Ly-thuyet-va-vi-du-minh-hoa-ve-tinh-don-dieu-ham-so-1

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Quy tắc xét dấu biểu thức Để xét dấu cho biểu thức g ( x ) = p ( x) ta làm sau: q ( x) - Bước 1: Điều kiện: q ( x )  Tìm tất nghiệm p ( x ) ; q ( x ) xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần điền vào trục số Ox - Bước 2: Cho x → + để xác định dấu cùa g ( x ) x → + - Bước 3: Xác định dấu khoảng lại dựa vào quy tắc sau: Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ g ( x ) đổi dấu qua nghiệm bội chẵn g ( x ) khơng đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu) ( x − ) ( x − 5) f ( x) = ( x + )( x + 1) Ví dụ: Xét dấu biểu thức Bước 1: Ta thấy nghiệm biểu thức −2; −1; 4;5 xếp thứ tự tăng dần trục số Bước 2: Khi x → + (ví dụ cho x = 10000) ta thấy f ( x ) nhận giá trị dương Bước 3: Xác định dấu cùa khoảng lại Do ( x − ) mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua biểu thức không đổi dấu Do ( x − ) mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua biểu thức đổi dấu Ta bảng xét dấu cùa f ( x ) sau: x − f ( x) −2 + −1 − − + + + Kết luận: f ( x )   x  ( −; −2 )  ( 4;5)  ( 5; + ) f ( x )   x  ( −2; −1)  ( −1; ) 2) Tính đơn điệu hàm số Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số v = f ( x ) xác định K ■ Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) với cặp x1 ; x2 thuộc K mà f ( x1 )  f ( x2 ) tức x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ■ Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) với cặp x1 ; x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) tức x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x ) = x + Xét x1  x2  x1  x2  x1 +  x2 +  f ( x1 )  f ( x2 ) suy hàm số y = f ( x ) = x + hàm số đồng biến Ví dụ 2: Hàm số y = f ( x ) = −7 x + nghịch biến , vì: Giả sử x1  x2 , ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) = −7 x1 + x2 = ( x2 − x1 )   f ( x1 )  f ( x2 ) suy hàm số y = f ( x ) = −7 x + hàm số đồng biến Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy: x1 ; x2  K x1  x2 , hàm số f ( x ) đồng biến K  f ( x2 ) − f ( x1 ) 0 x2 − x1 f ( x ) nghịch biến K  f ( x2 ) − f ( x1 ) 0 x2 − x1 Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải, hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải ĐỊNH LÝ: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K a) Nếu f  ( x )  với x thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K b) Nếu f  ( x )  với x thuộc K hàm số f ( x ) nghịch biến K Tóm lại xét K K : f  ( x )   f ( x ) đồng biến; f  ( x )   f ( x ) nghịch biến Chú ý: Nếu f  ( x ) = ( x  K ) hàm số y = f ( x ) hàm số không đổi K ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K Nếu f  ( x )  ( f  ( x )  ) , x  K f  ( x ) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Ví dụ: Xét hàm số y = x3 − 3x + 3x + 10 y = 3x − x + = ( x − 1)  , dấu xảy điểm x = hàm số cho đồng biến II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN  Loại 1: Tìm khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) cùa hàm số y = f ( x ) dựa vào bảng xét dấu y  Phương pháp giải ■ Bước Tìm tập xác định D hàm số Tính đạo hàm y = f  ( x ) ■ Bước Tìm điểm f  ( x ) = f  ( x ) không xác định ■ Bước Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng xét dấu y  Dựa vào quy tắc xét dấu nêu để xét dấu cho y  ■ Bước Kết luận khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào bảng xét dấu y  Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau b) y = x − x a) y = x3 − 3x + Lời giải a) TXĐ: D = x = Ta có: y = 3x − x   x = Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − y + + − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −;0 ) ( 2; + ) , nghịch biến khoảng ( 0; ) b) TXĐ: D = x = Ta có: y = x3 − x    x = 1 Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − y −1 − 0 + + − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) (1; + ) , nghịch biến khoảng ( −; −1) ( 0;1) Ví dụ 2: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = − x3 + 3x − b) y = x − x3 + Lời giải a) TXĐ: D =  x = −1 Ta có: y = −3x + =   x = Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − y −1 − + + − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) nghịch biến khoảng ( −; −1) (1; + ) b) TXĐ: D = Ta có: y = x3 − 12 x = x ( x − 3) Bảng biến thiên (xét dấu y  ): − x y − + − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 3; + ) , nghịch biến khoảng ( −;3) Ví dụ 3: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = x+3 x −1 b) y = 3x + x +1 Lời giải a) TXĐ: D = Ta có: y = \ 1 −4 ( x − 1)  ( x  D ) Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − y + − − Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) b) TXĐ: D = Ta có: y = \ −1 ( x + 1)  ( x  D ) Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x y − + −1 + + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −; −1) ( −1; + ) Ví dụ 4: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = x + x b) y = Lời giải a) TXĐ: D = \ 0 Ta có: y = − Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x = =0 x  x = −2 x2 − x + x −1 − x y −2 + − + − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −; −2 ) ( 2; + ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) ( 0; ) \ 1 b) TXĐ: D = Ta có: ( x − 1)( x − 1) − ( x − x + ) x − x − y = = =0 2 ( x − 1) ( x − 1)  x = −2  x = Bảng biến thiên (xét dấu y  ): − x y −2 + − + − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −; −2 ) ( 4; + ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −2;1) (1; ) Ví dụ 5: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau b) y = x − x a) y = 16 − x Lời giải a) TXĐ: D =  −4; 4 Ta có: y = −2 x 16 − x =0 x=0 Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − −4 y + + − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −4;0 ) hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) b) TXĐ: D =  0;6 Ta có: y = − 2x x − x2 =  x = Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x y − + + − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0;3) , hàm số nghịch biến khoảng ( 3;6 ) Ví dụ 6: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau b) y = x − x + 12 a) y = x − x Lời giải a) TXĐ: D = ( −;0   4; + ) Ta có: y = 2x − x2 − x =0 x=2 Bảng biến thiên (xét dấu y  ): − x y − + + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 4; + ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −;0 ) b) TXĐ: D = ( −; 2  6; + ) Ta có: y = 2x − =  x = x − x + 12 Bảng biến thiên (xét dấu y  ): − x y − + + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 6; + ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) Ví dụ 7: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = x + − x + x + b) y = x + − x − Lời giải a) TXĐ: D = Ta có: y = − ( x + 3) x + 2x + = x + x + − ( x + 3) x + 2x + =  x2 + x + = x + 2 x  −3 2 x +       x = −1  x = −1  x + x + = x + 12 x +   x = −2  Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x y − + −1 − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −1; + ) nghịch biến khoảng ( −; −1) b) TXĐ: D = ( −; −2   2; + ) Ta có: y = − 4x 2 x2 − = 2 x2 − − x x2 − x  (vô nghiệm) =  x2 − = x   2 2 x − = x Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x −2 − y + + + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −; −2 ) ( 2; + ) Ví dụ 8: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = f ( x ) biết f  ( x ) = x ( x − 1) ( x + 3) , x  b) y = g ( x ) biết g  ( x ) = ( x − 1) ( x − )( x + 3) 2018 , x  Lời giải a) Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − y −3 + 0 − + + + Hàm số đồng biến khoảng ( −; −3) ( 0; + ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −3;0 ) b) Ta có: g  ( x ) = ( x − 1) ( x − )( x + 3) 2018 = ( x + 3) 2018 ( x + )( x + 1)( x − 1) Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x − y −3 − −2 − −1 + + − + Hàm số đồng biến khoảng ( −2; −1) (1; + ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −; −2 ) ( −1;1) Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x y − −2 + 0 − + − + Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −;0 ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −; −2 ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) Lời giải Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) ; ( 0; ) Và đồng biến khoảng ( −; −2 ) ( 2; + ) Chọn C Ví dụ 10: Tìm tất khoảng đồng biến hàm số y = B ( −5; −2 ) (1; + ) A ( −5; −2 ) ( −2;1) − x2 + x −1 x+2 D ( −; −2 ) (1; + ) C ( −; −2 ) ( −2;1) Lời giải Ta có: y = ( −2 x + )( x + ) − ( − x + x − 1) − x − x + x = = =0 2 ( x + 2) ( x + 2)  x = −5 Bảng biến thiên (xét dấu y  ): − x y −5 − −2 + + + − Do đó, hàm số đồng biến khoảng ( −5; −2 ) ( −2;1) Chọn A Ví dụ 11: Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y = − x3 − 3x + 24 x + A ( −4; ) B ( −4;0 ) ( 2; + ) C ( −; −4 ) ( 0; ) Lời giải  x = −4 Ta có: y = −3x − x + 24 =   x = Bảng biến thiên (xét dấu y  ): x y − −4 − + + − Do đó, hàm số nghịch biến khoảng ( −; −4 ) ( 2; + ) Chọn D Ví dụ 12: Hàm số y = x − x A Đồng biến ( 2; + ) nghịch biến ( −;0 ) B Đồng biến ( −;0 ) nghịch biến ( 2; + ) C Đồng biến (1; + ) nghịch biến ( −;1) D ( −; −4 ) ( 2; + ) D Đồng biến (1; ) nghịch biến ( 0;1) Lời giải TXĐ: D = ( −;0   2; + ) Ta có: y = 2x − 2 x2 − x =0 x=2 Bảng biến thiên (xét dấu y  ): − x y − + + Do hàm số đồng biến ( 2; + ) nghịch biến ( −;0 ) Chọn A Ví dụ 13: Hàm số y = x − x    2 A Đồng biến khoảng  −1; ;1 nghịch biến   2     − 2 ;   2   − 2 B Đồng biến  ;  nghịch biến khoảng      2 ;1  −1;       − 2 ; C Đồng biến   nghịch biến khoảng      2 ; +   −; −       − 2 ; D Đồng biến   nghịch biến khoảng ( −; −1) (1; + ) 2   Lời giải TXĐ: D =  −1;1 Ta có: y = − x − x2 − x2 = − x2 − x2 Lập bảng xét dấu y  : x − y − 2 −1 − 2 + − − 2 ; Do hàm số đồng biến   nghịch biến khoảng   Chọn B Ví dụ 14: Hàm số y = x−2 đồng biến trên: x + x +1 +    2 ;1  −1;       A ( ) ( B −; − + 7; + ( C − 7;2 + ) ) D Hàm số cho nghịch biến Lời giải TXĐ: D = Ta có: y = − x2 + 4x + (x + x + 1)   x − x −   −  x  + Chọn C Ví dụ 15: Cho hàm số y = 2x −1 ( x − 1) Hàm số cho: A Đồng biến khoảng ( −;0 ) (1; + ) nghịch biến khoảng ( 0;1) B Đồng biến khoảng ( 0;1) nghịch biến khoảng ( −;0 ) (1; + ) C Đồng biến khoảng ( −;0 ) nghịch biến khoảng (1; + ) D Đồng biến khoảng (1; + ) nghịch biến khoảng ( −;0 ) Lời giải TXĐ: D = \ 1 ( x − 1) − ( x − 1)( x − 1) Ta có: y = ( x − 1) = ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1) = −2 x ( x − 1) Lập bảng xét dấu y  : − x y − + + − Do hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) nghịch biến khoảng ( −;0 ) (1; + ) Chọn B Ví dụ 16: Cho hàm số y = 3x − ( x − 2) Hàm số cho: −2   −2   A Đồng biến khoảng  −;  ( 2; + ) nghịch biến khoảng  ;      2   −2  B Đồng biến khoảng  ;  nghịch biến khoảng  −; −  ( 2; + ) 3    2  C Đồng biến khoảng  −; −  nghịch biến khoảng ( 2; + ) 3  −2   D Đồng biến khoảng ( 2; + ) nghịch biến khoảng  −;   