(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp giải bài toán cực trị hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH HOA THÍNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH HOA THÍNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số 8460113 : Người hướng dẫn : TS Trần Ngọc Nguyên download by : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Bình Định, ngày 20 tháng năm 2021 Tác giả Huỳnh Hoa Thính download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Lời xin gởi đến TS Trần Ngọc Nguyên lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến tất thầy khoa Tốn Thống kê trường Đại Học Quy Nhơn, giảng viên Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội, Trường ĐHKHTN-ĐHQG TPHCM, Trường ĐH Sài Gòn, Viện Tốn học, Trường CĐSP Gia Lai nhiệt tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học Xin cảm ơn vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Đào tạo sau đại học Trường Đại Học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học Tơi xin cảm ơn gia đình tơi, đồng nghiệp bạn học viên Cao học khóa 22 hỗ trợ, động viên tơi suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Bình Định, ngày 20 tháng năm 2021 Tác giả Huỳnh Hoa Thính download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức thông dụng 1.2 Một số kiến thức hình học thường dùng 1.2.1 Công thức Heron 1.2.2 Định lý cosin 1.2.3 Hệ thức Leibniz 1.2.4 Bất đẳng thức tam giác 1.2.5 Cơng thức tính khoảng cách hai điểm không gian 1.3 Các định lý cực trị hàm số Các phương pháp tìm cực trị hình học 2.1 Sử dụng phép biến đổi hình học 2.2 Sử dụng bất đẳng thức đại số 2.3 Sử dụng kiến thức giải tích 23 29 Một số tốn cực trị hình học chọn lọc 38 3.1 Bài toán đẳng chu 38 3.2 Các tốn tam giác, tứ giác, đường trịn 3.3 Một số toán tổ hợp 3.4 Một số toán khác 60 47 57 download by : skknchat@gmail.com Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 download by : skknchat@gmail.com Một số kí hiệu SM Diện tích hình M VABCD Thể tích tứ diện ABCD ∆ABC ∼ ∆A′ B ′ C ′ Tam giác ABC đồng dạng tam giác A′ B ′ C ′ f ′ (x) Đạo hàm hàm số f (x) download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Các vấn đề cực đại cực tiểu phát sinh cách tự nhiên không khoa học - kỹ thuật ứng dụng chúng mà sống hàng ngày Rất nhiều số có chất hình học như: tìm đường ngắn hai đối tượng thoả mãn số điều kiện hình có chu vi, diện tích thể tích tối thiểu dạng tốn thường gặp Khơng có đáng ngạc nhiên, người giải vấn đề thời gian lâu Một số người số họ, coi tiếng Heron (thế kỷ thứ CN), Descartes (1596-1650), Jacob Steiner (1796-1863), I.F.Fagnano (1682-1766), Hermann Schwarz (1843-1921), v.v Trong chương trình tốn Trung học nói chung, dạng tốn dành cho học sinh giỏi nói riêng, tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, đặc biệt tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn liên quan đến hình học tốn thú vị tương đối khó, địi hỏi người giải tốn khơng có hệ thống kiến thức mà cịn có kỹ giải tốn mức độ định Các toán giá trị nhỏ nhất, lớn hình học, cịn gọi tốn cực trị hình học, thường tốn đơi khơng cho sẵn điều phải chứng minh mà địi hỏi người làm tốn phải tự tìm lấy kết Nhằm hướng đến việc trình bày cách hệ thống phương pháp hay dùng để giải tốn cực trị hình học, hướng dẫn TS Trần Ngọc Nguyên, chọn đề tài luận văn: "Một số phương pháp giải download by : skknchat@gmail.com tốn cực trị hình học" để nghiên cứu vài phương pháp điển hình dùng để tìm lời giải tốn cực trị hình học Bên cạnh đó, đề tài giới thiệu số dạng toán cực trị thường gặp với lời giải chi tiết số tốn tương tự dành cho bạn đọc Ngồi mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức cần thiết thường dùng giải toán cực trị hình học như: số bất đẳng thức thơng dụng, cơng thức Heron diện tích tam giác, định lý cực trị hàm số Chương 2: Các phương pháp tìm cực trị hình học Nội dung trọng tâm chương trình bày số phương pháp khác để giải tốn cực trị hình học Một phương pháp là: sử dụng phép biến đổi hình học phép đối xứng, phép quay, phép vị tự Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại số Phương pháp cuối giới thiệu sử dụng kiến thức giải tích Chương 3: Một số tốn cực trị hình học chọn lọc Ở đây, thảo luận số toán đẳng chu, toán thú vị Malfatti, số toán tổ hợp số tốn khác Ngồi việc cố gắng trình bày cách tồn diện giải pháp kỹ thuật, cố gắng giới thiệu nhiều tốn với cấp độ khó khác Do hạn chế mặt thời gian, lực thân nên giải pháp trình bày luận văn phần nhỏ, minh hoạ cho tốn cực trị hình học Rất mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến Thầy, Cơ để luận văn hồn thiện download by : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn bị cho chương sau luận văn Cụ thể, nhắc lại số bất đẳng thức thông dụng, công thức Heron diện tích tam giác định lý cực trị hàm số 1.1 Một số bất đẳng thức thông dụng Chúng liệt kê bên số bất đẳng thức đại số kinh điển thường sử dụng giải toán cực trị hình học Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức trung bình cộng - Trung bình nhân (AM-GM)[1]) Giả sử x1 , x2 , · · · , xn số khơng âm Khi √ x1 + x + · · · + xn ≥ n x1 x · · · xn n (1.1) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình bậc hai [13]) download by : skknchat@gmail.com 64 Giải Xét phép quay tâm A, góc quay 1200 , cho tia AC nằm tia AB tia AC ′ (Hình 3.26) Hình 3.26: Hình vẽ Bài tốn 3.4.5 Ta có Q120 : C A → C′ M → M′ Dễ thấy CM = C ′ M ′ ; √ 3M A = M M ′ B, A, C ′ thẳng hàng Vậy √ min( 3M A + M B + M C) ⇔ M M ′ + M B + M ′ C ′ ⇔ BM + M M ′ + M ′ C ′ ⇔ B, M, M ′ , C ′ thẳng hàng xếp theo thứ tự ⇔ M ≡ A √ Tóm lại ( 3M A + M B + M C) nhỏ M trùng với A giá trị nhỏ BC ′ = AB + AC Bài toán 3.4.6 Cho góc vng xAy Các điểm B, C khác A di động tia Ax, Ay tương ứng Tìm giá trị nhỏ biểu thức BC √ AB + AC download by : skknchat@gmail.com 65 Hình 3.27: Hình vẽ Bài tốn 3.4.6 Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có √ AB + AC ≤ AB + AC = 4BC √ BC √ ≥ AB + AC √ AC AB = √ hay AC = 3AB Đẳng thức xảy BC √ , lúc ∆ABC vng Vậy giá trị nhỏ biểu thức AB + AC A có C = 30 Suy AB + AC ≤ 2BC Do Bài tốn 3.4.7 Cho hình lập phương ABCDA1 B1 C1 D1 , tìm điểm M cạnh AB cho: (a) Góc B1 M C1 lớn nhất; (b) Góc A1 M C1 nhỏ Giải (a) Đặt cạnh hình lập phương có độ dài 1, BM = x, ≤ x ≤ 1, B1 M C1 = φ (Hình 3.28) Hình 3.28: Hình vẽ Bài tốn 3.4.7 download by : skknchat@gmail.com 66 Khi B1 M = B1 M + B1 C1 = + x2 , C1 M = + x2 (vì C1 B1 M = 900 ) ta B1 M cos φ = = C1 M + x2 + x2 + x2 ≥ , đẳng thức xảy x = Như 2+x B1 M C1 lớn M trùng với B B1 M C1 = 450 Do cos φ ≥ √ , (b) Đặt AM = x, ≤ x ≤ 1, A1 M C1 = φ √ √ Khi A1 M = + x2 , C1 M = + (1 − x)2 , A1 C1 = (Hình 3.28) Áp dụng định lý cosin cho ∆A1 M C1 ta có cos φ = x2 − x + A1 M + C1 M − A1 C1 √ =√ 2A1 M.C1 M x2 + x2 − 2x + Vì x2 − x + > với x, nên ta cần tìm giá trị nhỏ hàm số x2 − x + f (x) = , khoảng [0, 1] (x + 1) (x2 − 2x + 3) f ′ (x) x2 − x + x3 + 3x − , dấu f ′ (x) xác định 2 (x2 + 1) (x2 − 2x + 3) dấu hàm số g(x) = x3 + 3x − [0, 1] Vì g(x) tăng nghiêm ngặt Ta có = (g ′ (x) = 3x2 + > ) g(0) = −2, g(1) = nên theo định lý giá trị trung gian phương trình x3 + 3x − = có nghiệm x0 ∈ (0, 1) Do hàm f (x) giảm khoảng (0, x0 ) tăng khoảng (x0 , 1) Mặt khác 1 > = f (1) Do giá trị lớn f (x) [0, 1] x = Như A1 M C1 nhỏ M trùng với A cos φ = √ f (0) = Bài toán 3.4.8 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh, 1993 - 1994).Tìm kích thước tam giác có diện tích lớn nội tiếp đường trịn (O; R) cho trước download by : skknchat@gmail.com 67 Giải Với tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ AH OK vng góc với BC (Hình 3.29) Hình 3.29: Hình vẽ Bài tốn 3.4.8 Đặt OK = x (0 ≤ x < R), ta có BC = R − x2 AH ≤ AK ≤ OA + OK = R + x Do AH.BC ≤ (R + x) 2√ √ 3R = SABC = R − x2 = R R − x2 R − x2 + x √ √ + 3x R − x2 R − x2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm, ta SABC √ 3R2 ≤ + R − x2 √ 3R = √ + 3x.2 + R2 − x2 download by : skknchat@gmail.com 68 Đẳng thức xảy khi:     H≡K     AB = AC ⇔ O nằm A K √   BAC = 600  √ √   2  R = R − x = 3x √ Tức tam giác ABC đều, có cạnh R Bài toán 3.4.9 Xét tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD Giải Vẽ AH⊥CD, BK⊥AC Đặt AC = x (0 < x < 2a) (Hình 3.30) Hình 3.30: Hình vẽ Bài tốn 3.4.9 Khi BK = a2 − x2 AH ≤ AC = x Ta có SABCD = SABC + SADC = ≤ 1 BK.AC + AH.CD 2 a2 − √ = x2 x + x.a √ x2 a − x √ 1√ + a x download by : skknchat@gmail.com 69 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm, ta √ 2 √ 3a = SABCD ≤ a2 − Đẳng thức xảy   H≡C     x2 x2 + 12 1√ + 2 a2 + x2  √  ACD = 900 x2 a − = x ⇔   AC = √3a √     a = 3x √ 3a2 Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD đạt DA = a hình thang cân (AB//CD) có AB = BC = CD = Bài toán 3.4.10 (Thi tuyển sinh ĐH Hàng Hải 1995) Cho góc tam diện vng Oxyz Điểm N cố định nằm góc tam diện, mặt phẳng (P ) qua N cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ N đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c a Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ b Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz , từ giả thiết ta N (a; b; c) (Hình 3.31) Khi đó, phương trình mặt phẳng (P ) qua N có dạng: (P ) : α (x − a) + β (y − b) + γ (z − c) = (α, β, γ > 0) Từ đó, cách lấy giao điểm (P ) với Ox, Oy, Oz ta được: A aα + bβ + cγ ; 0; α ⇒ OA = aα + bβ + cγ , α B 0; aα + bβ + cγ ;0 β ⇒ OB = aα + bβ + cγ , β download by : skknchat@gmail.com 70 C 0; 0; aα + bβ + cγ γ ⇒ OC = aα + bβ + cγ γ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có VOABC (aα + bβ + cγ)3 = OA.OB.OC = 6 αβγ √ 3 aαbβcγ ≥ αβγ 9abc = 9abc , đạt aα = bβ = cγ Khi đó: aα + bβ + cγ aα + aα + aα OA = = = 3a, α α aα + bβ + cγ bβ + bβ + bβ OB = = = 3b, β β cγ + cγ + cγ aα + bβ + cγ = = 3c OC = γ γ Vậy VOABC = Hình 3.31: Hình vẽ Bài tốn 3.4.10 b Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ + + α β γ bβ aα cγ aα cγ bβ = a+b+c+ + + + + + α β α γ β γ √ √ √ √ √ √ ≥ a + b + c + ba + ac + cb = a+ b+ c OA + OB + OC = download by : skknchat@gmail.com 71 Vậy min(OA + OB + OC) = √ a+ √ b+ √ c , đạt  bβ aα  =   β   α      cγ aα ⇔ aα2 = bβ = cγ = α γ bβ cγ = β γ Khi aα + bβ + cγ α bβ cγ + = a+ α