THÔNG TIN TÀI LIỆU
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu có nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu xin tổng hợp lại tất dạng tập có liên quan tới đề thi năm Riêng tập b ạn xem lại ví d ụ giáo trình lớp Mơn gi ải ch phức thực chất môn tương đối lại có “mơt chút rắc rối” (khơng phải mơn học mà ở… bạn hiểu) người đừ ng chủ quan Sau số d ạng tập mà s ẽ ơn tập I BÀI TỐN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Kiến thức b ổ trợ a Đồng s ố phức = Cho = + phương trình = + ⇔ = b Căn thức Số phức g ọi bậ c c số phức n ếu = (1) phương trình (1) có nghiệm xác định cơng th ức = √ cos 1.2 Bài tập mẫu + 2 + 2 , = 0,1, … , − + sin Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải phương trình sau: a + + = d + = Giải: b + = e + = √ c = ( + ) f = = = − + a 5 + 2 + 10 = ⇔ = = − − b + 81 = ⇔ = −81 Ta có −81 = 81 (cos() + sin()) Khi bậc −81 xác định = √81 cos GIẢI TÍCH PHỨC + 2 + 2 + 2 + 2 + sin = cos + sin , = 0,1,2 4 4 01 = ⇒ = cos + sin = √ + √ = ⇒ = cos = ⇒ = cos = ⇒ = cos + sin = − + sin = − + sin = √ √ + √ − − √ √ √ Vậy , , , nghiệm phương trình + 81 = c 2 = (2 + 9) ⇔ 2 = −9 + 2 ⇔ = − + d Đặt = + , + 2 = (2 − )(1 − 3) 2− ⇔ 3 − = − − ⇔ + + 2( − ) = 10 10 10 + 3 =− ⇔ ⇔ − = − = 3 = − Vậy = − + e + = √3 ⇔ = −1 + √3 Ta có −1 + √3 = − + √ = cos + sin Khi bậc −1 + √3 xác định 2 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + sin = √2 cos = √2 cos + sin 6 9 + sin 9 4 4 + sin = ⇒ = √2 cos 9 = ⇒ = √2 cos = ⇒ = √2 cos = ⇒ = √2 cos GIẢI TÍCH PHỨC 7 7 + sin 9 10 10 + sin 9 02 13 = ⇒ = √2 cos = ⇒ = √2 cos 16 13 + sin 16 + sin 9 Vậy , , , , , nghiệm phương trình + = √3 f = Ta có = cos + sin Khi bậc xác định + 2 + 2 + 4 + 4 2 , = 0,1 + sin = cos = cos + sin 4 = ⇒ = cos = ⇒ = cos √2 √2 + sin = + 4 5 + sin √2 √2 5 =− − 2 Vậy , nghiệm phương trình = Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ( − ) = Giải: = + 3√7 (1 − ) = 16 ⇔ − + 16 = ⇔ = − 3√7 Xét + 3√7 có = √1 + 63 = cos = = , bậc + √63 xác định √ sin = = = √8 cos + 2 + 2 + 2 + 2 = 2√2 cos + sin + sin , = 0,1 2 2 = ⇒ = 2√2 cos = ⇒ = 2√2 cos GIẢI TÍCH PHỨC + sin 2 + 2 + 2 + sin = −2√2 cos + sin 2 2 03 Ta có cos = ± = ± Chọn cos = ; sin = √ , ⎧ = 2√2 + √ ⎪ 4 =± = ± sin = ± = ± √ √7 ⎨ ⎪ = −2√2 + 4 ⎩ Vậy , nghiệm phương trình = + 3√7 Làm tương tự với − 3√7 chọn cos = ; sin = − √7 ⎧ = 2√2 − ⎪ 4 √ , √7 ⎨ ⎪ = −2√2 − 4 ⎩ Vậy , nghiệm c phương trình = − 3√7 Suy , , , nghiệm phương trình (1 − ) = 16 II BÀI TỐN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1 Kiến thức b ổ trợ Để m ảnh điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức = ( ) = (, ) + (, ), ta xác định mối liên hệ c , dựa miền cho trước Ngược lại để m tạo ảnh hàm (, ), (, ), ta xác định mố i liên hệ , 2.2 Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh c đường = qua ánh xạ phức = (Đề thi kết thúc mơn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + , = = GIẢI TÍCH PHỨC = − = (, ) + (, ) 04 + (, ) = (, ) = − + ⇒ Với = 1, (, ) = ⇒ + = (, ) = − 1 + = = ⇔ − + = ⇔ − + = (1 + ) + Vậy ảnh đường = đường tròn tâm ( , 0), bán kính Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh c đường trịn | − | = qua ánh xạ phức = − Giải: Giả sử = + , = + Ta có | − | = ⇒ − = ⇔ = + , = − = ( + ) − = + + (cos + sin ) − = (− − − sin ) + ( + cos ) = (, ) + (, ) ⇒ (, ) = − − − sin sin = (, ) + + ⇔ cos = (, ) − (, ) = + cos ⇒ ( + ( + ) ) + ( − ) = Vậy ảnh đườ ng tròn | − | = qua ánh xạ = − đường tròn tâm (− − 2, ), bán kính Bài 2.3: Cho hàm = Tìm ảnh của: a Đường tròn || = , b Miền quạt < < Giải: a Giả sử = + , = = ( + ) = − + 2 = (, ) + (, ) ⇒ (, ) = − (, ) = 2 = cos Ta có phương trình tham số đường trịn | | = là: = sin ≤ ≤ 2 GIẢI TÍCH PHỨC 05 Khi đó: (, ) = (2 cos ) − (2 sin ) = (cos − sin ) = cos 2 (, ) = 2.2 cos sin = sin 2 ⇒ + = cos 2 + sin 2 = ⇔ + = 16 4 Vậy ảnh đường tròn | | = mp( ) đường trịn có tâm g ốc tọa đơ, bán kính mp() b Đặt = ⇒ < < Ta có = (cos + sin ) ⇒ = = (cos 2 + sin 2 ) ⇒ = 2 Ta coi miền qu ạt < < đượ c quét a = , với biến thiên từ đến Theo chứng minh ảnh a = qua phép biến hình = a = 2 Khi biến thiên từ đến 2 biến thiên từ đến Vậy ảnh miền qu ạt < < nửa mặt phẳng < < Bài 2.4: Cho hàm = , = + Tìm: a Ảnh đườ ng = b Tạo ảnh đường = Giải: a Ta có: = − 1 = (, ) + (, ) = = − = + + + + + ⇒ (, ) = − + (, ) = + Trường hợp = = 0, (, ) = ⇒=− (, ) = − , ( ≠ 0) Vậy ảnh đường = trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp = ≠ 0, GIẢI TÍCH PHỨC 06 + (, ) = (, ) = − + ⇒ + = ⇔ − + = ( + ) + = + = ⇔ − + = 2 4 Vậy ảnh đường = đường tròn tâm , 0, bán kình || , ( ≠ 0) b = ⇔ = + Trường hợp = ⇒ = Vậy tạo ảnh đường = trục ảo trừ g ốc tọa độ + Trường hợp ≠ 0, + = ⇔ − + = ⇔ − + = Vậy tạo ảnh đường = đườ ng tròn tâm , 0, bán kình || , ( ≠ 0) III BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN T ỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1 Kiến thức b ổ trợ a Giới hạn dãy số phức lim = { }, = + Cho lim = = + ⇔ → lim = → → b Giới hạn hàm phức Cho () = (, ) + (, ), = + , = + , lim () = ⇔ → lim (, ) = → → lim (, ) = → → Nếu xét → theo hướng khác có kết khác ta kết luận khơng tồn giới h ạn = GIẢI TÍCH PHỨC 07 c Hàm liên tục Cho () xác định lân cận điểm , đó: + ồ ( )á () + ạ địℎ lim ạ → () liên tục ⇔ + lim () = ( ) → () liên tục miền liên tục điểm thuộc 3.2 Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính ( + ) → Giải: Giả sử = + , ⇒ + = ( + ) + = − + (2 + 1) = (, ) + (, ) (, ) = − ; =1+ (, ) = 2 + lim (, ) = lim ( − ) = → → → → (2 + 1) = lim (, ) = lim → → → → Vậy lim ( → + 1) = lim (, ) + lim (, ) = 3 → → → → Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh Giải: → − + − + = + − ( − )[3 + (3 − 2) + (5 − 2 ) + 5 ] 3 − 2 + 8 − 2 + = lim → → − − = lim = lim[3 + (3 − 2) + (5 − 2) + 5 ] = 3 + (3 − 2) + (5 − 2) + 5 → = −3 − 3 + + 5 + + 5 = + Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính gi ới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 08 a b → Giải: c ( ) → → a Đặt () = + 1; () = + 1, () = + = 0; () = + = () = 6 = 6 ≠ Áp dụ ng quy tắc L’Hospital ta có 5 () ′() 10 = lim = lim = lim = = → → () → ′ () → 6 3 lim + = → + ⇒ lim → b lim → Ta có lim ⇒ lim → → = lim → = lim − cos = sin → = lim =1 c lim (cos ) = → → = lim Bài 3.4: Xét tồn giới hạn Giải: → Giả sử = + , = + Cho → theo hướng trục = + lim = lim = lim = lim = (1) → → → → − + Cho → theo hướng đường th ẳng = + + 1+ lim = lim = −1 (2) = lim = lim → − → − → − → GIẢI TÍCH PHỨC 09 Từ (1) (2) ta suy không tồn giới hạn lim → Lưu ý: điều kết luận có nghĩa hàm số ( ) = không liên tục = Bài 3.5: Xét nh liên tục c hàm − () = − ế || ≠ ạ = , = ế || = Giải: + Tại = ta có: (1) = lim ( ) = lim → → = lim ( + + 1) = → Vậy lim () = (1) nên hàm s ố liên tục = → + Tại = () = lim ( ) = lim → → = lim ( + + 1) = → Vậy lim () ≠ (1) nên hàm số gián đoạn = → Bài 3.6: Cho hàm a () = b () = () c () = () Có thể gán giá trị hàm số = để trở thành hàm liên tục = hay không? Giải: || || a Chọn dãy = ∗ = , , ∗ → → ∞ Xét ( ) = lim = lim = → → → lim ( ) = lim → (∗) = lim = lim = → → → ∗ lim (∗ ) = lim ∗ ∗ → GIẢI TÍCH PHỨC 10 Trên : || = ta có |()| = | + 1| ≤ | | + = < = |()| Do theo định lý Rouche ( ) + ( ) = − 5 + = () có số khơng điểm với ( ) = −5 : | | < Mà ( ) có khơng điểm nên suy () có khơng điểm tức có nghiệm : | | < b Đặt ( ) = ; ( ) = −5 + Trên : | | = ta có |()| = |−5 + 1| ≤ 5| | + = 16 < 3 = |()| Do theo định lý Rouche ( ) + ( ) = − 5 + = () có số khơng điểm với ( ) = : | | < Mà ( ) có ba khơng điểm nên suy () có ba khơng điểm tức có ba nghiệm : || < Suy () có − = nghiệm hình vành khăn ≤ < c Đặt () = −5; ( ) = + Trên : | | = ta có |()| = | + 1| ≤ | | + = < 10 = |()| Do theo định lý Rouche ( ) + ( ) = − 5 + = () có số khơng điểm với ( ) = −5 : | | < Mà ( ) có khơng điểm nên suy () có khơng điểm tức có nghiệm : | | < Suy () có − = nghiệm hình vành khăn ≤ < IX BÀI TỐN KHAI TRIỂN CHUỖI VÀ TÌM MIỀN HỘI TỤ 9.1 Kiến thức b ổ trợ Một s ố chuỗi Maclouren thường gặp = + + +⋯= 1! 2! ! sin = − + − ⋯ = (−1) (2 + 1)! 3! 5! GIẢI TÍCH PHỨC 36 )! (2 − ⋯ = (−1) 2! 4! Miền hội tụ chuỗi | | < ∞ cos = − + = + + + ⋯ = 1− = − + − ⋯ = (−1) 1− Miền hội tụ chuỗi | | < 9.2 Bài tập mẫu Bài 9.1: Khai triển chuỗi Taylor hàm sau theo lũy thừa − Xác định miền hội tụ c chuỗi vừa m a () = , = b () = c () = ( + ) , = − Giải: a ( ) = Ta có = = − = = = − ∑ = ∑ (−1) = − ∑ Miền hội tụ: b () = Ta có GIẢI TÍCH PHỨC ( − 3) = − ∑ < ⇔ | − 3| < , = = − ∑ ( − 3) ⟹ ( ) = = − ∑ ( − 3) − ∑ , = d () = = − = ∑ () () ( − 3) ( − 3) = − ∑ ( − 3) () ( − 3) 37 = = (−1) ∑ = Đạo hàm ta có − = ∑ ⟹ ( ) = ( − 2) = ∑ () Miền hội tụ: = − ∑ ()() ( − 2) () ( − 2) ( − 2) < ⇔ | − 2| < ()() = ∑ c ( ) = sin( + 4 ) = sin(( + 2) − 4) = sin( + 2) cos − sin cos( + 2) Ta có sin( + 2) = ∑ ( −1) cos( + 2) = (−1) ⟹ ( ) = cos (−1 Miền hội tụ: | + 2| < ∞ d () = Ta có () = ∑ ⟹ ( ) = = ()! ( + 2) (2)! ) () ( + 2) ( + 2) − sin (−1) (2 + 1)! (2)! = () ( ) ! ∑ () ! Miền hội tụ: | − 2| < ∞ Bài 9.2: Khai triển chuỗi Laurent hàm () = ( ) = , = , = ∞ Giải: + Tại = ( ) = () =− = − ∑ = − ∑ Miền hội tụ: < | | < GIẢI TÍCH PHỨC 38 + Tại = ( ) = () = = Miền hội tụ: < | − 1| < + Tại = ∞ Đặt = ⇒ ( ) = = ⇒ ( ) = ∑ ∑( − 1) = − ∑ ( − 1) = = = ∑ = ∑ Bài 9.3: Khai triển chuỗi Laurent hàm () = ()() hình vành khăn a < || < Giải: a ( ) = ()() = − Ta có =− = Ta có = = = = ()() = ∑ = ∑ ⇒ ( ) = −3 ∑ b () = = − ∑ = − ∑ b < | − | < ⇒ ( ) = ∑ − ∑ = − = = ∑ (−1) () () ∑ (−1) = ∑ () − ∑ () = ∑ ( − 3) () ( − 3) Bài 9.4: Khai triển chuỗi Laurent hàm () = a < || < GIẢI TÍCH PHỨC () ()() b < | − | < hình vành khăn 39 Giải: a ( ) = Ta có = − = ()( ) = − = − ∑ = − ∑ = ∑ = ∑ ⇒ ( ) = − ∑ − ∑ Miền hội tụ: b () = | | > | | > = − Bài 9.5 (bài 19, SGK, tr118): Khai triển chuỗi Laurent hàm = a () = () , = b () = ( − ) Giải: a ( ) = () = () Ta có () = ∑ ⇒ ( ) = [()] () ! ! Ta có sin = ∑ ( −1) c () = () , = ( − 1) = ∑ Miền hội tụ: |2( − 1)| < ∞ ⇔ | − 1| < ∞ b () = ( − 3) sin , = − () = ∑ ! ( − 1) ∑ = ( + ) sin () ()! = ∑ ! ( − 1) − sin () ()! () ⇒ ( ) = ( + 2) ∑ ()! () − ∑ ()! () GIẢI TÍCH PHỨC () () 40 = ∑ Miền hội tụ: () ∑ () − < ∞ ⇔ | + | > ()! () ()! () c ( ) = () = () Ta có = = = ∑ (−1) Đạo hàm vế ta có: = − ∑ () Miền hội tụ: ( − 3) = − ∑ ⇒ ( ) = − () ∑ ()() = ∑ ( − 3) () ()() ( − 3) ( − 3) = ∑ < ⇔ | − 3| < ()() ( − 3) Bài 9.6 (bài 21,SGK, tr 118): Khai triển chuỗi Laurent hàm () = miền ra: a < | + | < Giải: a ( ) = Ta có =− ⇒ ( ) = b ()() = + = − ∑ − ∑ = − ∑ ( + 1) ( + 1) Bài 9.7 (bài 22,SGK,tr 118): Khai triển chuỗi Laurent hàm () = miền Giải: GIẢI TÍCH PHỨC b < || < ()() a < | − | < ()() b < | − | < 41 a ( ) = Ta có = ()() ⇒ ( ) = = = () = ∑ (−1) ( − 2) ∑ (−1) ( − 2) = ∑(−1) ( − 2) a ( ) = ()() = Ta có ⇒ ( ) = − = − () () = − ∑ ( − 1) () ∑ ( − 1) = − ∑( − 1) X BÀI TOÁN PHÂN LOẠI ĐIỂ M BẤT THƯỜNG DỰA VÀO CHU ỖI LAURENT 10.1 Kiến thức bổ trợ Giả sử điểm bất thường cô lập hàm () () có khai triển chu ỗi Laurent ∑ ( − ) ( ) = ∑ ) + ( − ầ í ầ ả í (1) + Nếu ph ần chuỗi (1) ( = 0, ∀) điể m b ất thường bỏ + Nếu ph ần chuỗi (1) có h ữu h ạn số h ạng cực điểm cấp ( = điể m cực đơn) + Nếu ph ần chuỗi (1) có vơ hạn s ố hạng điểm bất thườ ng cốt yếu 10.2 Bài tập mẫu Bài 10.1 (câu 5, đề thi GTP – K18): a Khai triển chu ổi Laurent hàm sau lân cận điểm = : () = Xác định miền hội tụ chuỗi vừa m Giải: b Phân loại điểm bất thường hàm () GIẢI TÍCH PHỨC 42 a Đặt = − ⇒ = + 2, đó: () = ( + 2) = Suy ( ) = Miền hội tụ: = = = ! = 2! 2 2 2 + ⋯ (1) + ⋯+ =+ ( ! − 2) −2 ! ( − 2) < ∞ ⟹ | − 2| > b Ta thấy chuỗi Laurent (1) hàm ( ) có phần g ồm vơ hạn số hạng nên điểm = điểm b ất thường cốt yếu hàm ( ) Bài 10.2: Cho hàm số () = ( − ) a Khai triển chuỗi Laurent lân cận = − b Phân lo ại điểm b ất thường c hàm () Giải: a Theo câu b 9.5 ta có ( ) = ∑ () ()! () = − − !() − ∑ ()! () + !() () +⋯ (1) b ta thấy chuỗi (1) hàm ()có phần gồm vơ hạn số hạng nên điểm = −2 điểm bất thường cốt yếu hàm ( ) XI BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ 11.1 Kiến thức bổ trợ a Công thức nh thặng dư + Nếu cực điểm đơn hàm () đó: [ ( ), = ] = lim [( − )( )] → + Nếu cực điểm cấp hàm () đó: GIẢI TÍCH PHỨC 43 [(), = ] = ( − 1)! lim [( − ) ( )] → b Định lý thặng dư Cauchy Giả sử miền đơn liên, đường cong đơn, đóng nằm () giải ch trừ s ố h ữu hạn cực điểm nằm , đó: ∮ () = 2 ∑ [ (), = ] c Tích phân dạng ∫ (sin , cos ) , hàm hữu tỷ Phương pháp: Đặt = → = sin = = cos = = Khi biến thiên từ → 2 ch ạy vịng đường tròn đơn vị : | | = Tường tự với ch phân dạng ∫ (sin , cos ) d Tích phân suy rộng = ∫ ( ) , hàm hữu tỷ Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn cực điểm , … , n ằm nửa mặt phằng + () khơng có cực điểm n ằm trục thực ⟹ = ∫ ( ) = 2 ∑ [ ( ), = ] Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn cực điểm , … , nằm n ửa mặt ph ằng + () có cực điểm , … , n ằm trục th ực ⟹ = ∫ ( ) = 2 ∑ [ ( ), = ] + ∑ ( ), = e Tích phân dạng = ∫ ( ) cos = ∫ ( ) sin Theo cơng thức Euler ta có: = ∫ ( ) cos = ∫ ( ) = ∫ ( ) sin = ∫ ( ) GIẢI TÍCH PHỨC 44 Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn cực điểm , … , n ằm nửa mặt phằng + () khơng có cực điểm n ằm trục thực ⟹ ∫ ( ) = 2 ∑ [ () , = ] Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn cực điểm , … , nằm n ửa mặt ph ằng + () có cực điểm , … , n ằm trục th ực ⟹ ( ) = 2 [ ( ) , = ] + ( ) , = 11.2 Bài tâp mẫu Bài 11.1 (bài 10, SGK, tr 137): Tính = ∫ Giải: Ta có ( ) = ( )( ) ( ) phương pháp thặng dư ()() ()() = Hàm ( ) có cực điểm cấp hai = , = − cực điểm đơn = −1 + , = −1 − có cực điểm cấp hai = cực điểm đơn = −1 + nằm nửa mặt phẳng Khi ta có: = ∫ ( ) ( ) [(), = ] = ()! → lim ( )( ) → = lim = = 2 { [ (), = ] + [ (), = −1 + ]} → [( − ) ()] = lim = lim → ( − ) () () () () () () () ( ) ( )( ) ()( ) = () ( )( ) =− + [(), = −1 + ] = lim ( + − )() = lim ( + − ) ( ) ( ) → ( ) () = lim → = () (() ) () → = ⟹ = 2 = − + + − = () = − Bài 11.2 (bài 12, SGK, tr 137): Chứng tỏ rằng: GIẢI TÍCH PHỨC 45 a = ∫ Giải: () a Đặt = ⟹ = = ∫ ( ) = ∫ = ; sin = ( ) = 3 GPT: 3 − 10 + = ⇔ = Hàm ( ) = ( ) b = ∫ = = − ∫ = ( ) có hai cực điểm cấp = 3, = có điểm = nằm hình tròn : | | = nẳm nửa mặt ph ẳng Khi ta có ∫ ( ) = 2 ( ), = ( ), = = ⟹ ∫ lim − ( ) = lim =− − − → () = ( ) Bài 11.3: Tính = ∫ ( )( ) Ta có ( ) = ( )( ) = = → ( ) = 2 − = − b Làm tương tự câu a Giải: ()! → = lim ( ) Vậy = − ∫ phương pháp thặng dư ()()()() Hàm () có cực điểm đơn có = = 3 n ằm nửa mặt phẳng Khi ta có: = ∫ ( )( ) = 2 { [ ( ), = ] + [( ), = ]} [(), = ] = lim( − )() = lim ( − ) → → ( )( ) → ()( ) = lim [(), = 3 ] = lim ( − 3 )( ) = lim( − 3 ) = lim ( )( ) GIẢI TÍCH PHỨC → → = → ( )() =− 46 ⟹ = 2 −− Bài 11.4: Tính = Giải: = ∫ = ∫ = ∫ Ta có ( ) = = ()() phương pháp thặng dư = ∫ (do hàm hàm lẻ) Hàm () có cực điểm đơn có = 3 nằm nửa mặt ph ẳng Khi ta có: ∫ = 2 [ ( ) , = 3 ] = 2 lim ( − 3) () = 2 lim ( − 3) Vậy = ∫ → = → → = 2 lim = 2 = Bài 11.5 (câu 6, đề thi GTP – K18): Dùng thặng dư để nh ch phân: = ∫ Giải: = ∫ = ∫ Đặt ( ) = = cos Giải phương trình + = ⇔ = −1 Ta có −1 = cos + sin Khi bậc −1 xác định bởi: + sin , = 0,1,2,3,4,5 + = ⇒ = cos + sin = √ + = ⇒ = cos + sin = + sin cos + sin + = ⇒ = cos GIẢI TÍCH PHỨC + = ⇒ = cos + = ⇒ = + sin + =− =− √ √ = − + − 47 + = ⇒ = cos + sin = − Vậy , , , , , nghiệm phương trình + = √ Hay hàm () có điểm cực đơn có điểm cực đơn , , n ằm nửa mặt phẳng Khi ta có ∫ = 2 ( ), = √ + √ + 2 [ ( ), = ] + 2 ( ), = − + Trong ( ), = = √ → lim √ = + = lim − √ →√ = ( √) = √ (√) √ − = [(), = ] = lim( − )() = lim = ( ), = − = √ → lim = √ + Vậy = = √ ⇒ ∫ = 2 − → → √ = ∫ √ lim → = + (√) = = = − √ − () (√) = + 2 − + 2 √ √ √ √ → − () = lim = = √ lim → Bài 11.6 (câu 5, đề thi GTP – niên học 2008-2009): Tính thặng dư ∫ Giải: = ∫ = ∫ Đặt = + ⇒ = Đổi cận: = − ⇒ = 0; = ⇒ = 2, đó: = ∫ () () GIẢI TÍCH PHỨC = ∫ = − ∫ 48 Đặt = ⇒ = = − ∮|| ; cos = = = ∮|| ( ) Hàm ( ) = ( ) = ()( ) Nhận thấy hàm () có c ực điểm đơn có cực điểm = 0, = nằm miền | | = ta có: = 2 [ ( ), = 0] + ( ), = = [( ), = 0] + ( ), = → ⇒= → − = − → ( ), = = lim − () = lim [(), = 0] = lim( − 0)() = lim → () = =− Bài 11.7 (câu 6, đề thi GTP – niên học 2008-2009) : Tính thặng dư ∫ Giải: Xét ( ) = GPT: + = ⇔ = −1 Ta có −1 = cos + sin Khi bậc −1 xác định bởi: = cos + sin , = 0,1,2,3,4,5 + = ⇒ = cos + sin = √ + + = ⇒ = cos + sin = + = ⇒ = cos + = ⇒ = GIẢI TÍCH PHỨC cos + sin + sin =− = √ √ − + − 49 + = ⇒ = cos + = ⇒ = cos + sin + = − sin = √ − Vậy , , , , , nghiệm phương trình + = Hay hàm () có điểm cực đơn có điểm cực đơn , , n ằm nửa mặt phẳng Khi ta có ∫ − √ + = 2 ( ), = √ + + 2 [(), = ] + 2 ( ), = Trong ( ), = = √ → lim √ + = lim − √ √ √ → = √ (√ ) ( ), = − = √ (√ ) ⇒ ∫ = Vậy = √ + → = (√) (√) GIẢI TÍCH PHỨC (√) (√) √ → = √ − () = .√ = − = − √ √ √ .√ () = + = 2 − − − = = ∫ →√ lim = [(), = ] = lim( − )() = lim → − () = lim = = =− =− →√ lim =− √ 50 ... hệ , 2.2 Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh c đường = qua ánh xạ phức = (Đề thi kết thúc mơn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + , = = GIẢI TÍCH PHỨC ... {±1} V BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA 5.1 Kiến thức b ổ trợ a Hàm giải ch + () giải ch miền mở khả vi (tồn đạo hàm) điểm thuộc GIẢI TÍCH PHỨC 18 + () giải ch điểm... thường bỏ () Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18): a Xác định tất điểm bất thườ ng hàm sau () = GIẢI TÍCH PHỨC + + ( − )( + ) 23 b Xác định điểm mà () giải ch Giải: Ta có (
Ngày đăng: 26/04/2022, 17:57
Xem thêm:
