(LUẬN văn THẠC sĩ) một số tính chất của phần tử sinh của đại số đa thức xem như môđun trên đại số steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ CHUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ CHUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 8460104 Người hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN SUM download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Sơ lược đại số Steenrod 1.2 Cấu trúc A-môđun trái không ổn định đại số đa thức Pn 1.3 Một số kiến thức toán hit kết liên quan 10 1.3.1 Véctơ trọng lượng véctơ lũy thừa 10 1.3.2 Đơn thức chấp nhận 12 1.3.3 Đồng cấu Kameko tiêu chuẩn đơn thức hit Singer 14 Một số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn môđun đại số Steenrod 16 2.1 Xây dựng phần tử sinh 16 2.2 Một số tính chất phần tử sinh A-mơđun Pn 18 Các đơn thức chấp nhận đại số đa thức năm biến bậc 5(2s − 1) + 10.2s 27 3.1 Trường hợp s = 27 3.2 Trường hợp s = 30 Phụ lục: Các đơn thức chấp nhận bậc 10, 11, 25 36 P5 4.1 Các đơn thức chấp nhận bậc 10 P5 36 4.2 Các đơn thức chấp nhận bậc 11 P5 38 4.3 Các đơn thức chấp nhận bậc 25 P50 40 download by : skknchat@gmail.com ii 4.4 Các đơn thức chấp nhận bậc 25 P5+ 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 download by : skknchat@gmail.com iii Bảng số ký hiệu F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử Pn : Đại số đa thức có n biến x1 , x2 , , xn A : Đại số Steenrod mod Nn : Tập hợp tất số nguyên dương không vượt n Nn : Tập hợp tất cặp (i, I), với I = (i1 , i2 , , xr ) ∈ Nrn XI : Đơn thức xj với I = (i1 , i2 , , xr ), r 0, µ(m) : Số r ∈ N : m = i r i r Bn (d) : Tập hợp tất đơn thức chấp nhận bậc d A − môđun Pn download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Ký hiệu Pn = F2 [x1 , x2 , , xn ] đại số đa thức trường F2 , gồm n biến xi , biến có bậc Đại số đẳng cấu với đối đồng điều kỳ dị hệ số F2 tích n-lần khơng gian xạ ảnh thực vơ hạn chiều Do đó, có cấu trúc môđun trái đại số Steenrod mod 2, A Tác động trái A Pn xác định tường minh tính chất sơ cấp tốn tử Steenrod Sq m , bậc m (xem [16]) công thức Cartan [2] Sq m (f g) = Sq i (f )Sq j (g), i+j=m với đa thức f, g ∈ Pn Một tốn mang tính thời sự, nhiều nhà Tơpơ đại số nghiên cứu tốn xác định tường minh hệ sinh tối tiểu Pn xét môđun đại số Steenrod A Bài tốn có tên gọi tốn hit, nghiên cứu trước tiên Peterson [10] Singer [14] Về sau nghiên cứu nhiều tác Crabb and Hubbuck [3], Janfada and Wood [4], Kameko [6], Mothebe [8], Nam [9], Phúc-Sum [11], Singer [15], Wood [21] nhiều tác giả khác Một đa thức f Pn gọi "hit" Sq m (fm ) fm đa thức biểu diễn dạng tổng hữu hạn f = m>0 Pn Xem F2 A-môđun tầm thường, toán hit quy xác định hệ sinh tối tiểu F2 -không gian véctơ phân bậc QPn := F2 ⊗A Pn = Pn /A+ Pn , download by : skknchat@gmail.com ký hiệu A+ iđêan bổ sung đại số A A+ Pn tập hợp tất đa thức hit Pn Qua cơng trình Peterson [10], Wood [21] Singer [14], thấy tốn hit có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều toán kinh điển lý thuyết đồng luân lý thuyết cobordism đa tạp; toán phân tích ổn định khơng gian phân loại 2-nhóm Abel sơ cấp; lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, Cho d số nguyên dương tùy ý ký hiệu (QPn )d không gian QPn sinh lớp có phần tử đại diện đa thức bậc d A-môđun Pn Một cơng cụ hữu hiệu để