) OA.AB (O tâm hình vng ABCD) Bài tốn 4: Cho đường tròn (O; R) điểm cố định Một đường thẳng (d) thay đổi qua M, cắt đường tròn hai điểm A B Chứng minh MA.MB = MO2 − R2 Chú ý: Giá trị khơng đổi MA.MB = MO2 − R2 nói tốn gọi phương trình điểm M đường trịn (O) Khi điểm M nằm ngồi đường tròn (O), MT tiếp tuyến đường tròn (T tiếp điểm) MA.MB = MT = MT2 Vi Minh Tồn Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng B BÀI TẬP Bài 1: Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB = 3a, AD = 2a, BC = 4,5a ( a) Tính tích vơ hướng: AC.AB; AC.AD; AC.BD Suy góc AC;BD ) b) Gọi M trung điểm AC Tính BM.BD , suy góc MBD Bài 2: Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M N hai điểm thuộc nửa đường tròn cho hai dây cung AM BN cắt I a) Chứng minh AI.AM = AI.AB BI.BN = BI.BA b) Hãy dùng kết câu a) để tính AI.AM + BI.BN theo R Bài 3: Cho tam giác ABC, H trực tâm Gọi M trung điểm BC Tính MH.MA theo BC = a Bài 4: Cho hình thang vng ABCD, có đường cao AB, cạnh đáy AD = a, BC = 2a Hãy tính AB biết: a) AC.AB = a2 b) AC.BD = a2 c) IC.ID = a2 (với I trung điểm AB) Bài 5: Cho tam giác ABC điểm M, M’ Gọi I I’, H H’, K K’ hình chiếu M M’ lên BC, CA, AB Chứng minh BC.II ' + CA.HH ' + AB.KK ' = Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, H trung điểm BC D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM vng góc BD Bài 7: Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB = 2a, AD = a, BC = 4a a) Tính AC.BD , suy góc AC BD b) Gọi I trung điểm CD, J điểm di động cạnh BC Dùng tích vơ hướng để tính BJ cho AJ vng góc BI c) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn MB2 = MA.MC d) Gọi G trọng tâm tam giác ACD Tìm tập hợp kiểm K cho: ( 3KB2 = KB KA + 2KB − KI Vi Minh Tồn ) 10 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A LÝ THUYẾT I/ Định lý Cosin tam giác a) Định lý: Trong tam giác ABC với BC = a; CA = b; AB = c ta ln có: • a2 = b2 + c2 – 2bccosA • b2 = a2 + c2 – 2cacosB • c2 = a2 + b2 – 2abcosC b) Hệ quả: • • • b2 + c2 − a2 2bc c2 + a2 − b2 cosB = 2ca a + b2 − c2 cosC = 2ab cosA = II/ Định lý Sin tam giác a) Định lý: Với tam giác ABC với BC = a; CA = b; AB = c, ta có: a b c = = = 2R sinA sinB sinC Trong R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Hệ quả: Với tam giác ABC, ta có: • a = 2Rsin A • b = 2Rsin B • c = 2RsinC • • • a 2R b sinB = 2R c sinC = 2R sinA = III/ Đinh lý trung tuyến Cho điểm A, B, C BC = a > Gọi M trung điểm BC, biết AM = ma Ta có: a2 (1) ? Câu hỏi: Chúng minh (1) Từ kết ta suy công thức sau, gọi công thức trung tuyến tam giác Công thức trung tuyến: Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh với BC = a; CA = b; AB = c Ta có: AB2 + AC2 = 2m2a + • • b2 + c2 a2 − 2 c + a b2 m2b = − m2a = Vi Minh Tồn • m2c = a2 + b2 c2 − 11 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng IV/ Cơng thức diện tích Cho tam giác ABC Ta ký hiệu: • ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB • R, r bán kinh đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp a+ b + c nửa chu vi tam giác • S diện tích tam giác Ta có cơng thức diện tích sau: • p= 1 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 S = absinC = bcsinA = acsinB 2 abc 4R S = pr S = S = p( p − a)( p − b)( p − c) (Công thức Hê – rông) V/ Giải tam giác ứng dụng thực tế Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa số điều kiện cho trước Sử dụng hợp lý định lý Sin, Cosin, công thức trung tuyến, cơng thức diện tích, ta tìm yếu tố lại tam giác ta biết yếu tố xác định (g-c-g; c-g-c; c-c-c) Vi Minh Tồn 12 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Áp dụng định lý Cosin để tính độ dài cạnh tam giác biết hai cạnh góc xen Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc A = 1200 cạnh AB = cạnh AC = Trên CA kéo dài lấy điểm D cho BD = Tính độ dài BC AD Vấn đề 2: Sử dụng hệ định lý Cosn để tìm góc tam giác biết ba cạnh hay biết hệ thức liên hệ giửa cạnh tam gác Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 7, b= 24, c = 23 Tính góc A tam giác