tomtatchinh-moi

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN HOÀNG KHÔNG GIAN S–ĐÓNG, ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHÔNG GIAN COMPACT YẾU Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 60 46 0113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà[.]

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN HỒNG KHƠNG GIAN S–ĐĨNG, ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHƠNG GIAN COMPACT YẾU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2014 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Phản biện 1: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Phản biện 2: PGS TS HUỲNH THẾ PHÙNG Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn thạc sĩ khoa học, họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại:  Trung tâm thông tin học liệu, Đại học Đà Nẵng  Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Năm 1963, N Levine giới thiệu khái niệm tập nửa mở, nửa đóng khơng gian tơpơ Sau đó, năm 1976, T Thompson giới thiệu khái niệm khơng gian S -đóng (S-closed) nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng không gian tôpô compắc Đến năm 1984, J R Porter R G Woods đề xuất khái niệm không gian compắc yếu (feebly compact) đồng thời đặt câu hỏi có hay khơng lớp khơng gian “nằm giữa” hai lớp khơng gian S -đóng compắc yếu Đến năm 1991, báo Countably S-closed spaces K Dlaska, N Ergun M Ganster, tác giả lớp không gian S -đóng đếm (countably S-closed) lớp khơng gian nằm lớp khơng gian S-đóng compắc yếu Trong luận văn này, nghiên cứu không gian S -đóng S đóng đếm được, điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành S -đóng, S -đóng đếm Từ đó, tìm hiểu tính chất khơng gian S-đóng đếm được, mối quan hệ khơng gian Sđóng đếm khơng gian compắc yếu Trên cở sở đó, chúng tơi nghiên cứu điều kiện đề hai lớp khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Ngồi ra, luận văn quan tâm đến số không gian khác không gian không liên thông cực trị (extremally disconnected), khơng gian s-đóng (sclosed), khơng gian s-compắc (s-compact), khơng gian RC -hồn chỉnh (RC -pecfect) khơng gian km-hồn chỉnh (km-pecfect) Bên cạnh đó, luận văn cịn trình bày lớp không gian P - không gian (P -spaces) lớp khơng gian nằm khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu Bởi lý nêu trên, chọn đề tài “Không gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Trong luận văn, nghiên cứu vấn đề Tôpô đại cương, tập hợp suy rộng khơng gian tơpơ, khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm với mục đích sau • Tìm hiểu chứng minh chi tiết tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương khơng gian tơpơ • Trình bày vấn đề khơng gian S-đóng khái niệm khơng gian khơng liên thơng cực trị; khơng gian s-đóng không gian s-compắc Chứng minh chi tiết mệnh đề mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt • Nghiên cứu điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành khơng gian S-đóng đếm Mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Điều kiện để khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu trùng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tơpơ đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương, khơng gian S-đóng, khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian km-hồn chỉnh, khơng gian compắc yếu khơng gian S-đóng đếm Phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, nghiên cứu tập hợp suy rộng không gian tôpô Bài tốn mối quan hệ khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm tốn mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Bằng cách sử dụng tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy khơng gian tơpơ, tính chất khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm được, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ chúng với khơng gian khác khơng gian tựa H-đóng, khơng gian s-đóng, s-compắc, khơng gian khơng liên thơng cực trị Nghiên cứu điều kiện để khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu trùng mối quan hệ chúng với không gian không liên thông cực trị, RC-hoàn chỉnh km-hoàn chỉnh Ý nghĩa khoa học thực tiễn 5.1 Luận văn góp phần giải tốn sau khơng gian tơpơ (1) Mối quan hệ khơng gian S-đóng khơng gian s-đóng, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng không gian không liên thông cực trị (2) Mối quan hệ khơng gian S-đóng với khơng gian Sđóng đếm được, điều kiện để khơng gian S-đóng trở thành khơng gian S-đóng đếm (3) Mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu, điều kiện để khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Trình bày lớp khơng gian nằm khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu 5.2 Luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu Tôpô đại cương Cấu trúc tổng quan luận văn 6.1 Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày Tơpơ đại cương tập hợp suy rộng không gian tôpô, bao gồm mục Mục 1.1, trình bày kiến thức chuẩn bị; Mục 1.2, trình bày tập nửa mở, tập nửa đóng tập nửa quy; Mục 1.3, trình bày tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương Chương 2, trình bày khơng gian S-đóng mối quan hệ khơng gian S-đóng với khơng gian khác, bao gồm mục Mục 2.1, trình bày khơng gian S-đóng; Mục 2.2, trình bày khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian s-đóng, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng khơng gian compắc yếu Chương 3, trình bày khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu, bao gồm mục Mục 3.1, trình bày tính chất khơng gian S-đóng đếm được; Mục 3.2, trình bày mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu 6.1 Tổng quan luận văn Trong luận văn này, nghiên cứu mối quan hệ tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa quy; mối quan hệ tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương tính chất tập hợp trên; trình bày khái niệm khơng gian S-đóng, điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành khơng gian S-đóng mối quan hệ khơng gian khơng gian Sđóng với khơng gian khác s-đóng, s-compắc, khơng gian khơng liên thơng cực trị, tựa H-đóng; trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng đếm được, điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành khơng gian S-đóng đếm Chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu Trong chương thứ luận văn, chúng tơi trình bày vấn đề Tôpô đại cương tập hợp suy rộng khơng gian tơpơ Kết chương Mệnh đề 1.2.12, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10, nhờ mệnh đề cho mối quan hệ tập mở quy, tập đóng quy mối quan hệ chúng với tập mở, tập đóng, tập nửa mở tập nửa đóng Trong chương thứ hai luận văn, chúng tơi trình bày vấn đề khơng gian S-đóng; khái niệm khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng, khơng gian s-đóng mối quan hệ khơng gian với khơng gian S-đóng Kết chương Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4 Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.12, Mệnh đề 1.3.10 Trong chương thứ ba luận văn, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng đếm được, nghiên cứu điều kiện để không gian tôpô trở thành khơng gian S-đóng đếm Chúng tơi, nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Từ đó, trình bày câu trả lời khẳng định cho câu hỏi J R Porter R G Woods đưa vào năm 1984, chứng minh điều kiện để hai lớp không gian khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Ngồi ra, chúng tơi cịn quan tâm đến lớp khơng gian P-khơng gian