KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Đề số: 02 Ngày thi: 24/12/2018 Câu I (2.0 điểm) (1.0 đ) Tính đạo hàm hàm số f x (2 x 1).arctan x điểm x (1.0 đ) Tìm đa thức Taylor bậc x hàm số f ( x) ln( x 1) Câu II (3.0 điểm) (1.5đ) Xét hội tụ tích phân suy rộng tính tích phân hội tụ: x x 2 dx 3x (1.5đ) Tính tích phân : x x dx Câu III (2.0 điểm) Tìm tất điểm cực trị (nếu có) hàm số f x, y x3 y 3x y Câu IV (2.0 điểm) Giải phương trình vi phân đẳng cấp x 2y y' 2x y Câu V (1.0 điểm) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n4 x n n n 1 HẾT Ghi chú: + Cán coi thi khơng phải giải thích thêm + Sinh viên khơng sử dụng tài liệu Cán đề Trần Đức Quỳnh Duyệt đề Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Đề số: 03 Ngày thi: 24/12/2018 Câu I (2.0 điểm) (1.0 đ) Tính đạo hàm hàm số f x ( x 1).arctan x điểm x (1.0 đ) Tìm đa thức Taylor bậc x hàm số f ( x) ln(2 x 1) Câu II (3.0 điểm) (1.5đ) Xét hội tụ tích phân suy rộng tính tích phân hội tụ: x x dx 5x (1.5đ) Tính tích phân x x dx Câu III (2.0 điểm) Tìm tất điểm cực trị (nếu có) hàm số f x, y x3 y 12 x y Câu IV (2.0 điểm) Giải phương trình vi phân đẳng cấp x 3y y' 3x y Câu V (1.0 điểm) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 2n n x n 1 n HẾT Ghi chú: + Cán coi thi giải thích thêm + Sinh viên khơng sử dụng tài liệu Cán đề Trần Đức Quỳnh Duyệt đề Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Đề số: 02 Ngày thi: 28/12/2018 Câu I (2.5 điểm) 1) (1.0đ) Tìm vi phân hàm số f x x ln x 1 x 2) (1.5đ) Tìm đa thức Taylor bậc hàm số f x e3 x 1 x Câu II (1.5 điểm) Cho hàm số f ( x) 1) (0.5đ) Tính a x2 f x dx 2) (1.0đ) Với a , tính tích phân f ( x)dx Câu III (1.0 điểm) Cho hàm số f x, y ye2 x 3 y Tính f xx 0;0 Câu IV (2.0 điểm) Tìm điểm cực trị (nếu có) hàm số f x, y y x3 x y Câu V (2.0 điểm) Giải phương trình vi phân tuyến tính e x y xy 2 x Câu VI (1.0 điểm) Tính tổng (nếu chuỗi hội tụ) chuỗi 4n n 1 1 HẾT Ghi chú: + Cán coi thi khơng phải giải thích thêm + Sinh viên không sử dụng tài liệu Cán đề Duyệt đề Nguyễn Thị Huyền Phan Quang Sáng KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Đề số: 03 Ngày thi: 28/12/2018 Câu I (2.5 điểm) 1) (1.0đ) Tìm vi phân hàm số f x x ln x 1 x 2) (1.5đ) Tìm đa thức Taylor bậc hàm số f x e2 x 1 x Câu II (1.5 điểm) Cho hàm số f ( x) 1) (0.5đ) Tính a x2 f x dx 2) (1.0đ) Với a , tính tích phân f ( x)dx Câu III (1.0 điểm) Cho hàm số f x, y xe x 2 y Tính f yy 0;0 Câu IV (2.0 điểm) Tìm điểm cực trị (nếu có) hàm số f x, y x y y x Câu V (2.0 điểm) Giải phương trình vi phân tuyến tính ex y xy 3 x Câu VI (1.0 điểm) Tính tổng (nếu chuỗi hội tụ) chuỗi 4n n 1 1 HẾT Ghi chú: + Cán coi thi khơng phải giải thích thêm + Sinh viên không sử dụng tài liệu Cán đề Duyệt đề Nguyễn Thị Huyền Phan Quang Sáng KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Giải tích Đáp án đề thi số: 02 f x' = 3x − 3; f y' = y − 6; ⎧ f x′ = ⎧ x2 = ⎪ ⇔ ⇒ Hàm số có điểm dừng ⎨ ′ ⎨ f = y = ⎪ y ⎩ ⎩ (Ngày thi: 24/12/2018) Ghi : Mọi cách giải khác đáp án mà đủ điểm Câu Đáp án vắn tắt y ' = 2arctan x + f ′ ( ) = −1 f '( x) = I 2.0đ 2x − 1 + x2 −1 ; f ''( x) = ; f '''( x) = x +1 ( x + 1) ( x + 1)3 0.25 1 ⇒ P( x) = x − x + x3 0.25 2 tương đương nên tích phân hội tụ x + 3x + x 0.5 ∫ x + 3x + = 2ln dx = +∞ ∫ ⎞ ⎛ ⎜ x + − x + ⎟dx ⎝ ⎠ +∞ x +1 x +1 = lim 2ln − 2ln(2 / 3) x →+∞ x+21 x+2 = 2ln(3 / 2) II 3.0đ 1 0 ( ∫ x x + 3dx = x + x3 x dx = ∫ 7−3 3 0.5 I= 0.25 0.25 0.5 0.5 Tại ( −1;3) ta có A = −6; B = 0;C = IV 2.0đ 0.25 Đặt y = ux ⇒ y′ = u ′x + u 0.25 + 2u 2−u + u2 pt ⇔ u ' x = 2−u dx − u pt ⇔ = du x + u2 Nghiệm : ln x = 2arctan lim V 1.0d 0.25 Tại (1;3) ta có A = 6; B = 0;C = ⇒ AC − B2 = 12 > Hàm số đạt cực tiểu 0.25 3/2 ) f xx′′ = x; f xy′′ = 0; f yy′′ = u'x + u = 0.5 0.25 I = ∫ x x + 3dx − ∫ x dx 0.5 0.5 (1; 3) (-1; 3) ⇒ AC − B2 = −12 < Hàm số ko đạt cực trị 0.5 f '(0) = 1; f ''(0) = −1; f '''(0) = +∞ III 2.0đ 0.5 Điểm 0.5 ( n + 1)4n +1 n.4 n 0.25 0.5 0.5 y ⎛ y2 ⎞ − ln ⎜1 + ⎟ + C x ⎜⎝ x ⎟⎠ ⎛ 1⎞ = nên chuỗi hội tụ ⎜ − ; ⎟ ⎝ 4⎠ Xét hai đầu mút không hội tụ Miền hội tụ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ; ⎟ ⎝ 4⎠ Cán đề: Trần Đức Quỳnh Cán soạn đáp án Trần Đức Quỳnh 0.5 0.5 0.5 Duyệt đáp án Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MƠN TỐN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Giải tích Đáp án đề thi số: 03 f x' = 3x − 12; f y' = y − 3; ⎧ f x′ = ⎧ x2 = ⎪ ⇔ ⇒ Hàm số có điểm dừng ⎨ ′ ⎨ f = y = ⎪ y ⎩ ⎩ (Ngày thi: 24/12/2018) Ghi : Mọi cách giải khác đáp án mà đủ điểm Câu Đáp án vắn tắt f ′ ( x ) = arctan x + f ′ (0) = f '( x) = I 2.0đ x +1 + x2 −4 16 ; f ''( x) = ; f '''( x) = 2x + (2 x + 1) (2 x + 1)3 0.25 ⇒ P( x) = x − x + x3 0.25 4 tương đương nên tích phân hội tụ x + 5x + x 0.5 ∫ x2 + 5x + = 4ln dx = +∞ ∫ ⎞ ⎛ ⎜ x + − x + ⎟dx ⎝ ⎠ +∞ x+2 x+2 = lim 4ln − 4ln(3 / 4) x →+∞ x+31 x+3 = 4ln(4 / 3) II 3.0đ 1 0 ( ∫x dx = I= 2 31 x IV 2.0đ 0.25 Đặt y = ux ⇒ y′ = u ′x + u 0.25 + 3u 3−u + u2 pt ⇔ u ' x = 3−u dx − u pt ⇔ = du x + u2 lim 0.25 0.5 V 1.0d 0.25 Tại ( 2;3) ta có A = 12; B = 0;C = ⇒ AC − B2 = 12 > Hàm số đạt cực tiểu 0.25 0.5 0.5 y ⎛ y2 ⎞ − ln ⎜1 + ⎟ + C x ⎜⎝ x ⎟⎠ 0.5 2n +1 n ⎛ −1 ⎞ n = nên chuỗi hội tụ ⎜ ; ⎟ n +1 ⎝ 2⎠ 0.5 Nghiệm : ln x = 3arctan 0.25 0.5 0.5 Tại ( −2;3) ta có A = −12; B = 0;C = 0.25 3/2 ) ∫ x x + 1dx = x + f xx′′ = x; f xy′′ = 0; f yy′′ = u'x + u = 0.5 0.25 I = ∫ x x + 1dx + ∫ x dx 0.5 0.5 (2; 3) (-2; 3) ⇒ AC − B2 = −12 < Hàm số ko đạt cực trị 0.5 f '(0) = 2; f ''(0) = −4; f '''(0) = 16 +∞ III 2.0đ 0.5 Điểm 0.5 Xét đầu mút x = / có chuỗi điều hịa khơng hội tụ Xét x = −1 / ta có chuỗi đan dấu hội tụ ⎡ 1⎞ Miền hội tụ ⎢ − ; ⎟ ⎣ 2⎠ Cán đề: Trần Đức Quỳnh Cán soạn đáp án Trần Đức Quỳnh Duyệt đáp án Phan Quang Sáng 0.5 KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN ⎧ x2 = ⎧ f x′ = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇒ Hàm số có điểm dừng ⎨ ′ ⎪ fy = ⎩ ⎪4 y = ⎩ ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Giải tích Đáp án đề thi số: (1; 1) (-1; 1) (Ngày thi: ) Ghi : Mọi cách giải khác đáp án mà đủ điểm Câu Điểm df ( ) = 2dx 0.25 1⎞ 9⎛ 1⎞ 9⎛ 1⎞ ⎛ P3 ( x ) = + ⎜ x − ⎟ + ⎜ x − ⎟ + ⎜ x − ⎟ 3⎠ 2⎝ 3⎠ 2⎝ 3⎠ ⎝ II 1.5đ III 1.0đ IV 2.0đ 2 x ∫ f ( x )dx = a arctan a + C +∞ x +∞ ∫3 f ( x ) dx = arctan 3 Đặt y = uv ⇒ y ′ = u ′v + uv ′ 0.25 e− x 2+ x 0.25 Chọn v ≠ s/c : v′ + xv = ⇔ 0.25 0.25 0.25 V 2.0đ 0.5 1⎛ x ⎞ π = ⎜ lim arctan − arctan1⎟ = ⎝ x →+∞ ⎠ 12 0.25 0.25 f x′ = ye2 x+3 y 0.5 f xx′′ = ye2 x+3 y 0.25 f xx′′ (0;0) = 0.25 f y′ = y − 4; f x′ = x − 0.5 Chọn v = e− x un = VI 1.0d dv = −2 xdx v 0.25 0.25 0.25 dx = ln + x + C 2+ x NTQ : y = ( ln + x + C ) e− x 0.5 0.25 ⇒ ln v = − x + C Khi u = ∫ 0.5 0.25 Tại (1;1) ta có A = 2; B = 0;C = 12 ⇒ AC − B2 = 24 > Hàm số đạt cực tiểu u ′v + u ( v′ + xv ) = 0.25 ⇒ AC − B2 = −24 < Hàm số ko đạt cực trị 0.25 ⎛1⎞ f ′ ( x ) = 3e3 x −1 ⇒ f ′ ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ ⎛1⎞ f ′′ ( x ) = 9e3 x −1 ⇒ f ′ ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ ⎛1⎞ f ′′′ ( x ) = 27e3 x −1 ⇒ f ′ ⎜ ⎟ = 27 ⎝ 3⎠ 0.5 Tại ( −1;1) ta có A = −2; B = 0;C = 12 0.5 ⎛1⎞ f ⎜ ⎟ = 1; ⎝ 3⎠ I 2.5đ f xx′′ = x; f xy′′ = 0; f yy′′ = 12 y Đáp án vắn tắt x f ′ ( x ) = ln ( x − 1) + x −1 f ′ ( 2) = 0.5 5⎛ 1 ⎞ = ⎜ − ⎟ 4n − ⎝ 2n − 2n + ⎠ 0.5 0.25 5⎛ ⎞ Sn = ⎜1 − ⎟ ⎝ 2n + ⎠ Tổng chuỗi S = lim Sn = / n→∞ Cán đề: Nguyễn Thị Huyền Cán soạn đáp án Nguyễn Thị Huyền 0.25 0.5 0.25 Duyệt đáp án Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN ⎧4 x = ⎧ f x′ = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇒ Hàm số có điểm dừng ⎨ ′ ⎪ fy = ⎩ ⎪y =1 ⎩ ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Giải tích Đáp án đề thi số: (1; 1) (1; -1) (Ngày thi: ) Ghi : Mọi cách giải khác đáp án mà đủ điểm Câu Điểm df ( ) = 0dx 0.25 1⎞ 1⎞ 4⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ P3 ( x ) = + ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ 2⎠ 2⎠ 3⎝ 2⎠ ⎝ ⎝ II 1.5đ III 1.0đ IV 2.0đ 2 x ∫ f ( x )dx = a arctan a + C +∞ x +∞ ∫2 f ( x ) dx = arctan 2 Đặt y = uv ⇒ y ′ = u ′v + uv ′ 0.25 ex 3− x 0.25 Chọn v ≠ s/c : v′ − xv = ⇔ 0.25 0.25 0.25 V 2.0đ 0.5 1⎛ x ⎞ π = ⎜ lim arctan − arctan1⎟ = ⎝ x→+∞ ⎠ 0.25 0.25 f y′ = xe x + y 0.5 f yy′′ = xe x + y 0.25 f yy′′ (0;0) = 0.25 f x′ = x3 − 4; f y′ = y − 0.5 Chọn v = e x un = VI 1.0d dv = xdx v 0.25 0.25 0.25 dx = − ln − x + C 3− x NTQ : y = ( − ln − x + C ) e x 0.5 0.25 ⇒ ln v = x + C Khi u = ∫ 0.5 0.25 Tại (1;1) ta có A = 12; B = 0;C = ⇒ AC − B2 = 24 > Hàm số đạt cực tiểu u ′v + u ( v′ − xv ) = 0.25 ⇒ AC − B2 = −24 < Hàm số ko đạt cực trị 0.25 ⎛ 1⎞ f ′ ( x ) = 2e x +1 ⇒ f ′ ⎜ − ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ f ′′ ( x ) = 4e x +1 ⇒ f ′ ⎜ − ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ f ′′′ ( x ) = 8e x +1 ⇒ f ′ ⎜ − ⎟ = ⎝ 2⎠ 0.5 Tại (1; −1) ta có A = 12; B = 0;C = −2 0.5 ⎛ 1⎞ f ⎜ − ⎟ = 1; ⎝ 2⎠ I 2.5đ f xx′′ = 12 x2 ; f xy′′ = 0; f yy′′ = y Đáp án vắn tắt x f ′ ( x ) = ln ( x + 1) + x +1 f ′ (0) = 0.5 3⎛ 1 ⎞ = ⎜ − ⎟ 4n − ⎝ 2n − 2n + ⎠ 0.5 0.25 3⎛ ⎞ Sn = ⎜1 − ⎟ ⎝ 2n + ⎠ Tổng chuỗi S = lim Sn = / n→∞ Cán đề: Nguyễn Thị Huyền Cán soạn đáp án Nguyễn Thị Huyền 0.25 0.5 0.25 Duyệt đáp án Phan Quang Sáng