ABC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có cạnh thoả: a(a2 – b2) = c(b2 – c2) Tính góc B tam giác ABC Vấn đề 3: Áp dụng định lý Sin hệ để tính độ dài cạnh, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc B = 450, góc C = 750 đường phân giác AD = Tính cạnh AC, BC, AB bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vấn đề 4: Phối hợp định lý Sin định lý Cosin để chứng minh đẳng thức tam giác Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, với BC = a; CA = b; AB = c tanA c2 + a2 − b2 = tanB c2 + b2 − a2 b) Biết a = 4, b = 5, c = Tính giá trị sinA – 2sinB + sinC a) Chứng minh rằng: Ví dụ 6: Chứng minh tam giác bất kỳ, ta có: 4m2a = b2 + c2 + 2bccosA Vấn đề 5: Áp dụng công thức trung tuyến để tính độ dài cạnh hay chứng minh hệ thức cạnh tam giác Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có mb = 4, mc = a = Tính độ dài cạnh AB AC Vấn đề 6: Áp dụng cơng thức trung tuyến để tìm tập hợp điểm thoả đẳng thức bình phương độ dài Ví dụ 8: Cho hai điểm phân biệt P, Q cho PQ = a Tuỳ theo giá trị k, tìm tập hợp điểm M, N cho MP2 + MQ2 = k2, k số cho trước Vấn đề 7: Áp dụng công thức diện tích với định lý Sin Cosin để tính yếu tố tam giác, đại lượng tam giác đường cao, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, … Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có AB = 6; AC = góc A = 600 a) Tính diện tích tam giác ABC b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác IBC c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC d) Tính độ dài đường phân giác góc A Vấn đề 8: Dùng cơng thức diện tích để chứng minh nhiều đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác Ví dụ 10: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M,N Chứng minh SAMN AM AN = SABC AB AC Vi Minh Tồn 13 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Vấn đề 9: Nhận dạng tam giác ABC biết hệ thức cho trước Phương pháp: Chuyển hệ thức cạnh, sau áp dụng hệ thức lượng tam giác: • Nếu dẫn đến a2 = b2 + c2 , a = 2R, B + C = A, … tam giác tam giác vng • Nếu dẫn đến b = c, B = C tam giác cân (Hệ thức đối xứng theo b, c • Nếu hệ thức đối xứng theo a, b, c để chứng minh tam giác đều, ta phải chứng minh hệ thức điều kiện dấu “=” xảy bất đẳng thức Ví dụ 11: Cho tam giác ABC với BC = a; CA = b; AB = c Chứng minh ta có hệ thức sau: acosB − bcosA = asin A − bsin B tam giác ABC vng cân  1  + + Ví dụ 12: Xét đặc điểm tam giác ABC biết: a2 + b2 + c2 = 2S   sinA sinB sinC  Vấn đề 10: Giải tam giác ứng dụng thực tế Ví dụ 13: Cho tam giác ABC Biết C = 1200 ; b = 3; c = Tính a, r góc nhỏ Ví dụ 14: Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B, ta phải tránh núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km từ vị trí C nối thẳng đến vị trí B dài 8km Góc tạo hai đoạn dây AC CB 600 Hỏi so với việc thẳng từ A đến B người ta tốn thêm km dây? Vi Minh Tồn 14 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng C BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có a = 12, b = 13, c = 15 Tính cosA góc A Bài 2: Tính góc lớn tam giác ABC, biết: a) Các cạnh a = 3; b = 4; c = b) Các cạnh a = 40; b = 13; c = 37 Bài 3: Tính góc A tam giác ABC trường hợp sau: b3 + c3 − a3 a) = a2 b+ c− a (a + b)(b + c − a)(c + a − b) b) cosB = 2abc 2 c) a − 2(b + c )a + b4 + b2c2 + c4 = Bài 4: Chứng minh tam giác ABC, ta có: a) b2 − c2 = a( bcosC − ccosB) b) (b ) − c2 cosA = a( ccosC − bcosB) c) abc( cosA + cosB + cosC) = a2 ( p − a) + b2 ( p − b) + c2 ( p − c) Bài 5: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB M, N, P Biết MB = 3; MC = 2; AN = AP = x góc ABC = 600 a) Tính x bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC b) Tính NP Bài 6: Cho tam giác ABC thoả bccosA + accosB + abcosC = a2 Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 7: Cho tam giác ABC khơng vng có H trực tâm Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, HBC, HCA, HAB Bài 8: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) Góc A nhọn sin2A < sin2B + sin2C R a2 + b2 + c2 b) cot A + cot B + cot C = abc ( ) Bài 9: Chứng minh ba góc tam giác ABC thoả hệ thức sinA = 2sinBcosC tam giác ABC cân Bài 10: Chứng minh tam giác ABC vuông A m2b + m2c = 5ma2 Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng: ( ) ( a) m2a + m2b + m2c = a2 + b2 + c2 ( ) ) a + b2 + c2 Bài 12: Cho tam giác ABC vng A, có AB = 2AC = 2a a) Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 + 2MC2 = 5a2 b) Tìm tập hợp điểm N cho NB2 – NA2 = 2a2 Bài 13: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AC BD Chứng minh rằng: b) GA + GB2 + GC2 = AB2 + BC2 + CA + AD2 = AC2 + BD2 + 4MN2 Bài 14: Cho tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 15; 18; 27 a) Tính độ dài cạnh tam giác b) Tính diện tích tam giác Vi Minh Tồn 15 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Bài 15: Cho tam giác ABC có góc B nhọn AD CE hai đường cao S BD.BE a) Chứng minh BDE = SABC BA.BC b) Biết SABC = 9SBDE DE = 2 Tính cosB bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 16: Cho tam giác ABC Chứng minh a) = 2RsinBsinC b) Góc A tù 1  2+ 2 hb hc Bài 17: Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, BD = y góc đường thẳng AC BD  Gọi S diện tích tứ giác ABCD Chứng minh S = xy sin  Bài 18: Cho tam giác ABC Biết a = 49,4; b = 26,4; C = 47020' Tính hai góc A, B cạnh c Bài 19: Cho tam giác ABC Biết a = 24; b =13; c = 15 Tính góc A, B, C Bài 20: Hai tàu thuỷ P Q cách 300m Từ P Q thẳng hàng với chân A tháp hải đăng AB bờ biển, người ta nhìn chiều cao A tháp góc BPA = 350 BQA = 480 Tính chiều cao tháp hải đăng Vi Minh Tồn 16 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vô hướng ứng dụng BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tam giác ABC có a = 8; b = 10; c = 13 a) Tam giác ABC có góc tù khơng? b) Tính độ dài trung tuyến MA, diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C Tính độ dài BD Bài 2: Cho tam giác ABC có A = 1200, b = 8, c = Tính cạnh a, góc B, C; diện tích tam giác; bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác, trung tuyến MA đường cao AH Bài 3: Cho tam giác ABC: a) Biết A = 600 , b = 8, c = Tính a bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC b) Biết C = 450 , a = , c = Tính góc A cạnh b, biết A góc tù Bài 4: Cho tam giác ABC a) Biết c = 2; A = 1200 ; C = 300 Tnh1 cạnh lớn nhất; đường cao nhỏ b) Biết a = 13; b = 14; c = 15 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Bài 5: Tính cạnh góc tam giác ABC biết: a) B = 750; C = 450 phân giác AD = b) mb = 6; mc = trọng tâm G nhìn cạnh BC theo góc 1200 Bài 6: Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2 b) Cho AB = 4; BC = 5; BD = Tính AC Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 600 ; a = 30, bán kính đường trịn nội tiếp r = a) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R b) Tính độ dài cạnh b, c Bài 8: Tìm tập hợp điểm M có tổng bình phương khoảng cách từ M đến đỉnh tứ giác ABCD k2 không đổi Bài 9: Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = 2DC Trung trực đoạn AD cắt AC E Tính CE BE Bài 10: Cho hình thang ABCD vng A B Cạnh AD = 2BC = 2a, AB = a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD, BDC OAB Bài 11: Chứng minh tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD tính cơng 2bc (với AB = c; AC = b) b+ c Bài 12: Chứng minh tam giác, ta có: thức: AD = a) S = 2R2 sinA sinBsinC b) S = a2 + b2 + c2 ( cot A + cot B + cot C) Bài 13: Chứng minh tam giác, ta có: a) a = bcosC + ccosB cosA cosB cosC a2 + b2 + c2 + + = b) a b c 2abc sinA sinB sinC 6S + + = c) a b c abc Vi Minh Tồn 17 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng Bài 14: Cho tam giác ABC, chứng minh : 1 + = sinB sinC sinA 4 b) Nếu a = b + c tam giác ABC có ba góc nhọn Bài 15: Chứng minh tam giác ABC cân có: a) a = 2bcosC a) Nếu hb + hc = 2ha b) 1 + = hb + hb Bài 16: Xét đặc điểm tam giác ABC, nếu: sin2 A + sin2 B + sin2 C = c2 2R2 Bài 17: Chứng minh tam giác ABC nếu: a) + hb + hc = 9r b) cosA cosB cosC  1  + + =  + +  a b c 2 a b c Vi Minh Tồn 18 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vơ hướng ứng dụng 4: BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG Bài 1: Cho hai vectơ a,b ( ) a) Biết a = 3; b = 2; a; b = 1200 Tính a − b 2a + 3b ( )( ) b) Biết a + b = 2; a − b = 2a + b a + 3b = Hãy tính a ; b Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(−1;1) ; B(0;2) ; C(3;1) ; D(0; −2) Chứng minh ABCD hình thang cân Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c b2 + c2 − a2 2 BC b) Chứng minh AB.AC = AI − (I trung điểm BC) c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm mặt phẳng Chứng minh a) Chứng minh AB.AC = MA + MB2 + MC2 = GA + GB2 + GC2 + 3MG2 Bài 4: Cho tam giác ABC, độ dài cạnh 3a Lấy điểm M, N, P cạnh BC, CA, AB cho BM = a; CN = 2a; AP = x (0 < x < 3a) a) Tính AM theo AB AC  1 x b) Chứng minh PN =  AC − AB  3 a  c) Tìm x để AM vng góc với PN Bài 5: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn a) MA = 2MA.MB b) MB2 + MC2 = 2MA Bài 6: Cho tam giác ABC, I trung điểm BC Kéo dài CA đoạn AN = AC, kéo dài BA đoạn AM = AB Gọi K điểm thoả mãn 2KM + KN = a) Chứng minh AK = − AB + AC Suy điểm A, I, K thẳng hàng b) Cho AB = b; AC = c; góc BAC = 1200 ( ) i) Tính AB.AC; AI.BC độ dài đoạn MN theo b c ii) Cho biết AI vng góc với MN Chứng minh 4c2 = b(c + 2b) c) Tìm tập hợp điểm P, biết 2PA = PA.PB + PA.PC Bài 7: Cho A(1; −1) B (3; 0) hai đỉnh hình vng ABCD Tìm toạ độ đỉnh C D Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A, trung điểm BC M (1; −1) trọng tâm tam giác 2  G  ;  Tìm toạ độ A, B, C 3  Bài 9: Cho tam giác ABC có A(−1;2) , B (2;0) C (−3;1) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 10: Cho tam giác ABC có C (−2; −4) trọng tâm G (0;4) Biết M (2;0) trung điểm BC Hãy tìm toạ độ A, B Tính diện tích tam giác ABC Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1; 1) Tìm điểm B đường thẳng y = điểm C trục Ox để tam giác ABC Vi Minh Toàn 19 Tốn 10 – Hình học – Chương 2: Tích vô hướng ứng dụng Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (1; −2) điểm B (−3;3) Tìm điểm C(x; x + 2) để tam giác ABC vuông C Bài 13*: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến; BC = a; AC = b; AB = c; O tâm R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC  2 a2  a) Chứng minh rằng: AM =  b + c −  2 2 b) Suy GA2 + GB2 + GC2 = 2 (a + b + c ) GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (a2 + b2 + c2 ) c) Chứng minh OG2 = R2 − (a2 + b2 + c2 ) Bài 14: Cho A, B, C, D điểm cố định cho trước Tìm tập hợp điểm M cho: ( MA + 2MB + 3MC)(MA + MD) = Bài 15: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) b) ( MA − MB)(2MB − MC) = ( MA + MB)(MB + MC) = c) 2MA + MA.MB = MA.MC Bài 16*: Cho tam giác ABC có AB = 3a; AC = a; góc A = 600 a) Tính độ dài BC trung tuyến AM b) Gọi I điểm cạnh AB với AI = 2a J tia AC với AJ = xAC (x > 0) i) Tính IJ theo x, AB AC Tính x để IJ vng góc với AM ii) Tính x để diện tích tam giác AIJ tam giác MIJ Bài 17*: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) M điểm đường tròn a) Chứng minh rằng: MA + MB2 + MC2 = 6R2 MA + 2MB.MC = 3R2 b) Tính T = MA.MB + MB.MC + MC.MA c) Chứng minh: MA = MB2 + MC2 − 4MB.MC Suy MA = MB + MC M thuộc cung nhỏ BC Bài 18: Cho điểm A (−8;0) ; B(0;4) ; C(2;0) ; D(−3; −5) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Bài 19: Cho tam giác ABC có A = 600;B = 450 ; b = Tính hai cạnh a, c, bán kính đường trịn ngoại tiếp diện tích tam giác Bài 20: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O; R) hai điểm M, N di chuyển đường trịn cho MAN = 300 a) Tìm quỹ tích trung điểm I MN b) Xác định vị trí M, N để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn Bài 21*: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O; R); AB = x a) Tính cosA, cosB, cosC theo x R b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC theo R x c) Định x để diện tích tam giác ABC lớn Bài 22: Cho đường tròn (O; R) điểm M cho OM = d, AB dây cung (O) song song với OM Chứng minh MA2 + MB2 = 2(R2 + d2) Vi Minh Toàn 20