K Dlaska, N Ergun M Ganster đưa vào năm 1991 Nó lớp khơng gian “nằm giữa” khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Kết chương Định lý 3.1.5, Mệnh đề 3.1.7 Định lý 3.2.8, Hệ 3.2.9, Mệnh đề 3.2.13 Trong luận văn, quy ước N = {1, 2, }; ω = {0, 1, 2, } CHƯƠNG KHÔNG GIAN TƠPƠ Trong chương này, chúng tơi trình bày vấn đề Tôpô đại cương tập hợp suy rộng không gian tôpô Mối quan hệ tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa quy; mối quan hệ tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương tính chất tập hợp 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập hợp τ họ tập hợp X Ta nói τ tơpơ X thỏa mãn điều kiện sau (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ ; (ii) Nếu U1 ∈ τ, U2 ∈ τ , U1 ∩ U2 ∈ τ ; (iii) Nếu {Ui : i ∈ I} ⊂ τ , ∪ Ui ∈ τ i∈I Khi đó, cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở khơng gian X Ví dụ 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian tôpô x ∈ X Ta nói tập U ⊂ X lân cận x tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U Nhận xét 1.1.4 Định nghĩa 1.1.5 Định nghĩa 1.1.6 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô F ⊂ X Ta nói F tập hợp đóng X X \ F tập hợp mở X Định lí 1.1.7 Gọi D họ tất tập đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, (i) ∅ ∈ D , X ∈ D ; (ii) Nếu F1 , F2 ∈ D , F1 ∪ F2 ∈ D ; (iii) Nếu {Fi : i ∈ I} ⊂ D , ∩ Fi ∈ D i∈I Định nghĩa 1.1.8 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, giao họ tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A Kí hiệu cl(A) Nhận xét 1.1.9 (i) cl(A) tập đóng tập đóng nhỏ chứa A (ii) A ⊂ cl(A) (iii) A ⊂ X tập đóng cl(A) = A (iv) Nếu A ⊂ B, cl(A) ⊂ cl(B) Định lí 1.1.10 Định lí 1.1.11 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ A, B ⊂ X Khi đó, (i) cl(∅) = ∅; cl(X) = X; 10 Định nghĩa 1.1.19 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô U họ tập hợp X (i) Ta nói U phủ X X = ∪ {U : U ∈ U } (ii) U gọi phủ mở X phủ X U ∈ U tập mở X (iii) V gọi phủ hữu hạn U V ⊂ U , V hữu hạn X= ∪ {U : U ∈ V } Ví dụ 1.1.20 Định nghĩa 1.1.21 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi khơng gian Hausdorff với x, y ∈ X mà x ̸= y tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩V = ∅ Ví dụ 1.1.22 Định nghĩa 1.1.23 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A ⊂ X Khi đó, tập A gọi tập compắc với phủ mở A có phủ hữu hạn Định nghĩa 1.1.24 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi không gian compắc với phủ mở U X có phủ hữu hạn Ví dụ 1.1.25 Định lí 1.1.26 Giả sử (X, τ ) khơng gian Hausdorff Khi đó, tập compắc tập đóng 11 Định lí 1.1.27 Giả sử (X, τ ) không gian compắc A tập đóng X Khi đó, A tập compắc Mệnh đề 1.1.28 (i) Giả sử A1 , A2 hai tập compắc không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A1 ∪ A2 tập compắc (ii) Giả sử (X, τ ) không gian Hausdorff Khi đó, giao số hữu hạn tập compắc compắc Định nghĩa 1.1.29 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A tập khác rỗng X Đặt τA = {V : V = A ∩ U, U ∈ τ } Khi đó, τA môt tôpô A không gian (A, τA ) gọi không gian (X, τ ), τA gọi tôpô cảm sinh tôpô τ X lên tập hợp A 1.2 TẬP NỬA MỞ VÀ TẬP NỬA ĐÓNG Định nghĩa 1.2.1 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở (semi-open) tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Kí hiệu SO(X, τ ) họ tất tập nửa mở (X, τ ) Ví dụ 1.2.2 Nhận xét 1.2.3 (i) Nếu A tập mở không gian tơpơ (X, τ ), A tập nửa mở (ii) Nếu x ∈ X {x} tập nửa mở, {x} tập mở Mệnh đề 1.2.4 Hợp họ tùy ý tập nửa mở tập nửa mở 12 Định nghĩa 1.2.5 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, hợp tất tập nửa mở nằm A gọi nửa phần (semi-interior ) A kí hiệu sint(A) Mệnh đề 1.2.6 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, sint(A) tập nửa mở lớn nằm A Định nghĩa 1.2.7 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập nửa đóng (semi-closed ) X\A tập nửa mở Kí hiệu SC(X, τ ) họ tất tập nửa đóng (X, τ ) Ví dụ 1.2.8 Nhận xét 1.2.9 Nếu A tập đóng khơng gian tơpơ (X, τ ), A tập nửa đóng Định nghĩa 1.2.10 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, giao tất tập nửa đóng chứa A gọi bao nửa đóng (semi-closure) A kí hiệu scl(A) Mệnh đề 1.2.11 Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, scl(A) tập nửa đóng bé chứa A Mệnh đề 1.2.12 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập nửa mở (X, τ ); (ii) sint(A) = A; ( ) (iii) A ⊂ cl int(A) ; ( ) (iv) A ⊂ scl sint(A) 13 Mệnh đề 1.2.13 Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, (i) X \ scl(A) = sint(X \ A); (ii) X \ sint(A) = scl(X \ A) Hệ 1.2.14 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập nửa đóng (X, τ ); (ii) Tồn tập đóng F (X, τ ) cho int(F ) ⊂ A ⊂ F ; (iii) scl(A) = A; ( ) (iv) int cl(A) ⊂ A; ( ) (v) sint scl(A) ⊂ A Định nghĩa 1.2.15 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa quy (semi-regular ) A vừa tập nửa đóng, vừa tập nửa mở Kí hiệu SR(X, τ ) họ tất tập nửa quy (X, τ ) Ví dụ 1.2.16 Mệnh đề 1.2.17 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, ( ) (i) int cl(A) ⊂ scl(A) với A ⊂ X; ( ) (ii) scl(A) = A ∪ int cl(A) với A ⊂ X; (iii) scl(A) ∈ SR(X, τ ) với A ∈ SO(X, τ ) 14 1.3 TẬP MỞ CHÍNH QUY VÀ TẬP ĐĨNG CHÍNH QUY Định nghĩa 1.3.1 Tập A không gian tôpô (X, τ ) ( ) gọi tập mở quy (regular open) A = int cl(A) Kí hiệu RO(X, τ ) họ tập mở quy (X, τ ) Nhận xét 1.3.2 Nếu A tập mở quy khơng gian tơpơ (X, τ ), A tập mở Ví dụ 1.3.3 Mệnh đề 1.3.4 Nếu A1 , A2 ∈ RO(X, τ ), A1 ∩A2 ∈ RO(X, τ ) Định nghĩa 1.3.5 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập đóng quy (regular closed ) X \ A tập mở quy Kí hiệu RC(X, τ ) họ tất tập đóng quy (X, τ ) Mệnh đề 1.3.6 Tập A không gian tôpô (X, τ ) tập ( ) đóng quy A = cl int(A) Ví dụ 1.3.7 Nhận xét 1.3.8 Nếu A tập đóng quy khơng gian tơpơ (X, τ ), A tập đóng Mệnh đề 1.3.9 Nếu F1 , F2 ∈ RC(X, τ ), F1 ∪F2 ∈ RC(X, τ ) Mệnh đề 1.3.10 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, 15 (i) Nếu A ∈ RO(X, τ ) A ∈ SO(X, τ ), cl(A) ∈ RC(X, τ ) (ii) Nếu A ∈ RC(X, τ ) A ∈ SC(X, τ ), int(A) ∈ RO(X, τ ) Hệ 1.3.11 Giả sử F tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) F tập đóng quy; (ii) Tồn tập mở quy U cho F = cl(U ); (iii) Tồn tập mở U cho F = cl(U ); (iv) Tồn tập nửa mở U cho F = cl(U ) Hệ 1.3.12 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập mở quy; (ii) Tồn tập đóng quy F cho A = int(F ); (iii) Tồn tập đóng F cho A = int(F ); (iv) Tồn tập nửa đóng F cho A = int(F ) Định nghĩa 1.3.13 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở quy tồn tập mở quy U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Nhận xét 1.3.14 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, 16 (i) Mỗi tập mở quy đóng quy (X, τ ) tập nửa mở quy (ii) Mỗi tập nửa mở quy (X, τ ) tập nửa mở Ví dụ 1.3.15 Định nghĩa 1.3.16 Tập A không gian tôpô (X, τ ) ( ) gọi trù mật địa phương (locally dense) A ⊂ int cl(A) Ví dụ 1.3.17 Nhận xét 1.3.18 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, tập A X trù mật địa phương, thỏa mãn tính chất sau (i) A tập mở quy; (ii) A tập mở; (iii) A tập trù mật X Mệnh đề 1.3.19 Nếu A tập trù mật địa phương U tập mở khơng gian tơpơ (X, τ ), A ∩ U tập trù tập địa phương Mệnh đề 1.3.20 Tập A không gian tôpô (X, τ ) trù ( ) mật địa phương scl(A) = int cl(A) 17 CHƯƠNG KHÔNG GIAN S-ĐĨNG VÀ KHƠNG GIAN COMPẮC YẾU Trong chương này, chúng tơi trình bày vấn đề khơng gian S-đóng; khái niệm không gian không liên thông cực