α a a = a+b +c b c √ √ = a + ab + ac OA = √ √ √ √ Tương tự OB = b + ba + bc, OC = c + ca + cb Bài tốn 3.4.11 Cho khối chóp tam giác nội tiếp khối cầu bán kính R Tính kích thước khối chóp tích lớn Giải Gọi H tâm tam giác ABC Vì SH đường cao hình chóp S.ABC nên SH trục tam giác ABC (Hình 3.32) Hình 3.32: Hình vẽ Bài tốn 3.4.11 Trong mặt phẳng (SAH) gọi O giao điểm đường trung trực SA với SH O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính mặt cầu R = SO Gọi I trung điểm SA tứ giác AHOI nội tiếp, nên: download by : skknchat@gmail.com 72 SA2 SA2 = 2SH √2h a a2 + 3h2 2 2 Mà SA = SH + AH = h + = 3 a2 + 3h2 Từ suy R = SO = ⇒ a2 = 3h (2R − h) 6h √ √ a2 h 3 Thể tích khối chóp là: VSABC = SABC SH = = 3h (2R − h) h 12 12 Suy thể tích khối chóp lớn h (2R − h) h lớn SO.SH = SI.SA ⇒ SO = Áp dụng bất đẳng thức AM − GM cho ba số khơng âm, ta có: 1 h + h + 4R − 2h h.h (2R − h) = h.h (4R − 2h) ≤ 2 Dấu ” = ” xảy h = 4R − 2h ⇔ h = 4R Vậy khối chóp tích lớn chiều cao √ 2R cạnh đáy a = 4R độ dài Bài tốn 3.4.12 Trong khối chóp tứ giác nội tiếp khối cầu bán kính R, tính kích thước khối chóp tích lớn Giải Ký hiệu độ dài cạnh đáy hình chóp a, chiều cao h, thể tích khối chóp V (Hình 3.33) Hình 3.33: Hình vẽ Bài tốn 3.4.12 Ta có bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác R = download by : skknchat@gmail.com a2 + 2h2 4h 73 Suy a2 = 4Rh − 2h2 Do thể tích khối chóp là: 1 V = a2 h = 4Rh − 2h2 h = h2 (2R − h) 3 Suy V lớn h2 (2R − h) lớn Áp dụng bất đẳng thức AM − GM , ta 1 h + h + 4R − 2h h (2R − h) = h.h (4R − 2h) ≤ 2 Dấu ” = ” xảy h = 4R − 2h ⇔ h = Suy a = 4R 3 4R Vậy khối chóp tích lớn chiều cao đáy a = 4R 4R cạnh Một cách tổng quát, số khối chóp n-giác nội tiếp khối cầu bán kính R cho trước khối chóp n-giác có chiều cao h = √ π 4R sin tích lớn a= n 4R cạnh đáy Bài toán 3.4.13 (Đề thi IMC, THCS, 2015) E điểm cạnh BC hình vng ABCD cho BE = 20cm, CE = 28cm P điểm đường chéo BD Giá trị nhỏ độ dài P E + P C cm ? Giải Lấy F điểm thuộc cạnh AB cho BF = BE Khi F E đối xứng qua BD (Hình 3.34) Hình 3.34: Hình vẽ Bài tốn 3.4.13 download by : skknchat@gmail.com 74 Từ bất đẳng thức tam giác, ta có P E + P C = P F + P C ≥ CF, đẳng thức xảy P ∈ F C F C = √ BC + BF = √ 482 + 202 = 52 Vậy giá trị nhỏ P E + P C 52 cm Một số toán tương tự Bài toán 3.4.14 Trong tam giác có độ dài cạnh đáy diện tích, tìm tam giác có chu vi nhỏ Bài toán 3.4.15 (Thi HSG lớp Hà Nội năm 1985) Cho tam giác ABC , điểm P nằm tam giác Kẻ P A′ ⊥BC , P B ′ ⊥AC, P C ′ ⊥AB Xác định vị trí P BC CA AB để + + nhỏ ′ ′ PA PB P C′ Bài toán 3.4.16 (Thi HSG Hà Nội năm 1999) Cho đoạn thẳng AB song song với đường thẳng d M điểm nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa d (M không thuộc đoạn thẳng AB ) Gọi C, D giao điểm tia M A, M B với d Tìm quỹ tích điểm M cho tam giác M CD có diện tích nhỏ Bài toán 3.4.17 (Thi HSG Mĩ năm 1972) Qua điểm O nằm góc, dựng đường thẳng cắt hai cạnh góc B C cho 1 + có giá trị OB OC lớn Bài toán 3.4.18 (Thi HSG Bỉ năm 1982) Trong tam giác có chu vi cho trước, tìm tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Bài tốn 3.4.19 (Đại học Tổng hợp TP.HCM-1995) Cho tam giác OAB có cạnh a > Trên đường thẳng d qua O vng góc với mp(OAB) lấy điểm M với OM = x Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên M B, OB Đường thẳng EF cắt d N download by : skknchat@gmail.com 75 a) Chứng minh AN ⊥BM b) Xác định x để thể tích tứ diện ABM N nhỏ Bài toán 3.4.20 (Đại học kỹ thuật TP.HCM-1998) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = h SA⊥(ABCD) M điểm thay đổi cạnh CD Đặt CM = x a) Hạ SH⊥BM Tính SH theo a, h x b) Xác định vị trí M để thể tích tứ diện SABH đạt giá trị lớn tính giá trị lớn download by : skknchat@gmail.com 76 Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nhằm nghiên cứu ứng dụng số phương pháp giải toán cực trị hình học Luận văn đạt số kết sau: 1) Trình bày phương pháp để người làm toán lựa chọn đứng trước tốn cực trị hình học: Phương pháp sử dụng phép biến đổi hình học, phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại số, phương pháp sử dụng kiến thức giải tích 2) Hệ thống tập áp dụng trình bày chi tiết phương pháp để giải tốn cực trị hình học đến kết cuối 3) Luận văn nghiên cứu cách có hệ thống kỹ thuật để giải tốn cực trị hình học Giúp làm sở để giải toán chương trình tốn học phổ thơng giúp đưa toán Hướng nghiên cứu luận văn mở rộng thêm vào vấn đề: Áp dụng phương pháp vec tơ để giải tốn cực trị hình học download by : skknchat@gmail.com 77 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức Định lý áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp giải toán cực trị hình học, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Thái Thuần Quang (chủ biên), Nguyễn Dư Vi Nhân, Mai Thành Tấn, Nguyễn Ngọc Quốc Thương, Giáo trình Giải tích 1, Bình Định 6/2016 [4] Tuyển chọn theo chun đề Toán học Tuổi trẻ NXB Giáo dục [5] Trịnh Đào Chiến, Đồng thức Leibniz Bài giảng cho học viên Cao học khoá 22 (2019-2021) [6] Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar Stoyanov, Geometric Problems on Maxima and Minima, Birkhăauser Basel 2006 [7] L.F.Túth, Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 65, SpringerVerlag, Berlin 1972 [8] W Blaschke, Kreis and Kugel, Walter de Gruyter and Co., Berlin, 1956 [9] R.Courant and H Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, London, 1941 download by : skknchat@gmail.com 78 [10] N.D Kazarinoff, Geometric Inequalities, Random House, New York, 1961 [11] O.Mushkarov and L Stoyanov, Extremal Problems in Geometry, (in Bulgarian), Narodna Prosveta, Sofia, 1989 [12] G.Pólya, Mathematics and Plausible Reasoning, Vol I Induction and analogy in mathematics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1954 [13] G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, 1934 [14] D.S.Mitrinovic, Analytic Inequalites, Springer-Verlag, Heidelberg, 1970 [15] V M Tihomirov, Stories about Maxima and Minima, AMS, Providence, RI,1990 [16] V.A.Zalgaller and G.A.Loss, A solution of the Malfatti problem, (in Russian), Ukrainian Geometric Sbornik, 34 (1991), pp 14–33 download by : skknchat@gmail.com ... lý cực trị hàm số Chương 2: Các phương pháp tìm cực trị hình học Nội dung trọng tâm chương trình bày số phương pháp khác để giải tốn cực trị hình học Một phương pháp là: sử dụng phép biến đổi hình. .. thống phương pháp hay dùng để giải tốn cực trị hình học, hướng dẫn TS Trần Ngọc Nguyên, chọn đề tài luận văn: "Một số phương pháp giải download by : skknchat@gmail.com tốn cực trị hình học" để... đẳng thức đại số Nhiều tốn cực trị hình học giải việc sử dụng bất đẳng thức đại số thích hợp Ngược lại, nhiều bất đẳng thức đại số giải thích mặt hình học tốn cực trị hình học Một download by