uffile-upload-no-title30395

ĐIỀU KHIỂN HỆ CON LẮC NGƯỢC - XE SỬ DỤNG ĐẠI SỐ GIA TỬ CONTROL OF AN INVERTED PENDULUM - CART SYSTEM USING HEDGE ALGEBRAS Bùi Hải Lê1, Phạm Minh Nam1, Bùi Thanh Lâm2,* Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách hhoa Hà Nội Khoa Cơ khí, Trường Đại học Cơng nghiệp Hà Nội * Email: thanhlam710@gmail.com TĨM TẮT Cơ cấu lắc ngược đặt xe hệ hụt dẫn động phi tuyến thường dùng đối tượng nghiên cứu tiêu chuẩn điển hình điều khiển Lý thuyết Đại số gia tử (Hedge Algebras - HA) phát triển từ năm 1990 với nhiều ưu điểm ứng dụng vào điều khiển từ năm 2008 Trong điều khiển dựa Đại số gia tử (Hedge algebras based controller - HAC), giá trị ngôn ngữ sở luật thay tương đương giá trị ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (semantically quantifying mapping – SQM) sở luật biểu diễn dạng lưới số chiều Việc xác định biến điều khiển từ biến trạng thái thực dựa lưới số sử dụng phép nội suy tuyến tính Đây ưu điểm bật HAC so với điều khiển mờ truyền thống, sử dụng phép tính tương đối rắc rối thao tác Trong báo cáo này, toán điều khiển cân hệ lắc ngược – xe sử dụng Đại số gia tử trình bày, kết mơ so sánh với kết thu từ điều khiển LQR Từ khóa: Điều khiển, lắc ngược – xe, Đại số gia tử ABSTRACT The inverted pendulum – cart mechanism is an under actuated and non-linear system and it is usually used as a benchmark model in control Hedge Algebras (HA) theory has been developed since 1990 with many advantages It has been applied in control since 2008 In the Hedge algebras based controller (HAC), linguistic values in rule base are represented by their semantically quantifying mappings (SQM) and hence numerical representation of the rule base can be described in term of a grid of nodes Determination of control variable from given state variables is performed based on this grid using linear interpolations This is an advantage of HAC In this report, the problem of stable control of an inverted pendulum – cart system using HA is presented, in which simulation results of the controller HAC are also compared with those of the controller LQR Keywords: Control, inverted pendulum – cart, Hedge Algebras GIỚI THIỆU Các hệ lắc nói chung hệ lắc ngược đặt xe nói riêng mơ hình phi tuyến cân điển hình chúng thường coi đối tượng chuẩn để kiểm nghiệm hiệu phương pháp điều khiển Nhiều nghiên cứu điều khiển hệ lắc ngược đặt xe công bố Bộ điều khiển mờ để điều khiển cân hệ lắc ngược hụt dẫn động đặt xe trình bày dựa mơ đun luật đầu vào đơn SIRMs (Single Input Rule Modules) kết nối với mơ hình suy luận mờ, điều khiển mờ có đầu vào, đầu vào có SIRM trọng số Trong , điều khiển mờ với đầu vào đầu đề xuất để điều khiển cân hệ lắc ngược song song đặt xe Một cách tiếp cận điều khiển mờ hệ thời gian rời rạc dựa không gian trạng thái sử dụng hàm tiếp tuyến hyperbol đề xuất để điều khiển cân hệ lắc ngược – xe Trong trình bày điều khiển mờ để điều khiển hệ lắc ngược – xe sử dụng lập trình Java Bộ điều khiển mờ gồm thành phần để điều khiển góc lệch lắc vị trí xe cấu lắc ngược đặt xe đề xuất Bộ điều khiển mờ thích nghi để điều khiển cân chuyển động hệ lắc ngược có bánh xe với tham số khơng chắn nghiên cứu Trong , điều khiển bù phân bố song song mờ đề xuất để điều khiển cân hệ lắc ngược đặt xe Điều khiển mờ, dựa lý thuyết tập mờ Zadeh giới thiệu vào năm 1965, có nhiều ưu điểm linh hoạt đơn giản thiết kế, hiệu điều khiển cao, đảm bảo độ ổn định bền vững điều khiển hệ phức tạp, phi tuyến có tham số khơng chắn Vì vậy, sử dụng rộng rãi hệ điều khiển trình với nhiều ứng dụng khác Tuy nhiên, điều khiển mờ truyền thống (conventional fuzzy controller – FC) có nhiều điểm hạn chế như: địi hỏi thời gian tính tốn lâu, thứ tự ngữ nghĩa vốn có giá trị ngôn ngữ biến ngôn ngữ không đảm bảo chặt chẽ bước mờ hóa giải mờ rắc rối mặt thao tác Lý thuyết HA phát minh từ năm 1990 để mô hình hóa ngữ nghĩa dựa thứ tự giá trị ngôn ngữ biến ngôn ngữ to model the order-based semantics of the terms in term-domains of linguistic variables Mỗi tập giá trị ngơn ngữ coi cấu trúc HA Một đặc trưng cấu trúc HA thứ quan hệ thứ tự vốn có giá trị ngôn ngữ biến ngôn ngữ đảm bảo Giá trị số định lượng ngữ nghĩa của giá trị ngơn ngữ xác định ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (semantically quantifying mapping – SQM) dựa vài tham số mờ biến ngơn ngữ thay sử dụng tập mờ Vì vậy, hệ luật mờ mô tả dạng hệ luật số lưới số Sơ đồ điều khiển HAC FC giống nhau, ra, HAC đơn giản thuận tiện thiết lập, tính cấu trúc cao hơn, tường minh thực so với FC Như vậy, HAC dễ dàng ứng dụng vào lĩnh vực điều khiển trình nói chung điều khiển mơ hình học nói riêng, ví dụ điều khiển tối ưu lắc ngược , điều khiển chủ động nhà cao tầng chịu tải động đất hay điều khiển điện áp máy phát từ tự kích Trong báo cáo này, tác giả trình bày điều khiển cân hệ lắc ngược gắn xe sử dụng điều khiển dựa đại số gia tử, đó, góc lệch/vận tốc góc lắc vị trí/vận tốc xe điều khiển đồng thời MƠ HÌNH CON LẮC NGƯỢC GẮN TRÊN XE Xét mơ hình lắc ngược gắn xe chuyển động thẳng Hình Bỏ qua ma sát xe đường ma sát xe lắc Các thông số hệ gồm: m0 - khối lượng xe; m - khối lượng thanh; l - chiều dài thanh; I - mô men qn tính tâm thanh; ϕ - góc hợp với mặt phẳng thẳng đứng; u (t ) - lực điều khiển; lc khoảng cách từ O đến trọng tâm C Hình Mơ hình lắc ngược gắn xe Quan hệ vị trí, vận tốc, gia tốc với vị trí, vận tốc, gia tốc xe góc ϕ sau: xG = x + lc sin ϕ ; yG = lc cos ϕ ; x&G = x&+ lc cos ϕ ϕ&; y&G = −lc sin ϕ ϕ& &2 & && &2 & & & & & & x& G = x − lc sin ϕ ϕ + lc cos ϕ ϕ ; y G = −lc cos ϕ ϕ − lc sin ϕ ϕ (1) Phương trình chuyển động theo phương x xe thanh: (2) & u − N x = m0 & x&; N x = mx& G x& Thay & G vào ta được: &) = m0 & u − N x = u − m( & x&− lc sin ϕ ϕ&2 + lc cos ϕ.ϕ& x&⇒ & x&= & u + mlc sin ϕ.ϕ&2 − mlc cos ϕ.ϕ& (3) m0 + m Phương trình cân momen thanh: &= −Fqt lc cos ϕ + mglc sin ϕ I 0ϕ& (4) Trong đó: & u + mlc sin ϕ ϕ&2 − mlc cos ϕ ϕ& &= m I = I + mlc = mlc ; Fqt = mx& m0 + m (5) Thay & x&vào (5), suy ra: &= −m ( I + mlc )ϕ& & u + mlc sin ϕ.ϕ&2 − mlc cos ϕ.ϕ& lc cos ϕ + mglc sin ϕ m0 + m (6) Như vậy: &= u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ x&+ mlc cos ϕϕ& ( m0 + m ) & &= mlc g sin ϕ mlc cos ϕ & x&+ ( mlc2 + I ) ϕ& Suy ra: (7) ( u(t ) + ml ϕ& sin ϕ ) ( ml + I ) − m l gsin ϕ cos ϕ & x&= ( m + m ) ( ml + I ) − m l cos ϕ ( m + m ) ml g sin ϕ − ml cos ϕ ( u (t ) + ml ϕ& sin ϕ ) &= ϕ& ( m + m ) ( ml + I ) − m l cos ϕ 2 c c 2 c c 2 c (8) c c c c 2 c Đặt biến trung gian sau: x1 = x, x2 = x&, x3 = ϕ , x4 = ϕ& Từ ta có phương trình trạng thái hệ: x& = x2 x&2 = ( u(t ) + ml x c sin x3 ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 g sin x3 cos x3 ( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos2 x3 (9) x&3 = x4 ( m0 + m ) mlc g sin x3 − mlc cos x3 ( u (t ) + mlc x42 sin x3 ) x&4 = ( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m2lc2 cos x3 Mục tiêu điều khiển cân hệ đưa biến trạng thái xi → số biến trạng thái khác khơng, i = ÷ BỘ ĐIỀU KHIỂN DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ - HAC Xét cấu trúc đại số gia tử AX biến ngôn ngữ X: ( AX = X,G,C, H,≤ ) (10) + G = { Negative,Positive} = { c ,c } tập nhãn gốc; C = { ,W , 1} với 0, W số absolutely Negative, neutral absolutely Positive; H = { Very,Little} = H + ∪ H - tập gia tử; ≤ quan hệ thứ tự X Các định nghĩa, định lý công thức lý thuyết HA cho phép xác định tất ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (semantically quantifying mapping – SQM) có giá trị ngơn ngữ biến ngơn ngữ X Trong trường hợp fm(c−) µ(h−) = 0.5, giá trị ngơn ngữ điển hình với SQM X thể Bảng 1, fm(c−) độ đo tính mờ c− µ(h−) độ đo tính mờ h− N, P, V L kí hiệu Negative, Positive, Very Little Bảng Các giá trị ngơn ngữ điển hình Giá trị ngơn ngữ SQM VN N LN W LP P VP 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 Tiếp theo, điều khiển HAC gồm biến trạng thái ( xi , i = ÷ ) biến điều khiển (u), trình bày với sơ đồ điều khiển Hình Giả thiết khoảng xác định biến trạng thái điều khiển cho sau: xi ∈ [ -ai ,ai ] , i = ÷ u ∈ [ -b,b ] Các giá trị ngôn ngữ với SQM biến lựa chọn Bảng (ký hiệu “•”) Sơ đồ chuẩn hóa biến trạng thái, chuyển đổi từ miền xác định sang miền SQM, thể hình Hình 3a, xis giá trị SQM xi Cơ sở luật mờ HA gồm 81 luật thể Bảng Hình Sơ đồ điều khiển HAC Bảng Các giá trị ngôn ngữ lựa chọn Biến ngôn ngữ VN: 0.125 N: 0.25 LN: 0.375 W: 0.5 LP: 0.625 P: 0.75 VP: 0.875 • • • x1 • • • x2 • • • x3 • • • x4 • • • • • • • u Hình Sơ đồ chuẩn hóa biến trạng thái a) giải chuẩn biến điều khiển b) Bảng Cơ sở luật mờ HA TT 10 11 12 13 x1 N N N N N N N N N N N N N x2 N N N N N N N N N W W W W x3 N N N W W W P P P N N N W x4 N W P N W P N W P N W P N u VN VN N VN N LN N LN VN VN N LN N TT 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 x1 W W W W W W W W W W W W W x2 N N N N N N N N N W W W W x3 N N N W W W P P P N N N W x4 N W P N W P N W P N W P N u VN N LN N LN W LN W LP N LN W LN TT 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 x1 P P P P P P P P P P P P P x2 N N N N N N N N N W W W W x3 N N N W W W P P P N N N W x4 N W P N W P N W P N W P N u N LN W LN W LP W LP P LN W LP W 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 N N N N N N N N N N N N N N W W W W W P P P P P P P P P W W P P P N N N W W W P P P W P N W P N W P N W P N W P LN W LN W LP N LN W LN W LP W LP P 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 W W W W W W W W W W W W W W W W W W W P P P P P P P P P W W P P P N N N W W W P P P W P N W P N W P N W P N W P W LP W LP LP P LN LP W LP P LP P VP 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 P P P P P P P P P P P P P P W W W W W P P P P P P P P P W W P P P N N N W W W P P P W P N W P N W P N W P N W P LP P LP P VP VP LP P LP P VP P VP VP Suy luận HA để tính tốn giá trị SQM uS biến điều khiển u sử dụng phép nhân Ví dụ với luật 22 ta có: Nếu x1 = N, x2 = P, x3 = W x4 = N u = LN Khi sử dụng phép nhân miền SQM ta có: Nếu x1s × x2s × x3s × x4s = 0.25×0.625×0.5×0.25 = 0.01953125 us = 0.375 Sơ đồ suy luận HA sử dụng phép nhân thể Hình Hình Sơ đồ suy luận HA sử dụng phép nhân Giá trị SQM us thu phải chuyển đổi sang giá trị thực biến điều khiển Bước sử dụng lại bước chuẩn hóa, gọi bước giải chuẩn, xem Hình 3b KẾT QUẢ SỐ Các tham số mơ hình lắc ngược đặt xe điều khiển cho sau: m0 = kg, m = 0.1 kg, g = 9.81 m/s2, lc = m; a1 = m, a2 = m/s, a3 = 0.3 rad, a4 = rad/s b = 40 N Kết đáp ứng theo thời gian góc lệch vận tốc góc lắc vị trí vận tốc của xe với điều khiển HAC LQR thể Hình 5-8 Trong đó, véc tơ hệ số K điều khiển LQR tính tốn sau: K = [ −1 − 2.4644 − 36.9505 − 13.0522 ] (11) Hình Góc lệch lắc, nét liền: HAC, nét đứt: LQR Hình Vận tốc góc lắc, nét liền: HAC, nét đứt: LQR Hình Vị trí xe, nét liền: HAC, nét đứt: LQR Hình Vận tốc xe, nét liền: HAC, nét đứt: LQR Thời gian tính tốn (CPU time) điều khiển thể Bảng Trong đó, mơ thực máy tính có vi xử lý Core i7-2640M, nhớ RAM 8GB với thời gian mô 10 s bước thời gian (timestep) 0.01s Bảng Thời gian tính toán (CPU time), s HAC 4.23 LQR 32.77 Qua kết mô số, thấy rằng: - Bộ điều khiển HAC hoạt động đơn giản, tường minh sử dụng phép nội suy tuyến tính (xem Hình 4) Cơ chế suy luận HA Hình cho phép xác định nhanh dễ dàng biến điều khiển từ biến trạng thái đầu vào - Hiệu điều khiển HAC tương đương với LQR Điểm vọt lố vị trí vận tốc xe HAC thấp so với LQR - Đặc biệt, thời gian tính tốn (CPU time) HAC nhanh nhiều so với LQR, biến điều khiển u theo LQR biểu thức tường minh Đây lợi HAC ứng dụng thực tế điều khiển yếu tố trễ (trong có nguyên nhân CPU time) tránh khỏi - Hệ luật điều khiển gồm 81 luật HAC báo tương đối khó hình dung thiết lập dựa vào kinh nghiệm chuyên gia nên cần có cải tiến hệ luật Kết luận Báo cáo trình bày tốn điều khiển cân hệ lắc ngược đặt xe sử dụng điều khiển dựa Đại số gia tử (HAC) Trong đó, góc lệch vận tốc góc lắc vị trí vận tốc xe điều khiển đồng thời Các kết mô điều khiển HAC so sánh với điều khiển LQR Hướng phát triển báo cáo tối ưu hệ luật đề xuất chế suy luận HA để cải thiện hiệu điều khiển mô so sánh kết mơ CPU time HAC FC để kiểm chứng ưu điểm HAC dạng toán LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 107.01-2017.306 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yi, J and N Yubazaki, 2000 Stabilization fuzzy control of inverted pendulum systems Artificial Intelligence in Engineering 14(2), 153-163 [2] Yi, J., N Yubazaki, and K Hirota, 2002 A new fuzzy controller for stabilization of parallel-type double inverted pendulum system Fuzzy Sets and Systems 126(1), 105-119 [3] Margaliot, M and G Langholz, 2003 A new approach to fuzzy modeling and control of discrete-time systems IEEE Transactions on Fuzzy Systems 11(4), 486-494 [4] Becerikli, Y and B.K Celik, 2007 Fuzzy control of inverted pendulum and concept of stability using Java application Mathematical and Computer Modelling 46(1-2), 24-37 [5] Tao, C.-W., et al., 2008 Fuzzy hierarchical swing-up and sliding position controller for the inverted pendulum–cart system Fuzzy Sets and Systems 159(20), 2763-2784 [6] Li, Z and C Xu, 2009 Adaptive fuzzy logic control of dynamic balance and motion for wheeled inverted pendulums Fuzzy Sets and Systems 160(12), 1787-1803 [7] Roose, A.I., S Yahya, and H Al-Rizzo, 2017 Fuzzy-logic control of an inverted pendulum on a cart Computers & Electrical Engineering 61, 31-47 [8] Precup, R.-E and H Hellendoorn, 2011 A survey on industrial applications of fuzzy control Computers in Industry 62(3), 213-226 [9] Anh, N.D., et al., 2013 Application of hedge algebra‐based fuzzy controller to active control of a structure against earthquake Structural Control and Health Monitoring 20(4), 483-495 [10] Bui, H.-L., et al., 2015 General design method of hedge-algebras-based fuzzy controllers and an application for structural active control Applied Intelligence 43(2), 251-275 [11] Ho, N.C and W Wechler, 1990 Hedge algebras: an algebraic approach to structure of sets of linguistic truth values Fuzzy sets and systems 35(3), 281-293 [12] Vukadinović, D., et al., 2014 Hedge-algebra-based voltage controller for a self-excited induction generator Control Engineering Practice 30, 78-90 [13] Ho, N.C and W Wechler, 1992 Extended hedge algebras and their application to fuzzy logic Fuzzy sets and systems 52(3), 259-281 [14] Ho, N and H Nam, 2002 Towards an algebraic foundation for a Zadeh fuzzy logic Fuzzy Set and System 129, 229-254 [15] Ho, N.C., 2007 A topological completion of refined hedge algebras and a model of fuzziness of linguistic terms and hedges Fuzzy Sets and Systems 158(4), 436-451 [16] Ho, N.C and N Van Long, 2007 Fuzziness measure on complete hedge algebras and quantifying semantics of terms in linear hedge algebras Fuzzy Sets and Systems 158(4), 452471 [17] Ho, N.C., V.N Lan, and L.X Viet, 2008 Optimal hedge-algebras-based controller: Design and application Fuzzy Sets and Systems 159(8), 968-989 [18] Bui, H.-L., D.-T Tran, and N.-L Vu, 2012 Optimal fuzzy control of an inverted pendulum Journal of vibration and control 18(14), 2097-2110 [19] Duc, N.D., et al., 2012 A study on the application of hedge algebras to active fuzzy control of a seism-excited structure Journal of Vibration and Control 18(14), 2186-2200 [20] Anh, N.D., et al., 2013 Application of hedge algebra-based fuzzy controller to active control of a structure against earthquake Structural Control and Health Monitoring 20(4), 483-495 [21] Bui, H.-L., et al., 2015 Vibration control of uncertain structures with actuator saturation using hedge-algebras-based fuzzy controller Journal of Vibration and Control, 1077546315606601 [22] NGUYEN, C.H., et al., 1999 Hedge algebras, linguistic-value logic and their application to fuzzy reasoning International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems 7(04), 347-361 [23] Nguyen, C.H., et al., 2013 A genetic design of linguistic terms for fuzzy rule based classifiers International Journal of Approximate Reasoning 54(1), 1-21 [24] Nguyen, C.H., T.S Tran, and D.P Pham, 2014 Modeling of a semantics core of linguistic terms based on an extension of hedge algebra semantics and its application Knowledge-Based Systems 67, 244-262 [25] Nguyen, C.-H and W Pedrycz, 2014 A construction of sound semantic linguistic scales using 4-tuple representation of term semantics International Journal of Approximate Reasoning 55(3), 763-786 [26] Varsek, A., T Urbancic, and B Filipic, 1993 Genetic algorithms in controller design and tuning IEEE transactions on Systems, Man, and Cybernetics 23(5), 1330-1339 AUTHORS INFORMATION Bui Hai Le1, Pham Minh Nam1, Bui Thanh Lam2 School of Mechanical Engineering, Hanoi University of Science and Technology Faculty of Mechanical Engieering, Hanoi University of Industry 10