trị, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng, khơng gian s-đóng mối quan hệ khơng gian với khơng gian S-đóng 2.1 KHƠNG GIAN S-ĐĨNG Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi S-đóng (S-closed ) với phủ {Uα : α ∈ ∧} X tập nửa mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho ∪ X = {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Mệnh đề 2.1.2 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) khơng gian S-đóng; (ii) Mọi phủ (X, τ ) tập đóng quy có phủ hữu hạn; (iii) Mọi phủ V = {Vα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập nửa mở quy, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho ∪ X = {cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } Bổ đề 2.1.3 18 Mệnh đề 2.1.4 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô tồn không gian S-đóng trù mật X Khi đó, X khơng gian S-đóng 2.2 KHƠNG GIAN KHƠNG LIÊN THƠNG CỰC TRỊ, s-ĐĨNG, TỰA H-ĐĨNG s-COMPẮC Định nghĩa 2.2.1 Khơng gian tôpô (X, τ ) gọi không gian liên thơng khơng gian (X, τ ) có hai tập ∅ X tập vừa mở, vừa đóng Ngược lại, khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi không gian không liên thông không gian (X, τ ) tồn tập A khác ∅ X tập vừa mở, vừa đóng Ví dụ 2.2.2 Định nghĩa 2.2.3 Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian không liên thông cực trị (extremally disconnected ) cl(U ) ∈ τ với U ∈ τ Ví dụ 2.2.4 Định lí 2.2.5 Mệnh đề 2.2.6 Định nghĩa 2.2.7 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi không gian s-compắc (s-compact) phủ X tập nửa mở có phủ hữu hạn Nhận xét 2.2.8 19 Định nghĩa 2.2.9 Cho (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi khơng gian tựa H-đóng (quasi-H-closed ) với phủ {Uα : α ∈ ∧} X tập mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X= ∪ {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Nhận xét 2.2.10 Mệnh đề 2.2.11 Giả sử (X, τ ) không gian S-đóng Khi đó, (X, τ ) khơng gian tựa H-đóng Mệnh đề 2.2.12 Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị tựa H-đóng Khi đó, (X, τ ) khơng gian S-đóng Định nghĩa 2.2.13 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi s-đóng (s-closed ) với phủ {Uα : α ∈ ∧} tập nửa mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho ∪ X = {scl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Mệnh đề 2.2.14 Giả sử (X, τ ) khơng gian s-đóng Khi đó, (X, τ ) khơng gian S-đóng Định nghĩa 2.2.15 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi khơng gian compắc yếu (feebly compact) với phủ đếm {Un : n ∈ N} X tập mở, tồn ∪ tập hữu hạn I N cho X = {cl(Un ) : n ∈ I} Nhận xét 2.2.16 Giả sử (X, τ ) khơng gian compắc Khi đó, (X, τ ) khơng gian compắc yếu 20 CHƯƠNG KHƠNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng đếm được, điều kiện để không gian tôpô trở thành khơng gian S-đóng đếm Chúng tơi, nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu, điều kiện để hai lớp khơng gian khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Ngồi ra, chúng tơi cịn quan tâm đến lớp khơng gian P-khơng gian 3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC Định nghĩa 3.1.1 Không gian tôpô (X, τ ) gọi S-đóng đếm (countably S-closed ) phủ đếm X tập đóng quy có phủ hữu hạn Nhận xét 3.1.2 Mọi khơng gian S -đóng khơng gian S -đóng đếm Định nghĩa 3.1.3 Định nghĩa 3.1.4 Định lí 3.1.5 Mệnh đề 3.1.6 Mệnh đề 3.1.7 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ có khơng gian S-đóng đếm trù mật X Khi đó, (X, τ ) S-đóng đếm 21 Mệnh đề 3.1.8 Định nghĩa 3.1.9 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, tập A (X, τ ) gọi Gδ -tập (Gδ -set) A giao họ đếm tập mở Định nghĩa 3.1.10 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, điểm x ∈ X gọi điểm cô lập (isolated point) X tập {x} mở Định nghĩa 3.1.11 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi compact địa phương với x ∈ X có lân cận U x mà cl(U ) compắc Ví dụ 3.1.12 Mệnh đề 3.1.13 Định nghĩa 3.1.14 Định nghĩa 3.1.15 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi khơng gian quy với tập đóng F ⊂ X với x ∈ / F tồn tập mở U, V cho F ⊂ U, x ∈ V ∩ U V = ∅ 3.