@lucong Vil PHUONG PHAP TQA BO TRONG KHONG GIAN
Ạ KIEN THUC CO BAN CAN NAM VUNG
1 Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ba trục:
Ox: trục hoành Oy: truc tung
Oz: truc cao
Ox, Oy, Oz không đồng phẳng vuông góc
với nhau từng đôi một, có các vectơ đơn vị lần lượt là 1.j,k 2, Tọa độ của điểm M: SMWexi Ì+Yy: > MG; Ys 2m)
3, Nếu Ăxa; yA: ZA): B(Xu; Yg: Zn) thì:
AB=(x, =XAiYy —¥ 422 ~z„).O =(0:0;0)
4 Các phép toán vectơ trên hệ truc Oxyz: a=(aj;as;a,),b =(b,:b,;b, ) thì: a,=b, ea=beo a, =b, eath=(a, +hya, +b,:a, +h,) * a-b=(a,—b,:a, —b,;a—b,)
« Với p là một số thực thi vect pa = (pay; pax; pas) pa cùng chiểu với a nếu p>0
pa ngược chiều với a nếu p<0
Gọi chung: pa cùng phương với a
_ J8=Ph,
* a cing phuong b <> 4a, =pb, (peR)
a, = pb,
Trang 2Hoặc: nh (quy ước rằng nếu mẫu số bằng 0, thì tử số bằng 0) hae dạ
sab= a,b, +a,b, +a,b,
° albeap, +a,b, +a,b, =0 a3 a, = fate f= fat 92 la, a, bu “tke - ] b, ‘4 by | avab Ỉ Các tính chất của tích có hướng: « ä cùng phương b©> [ab]- 0 a, ay b,b, lb,
) (là vectơ tích có hướng của hai vectơ
v e cùng phương với cả avab
° [s5]=Rlllsăs»)
§ Các hệ quả quan trọng
lita lai tai tây
Trang 3* Diện tích tam giác ABC: $= 2[asae] ac]
+ Thể tích hình hộp ABCD.ÁB'€'D': V= m AC] TYY AA
* Thé tich hinh chép S.ABCD: V = G[ABAC].AS, (nếu đáy ABCD là hình bình hành)
© Thé tích tứ diện ABCD: V = aL aB.ac] AC Jan|
* D6 dài đường cao kể từ A xuống đáy BCD của tứ diện ABCD ® Một phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất, ba ẩn số x, y 0,x+b,y+cz=d, a Q) @) + Bước l; Giải hệ (1) và (2), tính x, y theo z
+ Bước 2: Thế x, y theo z vào (3), giải để tính z, rồi từ đó tính duge x, ỵ
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Trang 4523, Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và một điểm M tùy ý trong
không gian Với mọi vị trí của điểm M, ta luôn có ạ 2MA +MB~-3MC = AC -3AB b 2MA +MB-3MC = AB-3AC € 2MA+MB~ 3MC =3AC~ AB d 2MA+MB~3MC =3AB~AC Hãy chọn kết quả đúng
524 Cho hình hộp ABCD.ÁB'C'D' AC" cắt mặt phẳng (ÁBD) tại E, cất mặt phẳng (CB'D") tại F Hãy tìm hệ thức sai,
ạ Ế+EB+ED =0 b FC+FD`+EB' =0
AB+AD+Ấ=2AC' ạ BF= AC:
525 Cho khối tứ điện ABCD G là trọng tâm của khối tứ diện, Á là trọng tâm của tam giác BCD, M là một điểm tùy ý trong không gian Hệ thức nào dưới đây là hệ thức s ạ GB+GC+GD =3GA" b GA+GB+GC+GD=0 c AÁ=3AG 4, MA+MB+MC+MD =4MG 526 Cho khối diện ABCD Gọi M là trung điểm BC Coi ,AC =b,AD =e thì: ` Du-3+€-2b Bi 2 Dự _+b=2e DM= Z © 2 ú,
527 Cho khối tứ diện ABCD Cho AB=b,A€ =c,AD=d Gọi G là trọn
tâm của tam giác BCD Hệ thức giữa AG và ba vectơ b,e,d là:
“ Agc-Pterd b Ad-b+e+d
4 3
Trang 5528 Cho hình lập phương ABCD.ÁB'C'D' Gọi O là tâm của hình lập phương Hệ thức AO và các vectơ AB,AD,AÁ là: Aoa- AB+AD+AÁ a, AO= s by AG=ABSAD+AA
$29 Cho hinh lap phuting ABCD.A’B'C’D' Gọi I là tâm của mặt CĐ'C'
Hệ thức liên duan giữa AI với các vectơ AB,AD,AÁ là: AB+AÁ 55
2
_ aj=AASAP AB
ạAl= b ALS ABHAA’ aK
Trang 6; € =(1;2; 1): đổng phẳng 4; 0; 2): đồng phẳng b Ba vectở ä =(4; 3; 4); b © Ba vects a + d.Ba vectơ a =(3;~ l;2); b 535 Xác định kết luận saị ạ Ba vectơ a =(1;2:3); b =(3;— 1;2); c =(2; 3;~1): không đồng phẳng ¢ = (3;-1; 3): déng phing b Ba vects a = (4;-1; 2); b = (2-4; D; c Ba vects a =(:~2:~ 1); b =(1:~3;~2); € = (2; 1; 4): đổng phẳng
d Ba vects a =(-2; 3; 2); b = (5 1; 1); € = (1; 2; -1): khOng đng phing
$36 Cho ba veetd a = (-1; 2; -1); b = (2; -1; 1); € = C3; 4; 5) Vects d=2a-3b+5e c6 tọa độ a, d = (23; -27; 20) c d =(-23;-27; 20) d (-23; 27; 20) b (23; 27; -20) ; 1) Cho vectd 537 Cho ba vects a = (1; —l; 2); b =(3¡2;~l): e =2: 3 d=(—19:4;15) Hệ thức liên quan giữa d và các vectơ a,b,c là: ạ d=3a+4b-Se b d=3a+4b+5e c d=3a-4b-Se d d=3a—4b+5c S38 Cho ba điểm Ă2; ~ 3; 4), B(1; ba 1), C(c; 4; 3) Dé ba diém A, B, C thẳng hàng, thì các giá trị thích hợp của b và c là: 9 , b=l6;c=— 8, € 2 b pe3skee2 5 9 tr b=-32;c=—= Ề 5
d Cả ba kết quả trên đều saị
539 Cho tam giác ABC có Ă4; 2; 3), B(—2; 1; —1), C(; 8; 7) Có bốn cầu trả
lời về hình tính của tam giác ABC
a, ABC là tam giác vuông tại A b ABC là tam giác đều
Trang 7c ABC là tam giác cân tại B d ABC là tam giác cân tại A Trả lời nào đúng?
540 Cho tam giác ABC có Ă2; —l; 6), B(—3; —1; -4), C(5; =1; 0) Có 4 nhận định về hình dạng của tam giác ABC,
ạ Tam gide ABC là tam giác thường b, Tam giác ABC vuông tại B
c Tam giác ABC vuông tại A d Tam giác ABC vuông tại C
Nhân định nào đúng?
341 Cho tam giác ABC có A2; 1; 4), B( ~2; 2; =6), C(6; 0; -1) Trọng tâm
của tam giác ABC là điểm có tọa độ:
a, G(2; 1; 1) b G(2;
c:G(2;~1;1) d G(2;
342 Cho tam giác ABC với Ă1; 2; 1), B(5; 3; 4), C(8; ~3; 2) Diện tích của
tam giác ABC bằng: a, s=3V26 b s=Š V56 ae 9 ©.S=—v26 ,S== € 5 d 3826
$43, Cho tam gide với Ă1: —4; 2), B( -3; 2; <1), C(3; 1; -4) Toa độ điểm D sao cho ABCD theo thứ tự đó lập thành một hình bình hành là:
a, DUI; b,D(-1; 5; 7)
€ D(—l; d.D(-1;~5; 7)
$44 Cho tam giác ABC với Ă2; ~3; 1), B(-4; I; 3), C(5; 2; —1) Độ dài đường
cao kể từ A xuống cạnh BC của tam giác bằng:
ah, =3/I4 bh, =3 16
chy =ivii8 dh, =Ÿn9
345, Cho tam giác ABC với Ă2; -1; 6), B(-3; —1; ~4), C(5; -1; 0) D6 dài
đường cao kể từ A xuống cạnh BC của tam giác bằng:
b.r=v3 cr=ý6 d.r=v5
Trang 8
546 Cho tam giác ABC với ĂI; 2; 1), B(2; —l; 3), C(-4; 7; 5) Gọi D là chân của đường phần giác trong góc B trên cạnh AC Điểm D có tọa độ:
211
b DỊ—=;—:-l (5=)
211 d o(-2:4)
S47 Cho tam giác ABC có Ă4; 0; 1), B(2;-1; 3), C(-10; 5; 3) Độ dài của
đoạn phân giác trong góc A là:
ạ AD=2/5 b AD=5y2
ec AD=W3 „ d.AD=3/2
548 Cho khối tứ dién ABCD vi Ă-1; 2; —1), BG; 4; 3), C(2; ~3; 2), DG; 4; -3) Thể tích của tứ điện ABCD bằng:
ava 6 b.V=2 3 cV=l3 d.V=l4
549 Cho khối tứ điện ABCD có Ă1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1) Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A bằng:
ạ hạ =3 ch =2 4 be
550 Cho khối tứ diện Ă4; 1; ~2), B(6; 3; 7), C(—5: -4; 8), D(2; 3; 1) Độ dài
đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D tới mặt ABC bằng: ä,họ= CC bát sees "` ¥i4390 we” Y14390 308 310 hy = d, hy = She = 714390 ° ¥i4390
Trang 9
$52 Cho khối tứ điện ABCD có ĂI; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(—2; 1;~1) Độ đài đường cao hạ từ đỉnh € xuống mặt ABD của tứ điện bằng: b,h le d h, lc °l§inÌ&i 553 Cho hình hộp ABCD.ÁB'C'D' có Ă1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; —1; L) và C*(4; 5: 5) Thể tích của hình hộp bằng: ạV=3 b.V=6 cV=9 d, V=12
554 Cho tứ diện ABCD có Ă1; 0;~1), B(1: 2; 1); C3; 2;-1), D2; 1; V2-1),
“Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là điểm có tọa độ:
ạ I(- 1) b 101; -2; 1)
¢ 11; -2; -1) d 1(1; 2; -1)
555 Cho tứ diện ABCD có Ă7; 6; -3), B(7; 4; —5), C(5; 4; -3),
D(6; 5; -3-V2) Tâm I của mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện là điểm
có tọa độ:
ạ I7; 4; 3) b,I(=7;~4; =3)
€.1(7; 4; 3) d.10; 4; ~3)
$56 Cho tứ diện ABCD có Ă3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(O; -7; 3), D(-2; 1; -1)
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:
ạ R=3ýII b.R -šVI
eae: Wii đ R= VI
557 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ÁB'C'D' có Ă0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; bị 0) và D'(0; b; e) Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm BC Tứ diện D'DMN có thể tích bằng: ạ V= Labe b V=Zabe ẹ V= nhe 8 đc Tp 8
558 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm Ă4; 0; 0), B(xo; yo; 0) vai Xo, Yo > 0 sao cho OB = 8 va góc AOB = 60" Gọi C(0; 0; c) với c >0 Để
thể tích tứ điện OABC = 16 thì giá trị cẩn tìm của c là:
Trang 10ạc=V3 b.e=2/3
cc=2 d.c=2/2
Trang 11.60uzøu¿ VIIỊ MẶT PHẲNG
Ạ KIEN THUC CO BAN CAN NAM VỮNG
1 a=(a,;a,:a,).b =(b,;b,3b,),a 40,6 40,a,b không cùng phương, có giá
song song hay thuộc mặt phẳng (ø): là cặp vectơ chỉ phương cho (ø)
a, ay I la, 4,| là, a,
pháp tuyến của (ơ) (gọi tắt là “phap vecto”)
$ Phương trình tổng quát của mặt phẳng (œ): Ax+ By + Cz+D =0 trong đó
n =(A; B; C) là vect pháp tuyến của (0), ˆ 4 Các trường hợp riêng: ®D=0: (ơ) chứa gốc O 2, n=[a, } n vuông góc với cả ava b, là vectơ *D #0 (a)//truc Ox ®A=0:By+Cz+D=0: *D =0(@)// chứa trục Ox *D +0 (a)//truc Oy 5® B=0; Ax +Cz +D =0: *D = 0(a)// chita truc Oy "D0 (a)//truc Oz +ŠC=0;Ax+By+D=0: 4 lộ thâm chứa trục Oz *D #0 (a)//(xOy) *A=B=0;Cz+D=0: *D=0 (ø)=(xOy) "D #0 (a)i/(yOz) ®B=€=0;Ax+D=0: i =0 (ø)là mặt phẳng(yOz) *D #0 (a)//(xOz) «A=C=0; By +D=0:
*D=0 (a) 1a mat phing(xOz)
§ Cơng thức tính khoảng cách tit diém M(x; yi; 21) dEn mat phing (a):
_ |Ax,+By, +Cø, +ĐỊ
Trang 126 Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:
(0): Aix + Bịy +Cz+Di<=0 (B): Aax + Bay + C;z + Dạ=0 |A,A, +B,B, +C,C, 3 JA†+B)+C)„|A)+B}+C) 7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cos((«),(B)) = Ai: By: Cy # Az; Bo: Cz (ơ) cất () A yi Mt A, (œ)/(B) A, A (œ) và (B) trùng nhau 2 2 8 Phương trình chùm mặt phẳng:
m(Aix + Bịy + C¡z + DỊ) + n(A¿x + Bry + Coz + Dị) =0
V6i Aj: By: C) # Az: Bz: C2 va m? +n? 40
B CAC BAI TAP TRAC NGHIEM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 561 Mat phẳng (œ) qua điểm M(1; -2; 3) va có cặp vectơ chỉ phương a =(2; —l; 1), b =(—l; 1; 3) Phương trình của (ơ) là: ạ 4x-7y+2z-13=0 b.4x— 7y +z+ 13=0 c.4x+7y-z-13=0 d 4x +7y-z+13=0 562 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ơ) qua điểm B(3; 4; - 5) và có cặp vectơ chỉ phương a = (3; 1;-1), b=(1;- 2; 1) ạx— 4y Tz— 16=0 b.x-4y+7z+16=0 €.x+4ÿ+7z+l6=0 d.x-4y-7z- 16=0 563 Cho 3 điểm Ă3; ~l; 2), B(4; ~2; ~ 1), C(2; 0; 2) Mặt phẳng dua ba điểm A, B, C có phương trình: ạx+y-2=0 b.x-y+2=0 €.x+y+2=0 d.x-y-2=0
564 Cho ba điểm Ă4; 2; =1), B(3; =1; 2) C(1; —4; ~3) Phương trình tổng
quát của mặt phẳng (ABC) là:
a, 24x + lly - 3z-77=0 b 24x - lly- 3z-77=0 c 24x + Lly-32+77=0 d 24x — lly -3z+77=0
Trang 13
$65 Cho hai điểm Ă1; -4; 5), B(-2; 3; —4) và vectữ a= (2; =1) Mat
phẳng (œ) chứa hai điểm Ạ B và song song với veets a có phương trình:
ạ 34x - 2ly + 5z— 25 =0 b.34x +2lyT— 5z+ 25 =0
c.34x+2ly+5z—25=0 d.34x+2ly+5z+25 =0
'$6 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ơ) đi qua Ă2; 1; 3), B(3; 1; 2)
và song song với vectơ a =(3;~1;~4) là:
4.94+— 72+ 40 =0 b 9x—y+7z-40=0
c 9x -y- 724+ 40=0 d.9x+y +7z—40=0
$67 Cho 2 diém C(—1; 4; -2), D(2; -5; 1) Mat phẳng (0) qua C và D, song song với trục Oy có phương trình:
ax+2-150 b.x+z+1=0
€x-z-1=0 d.x-z+1=0
$68 Phương trình tổng quét cha mat phing di qua Ă4; -1; 1), B(3; 1; -1) va
song song với trục Ox có phương trình:
ay+z+l=0 by-zt+1=0
c.y+z=0 d.y-z=0
§69 Cho 3 điểm Ă2; 1; —1), B(0; —1; 3), CŒ; 2; 1) Mặt phẳng (œ) qua A và vuông góc với BC có phương trình:
a,x -3y+2z-7=0 b.x+3y-224+7=0
c.x = 3y-22-7=0 d.x+3y+2z-7=0
$70 Cho ba diém Ă-1; -2; 1), B(4; 3; 2), C(—2; 2; —1) Mặt phẳng (B) qua B
và vuông góc với AC có phương trình:
ạx- 4y+2z+4=0 b,x—4y— 2z+4=0
€.x+á4y-2z+4=0 d.x+4y+2z+4=0
#71 Cho tứ diện ABCD có A3: ~2; 1), B(-4; 0; 3), C(1; 4; =3), D(2; 3; 5)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là;
ạ 12x + l0y+2lz+35=0 b 12x - 1l0y + 21z-35=0 €, 12x ~ Oy - 212-35=0 d 12x + 10y - 217+ 35=0
$72, Cho tit dién ABCD c6 Ă5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) Mặt phẳng chứa AB và song song với CD có phương trình:
ạ 10x + 9y +5z+ 74 =0 b 10x + 9y + 5z-74=0 c 10x - 9y + 5z +74 =0 d, 10x + 9y - 5z-74=0
Trang 14S73 Cho hai điểm Ă1; ~4; 4), B(3; 2; 6) Mặt phẳng trung trực của đoạn có phương trình tổng quát là: ạx-3y+z+4=0 b.x—-3y-z+4=0 €.x+3y-z-4=0 d.x+3y+z-4=0 $74, Cho hai điểm Ă4: ~3; 2), B(~2; 1; ~4) Mặt phẳng trung trực của đoại thẳng AB có phương trình: ạ3X+2y+3z+2=0 b 3x + 2y +3z-2=0 €:3X—2y+3z+2=0 d.3x- 2y+3z-2=0 575 Mat phẳng qua diém M(2; ~2; ~3) và song song với mặt phẳng: 2x + 3y — 5z + 4 =0 có phương trình: ạ2x+3y— 5z+ 13=0 b 2x + 3y— 52+ 15=0 €.2x+3y— 5z— 13=0 d 2x +3y-5z-15=0
576 Cho hai diém Ă3; 2; 1), B(1; ~4; 2) và mặt phẳng (B): 4x ~ 3y + 2z + 1 =
Goi (a) là mặt phẳng chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (f),
Một pháp vectơ của (ơ) là:
ạ n =(9; 8; -30) b.n = (9; -8; -30)
€,n =(9;~8; 30) d.n =(9;8; 30)
577 Cho hai điểm Ẵ2; 3~1), B(I; ~2; ~3) và mặt phẳng (P): 3x + 2y — z + 7=01
Mặt phẳng (œ) chứa hai điểm A, B, vuông góc với mặt phẳng (B) cói phương trình:
ạ3X— y+7z+ l6=0 b.3x—y+7z— 16=0
Ă€.3x+ỹ 7z+ l6=0 d.3x+y-7z-16=0
578 Cho hai diém Ă2;~1; 1), B(-2; 1-1) và mặt phẳng (P): 4x ~ 5y + 2z — 1 =0
Mặt phẳng (0) chứa hai điểm A, B và vuông gốc với mặt phẳng (8) có
phương trình:
8.X+2z+4=0 b.x+2z-4=0
€.x-2z+4=0 d.x-2z-4=0
S79 Cho điểm M(3; ~2; ~1) và mặt phẳng (B): 2x ~ 3y + z + 4 =0, Gọi (œ) là
mặt phẳng qua M, song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (p), phương trình tổng quát của (œ)]à:
ạy-3z-5=0 b.y-3z+5=0
Trang 15
Cho điểm M(I; -4; 3) và mặt phẳng (): 5x— y + 2z + I =0 Gọi (øơ) là
mặt phẳng chứa M, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương trình tổng quát của (ơ) là:
4,2x + 5z— l3=0 b 2x + 5z + 13=0
€.2x— 5z~ 13=0 d.2x-5z+13=0
1 Cho điểm B(5; 1; ~3) và mặt phẳng (B): 4x — 2y + 3z +5 =0 Gọi (ơ) là mặt phẳng chứa điểm B, song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (J) Phương trình tổng quát của () là:
,x+2y—7=0 b.x+2y+7=0
ẹx-2y-7=0 d.x-2y+7=0
Cho điểm Ă1: ~2; 4) và hai mặt phẳng (œ): x— 2z + 1 =0, (): 2x +y +4 =0 Gọi (y) là mặt phẳng qua A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (œ) và (B) Phương trình của mặt phẳng (y) là: a, 2x +4y-z- 14=0 b 2x +4y-2+ 14=0 cẹ 2x-—4y-z+ 14=0 d,2x- 4y +z- 14=0 583 Cho điểm M(3; 4; —1) và hai mat phdng (a): x — 3y + Sz + 1 = 0; (B): 4x+y-2z+7=0
Gọi (y) là mặt phẳng chứa điểm M, vuông góc với cả hai mặt phẳng (œ) và
ị (B) Phương trình của (y) là:
ạX~— 22y + 13z~ 7§=U b x + 22y + 13z+ 78 =0 c.X+ 22y + 132-78 =0 d x + 22y - 132+ 78=0
$84 Cho diém N(3; 0; =1) va hai mat phdng (a): x + 2y —z + 1 =0; (B):
2x-y+z-2=0
Gọi (y) là mặt phẳng chứa điểm N, vuông góc với cả hai mặt phẳng (œ) và (f) Phương trình tổng quát của (ÿ) là: ạx-3y-5z-8=0 b.x-3y+5z-8=0 c.X+3y-5z+8=0 d.x+3y+5z+8=0 $85 Cho điểm I(2; -1; -2), vectơ v = (1; -4; 2) và mặt phẳng: (Œ): 3x— 5y +2z+9=0
Gọi () là mặt phẳng qua I, song song với vectd ý và vuông góc với mặt
phẳng (a), Phuong trình của (B) là:
4.2x+4y+7z+14=0 b.2x+4y +7z—- 14=0
€.2x— 4y+7z + 14=0 d.2x— 4y+7z~ 14=0
Trang 16586 Cho diém M(-1; 2; 4) va hai mặt phẳng (ơ): 2x — y+*3z+4=0; (8)
X+3y-22+7=0
Gọi (y) là mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (œ) và (B), (y) ứ
qua điểm M Phương trình tổng quát của (y) là:
ạx+ l0y-92+17=0 b.x— 10y +924 17=0
¢,x— 10ỹ9z-17=0 d.x+ 10y +9z-17=0
587 Cho diém P(3; —2; 1) va hai mat phdng (a); x + Sy+z-10=0; (By: x+y-74+1=0
Goi (7) là mặt phẳng chứa giuo tuyến của (@), (B) và đi qua P Phương trình của mặt phẳng (y) là:
ạ3X+3y—z—2=0 b.3x+3y+z—2=0
c.3x+3y—z+2=0 d 3x-3y +24+2=0
588 Cho diém Ă2; 1; -2) và hai mat phdng: (a): 2x — ỹz41=0; (fi)
X+ỹ 22 + 5 =0 (g) là mặt phẳng chứa A, vuông góc với giao tuyến
của (ø) và (B) Phương trình của mặt phẳng (ø) là:
ax-y-z-1=0 b.x-y-z+l=0
€.X+y+z-l=0 dxt+y+z+1=0
589 Cho hai mặt phẳng (ơ): x + y +Zz~4=0.(B): 2x~ y + 5z — 2 =0 và vects v =(-1; 2; 2) Mat phdng (7) chifa giao tuyến của (ơ) vã (B), nhận v
lầm một vectơ chỉ phương Phương trình của (là:
d.y+z+2=0 b.y-z+2=0
€y+z-2=0 d.ỹz-2=0
S90 Cho hai mặt phẳng (ơ): 2x + hy + 3z ~ 5 = 0; (B): ax ~ 6y ~ 6+2 =(,
Các giá trị thích hợp của a, b để (œ) song song với (ƒ) là:
ạa=4,b= -3 -4,b=3
c.a=3,b= -4 .a= -3,b=4
591 Cho hai mat phiing (a): 3x + Sy — cz— 3 =0 và (B): 2x + by = 3z+1=0, Khi (œ) // (B) thì khoảng cách giữa (œ) và (B) bằng: a b § € = đ, = 317 217 “Yair
592 Cho hai mat phiing (a); ax ~ 3y +27 +5=0 va (B): 6x + by — 47-4 =0,
Khi (œ) song song với (B) thì khoảng cách giữa (œ) và () là:
a bate eee aoe
Trang 17L Khoẳng cách từ điểm Ẵ3; 1; ~ L) đến mặt phẳng (ơ): 3x — y + 22~ 2= 0là: 2 len 1 = b v14 € d 214 vI4 vig Khoding cach tirdiém M(2; - 1; -1) dén mat phiing (a): 16x — 12y — 152-4 =0 là: k1 5 6 5 ` 5 5 , Khoảng cách từ điểm 1(1; 4; -7) dén mat phing (P): 6x + 6y ~ 7z + 20 =0 là: a9 b.8 tử? d6
Cho hai mặt phẳng (ơ): 2x + 3y ~ z~ 5 =0, (B): x + 2y + 3z~— 1 =0 Nếu
cẩn chọn một điểm M tùy ý thuộc giao tuyến của (œ) và (B) thì tọa độ
điểm M có thể là:
_.8.M(-4;~4;—1) b M4; ~4; =1)
c M(-4; 4; -1) d M(4; 45-1)
„ Cho hai mặt phẳng (0): 3x + 3y + 5z + 6 = 0; (B): 4x + 3y — 2;
Trong 4 điểm sau đây: Mi(14; 18; 2), Mă14; ~18; —2), Mx(-5; 8; -1),
M,(-5; -8; -1), diém nao nim trén giao tuyén etia (a) va (B):
~ạchi My; b Mz, My c chi My d My, My
598 Cho hai mặt phẳng (œ): x + 5y — 22 + 1 = 0, (B): 2x- y+z+4=0.Goig
là góc tạo bởi (œ) và (B) Thì coso có giá trị đúng bằng: ạ cos! Eo SORE b cos => Hệ “ng 6 3 cosp= 22 4, cosp= 22 ¢ cosp= Ko
$99, Cho hai mặt phẳng (ø): V5x=z—1 =0: và (B): Ÿ6x~2y+6z+5=0
Trang 185.¿ vũ 37 iÄi hệ txX= =,y===l|=;=|: Giải hệ (1) và (2) ta được: x 3 y sim (3 3) Vay chon (b) 28 Ă2; ~3), B(-4; 1) Goi C(x; 2) tht AB = (~6;4), AC =(x—2;5)
Điện tích tam gide ABC: § = 2 [x~2),4+30|=|2x+ Trong các bài giải ở phần ayes sử dụng công thức:
Trang 19Để diện tích tam giác ABC bằng 17 thì [2x +11/=17-< Vay chon (c) .Ă3; 1), BCL; -4) Goi C(O; y) thi AB = (—2;-5), AC =(—3:y-1) ae is 1 2y +13)
Diện tích tam gide ABC: $ = 1 afy-1)-1=! : |
Để diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì: jy +13) 2y+13=27 y=7 2 2y+13<-27 135 py+n)=27-[ y=-20 Vay chon (a) 30 Ă5; 4), B(—1; —6), C(—5: 3), D(3; 6), Đùng công thức: Sanco = FACBD.sino
Trang 20©=(1-xl+(2-yl#+(~3—x)Ÿ+(1~y)°=(4—x)!+(2- y)Ê Ẳ©x°+y)+12x— I0y-5=0 Vậy chọn (d) 38 A2; 1), B(1; =3), C(~2; 4) Goi M(x; y) thi MA = (2-x;1-y) = 3MA =(6-3x;3-3y) MB =(1=x;-3-y) => -MB =(x-1:3+y) 3MÃMB =(5~2x;6~2y).MC =(~3~x:4~y) AMÃMB|=|MC| e +(6-2y) = (2x) +49) \(5-28)' > (5-2x) +(6-2y) =(-2-x)'+(4-y)’ > 3x? + Bỷ — 24x — l6y +41 =0
Vay chon (a)
34 Ă3cost; 0) B(O; 2sint), M(x; y)
Trang 21|MA+M8|=|Mc| © ((t-2x} +(?-2yŸ =j(6-x} +(e—-yŸ (1 — 2x? + (7 - 2y)? = (6 - x)? #(2- ỷ 9 3x7 + Bỷ + 8x — 24y + 10 =0 Vây chọn (d) Ă1:—1), B(—2: 5) Gọi M(x: y) thì MA = (lex) +(-1-y) 2MB = 2 aay +(5-y} MA =2MB © MA = 4MB*
©31~2x+X?+]+2y +yŸ= l6 + 16x + 4x? + 100 - 40y + 4ỷ
> 3y7 + By" + 18x - 42y + II4=0 ©xÌ+y°+6x~ l4y +38 =0
Vay chon (a),
PHUONG TRINH DUONG THANG
Trang 22x+l y+3 39 (d): “SỜ” ane 3.6 ạ Cho x =3 thế vào phương trình, đưa về: 4-3)-3v+2 ©-20=4y+l2œy=-8 b (4:~5) cùng phương với a 356: Z 5 c na =4.—-5,2=0 € na 2 y+2€©-5x-5=4y+l2 ono By ee 6 <= 5x + 4y + 17 =0: (d) sai, Vay chon (d) x=l+2t ania | (teR) y=-3+t
Để thấy M(3;~2) e (A) (ứng với L= 1) và vectd b = (—4; ~2) cùng phươi
v@i a = (2; 1) nên (a) saị x=l*+t có vectơ chỉ phương ás (1; ~2) vuông góc ví y=-3+t Đường thẳng { anén (b) đúng Điểm N(_1; ~4) ứng với t= ~! nên N e (A), vetỡ (~1; -3) cùng phương với a = (2; 1) nên (c) đúng Điểm D(2; 3) ứng với t= ; nén D € (A), vectơ (6; =3) cùng phươn; với a = (2; 1) nén (d) đúng Vay chon (a)
Trang 23Thế t' = 0 vào phương trình (Á) hoặc thế t=~3 vào phương trình (A) được x=1,y=2, từ đó có M(1; 2)
Vay chon (d)
x=2+2t x=2-3U
42 (4) J2 a (teR)( La eR) (d): R)(4): eR)
Để tim giao điểm của (d) va (d’), ta tim dude céc gid tri ca tya t dé C6: 2+2t=2-3U 2t+3U=0 t=3 = ° -2-3t=-14+5t' 3t+St'=-1 Thế t (hoặc ) vào phương trình của (d) hoặc phương trình của (d') đều - được ç: ~11) Vay chon (b) 43 Diém M(-1; 3) e (d) và (d) có một vectơ chỉ phương as (3; 2) nén (ec) ding Vay chon (c)
44, Các điểm (3; =L), (1; 1), (2: 4), (4; -2) đều nằm trên một đường thẳng
AB, nhưng vectơ b = (3; 2) không phải là một vectơ chỉ phương của AB
nên (b) saị
Vay chon (b)
45 Đường thẳng (A): 2x - 3y + 4 = 0 có vectơ chỉ phương a = (3; 2) Các
vectơ chỉ phương có trong (a), (b), (c), (d) đều cùng phương với ä (hoặc
Trang 24Đường thẳng phải tìm có đạng: 2x + y +c =0 Qua A ©22+l+c=0< 5 Đáp số đúng là 2x + y-5=0 Vậy chọn (b)
49, Ẵ3: 2), B(1; ~3) Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:
Sly ©3~5x~l5=4y-'8 © 5x +4y+7=Ú
Vậy chọn (d)
80 Đường thẳng 3x + 2y — I = 0 có vectơ chỉ phương a = (~2; 3) hoặc a" =
(-4; 6) hode b = (2; ~3) Trong (a), đường thẳng có vectơ chỉ phương ¢ = (2; 3) không cùng phương với các vectơ trên
Vậy (a) saị
Ta chon (a),
51 Vì vuông góc với đường thẳng 4x - y + 5 =0 nên (d) phải có dạng
x +4y +¢=0 Cd (a), (b), (c), (d) đều có thể đúng Tuy nhiên (đ)
qua A nên -2 + 4.4+c=0©c=-l4
Vậy chỉ có (b) là đúng
Ta chon (b)
52 Ă4; 6), B(-4; 0), C(-1; =4) Vectơ.BC = (3; ~4) là một vectơ pháp tuyến
cho đường cao kẻ từ Ạ Đường cao này phải có dạng: 3x - 4y + c = 0 Vì
qua A nên 3.4~ 46+ec=0ôâc= 12
ng cao AH có phương trình 3x — 4y + 12 =0 Vậy chọn (b)
53 Ẵ3; I), B(4; 3), C(2; ~5) Trung điểm M của BC: M(3; —1)
Trung tuyến AM có phương trình chính tắc:
KH
5
Vậy chọn (c)
54 Vì M2; 3) thuộc góc vuông thứ I củu hệ trục Oxy, nén (d) phải có hệ sí
Trang 2555 Goi Ăa; 0), B(O; b) thi do M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên có: {i =8 ®lb=-4 =-2 a Phương trình đường thẳng AB là: " + Nis nls Bryn he 4x —y ~32 =0 c9 x— 2y B=0 Vậy chọn (d)
Ă4: 6), B(—6; =1), C(—2; 4) Gọi D là chân đường phân giác trong của
góc C trên canh AB thi D chia (trong) AB theo tỉ số
3
Trang 26Phương trình đường thẳng AD: x+5 Vay chon (c) 58 Ă2; 0), B(O; 3), C(~3; ~1) AC=(-5;-1) La=(t-5)
Chon « lim pháp vectơ cho đường thẳng song song với AC Đường thẳng
này có dạng x— 5y +c =0 qua B nên0-— 5.3+c=0>c= 15
Đường thẳng phải tìm là x — 5y + 15 =0 Vậy chọn (3) 59, (d): 3x + Sy +2 =0, (d’): x +2y-1=0 Gọi B là giao điểm của (d) và (d") Tọa độ của D là nghiệm của hệ: phương trình: =2¢ +ât B=(3-~ 2t— 1)? + (24 3t- 3)? =(2- 21)? + Gt- 1)? = l3 ~ I4t+5 (t=<R) Gọi B3 ~ 2t; 2 + 30 e (4)) Để BA =2 thì 13 ~ l4t+5=4 © 13Ẻ~ I4t+l=0œ 1 Khi t= 1 được B(1; 5) Vậy chọn (d) 61 M(-1; -1), N(1; 9), NP=(§;~8) cùng phương a = (1; -1) Chon a am phdp vecto cho đường trung trực của cạnh BC Phương trình đường trung trực này có đạng x— ý +e=Ụ Qua M nên —1 —(—l1)+c=0©>c=0
Trang 27
Đường trung trực của BC là x - y = 0 (a), (d) déu đúng Trực tâm của tam
giác MNP Ia tm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (c) saị yA2x~y+2=0
“Miễn nghiệm của (1) Miền nghiệm của (2) (3) là miễn nghiệm
Trang 28+4 Nếu cạnh AB có hệ số góc bằng k tht: —3 =2ek=3 1-4 3 Qua M nén 2.2- 11.1+¢=0@c=7 Phương trình canh AB: 2x - lly+7=0 Vay chon (b)
65 (d): 2x + y — 2=0 Ca hai điểm A và A’ đều nằm trên đường ae (d@’)
Trang 2968 Ă2; 6), B(-3; -4), CCS; 3) BC
=(8; 7) = Đường cao AH có dạng: 8x + 7y + =0 Qua A nên C=~58
AB= (—5; 10) cùng phương với (1; 2) = Đường cao CH có dạng x + 2y +
D=0 Qua cnénD = -11
Phương trinh AH: 8x + Ty — 58 = 0
Phương tinh CH: x +2y — 11 = 0 Tọa độ của H là nghiệm của hệ: Re SB ct tO 13,10 x+2y=ll 3 3 (313 Vậy chọn (b), 69, Tọa độ A là nghiệm của hệ: 4y x=+4 Ă-%1) 2x+5y=-3 |y=l
Mà trung điểm cạnh BC thì AM ~ŠAG
Trang 30* Lưu ý khi xem bài giải này:
Cho hai đường thẳng (AI): Ax + Bịy + C¡ =0, (A¿): A¿x + Bry + C; = trong đó AB; # A:B;, thì phương trình của chùm đường thẳng xác định
(Ay) và (A›) là p(A¡x + Bịy + C¡) + q(A¿x + Bay + C2) = 0 trong đó p, q khi
đồng thời triệt tiêụ Giả sử q # 0, ta đưa phương trình chùm về:
Ê(Ạx+B,y+C,)+(A,x+B,y+C, )=0 và đặt Ee
q
Như vậy phương trình chùm đường thing (Aj), (Az) có thể viết là:
m(A¡x + Bịy + Cy) + (Aox + Boy + C)) =0
“Trong thực tế, để tính toán cho nhanh, nên dùng phương trình nàỵ 7Ị (d): 3x — 4y + 1 =0, (đ'): 2x + 3y— 4=0 Xét chùm đường thẳng có phương trình: m(2x + 3y — 4) + (3x~ 4y + I1) =0 © 2m + 3)x + (3m ~ 4)ỹ 4m +l1=0 (*) (*) qua M © (2m + 3)3 - 2(3m - 4) - 4m + 11=0©Sm=7 Thế m = 7 vào (*) được 17x + l7y—- 17=0«@x+y-1=0 Vay chon (b) 72 Phương trình của chùm đường thing (A), (A’): (3x — Sy + 2) + m(5x - 2y + 4) =0 = (5m +3)x- (2m +5)y+4m+2=0 (®) Một đường thẳng của chùm song song với đường thing (d) eo M43 _ 2m+5 2 + Thế vào (*) được 38x — 19y + 30 =0 Vay chọn (c) 73, Chùm đường thẳng xác định bởi hai đường thẳng cho trước có phương trình: m(3x = y) +(x+4y - 2) =0 © 0m + I)x—- (m—4)y-2=0 (*) Một đường thẳng của (*) vuông góc với đường thẳng: 2x + 7y - 1=0 Khi 2(3m + I)~ 7(m ~ 4) =0 © m = 30
Thế vào (*) được: 91x — 26y 2=0
Vay chon (a)
«@m=7
Trang 3174 M(2; 1), N(S; 3), P(3; -4) Trung tuyến AM đi qua trung điểm I của NP, | đường thẳng IM: =1 =)} M(2; I): phương trình trung tuyến AM cũng là phương trình _ 2 ©- 3x+6=4y- 4€Ằ3x +4y— 10=0 Vậy chọn (4)
Trang 32Chỉ cần tính a =—4 được Ă-4; 1) x+4 y— Phương trình cạnh AB: stay eax +3y+13=0 'Vậy chọn (b) 78 AB L CC' = phương trình cạnh AB có dạng: 8x — 3y + C= 0 Qua A=C=-I Tọa độ B là nghiệm của hệ: ie 4 ih 2 Ẹ sẽ BỘ: 5) Vậy chọn (b) 79 AC LBB' = phương trình cạnh AC có dang: 3& ~ Sy +C=0 Qua A= C=-12 C(4; 0) 3x-5y=12_ ° Íx=4 3x +8y =12 y=0 Toa do C là nghiệm của hệ: { Vậy chọn (c) 80 AB vuông góc với đường trung trực: 3x + 2y - 4 = 0 nên phương trình của AB có dạng: 2x — 3y + c = 0 Qua A nên c =~7
“Tọa đô trung điểm I của đoạn AB là nghiệm của hệ:
Trang 33|82, AC 1 BB' nên phương trình có dạng: Ă-1:3)
x+y+c=0
A EAC @-1+3+c=0
ec==2
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:
ian ofr (4; -2) x+3y =-2 y=-2
Điểm Á đối xứng của A qua đường phân giác x + 3y + 2= 0: Áe BC Đường thẳng AÁ L x + 3y +2 =0 nên có dạng 3x — y + c=0 A€Ấ©-3-3+c=0œC=6 Trung điểm I của AÁ có tọa độ là nghiệm của hệ: =! = x+3y= Tu x=*Ê? :-l2;0) 3x-y=-6 y=0 x, -l=4
Là trung điểm AÁ nên: 4 ^ y„.+3=0 <= Á(-3;-3)
Phương trình cạnh BC chính là phương trình của đường thẳng CA":
Vay chon (d)
§3.M' thuộc đường thẳng qua M và vuông góc với (A)
Phương trình đường thẳng đó là: ÿ TP t pan
(veR)
Giao điểm của đường thẳng này và đường thẳng (A) là phải m Từ hệ
phương trình: licen tà được t=—1 (không cẩn tính t’)
2+3t=
=>M"(-3;-1)
Vậy chọn (b) 2
84, (d\): x — y + 1 = 0, (da): x + 3y — 3 = 0 Chon M(1; 2) e(d) Gọi (A) là đường thẳng qua M và vuông góc với (d;) Phương trình của (A) có dạng
3x-y+c=0 Me(A)©3-2+c=0©c=-l
Là giao điểm của (A) và (d;) Tọa độ của I là nghiệm của hệ:
Trang 34
3 xe: 3x-y= 3x~y ts 5 12:4 7 x+3y=3 4 \5'5 5 M' là điểm đối xứng của M qua (d:): x, Ky tle ee 5 ©eM' dc 4 s5 Ye t2ae Xét chùm đường thẳng : x— y + Ì + m(x + 3y ~ 3) =0 ©(m + 1)x +(3m-— 1)ỹ 3m + 1=0 @) Đường thẳng phải tìm thuộc chùm (*) và qua M': 1 2 2 « (m+1)-2-(@m-=1).2-3m+1=0em== Thé vao (*) duge: (Zei}a+($-app-$s1-0 ©?7x+y-1=0 Vay chon (d) 85 Điểm B' đối xứng của B qua đường phân giác góc A: x + 2y — 8 = Ú sẽ nằm trên cạnh AC ® Tìm B': (xem hình vẽ) — Đường thẳng BB' phương trình có đạng: A 2x-y+c=0 QuaB=6-5+cô>c= -l đ im I có tọa độ là nghiệm của hệ: x+2y=8 2x-y=l ©1@:3) Xv t2 Yự+
I là trung điểm BB' nên |
Trang 3586 Gọi (d') là đường thẳng qua M và vuông góc với (d) Phương trình (đ') có dang: 2x-y+C=0 Me(d)©8+3+C=0œC=-II, Tọa độ điểm I, giao điểm của (d) và (d') là nghiệm của hệ: 2x-y=11 1(6; 1 a eet) ,+4=12 1 là trung điểm của MM' nên {i Mã ©M'!(; 5) Yụ~3= Vay chon (c) 87 Coi dim C(2e ~ 8; ¢) € (A) ae = 36-2) (20-10) = le —!9J Sapc>.ITe> [Se-16]=34 = e=10 hay e=—8, Chọn ¢ = 10 thì có C(12; 10) Vay chon (b)
88 (dị): 2k ~ Sy + 10 = 0, (ds): 5x — 2y + 4 =0, điểm M trước hết phải nằm
trên một trong hai đường phần giác của góc tạo bởi (d,) và (d;) Phương trình của hai đường phân giác đó là:
Trang 363x-y-3=0 Cặp (3): 42x +3ỹ2=0 có nghiệm chung là (1; 0): {e) đúng 5x-4y-5=0 4x+y+1=0 (1) Cặp (4): J2x+3y—7=0 (2) hệ (1) và (2) có nghiệm (~1; 3) không thỏa Sx-2y+3=0 @) (3): (d) saị Vay chon (c) 90 Đánh số từng phương trình trong từng cặp: 2x+y-5=0 () (){3x-2y+1=0 (2) trong cặp (1): cộng từng vế (1) với (2) có (3): Sx-y-4=0 (3) nghiệm thỏa (1), (2) thi cũng thỏa (3) Cặp (1) là 3 đường thẳng đồng quỵ x+2y-5=0 (1) HJ2x+3y+1=0 (2) 7x+lly-2=0 (3)
Nhân hai vế của (2) với (3): 6x + 9y + 3 =0 rồi cộng vào (1) được phi trình (3) Cặp (II) gồm 3 đường thẳng đồng quỵ 4x+3y-1=0 () IIÌx+2y+3=0 (2) 9x+13y+14=0 @) Nghiệm của hệ (1) và (2) là (4-2) thế vào thỏa (3) (I1) gồm 3 đười thẳng đồng quỵ a
Vậy (d) là cầu saị Chon (d)
91 Trước hết tìm điểm C' đối xứng của C
qua đường phân giác x + 3y + 12=0
~ Gọi (A): 3x — Goi (A): 3x - y+ =0(C e (A)) = B C(-3:1
©c=l0 (A)
~ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: ¢ x+3y+12=0
3x-y=-10 ea] —=-= 21 3)
Trang 37
Phương trình cạnh AB chính là phương trình đường thẳng qua A va C’
Tọa độ A là nghiệm cũa hệ: Ẹ Hay x +Ty =-32 Phương trình cạnh AB: X-3 _ y+Š ¡ X-3 y5 _-l?_; 31,5 -32 -6 ? 5 ©3x-~ l6y-89=0 Vậy chọn (h) 92 Cạnh AB có hệ số góc k, =~, canh BC các hệ số góc kạ = 3 1 -5-3 tan(BC,AB) = i =1 th => tan(BC, AC) = —7 (vì 2 góc định hướng ngược chiểu nhau) Gọi hệ số của AC là k, ta cổ: Ee Te eee 13k ii
Có thể chọn luôn A = 2, B = 11, phương trình AC có dạng 2x + 11y +e =0
Qua M(I: =3) nên c = 31 Vậy chon (a)
93 Vì là tam giác cân, nên cạnh BC vuông góc với đường phân giác của góc ở đỉnh cân Phương trình của các đường phân giác của góc A là:
Trang 38
Cạnh BC có thể là x + y+2=0
« Nếu BC vng góc với (ps) thì phương trình cạnh BC có dạng x — y + c =0
BC qua I(-1;-1) = (1)— (—1) +e =0 ©c =0 Lúc này phương trình cạnh BClì:x~ y=0 Vậy chọn (d) mx+y=-2 „ Định thức Ð = mŸ~ 1 x+my=-m-1 94 Xét hệ phương trình: { « Khi m = 1 thì (đị):x+y+2=0 (do): x+y +2=0
=> (d)) rùng với (d;) (c) là kết luận saị
Độc giả có thể kiểm chứng rằng (a), (b) (đ) đều đúng Vay chon (c) 95 (d\): mx + y — 3 = 0 c6 vectd chi phương a =(-1;m) (d;): x+ my ~ 2m = 1 =0 có vectơ chỉ phương az = (—m; 1) eos(d:d,) =|eos|aa; Lm Để góc giữu dị và d; bằng 60t —2^— ~ Ì — mâ~4m+1<0 m+] 2 „j|m* 2-jã m ~2+Ẳ7: Vay chon (b) (Nếu xét phương trình n =} thì cũng không được các giá trị như mí trong các đáp số a, b, c, đ) 96 Phương trình (A) có dạng: y = k(x~ 2) +7 © kx~— y+7—2k=0 Để khoảng cách từ N đến (A) bằng 1 thì: |Ịk-2+7-2k vn IS b—k=È+lekeE 12
Vậy phương trình (A) có thể là Bx-yt7- Bee 12x-5y+11 =0
(còn một đường thẳng nữa cũng thổa điều kiện là x = 2) Vay chon (c),
Trang 3997 Goi (d) là đường thẳng y = k(x~ 1)~ 3œ kx~ y— k~ 3=0 -5k-1-k~3|_ |6k+4 Khoäng cách từ B đến (4): l-E ke +1 kK +1 Khoảng cách từ C dén (d): l:|= penta = Ex-†] +1 k?+i li|=|t||ek+4|=|Bk-7| kh [net 3 - © 6k+4=-3k+7 k " ee 93 In 1 ik = ~¢6—x-y-—-3= -3y-10= Véik 500 at y 3 3=0 @x-3y-10=0 Vi thé chon (a)
Bon dinh cia hinh vuông nằm trên hai đường thing song song (dj), (dz)
nên cạnh của hình vuông bằng khoảng cách giữa (dị) và (dạ) Chọn điểm Ỉ nào đó thuộc (đi): M(-5; 0)
-5~2/0+1
d(M:(4,))= ñ +5
Vậy diện tích hình vuông bằng 5 đơn vị diện tích Chọn (b) ) Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ:
x-y=+
[Km 2A9
h, =d(A ac) = +7544 | “na NG VP+m s2
Vay chon (b)
| Canh AB: 4x + 3y ~ 2 =0 có vectơ chỉ phương a, = (~3; 4)
Trang 40t4 cosB = cos = sin = pesos Ay | = 25 ool et 0 2 2 Vay chon (c) 101 Coi điểm M (m; 2m ~ 2) e (dị), Nín; —n — 3)e (da) Nếu Ă3; 0) là trung điểm của MN thì: m+n Tinh = {r +n=6 2m = 0 2m-n=5 Chỉ cân tỉnh m= TL để được em T } Phương trình đường thẳng AM: Ty 8-3 _Y oo gx_y-24=0 ogee nh 3 Vậy chọn (b)
102 Dễ thấy điểm B (4; ~5) không thuộc hai đường cao cho trước Vậy đường cao phải tìm thuộc chàm đường thẳng:
(5x + 3y — 4) + m(3x + 8y + 13) =0
Viết lại là: (3m + 5)x + (8m + 3)y + 13m-— 4(*)