BÀI điều KIỆN môn TOÁN CAO cấp học PHẦN i

BỘ TÀI CHÍNH HỌC VIỆN TÀI CHÍNH - - BÀI ĐIỀU KIỆN MƠN TỐN CAO CẤP HỌC PHẦN I LỚP: CQ59/10.21 NHÓM:3 THÀNH VIÊN: Lê Văn Quốốc Trung Nguyêễn Bùi Tuấốn Anh Nguyêễn Phương Dung Nguyêễn Hà Thu Nguyêễn Vũ Minh Chấu Nguyêễn Th Thăốm ị 1|Page Ngố Minh Nguyên Hà Ngọc Linh Hoàng Tuấốn Dương 10 Văn Thị Nga 11 Nguyêễn Minh Hiêốu Bài Trong không gian R , cho véc tơ: A   2,1, 3,  ; B  1,  2, 0,  1 ; C   1, 2,  1, 4 ; D  4,  5,1, 3 Tính A  B ;3A  2B ; A  B  2C ; B  3D ;  A  2B , C  Lời giải: A  B    2,1,3, 0   1,  2, 0,  1   5, 4, 6,1 A  B 3  2,1, 3, 0   1,  2, 0,  1   4,  1, 9,  2 A  B  2C   2,1, 3,    1,  2, 0,  1    1, 2,  1,    1,  1, 5,   B  3D  1,  2, 0,  1   4,  5,1, 3  13,  17, 3, 8  A  2B, C  19 Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ  A1 , A2 , A3  , với A1  1,  1, 0 ; A2  2,3,  1 ; A3  0,5,  1 ; X   2,1,5 Lời giải: Theo định nghĩa ta cần tìm số a1 , a2 , a3 cho  1  2  0               a1   a2   a3      0   1   1           Thực phép tính với biểu thức vectơ vế trái dẫn đến đẳng thức tưởng ứng    2   1  3  5   2  3   1  Đẳng thức vectơ tương ứng với hệ phương trình với ẩn số a1 , a2 , a3 2|Page a1  a2  a3    a1  3a  5a 1  0a  1a  a 5  phương trình vơ nghiệm ta khơng có biểu diễn tuyến tính Bài Sử dụng định nghĩa, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ sau:  A  0,  2,1 ; A  2,1,  3 ; A  6,  1,    Lời giải: Trong R xét hệ ta có: 1 A1   A2  3 A3 0 0  2     0     1     2    3      1   3   7             2  6     1  2  3    1  32  3 0 0 0  hệ phương trình có vơ số nghiệm Vậy hệ vectơ  A1 ; A2 ; A3  phụ thuộc tuyến tính Bài Xét xem hệ véc tơ sau có sở khơng gian tương ứng khơng?  A  1,  1, 2 ; A  0, 2, 3 ; A   1, 3,  1  , không gian R 3 Lời giải: Hệ cho gồm vectơ khơng gian R nên thỏa mãn điều kiện cần cho sở R Xét hệ thức vectơ : 1 A1  2 A2  3 A3 03 3|Page  3 0  1     1  22  33 0    1    3 0 sở R 1 0  2 0   0  hệ vectơ độc lập tuyến tính Vậy Bài Bằng định nghĩa, sở tìm biểu diễn tuyến tính véc tơ lại qua sở hệ véc tơ:  A  2,1,  1 ; A    1, 0,  ; A   0,1,  ; A    1,  2,    Lời giải:  2   1     A1   ; A2    1   2     Xét hệ vectơ: Xét đẳng thức vectơ: 1 A1  2 A2 03 21  2 0  0 1  1    2 0   0  2   dễ thấy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 1 0  0 ; dẫn đến hệ  A1 , A2 độc lập tuyến tính Giả sử: A3 3 A1  4 A2 2      1    3 1        2 3  Giả sử: 4|Page  A  A1  A A4  A1   A2 2             2          A4  A1  A2 Như vậy, vectơ biểu diễn tuyến tính qua  định nghĩa thì A1 , A2  A1 , A2 Theo sở hệ vectơ theo đề cho Bài Một hãng dùng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho véc tơ:  1  2     A1  2 ; A2   ; A3  1  1      1  2 ; A4  2    3  3     ; A5  0  2  1     AJ véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j a) Chứng minh rằng, hệ tuyến tính B  A2 , A4 , A5  hệ độc lập Lời giải :  2  3  3       A2  1  ; A4 1  ; A5   1   2 1        Trong R xét vectơ xét 1 A2  2 A4  3 A5 B để hệ độc lập tuyến tính 1 A2  2 A4  3 A5 03 2  3  3         1 1    1        1  2 1            5|Page 2 1    3 0    1  2 0        0  Vậy hệ minh) B  A2 ; A4 ; A5  1     0    hệ độc lập tuyến tính (điều phải chứng b) Viết biểu diễn tuyến tính véc tơ lại qua hệ B nêu ý nghĩa kinh tế biểu diễn tuyến tính Lời giải: Ta có: A1 1 A2  2 A4  3 A5 1   2  3  3          1    2    3   1  1   2 1         1 2     3      2  1  2    1            A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 Vậy lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất đơn vi sản phẩm đơn vị sản phẩm lượng vật liệu đủ để sản xuất đơn vị sản phẩm Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm ta thêm đơn vị sản phẩm Ta có: A3 1 A2  2 A4  3 A5 1  2 3 3          1    2    3    2 1   2 1         6|Page  1  1 2          2  1  2   2      2       3  3 3  A  A  A  A  A  A  A  A 2 2 2 Vậy lượng vật liệu đủ để sản xuất đơn vị sản phẩm và2 đơn vị sản phẩm lượng vật liệu đủ để sản xuất đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm Ý nghĩa kinh tế: bớt đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm ta thêm đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm c) Tính số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 10, 40, 50, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại Lời giải: số lượng vật liệu đủ đề sản xuất theo yêu cầu : vật liệu 10 A1  40 A2 50 A3  60 A4  20 A5 1  2 1  3  3         10    40    50    60    20   1  1  2  2 1             10   20  10    7|Page  80   40  40    50   100  100    180  60   120    60  380    220  20  290     n Bài Cho A B, véc tơ không gian R Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng:    độc lập tuyến tính a) Các hệ véc tơ  phụ thuộc tuyến tính A  B, A  B A, B lời giải: Đặt: P   A; B  Ta có: ; P   A; B  Q  A  B; A  B độc lập tuyến tính  1 A  2 B 0  1 2 0 Giả sử ngược Q  A  B; A  B phục thuộc tuyến tính, tồn  A  B   2  A  B   số thực 1 2 không đồng thời    1    A   1    B  1  2 0  1 2 VÔ LÝ  1  2 0    Q  A  B; A  B độc lập tuyến tính b, h  A, B   h  A, B , A  B  Lời giải: gọi hệ vectơ C sở hệ vectơ  A, B  nên vectơ  Do C sở  diễn tuyến tính qua hệ C (1) A, B Mà vectơ  A  B biểu biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ  Từ (1),(2) ta có vectơ  A  B biểu diễn qua hệ C  hệ C sơ hệ  A, B, A  B 8|Page A, B A, B (2)  h  A, B   h  A, B, A  B  Bài Cho hai ma trận: 1 2 A  1 1 B   3   2 ; 1  4  a, Tính A  B ; A  B; 2A  3B ; A  5B lời giải: 2 A  B  1 1 2 A  B  1 1       1   1   2 3 1  2 1  4    2     2 2 2A  3B  2 1 1 2 3A  5B  3 1 1 0  4    2 8 1 5     11     7 1 A  3X B ; 2 A  B  Y  Y  3A  5B Lời giải:    X  1  3 1 B A  7 3     2 A  B  Y  Y  3A  5B  Y  A  3B 9|Page 4 1 b) Tìm ma trận X,Y biết rằng: A  3X B  X  1 3   3    3     1   7   3  18  6  2 29   16  8   Y   7 9   Bài Cho ma trận:   1   A   ;  2    2  1 B  ;  3  1    C   1 0     Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau phương pháp ma trận nghịch đảo: XA  C T  B Lời giải: T Gọi D  B  C 1 2  0 1 1  3  1 3 0     3   1  6 1 Ta có detA = 0 nên tồn A T Xét : XA  C  B  XA  B  C T  XA  D  X DA  (1) Thiết lập ma trận ghép:   A E    2 10 | P a g e 1  1 0    0 0   5 0    1 3  0    1   x1  x  x  x  x  x  2x  2x   x  3x  x  x   x  0,j 1,  j 9  10  Lời giải: Chuyển hệ phương trình dạng tắc, sử dụng ẩn bù x5 , x6 thu hệ: 9  x1  x  x  x  x  x  x  2x  2x  x  10   x  3x  x  x  4   x j 0, j 1,   x1  x2  x3  x4  x5 9  x  x  2x  2x  x6 10    x 3x 4x x 4     x j 0, j 1,    1  9   Ã  1  2 10   3    0    Xét   3       3  3   1    3  3  0    1       24 | P a g e  35    26       1 0 1 19  1  4   13  4   1   4  Nhìn vào dịng ma trận thấy nửa trái gồm hệ số nhỏ nửa phải dương nên:  Hệ phương trình khơng có nghiệm khơng âm  Hệ phương trình vơ nghiệm Bài 19 Một hãng dùng loại vật liệu thô liệu để sản xuất loại sản phẩm trung gian Sau đó, từ loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất loại thành phẩm Cho ma trận: 1  A  2  1 2 2    , B  4   1 3  1 2  3 aij cho ma trận A số đơn vị vật liệu loại i b dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm trung gian loại j, jk cho ma trận B số lượng đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất đơn vị thành phẩm loại k  i, k 1, 3, j 1, 4 a) Gọi xj  với j 1, số đơn vị thành phẩm loại j mà hãng sản xuất sử dụng hết 41 đơn vị vật liệu thô loại 1, không 38 đơn vị vật liệu thơ loại 27 đơn vị vật liệu thô loại Viết hệ ràng buộc x tuyến tính xác định j , j 1, Lời giải: Ma trận định mức tiêu hao vật liệu thô để sản xuất thành phẩm là: 25 | P a g e ... hệ minh) B  A2 ; A4 ; A5  1     0    hệ độc lập tuyến tính (? ?i? ??u ph? ?i chứng b) Viết biểu diễn tuyến tính véc tơ cịn l? ?i qua hệ B nêu ý nghĩa kinh tế biểu diễn tuyến tính L? ?i gi? ?i: ... lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i Ðể sản xuất đơn vị thành phẩm lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i. .. lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , 10 đơn vị vật liệu lo? ?i Ðể sản xuất đơn vị thành phẩm lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu loại