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHƠNG GIAN COMPẮC YẾU Mệnh đề 3.2.1 Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) khơng gian compắc yếu 22 Mệnh đề 3.2.2 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, tồn không gian compắc yếu không gian S-đóng đếm Mệnh đề 3.2.3 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị compắc yếu, (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Định nghĩa 3.2.4 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (i) (X, τ ) gọi hoàn chỉnh (perfect) tập mở (X, τ ) hợp môt họ đếm tập đóng (ii) (X, τ ) gọi RC-hồn chỉnh (RC-perfect) tập mở quy (X, τ ) hợp môt họ đếm tập đóng quy Nhận xét 3.2.5 Mọi khơng gian RC -hồn chỉnh khơng gian hồn chỉnh Định nghĩa 3.2.6 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi km-hồn chỉnh (km-perfect) với tập đóng quy U x ∈ / U tồn dãy {Gn : n ∈ N} tập mở cho ∪ ∪ {Gn : n ∈ N} ⊂ U ⊂ {cl(Gn ) : n ∈ N} ∪ x ∈ / {cl(Gn ) : n ∈ N} Mệnh đề 3.2.7 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, (X, τ ) thỏa mãn tính chất sau, (X, τ ) kmhồn chỉnh 23 (i) không gian không liên thông cực trị; (ii) khơng gian RC-hồn chỉnh (iii) khơng gian quy hồn chỉnh Định lí 3.2.8 Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm km-hồn chỉnh Khi đó, (X, τ ) khơng gian khơng liên thông cực trị Hệ 3.2.9 (i) Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) khơng gian khơng liên thơng cực trị (X, τ ) km-hồn chỉnh (ii) Giả sử (X, τ ) khơng gian km-hồn chỉnh Khi đó, (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm (X, τ ) compắc yếu không liên thông cực trị Mệnh đề 3.2.10 Định lí 3.2.11 Khơng gian tơpơ S-đóng đếm khơng gian compắc yếu thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n ∈ N} dãy giảm tập đóng quy khác rỗng ∩ ∩ (X, τ ) với {Fn : n ∈ N} ̸= ∅, {int(Fn ) : n ∈ N} ̸= ∅ Định nghĩa 3.2.12 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi P-khơng gian (P-spaces) tập Gδ -tập (X, τ ) mở Mệnh đề 3.2.13 Một P -không gian S-đóng đếm không gian trù mật (X, τ ) compắc yếu 24 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu mối quan hệ tập hợp không gian tôpô suy rộng; đặc trưng khơng gian S-đóng; đặc trưng khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ chúng với không gian tựa H-đóng, s-compắc, s-đóng, khơng gian khơng liên thơng cực trị, RC-hoàn chỉnh km-hoàn chỉnh; mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Các kết luận văn sau (1) Hệ thống lại số tính chất Tơpơ đại cương (2) Tìm hiểu chứng minh chi tiết tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương Tự chứng minh số tính chất mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt, thể Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10, Hệ 1.3.11 Hệ 1.3.12 (3) Trình bày vấn đề khơng gian S-đóng khái niệm khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian tựa Hđóng, khơng gian s-đóng khơng gian s-compắc nói phần mở đầu Chứng minh chi tiết Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.2.11 Mệnh đề 2.2.12, mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt (4) Trình bày khái niệm tính chất khơng gian Sđóng đếm Mối quan hệ S-đóng đếm khơng gian compắc yếu, điều kiện để khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu trùng Chứng minh chi tiết Mệnh đề 3.1.8, Định lí 3.2.8 Mệnh đề 3.2.13, mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt