lý thuyết bài tập môn giải tích phức

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu có nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu xin tổng hợp lại tất dạng tập có liên quan tới đề thi năm Riêng tập b ạn xem lại ví d ụ giáo trình lớp Mơn gi ải ch phức thực chất môn tương đối lại có “mơt chút rắc rối” (khơng phải mơn học mà ở… bạn hiểu) người đừ ng chủ quan Sau số d ạng tập mà s ẽ ơn tập I BÀI TỐN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Kiến thức b ổ trợ a Đồng s ố phức = Cho  =  +  phương trình  =  +  ⇔ 󰇥 =  b Căn thức Số phức  g ọi bậ c  c số phức  n ếu   =  (1) phương trình (1) có  nghiệm xác định cơng th ức  = √ cos  1.2 Bài tập mẫu  + 2  + 2  ,  = 0,1, … ,  − +  sin   Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải phương trình sau: a  +  +  =  d  +  = Giải:   b  +  =  e  +  = √ c  = ( + ) f  =   =  = − +    a 5 + 2 + 10 = ⇔ 󰇯     =  = −  −       b   + 81 = ⇔   = −81 Ta có −81 = 81 (cos() +  sin()) Khi bậc −81 xác định  = √81 cos  GIẢI TÍCH PHỨC  + 2  + 2  + 2  + 2 +  sin  = cos +  sin  ,  = 0,1,2 4 4 01  = ⇒  = 󰇡cos +  sin  󰇢 = 󰇡√ +  √󰇢       = ⇒  = 󰇡cos   = ⇒  = 󰇡cos   = ⇒  = 󰇡cos     +  sin 󰇢 = 󰇡−   +  sin 󰇢 = 󰇡−   +  sin 󰇢 = 󰇡   √  √  + √ −  −  √ 󰇢  √ 󰇢  √ 󰇢  Vậy  ,  ,  ,  nghiệm phương trình   + 81 = c 2 =  (2 + 9) ⇔ 2 = −9 + 2 ⇔  = − +    d Đặt  =  + ,  + 2 = (2 − )(1 − 3) 2− ⇔ 3 −  = − −  ⇔  +  + 2( −  ) = 10 10 10 + 3 =−  ⇔  ⇔  − = −   =  3 = −  Vậy  = −     +    e   + = √3 ⇔   = −1 + √3 Ta có −1 + √3 = 󰇡− + √ 󰇢 = 󰇡cos       +  sin 󰇢 Khi bậc −1 + √3 xác định   2 2 + 2 + 2  + 3  + 3   +  sin 󰇮 = √2 cos   = √2 󰇭cos +  sin 6 9   +  sin 󰇢 9 4 4  +  sin   = ⇒  = √2 cos 9  = ⇒  = √2 󰇡cos   = ⇒  = √2 cos   = ⇒  = √2 cos  GIẢI TÍCH PHỨC 7 7 +  sin  9 10 10  +  sin 9 02 13   = ⇒  = √2 cos  = ⇒  = √2 cos  16 13 +  sin 16 +  sin 9 Vậy  ,  ,  ,  ,  ,  nghiệm phương trình   + = √3 f   =  Ta có  = cos +  sin     Khi bậc  xác định   + 2 + 2  + 4  + 4 2 ,  = 0,1 +  sin  = cos = cos +  sin 4  = ⇒  = cos  = ⇒  = cos  √2  √2 +  sin = + 4 5 +  sin √2 √2 5 =− − 2 Vậy  ,  nghiệm phương trình   =  Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình:  ( −  ) =  Giải:   = + 3√7   (1 −   ) = 16 ⇔   −   + 16 = ⇔    = − 3√7 Xét + 3√7 có  = √1 + 63 = cos  = =   , bậc + √63 xác định 󰇱 √  sin  = =      = √8 cos  + 2  + 2  + 2  + 2  = 2√2 cos +  sin +  sin  ,  = 0,1 2 2  = ⇒  = 2√2 cos  = ⇒  = 2√2 cos GIẢI TÍCH PHỨC   +  sin  2  + 2    + 2 +  sin  = −2√2 cos +  sin  2 2 03 Ta có cos    = ±      = ±      Chọn cos = ; sin = √ ,     ⎧ = 2√2 󰇧 + √ 󰇨 ⎪ 4 =± = ±  sin = ±  = ±        √  √7 ⎨ 󰇨 ⎪ = −2√2 󰇧 + 4 ⎩ Vậy  ,  nghiệm phương trình   = + 3√7 Làm tương tự với − 3√7 chọn cos = ; sin = −    √7 ⎧ 󰆒 = 2√2 󰇧 − 󰇨 ⎪ 4    √ ,  √7 ⎨ 󰆒 󰇨 ⎪ = −2√2 󰇧 − 4 ⎩ Vậy 󰆒, 󰆒 nghiệm c phương trình   = − 3√7 Suy  , , 󰆒, 󰆒 nghiệm phương trình  (1 −   ) = 16 II BÀI TỐN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1 Kiến thức b ổ trợ Để m ảnh điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức  = ( ) = (, ) + (, ), ta xác định mối liên hệ c ,  dựa miền cho trước Ngược lại để m tạo ảnh hàm  (, ), (, ), ta xác định mố i liên hệ ,  2.2 Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh c đường  =  qua ánh xạ phức  =   (Đề thi kết thúc mơn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử  =  + ,  = =   GIẢI TÍCH PHỨC   =    −    = (, ) + (, )   04   +   (,  ) =   (, ) = −   +   ⇒ Với  = 1, (, ) = ⇒  +   =    (, ) = −    1 +     = =  ⇔  −  +  = ⇔  −  +  = (1 +   ) +   Vậy ảnh đường  = đường tròn tâm ( , 0), bán kính     Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh c đường trịn | −  | =  qua ánh xạ phức  =  −  Giải: Giả sử  =  +  ,  =  +  Ta có | −  | =  ⇒  −  =   ⇔  =  +   ,  =  − = ( +   ) − =  +  + (cos  +  sin ) − = (− − −  sin  ) +  ( +  cos ) =  (, ) + (, ) ⇒ (, ) = − − −  sin   sin  = (, ) +  + ⇔  cos  = (,  ) −  (, ) =  +  cos  ⇒ ( + ( + ) ) + ( −  ) =   Vậy ảnh đườ ng tròn | −  | =  qua ánh xạ  =  − đường tròn tâm (− − 2,  ), bán kính  Bài 2.3: Cho hàm  =  Tìm ảnh của: a Đường tròn || = ,  b Miền quạt  <  < Giải:  a Giả sử  =  + ,  =   = ( +  ) =   −   + 2 = (, ) + (, ) ⇒  (, ) =   −   (, ) = 2  = cos  Ta có phương trình tham số đường trịn | | = là:   = sin  ≤  ≤ 2 GIẢI TÍCH PHỨC 05 Khi đó:  (, ) = (2 cos  ) − (2 sin ) = (cos  − sin  ) = cos 2  (, ) = 2.2 cos  sin  = sin 2    ⇒ 󰇡 󰇢 + 󰇡 󰇢 = cos  2 + sin 2 = ⇔   +   = 16 4 Vậy ảnh đường tròn | | = mp( ) đường trịn có tâm g ốc tọa đơ, bán kính mp() b Đặt  =  ⇒ <  <   Ta có  = (cos  +  sin  ) ⇒  =   =   (cos 2 +  sin 2 ) ⇒  = 2 Ta coi miền qu ạt <  < đượ c quét a  = , với biến thiên từ đến     Theo chứng minh ảnh a  =  qua phép biến hình  =  a  =  2 Khi  biến thiên từ đến 2 biến thiên từ đến   Vậy ảnh miền qu ạt <  <    nửa mặt phẳng <  <  Bài 2.4: Cho hàm  = ,  =  +  Tìm:   a Ảnh đườ ng  =  b Tạo ảnh đường  =  Giải: a Ta có: =  −    1  =  (, ) + (, ) = = − =   +    +     +     +     +  ⇒   (, ) = −   +   (, ) = + Trường hợp  =  = 0, (,  ) =  󰇫  ⇒=−  (, ) = − , ( ≠ 0)  Vậy ảnh đường  = trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp  =  ≠ 0, GIẢI TÍCH PHỨC 06   +   (, ) =  (, ) = −   +    ⇒  +   = ⇔  −  +   = (  +   )   +   =    +   = ⇔  −  +   =  2 4  Vậy ảnh đường  =  đường tròn tâm 󰇡 , 0󰇢, bán kình || , ( ≠ 0)   b  =  ⇔    =   + Trường hợp  = ⇒  = Vậy tạo ảnh đường  = trục ảo trừ g ốc tọa độ + Trường hợp  ≠ 0,  +  =     ⇔   − +   = ⇔ 󰇡 − 󰇢 +   =       Vậy tạo ảnh đường  =  đườ ng tròn tâm 󰇡 , 0󰇢, bán kình    || , ( ≠ 0) III BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN T ỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1 Kiến thức b ổ trợ a Giới hạn dãy số phức lim  =  {  },  =  +  Cho 󰇫 lim  =  =  +  ⇔ 󰇫→ lim  =      → → b Giới hạn hàm phức Cho  () =  (, ) +  (, ),  =  +  ,  =  +  , lim () =  ⇔  → lim (, ) =  → → lim (, ) =  → → Nếu xét  →  theo hướng khác có kết khác ta kết luận khơng tồn giới h ạn  =  GIẢI TÍCH PHỨC 07 c Hàm liên tục Cho () xác định lân cận điểm  , đó: + ồ ( )á () + ạ địℎ lim ạ → () liên tục  ⇔  + lim () = ( )  → () liên tục miền   liên tục điểm thuộc  3.2 Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính  ( + ) → Giải: Giả sử  =  + , ⇒   +  = ( +  ) +  =   −   + (2 + 1) = (,  ) +  (, ) (, ) =   −   ;  =1+ (, ) = 2 +  lim (, ) = lim (  −   ) = → → → → (2 + 1) = lim (, ) = lim → → → → Vậy lim (  → + 1) = lim (,  ) +  lim (,  ) = 3 → → → → Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh Giải:  →  −  +  −  +  =  +  − ( −  )[3  + (3 − 2)  + (5 − 2 ) + 5 ] 3  − 2  + 8  − 2 + = lim → → − −  = lim = lim[3  + (3 − 2)  + (5 − 2) + 5 ] = 3  + (3 − 2)  + (5 − 2) + 5 → = −3 − 3 + + 5 + + 5 = +  Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính gi ới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 08 a   b    →  Giải: c  ( )   →   → a Đặt () =   + 1; () =   + 1,  () =  + = 0; () =   + = 󰆒() = 6  = 6 ≠ Áp dụ ng quy tắc L’Hospital ta có 5 () ′() 10  = lim = lim = lim   =   = → → () → ′ () → 6  3 lim   + = →   + ⇒ lim   →    b lim    → 󰇡󰇢  Ta có lim ⇒ lim → → = lim  󰇡 󰇢     → = lim − cos  = sin           󰇡󰇢    →   = lim  =1 c lim (cos ) = → → = lim          Bài 3.4: Xét tồn giới hạn  󰇡 󰇢 Giải: → Giả sử  =  + , =      + Cho  → theo hướng trục   =  +       lim 󰇡 󰇢 = lim   = lim 󰇡 󰇢 = lim = (1) → → → →   −      + Cho  → theo hướng đường th ẳng  =     +    +   1+    lim 󰇡 󰇢 = lim   = −1 (2)  = lim  = lim →  −  →  −  → −  →   GIẢI TÍCH PHỨC   09 Từ (1) (2) ta suy không tồn giới hạn lim   󰇡󰇢 →    Lưu ý: điều kết luận có nghĩa hàm số ( ) = 󰇡 󰇢 không liên tục  = Bài 3.5: Xét nh liên tục c hàm   −  () = 󰇱  −  ế || ≠  ạ  = ,  =   ế || =  Giải: + Tại  = ta có: (1) = lim ( ) = lim    →  → = lim (  +  + 1) = → Vậy lim  () = (1) nên hàm s ố liên tục  = → + Tại  =  () = lim ( ) = lim    →  → = lim (  +  + 1) =  → Vậy lim  () ≠ (1) nên hàm số gián đoạn  =  → Bài 3.6: Cho hàm a () = b () = ()   c () = () Có thể gán giá trị hàm số  =  để trở thành hàm liên tục  =  hay không? Giải: || || a Chọn dãy  = ∗ = ,  , ∗ →  → ∞ Xét     ( ) = lim  = lim =  → → →   lim ( ) = lim  →  (∗) = lim = lim =  → → → ∗  lim (∗ ) = lim ∗ ∗ → GIẢI TÍCH PHỨC 10 Trên  : || = ta có |()| = |  + 1| ≤ | | + = < = |()| Do theo định lý Rouche  ( ) + ( ) =   − 5 + = () có số khơng điểm với ( ) = −5 : | | < Mà  ( ) có khơng điểm  nên suy () có khơng điểm tức có nghiệm  : | | < b Đặt ( ) =   ; ( ) = −5 + Trên  : | | = ta có |()| = |−5 + 1| ≤ 5| | + = 16 < 3 = |()| Do theo định lý Rouche  ( ) + ( ) =   − 5 + = () có số khơng điểm với ( ) =    : | | < Mà ( ) có ba khơng điểm  nên suy () có ba khơng điểm tức có ba nghiệm  : || < Suy () có − = nghiệm hình vành khăn ≤  < c Đặt  () = −5;  ( ) =   + Trên  : | | = ta có |()| = |  + 1| ≤ | | + = < 10 = |()| Do theo định lý Rouche  ( ) + ( ) =   − 5 + = () có số khơng điểm với ( ) = −5  : | | < Mà ( ) có khơng điểm  nên suy () có khơng điểm tức có nghiệm  : | | < Suy () có − = nghiệm hình vành khăn ≤  < IX BÀI TỐN KHAI TRIỂN CHUỖI VÀ TÌM MIỀN HỘI TỤ 9.1 Kiến thức b ổ trợ Một s ố chuỗi Maclouren thường gặp  = +    + +⋯=  1! 2! ! sin  =  −       + − ⋯ = (−1) (2 + 1)! 3! 5! GIẢI TÍCH PHỨC     36   )! (2  − ⋯ =  (−1) 2! 4! Miền hội tụ chuỗi | | < ∞ cos  = − +  = +  +  + ⋯ =   1−   = −  +   − ⋯ = (−1)   1−  Miền hội tụ chuỗi | | < 9.2 Bài tập mẫu Bài 9.1: Khai triển chuỗi Taylor hàm sau theo lũy thừa  −  Xác định miền hội tụ c chuỗi vừa m a () =  ,  =  b () =  c () = ( + ) ,  = − Giải: a ( ) = Ta có         =  = − =                =  = −  ∑  󰇡     = ∑ (−1) 󰇡    = − ∑  Miền hội tụ: 󰇻 b  () = Ta có   GIẢI TÍCH PHỨC    󰇢   ( − 3) = − ∑   󰇻 < ⇔ | − 3| <        ,  =   󰇢 = − ∑   ( − 3)   ⟹  ( ) =  󰇣= − ∑   (  − 3) − ∑  ,  =  d () =  =  󰇣 − 󰇤    = ∑  ()     ()  ( − 3)  ( − 3)󰇤 = − ∑  ( − 3)   ()  ( − 3) 37   =   =       (−1) 󰇡 ∑ = 󰇢      Đạo hàm ta có −  = ∑   ⟹  ( ) = ( − 2) = ∑  ()   Miền hội tụ: 󰇻  = − ∑   ()()  ( − 2) ()  ( − 2) ( − 2) 󰇻 < ⇔ | − 2| <   ()()  = ∑ c ( ) = sin(  + 4 ) = sin(( + 2)  − 4) = sin( + 2)  cos − sin cos( + 2) Ta có  sin(  + 2)  = ∑ ( −1)  cos( + 2)  = (−1)   ⟹  ( ) = cos (−1 Miền hội tụ: | + 2| < ∞ d  () =   Ta có  () = ∑    ⟹  ( ) = =      ()! ( + 2) (2)! )  ()  ( + 2)  ( + 2) − sin (−1) (2 + 1)! (2)!    =  ()   ( ) ! ∑  () ! Miền hội tụ: | − 2| < ∞ Bài 9.2: Khai triển chuỗi Laurent hàm () = ( )  = ,  = ,  = ∞  Giải: + Tại  = ( ) =  () =−      = − ∑  = − ∑     Miền hội tụ: < | | < GIẢI TÍCH PHỨC  38 + Tại  = ( ) =  ()     = =   Miền hội tụ: < | − 1| < + Tại  = ∞ Đặt  =  ⇒  ( ) =  󰇡󰇢 =  ⇒  ( ) = ∑  󰇡 󰇢    ∑( − 1)  = − ∑ ( − 1)      󰇡 󰇢    = =        =   ∑   = ∑   Bài 9.3: Khai triển chuỗi Laurent hàm () = ()() hình vành khăn a  < || <  Giải:  a ( ) = ()() =  − Ta có      =− =      Ta có     = =      = =        ()()        = ∑  󰇡 󰇢 = ∑  ⇒  ( ) = −3 ∑  b  () =     = −  ∑  󰇡 󰇢 = − ∑            b  < | − | <       ⇒  ( ) = ∑       − ∑    =  −        =   = ∑ (−1) 󰇡 ()   ()  ∑  (−1) 󰇡 󰇢 = ∑  ()     − ∑      ()   󰇢 = ∑   ( − 3) () ( − 3) Bài 9.4: Khai triển chuỗi Laurent hàm () = a  < || <  GIẢI TÍCH PHỨC ()  ()() b  < | − | <  hình vành khăn 39 Giải: a ( ) = Ta có    = −   =    ()( )             =   −       = −  ∑  󰇡󰇢 = − ∑  =      ∑  󰇡   󰇢 = ∑      ⇒  ( ) = − ∑     − ∑ Miền hội tụ: 󰇱 b  () =    󰇻 󰇻 |  | > | | > =  −        Bài 9.5 (bài 19, SGK, tr118): Khai triển chuỗi Laurent hàm  =  a () = () ,  =  b () = ( − )   Giải: a ( ) = () =    ()   Ta có  () = ∑   ⇒  ( ) =   [()]  () !  ! Ta có sin    = ∑ ( −1)   c () =  () ,  =    ( − 1) = ∑  Miền hội tụ: |2( − 1)| < ∞ ⇔ | − 1| < ∞ b  () = ( − 3) sin ,  = − ()  = ∑  ! ( − 1) ∑    = ( + ) sin  () ()! = ∑       ! ( − 1)  − sin  ()   ()! ()  ⇒  ( ) = ( + 2) ∑   ()! () − ∑ ()! () GIẢI TÍCH PHỨC ()  ()  40  = ∑ Miền hội tụ: 󰇻  ()  ∑  () − 󰇻 < ∞ ⇔ | + | > ()!  () ()!  () c ( ) =  () = ()    Ta có   =   =         = ∑ (−1) 󰇡   Đạo hàm vế ta có:   = − ∑  ()  Miền hội tụ: 󰇻  󰇻   󰇢  ( − 3) = − ∑  ⇒  ( ) = − () ∑    ()()    = ∑   ( − 3) () ()()  ( − 3) ( − 3) = ∑  < ⇔ | − 3| < ()()  ( − 3) Bài 9.6 (bài 21,SGK, tr 118): Khai triển chuỗi Laurent hàm () = miền ra: a  < | + | <  Giải: a ( ) = Ta có   =−       ⇒  ( ) = b  ()()     =     + = − ∑  󰇡   − ∑        󰇢 = − ∑   ( + 1)  ( + 1) Bài 9.7 (bài 22,SGK,tr 118): Khai triển chuỗi Laurent hàm () = miền Giải: GIẢI TÍCH PHỨC b  < || <         ()() a  < | −  | <   ()() b  < | − | <  41 a ( ) = Ta có   =   ()()  ⇒  ( ) = =   =  ()   = ∑ (−1) ( − 2)        ∑ (−1) ( − 2) = ∑(−1) ( − 2) a ( ) = ()() = Ta có     ⇒  ( ) = −  = −󰇡  ()   ()    󰇢 = − ∑ ( − 1) ()    ∑ ( − 1) = − ∑( − 1) X BÀI TOÁN PHÂN LOẠI ĐIỂ M BẤT THƯỜNG DỰA VÀO CHU ỖI LAURENT 10.1 Kiến thức bổ trợ Giả sử  điểm bất thường cô lập hàm () () có khai triển chu ỗi Laurent  ∑ ( −  ) 󰆅󰆈󰆈󰆈󰆈󰆆  ( ) = ∑   ) + 󰆄󰆈󰆈 󰆄󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈󰆈   ( −󰆈󰆈󰆈󰆆 󰆈󰆈 ầ í ầ ả í (1) + Nếu ph ần chuỗi (1) ( = 0, ∀)  điể m b ất thường bỏ + Nếu ph ần chuỗi (1) có h ữu h ạn số h ạng  cực điểm cấp  ( =  điể m cực đơn) + Nếu ph ần chuỗi (1) có vơ hạn s ố hạng  điểm bất thườ ng cốt yếu 10.2 Bài tập mẫu Bài 10.1 (câu 5, đề thi GTP – K18): a Khai triển chu ổi Laurent hàm sau lân cận điểm  = :  () =  Xác định miền hội tụ chuỗi vừa m Giải: b Phân loại điểm bất thường hàm () GIẢI TÍCH PHỨC 42 a Đặt  =  − ⇒  =  + 2, đó:  () =  ( + 2) =  Suy   ( ) =   Miền hội tụ: 󰇻       =   =      󰇡 󰇢   =   ! =   2!     2 2  2 + ⋯ (1) + ⋯+ =+  ( !  − 2) −2 ! ( − 2) 󰇻 < ∞ ⟹ | − 2| >  b Ta thấy chuỗi Laurent (1) hàm ( ) có phần g ồm vơ hạn số hạng nên điểm  = điểm b ất thường cốt yếu hàm ( ) Bài 10.2: Cho hàm số () = ( −  )   a Khai triển chuỗi Laurent lân cận  = − b Phân lo ại điểm b ất thường c hàm () Giải: a Theo câu b 9.5 ta có ( ) = ∑   ()  ()! () = −  −   !() − ∑  ()! () +  !() () +⋯  (1) b ta thấy chuỗi (1) hàm  ()có phần gồm vơ hạn số hạng nên điểm  = −2 điểm bất thường cốt yếu hàm  ( ) XI BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ 11.1 Kiến thức bổ trợ a Công thức nh thặng dư + Nếu  cực điểm đơn hàm () đó:  [ ( ),  =  ] = lim [( −  )( )] → + Nếu  cực điểm cấp  hàm () đó: GIẢI TÍCH PHỨC 43  [(),  =  ] = ( − 1)! lim   [(  −  ) ( )]   → b Định lý thặng dư Cauchy Giả sử  miền đơn liên,  đường cong đơn, đóng nằm  () giải ch  trừ s ố h ữu hạn cực điểm nằm , đó: ∮ () = 2 ∑  [ (),  =  ] c Tích phân dạng ∫ (sin , cos ) ,  hàm hữu tỷ  Phương pháp: Đặt  =   →  = sin  =     =      cos  =      =   Khi  biến thiên từ → 2  ch ạy vịng đường tròn đơn vị : | | = Tường tự với ch phân dạng ∫ (sin , cos )  d Tích phân suy rộng  = ∫  ( ) ,  hàm hữu tỷ   Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn  cực điểm  , … ,  n ằm nửa mặt phằng + () khơng có cực điểm n ằm trục thực  ⟹  = ∫  ( ) = 2 ∑ [ ( ),  =  ]  Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn  cực điểm  , … ,  nằm n ửa mặt ph ằng + () có  cực điểm  , … ,  n ằm trục th ực  ⟹  = ∫  ( ) = 2 ∑ [ ( ),  =  ] +  ∑   ( ),  =   e Tích phân dạng  = ∫  ( ) cos    = ∫  ( ) sin    Theo cơng thức Euler ta có:   = ∫  ( ) cos   =  ∫  ( )      = ∫  ( ) sin   =  ∫  ( )    GIẢI TÍCH PHỨC  44  Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn  cực điểm  , … ,  n ằm nửa mặt phằng + () khơng có cực điểm n ằm trục thực  ⟹ ∫  ( )   = 2 ∑   [ () ,  =   ]  Nếu () hàm hữu tỷ thỏa: + Bậc mẫu lơn bậc tử đơn vị + () có hữu h ạn  cực điểm  , … ,  nằm n ửa mặt ph ằng + () có  cực điểm  , … ,  n ằm trục th ực ⟹      ( )   = 2  [  ( )  ,  =   ] +    ( )  ,  =     11.2 Bài tâp mẫu Bài 11.1 (bài 10, SGK, tr 137): Tính  = ∫  Giải: Ta có ( ) =  (  )(  )      ( ) phương pháp thặng dư  ()() ()() = Hàm  ( ) có cực điểm cấp hai  = ,  = − cực điểm đơn  = −1 + ,  = −1 −  có cực điểm cấp hai  =  cực điểm đơn  = −1 +  nằm nửa mặt phẳng Khi ta có:  = ∫    (  ) ( )  [(),  =  ] =   ()! →  lim   󰇣( )( )󰇤  → = lim = = 2 { [ (),  =  ] + [ (),  = −1 + ]} → [( −  ) ()] = lim = lim  →  󰇣 ( −  )   ()    () () () ()   ()  () ( ) ( )(  ) ()( ) =  () 󰇤 ( )( ) =−   +     [(),  = −1 + ] = lim ( + −  )() = lim ( + − )    ( ) ( )  → (  ) () = lim → = () (() ) () → = ⟹  = 2 󰇡= −  +   +  −   󰇢 =         () =  −      Bài 11.2 (bài 12, SGK, tr 137): Chứng tỏ rằng: GIẢI TÍCH PHỨC 45 a  = ∫   Giải:  () a Đặt  =   ⟹  = =   ∫   ( )  =    ∫ =    ; sin  =     ( )    = 3 GPT: 3  − 10 + = ⇔ 󰇩 =    Hàm  ( ) =  ( ) b  = ∫ =     = − ∫       =   ( ) có hai cực điểm cấp  = 3,  =   có điểm  =     nằm hình tròn : | | = nẳm nửa mặt ph ẳng Khi ta có ∫   (  ) = 2  󰇣( ),  =  󰇤  󰇣 ( ),  = 󰇤 =   ⟹ ∫      lim  󰇡 −  󰇢  ( ) = lim  =−  − 󰇡−    →  ()   = (  ) Bài 11.3: Tính  = ∫      ( )( ) Ta có ( ) = (  )( ) =    󰇢 =  󰇣   →  ( )  = 2 󰇡− 󰇢 = −   b Làm tương tự câu a Giải:  ()! →    = lim  (  ) Vậy  = − ∫      󰇤  phương pháp thặng dư  ()()()() Hàm () có cực điểm đơn có  =   = 3 n ằm nửa mặt phẳng Khi ta có:  = ∫   ( )(  ) = 2 { [ ( ),  = ] + [( ),  = ]}  [(),  =  ] = lim( −  )() = lim ( −  ) → →  (  )( )  → ()(  ) = lim  [(),  = 3 ] = lim ( − 3 )( ) = lim( − 3 )  = lim ( )( ) GIẢI TÍCH PHỨC → →   =   → (  )() =−   46 ⟹  = 2 󰇡   −− Bài 11.4: Tính  = Giải:  = ∫         󰇢 =       ∫     = ∫ Ta có ( ) =   =           ()() phương pháp thặng dư  =  ∫           (do hàm       hàm lẻ) Hàm () có cực điểm đơn có  = 3 nằm nửa mặt ph ẳng Khi ta có: ∫      = 2 [ ( )  ,  = 3 ] = 2 lim ( − 3) ()    = 2 lim ( − 3) Vậy  =   ∫      →    =          →    → = 2 lim = 2    =    Bài 11.5 (câu 6, đề thi GTP – K18): Dùng thặng dư để nh ch phân:  = ∫ Giải:  = ∫         = ∫      Đặt ( ) =      = cos    Giải phương trình   + = ⇔   = −1 Ta có −1 = cos  +  sin  Khi bậc −1 xác định bởi:  +  sin   ,  = 0,1,2,3,4,5 +  = ⇒  = cos  +  sin  =   √  +  = ⇒  = cos  +  sin  =  +  sin   cos  +  sin  +  = ⇒  = cos GIẢI TÍCH PHỨC    +  = ⇒  = cos +  = ⇒  =    +  sin     + =− =−  √  √  = − +   −    47 +  = ⇒  = cos    +  sin  =  −   Vậy  ,  ,  ,  ,  ,  nghiệm phương trình   + = √  Hay hàm () có điểm cực đơn có điểm cực đơn  ,  ,  n ằm nửa mặt phẳng Khi ta có ∫   = 2 󰇣 ( ),  =     √ + 󰇤    󰇤 √ + 2 [ ( ),  = ] + 2 󰇣( ),  = −  +  Trong  󰇣 ( ),  = = √  →   lim    √  = + 󰇤 = lim 󰇡 −     √          →√    = ( √) = √     (√) √ −  =  [(),  =  ] = lim( −  )() = lim   =  󰇣 ( ),  = − = √  →     lim    =  √ +  󰇤  Vậy  =  =   √     ⇒ ∫   = 2 󰇡−  → → √ 󰇢      = ∫       √  lim →    =  󰇡 + (√) =     =  = −   √ − 󰇢 ()    (√) = + 2 󰇡− 󰇢 + 2 󰇡 √  √ 󰇢    √        √  →    − 󰇢 () = lim = =    √  lim →         Bài 11.6 (câu 5, đề thi GTP – niên học 2008-2009): Tính thặng dư ∫  Giải:  = ∫              = ∫          Đặt  =  +  ⇒  =  Đổi cận:  = − ⇒  = 0;  =  ⇒  = 2, đó:  = ∫    ()  () GIẢI TÍCH PHỨC  = ∫           = − ∫          48 Đặt  =   ⇒  =    = − ∮||        ; cos  =    = =  ∮|| ( )    Hàm  ( ) = (  ) =             ()( )  Nhận thấy hàm  () có c ực điểm đơn có cực điểm  = 0,  = nằm miền | | = ta có: =  󰇤󰇦   2 󰇥[ ( ),    = 0] +  󰇣 ( ),  = 󰇤󰇦 = 󰇥 [( ),  = 0] +  󰇣 ( ),  =  → ⇒=   󰇡     →  − 󰇢 = −        →    󰇣 ( ),  = 󰇤 = lim 󰇡 − 󰇢 () = lim     [(),  = 0] = lim( − 0)() = lim     → ()   = =−   Bài 11.7 (câu 6, đề thi GTP – niên học 2008-2009) : Tính thặng dư ∫   Giải: Xét  ( ) =       GPT:   + = ⇔   = −1 Ta có −1 = cos  +  sin  Khi bậc −1 xác định bởi:  = cos   +  sin   ,  = 0,1,2,3,4,5 +  = ⇒  = cos +  sin = √ +       +  = ⇒  = cos +  sin =  +  = ⇒  = cos +  = ⇒  = GIẢI TÍCH PHỨC      cos    +  sin +  sin       =− = √  √ −  +    −    49 +  = ⇒  = cos +  = ⇒  = cos  +  sin    +  = −   sin  = √  −    Vậy  ,  ,  ,  ,  ,  nghiệm phương trình   + = Hay hàm () có điểm cực đơn có điểm cực đơn  ,  ,  n ằm nửa mặt phẳng Khi ta có ∫     −    √ + 󰇤   = 2 󰇣( ),  = √  +  󰇤 + 2 [(),  =  ] + 2 󰇣 ( ),  =  Trong  󰇣 ( ),  = = √ →   lim √  +  󰇤 = lim 󰇡 −     √       √ √  →   =  √          (√  )   󰇣 ( ),  = − = √          (√  ) ⇒ ∫ =    Vậy  =     √ +  󰇤  → = (√)  (√)  GIẢI TÍCH PHỨC  (√)  (√) √  →    =  √ − 󰇢 ()   = .√ = −  = −   √      √     √ .√      () =     󰇡 + = 2 󰇡− − − 󰇢 =       =  ∫         →√   lim  =  [(),  =  ] = lim( −  )() = lim → − 󰇢 () = lim = = =−       =− →√    lim     =−    √           50 ... hệ ,  2.2 Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh c đường  =  qua ánh xạ phức  =   (Đề thi kết thúc mơn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử  =  + ,  = =   GIẢI TÍCH PHỨC  ...  {±1} V BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA 5.1 Kiến thức b ổ trợ a Hàm giải ch + () giải ch miền mở   khả vi (tồn đạo hàm) điểm thuộc  GIẢI TÍCH PHỨC 18 + () giải ch điểm... thường bỏ () Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18): a Xác định tất điểm bất thườ ng hàm sau () = GIẢI TÍCH PHỨC  +  +  ( −  )( + ) 23 b Xác định điểm mà () giải ch Giải: Ta có (