I bài tập TĨNH điện 1

I.TĨNH ĐIỆN Bài Hình vẽ cho thấy một vật dẫn hình cầu A có bán kính a (quả cầu A) được bao quanh bởi một vỏ cầu B các điện trung hòa có bán kính b (b>a) Ban đầu các khóa S1,S2 và S3 đều hở và quả cầu A mang điện tích Q Đầu tiên, khóa S1 được đóng để kết nối với vỏ cầu B với mặt đất đủ lâu và sau đó mở Tiếp theo đóng khóa S2 để quả cầu A được nối đất đủ lâu và sau đó mở Cuối cùng, đóng khóa S3 để kết nối hai quả cầu A và B Tìm nhiệt lượng được sinh sau đóng khóa S3 Vận dụng với a=2cm, b=4cm và Q=8mC Bài (Điện môi không đồng nhất) Hai bản tụ điện phẳng có điện tích  q Khoảng hai bản chứa đầy mợt chất mà sớ điện mơi của biến thiên theo phương vuông góc vơí mặt bản theo quy luật  =  1(1 + x / d )−1 Trong đó x là khoảng cách đến bản tích điện dương, d khoảng cách hai bản Tìm mật đợ điện tích khới là hàm sớ của x Điện tích bản S Đáp số Mật đợ điện tích khới:  = q  1Sd Bài Điện tích điểm bên vỏ cầu dẫn (US) Một điện tích dương q được đặt bên một vỏ cầu rỗng dẫn điện và trung hòa về điện Vỏ cầu có bán kính là a và bán kính ngoài b; độ dày b-a là đáng kể (hình 3.1a) Tâm quả cầu đặt tại gốc tọa độ Điện tích q đặt tại tâm quả cầu 1a Hãy xác định cường độ điện trường bên ngoài vỏ cầu tại x = b 1b Vẽ đồ thị biểu diễn độ lớn điện trường dọc theo trục x hệ trục tọa độ ở hình 3.1b 1c Xác định điện thế tại x = a 1d Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện thế dọc theo trục x hệ trục tọa độ ở hình 3.1c Giả sử bây giờ điện tích điểm q đặt trục x tại điểm x = 2a/3 2a Hãy xác định độ lớn điện trường tại một điểm x = b bên ngoài vỏ cầu 2b Vẽ đồ thị biểu diễn độ lớn điện trường dọc theo trục x hệ trục tọa độ ở hình 3.1b 2c Xác định điện thế tại x = a 2d Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện thế dọc theo trục x hệ trục tọa độ ở hình 3.1c 2e Vẽ các đường sức điện (nếu có) bên vỏ cầu, ở hai mặt cầu và bên ngoài vỏ cầu hình 3.1a Trong mỗi vùng nêu trên, cần vẽ ít nhất đường sức nếu điện trường ở đó khác Bài Phương trình của một đường sức trường cho một tập hợp điện tích Có N điện tích q1 , , qN được phân bố trục Oz Chứng tỏ phương trình của một đường sức trường có dạng: N  q cos i =1 i i = cte , đó các góc  i được xác định sơ đồ bên Lưu ý: Kinh nghiệm về bài toán tìm phương trình đường sức, vào tính chất sau: + E tiếp tuyến với đường sức tại mỗi điểm, nên E / / d r ( ) + Từ đó suy E  d r = Bài (Môi trường điện môi không đồng nhất -Belarus) Phần Hằng số điện môi thay đổi 1a Một tụ điện phẳng được làm từ hai bản kim loại phẳng diện tích S, đặt cách một khoảng h Khoảng không gian hai bản tụ được lấp đầy hai lớp điện môi có chiều dày giống với các số điện môi là  và  (hình 3.6a) Tìm điện dung của tụ điện này Người ta đặt vào hai bản tụ một hiệu điện thế không đổi U Hãy tìm mật độ điện mặt các bản tụ  và mặt phân cách hai lớp điện môi  ' 1b Một tụ điện phẳng được làm từ hai bản kim loại phẳng diện tích S, đặt cách một khoảng h Khoảng không gian hai bản tụ được lấp đầy hai lớp điện môi có chiều dày giống với các số điện môi là  ở rìa trái và  ở rìa phải Hằng số điện −1 môi thay đổi theo quy luật sau: ε(x) = (ax + b) (hình 3.6b) i)Biểu diễn các thông số của quy luật này qua  và  ii)Tìm điện dung của tụ điện iii)Người ta đặt vào hai bản tụ một hiệu điện thế không đổi U Bên lòng điện môi sẽ xuất hiện các điện tích khối phân cực Hãy tìm mật độ điện tích khối một hàm của tọa độ  (x) Phần Độ dẫn thay đổi 2a Một điện trở cấu tạo từ hai bản kim loại diện tích S đặt song song và cách một khoảng h Khoảng không gian hai bản được lấp đầy hai lớp dày và được làm từ các chất dẫn điện kém có điện trở suất 1 và  (hình 3.6c) Tìm giá trị của điện trở Người ta đặt vào hai bản kim loại một hiệu điện thế không đổi U Tìm mật độ điện mặt  ' ở mặt phân cách hai lớp điện môi Bỏ qua các điện tích phân cực 2b Một điện trở cấu tạo từ hai bản kim loại diện tích S đặt song song và cách một khoảng h Khoảng không gian hai bản tụ được lấp đầy chất có điện trở suất thay đổi tuyến tính cho ở rìa trái giá trị của nó 1 , còn ở rìa phải  (hình 3.6d) i)Viết biểu thức mô tả sự thay đổi của điện trở suất ii)Tìm giá trị của điện trở iii)Người ta đặt vào hai bản kim loại một hiệu điện thế không đổi U Bên vật chất sẽ xuất hiện các điện tích khối Hãy tìm mật độ điện tích khối này một hàm của tọa độ  (x) Đáp số 1a C = 1 2 S 1 +  h 1b.i)  ( x) = 2a R = ; ii) C = 1 2 S 1 −  1 +  h x+ h 1 1 1 +  2S h ;  ' = 2 U 2 − 1 h  + 1 2b.i) Vì điện trở suất thay đởi tún tính theo tọa đợ:  ( x) = 1 + 2 − 1 h x (  − 1 ) ii) Điệntích khới  k ( x) = 2 0U h 1 +  iii) Giống phần trên, mật độ điện khối số Bài Các mặt đẳng thế của một đường hai dây Hai sợi dây thẳng dài vô hạn, song song với trục Oz và có phương trình Descartes lần lượt là x = +a và x = -a, có mật độ điện dài đều dây thứ nhất +  và dây thứ hai − (  > 0) Ký hiệu A1 và A2 lần lượt là giao điểm của chúng với mặt phẳng xOy Một điểm M có vị trí xác định bởi các tọa độ trụ (r, θ, z) và ký hiệu r1 và r2 là khoảng cách, một là M và dây thứ nhất, một là M và dây thứ hai Ta sẽ chọn gốc của các thế là gốc tọa độ O Hãy nêu đặc tính của mặt đẳng thế, tọa độ trụ của phân bố này Hãy biểu diễn một cách định tính các đường sức trường và vết của các mặt đẳng thế mặt phẳng xOy Bài Đường lưỡng cực Ta hãy xét một đường hai dây được cấu tạo bởi hai sợi dây thẳng dài vô hạn, song song với trục Oz, có phương trình Descartes x =  a và có mật độ điện dài đều   (  > 0) Đường lưỡng cực được coi là giới hạn của phân bố này a tiến tới 0, giữ cho tích a (2a)  không đổi Khi đó, ta ký hiệu K = là số đặc trưng cho đường này  Một điểm M có vị trí xác định bởi các tọa độ trụ (r, θ, z) Để thu được đặc tính giới hạn của đường lưỡng cực, sau đây, ta sẽ coi khoảng cách r từ điểm M đến trục Oz là rất lớn trước a và ta sẽ lòng với các biểu thức thu được của điện thế và điện trường của đường lưỡng cực các chỉ giữ lại bậc thấp nhất không tầm thường của khai triển của chúng theo lũy thừa của tỷ số a r a.Trong điều kiện đó, hãy tìm biểu thức của điện thế tạo bởi một đường lưỡng cực b.Từ đó suy điện trường của đường lưỡng cực c.Tìm phương trình của các mặt đẳng thế và các đường sức điện trường của đường lưỡng cực Hãy biểu diễn chúng một cách định tính x2 x3 x4 + − + Lưu ý: ln(1+x) = x (-10, được tác z02 dụng theo hướng trục OZ, đó ion chỉ có thể dao đợng xung quanh điểm có tọa đợ z=0 Tìm tần sớ dao động  z E) Đối với trường thế ý D) có giá trị miền không gian trớng rỡng, tìm sớ  ý D) Như một sự kết hợp của điện trường từ trường vật gọi mợt bẫy Penning Nó mợt thiết bị để bẫy một ion một thời gian dài với tần số cyclotron c của ion, đó tỷ sớ q của ion có thể được đo với đợ xác rất cao Sử dụng c  z là các đại m lượng đã biết để trả lời câu hỏi lại F)Các ion hiện ở một bẫy Penning Tìm các phương trình vi phân x(t) và y(t) cho biết vị trí của accs ion mặt phẳng XOY G).Đặt u(t)=x(t)+iy(t), với i = −1 Tìm phương trình vi phân cho u(t) H) giả sử nghiệm có dạng u(t)= Ae − it Hãy xác định hai tần số khả dĩ +  − , với + >  − − i t − i t I)Nghiệm tổng quát u (t ) = A+ e + + A− e − Giả sử bẫy thế điện được bật lên sau từ trường được bật lên một khoảng thời gian Khi bẫy được bật tại thời điểm t=0, ion ở vị trí x=R trục OX tâm của quỹ đạo của gớc O của mặt phẳng XOY Xác định A+ , A− Lấy gần đúng c >>  z J) Để thấy quỹ đạo của ion trông giống ý I), chúng ta hãy đến một hệ quy chiếu quay với tần sớ góc  Sử dụng định nghĩa của u(t) ý G), tìm sự diễn tả u (t ) của hệ quy chiếu quay K)Áp dụng câu trả lời của bạn ý J) để câu trả lời ý I) và đặt  = − Vẽ sơ đồ của quỹ đạo ion hệ quy chiếu quay mặt phẳng XOY L)Vẽ sơ đồ quỹ đạo của ion mặt phẳng XOY hệ quy chiếu phịng thí nghiệm M) Cho ba hình dạng có thể có của quỹ đạo ion mặt phẳng XOY một hệ quy chiếu quay với tần sớ góc  ' = c nếu các điều kiện ban đầu thích hợp ... đô? ?i tuyến tính cho ở rìa tra? ?i giá trị của nó ? ?1 , còn ở rìa pha? ?i  (hình 3.6d) i) Viết biểu thức mô tả sự thay đô? ?i của ? ?i? ?̣n trở suất ii)Tìm giá trị của ? ?i? ?̣n trở iii)Ngươ? ?i. .. Đáp số 1a C = ? ?1? ?? 2 S ? ?1 +  h 1b .i)  ( x) = 2a R = ; ii) C = ? ?1? ?? 2 S ? ?1 −  ? ?1 +  h x+ h ? ?1? ?? ? ?1 ? ?1 +  2S h ;  ' = 2 U 2 − ? ?1 h  + ? ?1 2b .i) Vì ? ?i? ?̣n trở suất thay đô? ?i tún tính... x) = ? ?1 + 2 − ? ?1 h x (  − ? ?1 ) ii) ? ?i? ?̣ntích khơ? ?i  k ( x) = 2 0U h ? ?1 +  iii) Giống phần trên, mật độ ? ?i? ?̣n khô? ?i số B? ?i Các mặt đẳng thế của một đường hai dây Hai sơ? ?i dây thẳng