giải tốn 0 hit đồng cấu Kameko Sq ∗ = (Sq ∗ )(n,n+2d) : (QPn )n+2d → (QPn )d Đồng cấu cảm sinh từ ánh xạ F2 -tuyến tính ϕ : Pn −→ Pn xác định bởi: ϕ(x) = u x = x1 x2 xn u2 , trường hợp khác, với x đơn thức tùy ý Pn Bài toán hit giải tường minh Peterson [10] với số biến n Trường hợp n = Kameko nghiên cứu Luận án tiến sĩ [6] Trường Đại học Johns Hopkins năm 1990 Sau đó, N Sum giải cụ thể cho trường hợp n = báo [17] Như biết, giải toán hit tương đương với việc xác định sở không gian véctơ QPn bậc d Tuy nhiên, từ kết Wood [21], nghiên cứu không gian QPn bậc d có dạng sau: d = t(2s − 1) + 2s m, với t, s, m số ngun khơng âm thỏa mãn µ(m) < t (2di − 1), di > 0, µ(m) = r ∈ N : m = (1) n, i r i r Trường hợp t = n, toán nghiên cứu phần Hưng [5] Tín-Sum [20] Đáng ý, [20], tác giả với s > τ, (QPn )n(2s −1)+2t m ∼ = (QPn )n(2τ −1)+2τ m download by : skknchat@gmail.com τ τ (n, m) = max{0, n − α(n + m) − ς(n + m)}, ký hiệu α(k) số hệ số khai triển nhị phân k ς(k) số nguyên dương lớn p cho k chia hết cho 2p Kết mở rộng kết Hưng [5] tính chất đẳng cấu lặp đồng cấu Kameko [6] Hơn nữa, thông qua kết Tín-Sum [20], để xác định khơng gian QPn dạng bậc d (1), cần xét trường hợp s τ (n, m) Việc nghiên cứu toán hit bậc d có dạng (1) phức tạp địi hỏi nhiều kỹ thuật Tuy nhiên, nhiều trường hợp, thơng qua vài tính chất đặc biệt phần tử sinh A-mơđun Pn , q trình giải tốn hit thuận lợi Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết kết báo [18] số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn xét môđun đại số Steenrod Từ đó, nghiên cứu tính tốn tường minh tốn hit bậc d có dạng (1) với t = n = m = 10 Cấu trúc luận văn gồm phần Mở đầu, Phần nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Phần nội dung luận văn chia thành chương • Chương trình bày số kiến thức biết toán hit Peterson Các kiến thức chương sử dụng cho chương • Chương trình bày cách xây dựng số đồng cấu chứng minh vài tính chất đặc biệt phần tử sinh đại số đa thức Pn môđun đại số Steenrod • Trong Chương 3, chúng tơi trình bày chi tiết kết [18] toán hit số biến n = bậc d = 5(2s − 1) + 10.2s với s số nguyên khơng âm tùy ý • Cuối Chương 4, liệt kê tất đơn thức chấp nhận bậc 10, 11, 25 P5 Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Sum Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, Thầy tận tình việc giảng dạy, giúp đỡ truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm download by : skknchat@gmail.com trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phịng đào tạo sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy, cô giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Đại số lí thuyết số K20 Tác giả gửi lời cảm ơn đến anh chị em học viên lớp Cao học Toán Đại số lí thuyết số khóa 20, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ tác giả suốt năm học Cao học trường Đại học Quy Nhơn Cuối cùng, tác giả hy vọng luận văn tài liệu hữu ích cho sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu tốn hit lĩnh vực Tơpơ đại số download by : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức sở Trong toàn luận văn này, vành hệ số xét trường nguyên tố F2 có hai phần tử Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức biết toán hit Peterson bao gồm kiến thức đại số Steenrod A tác động đại số đa thức Pn := F2 [x1 , , xn ] 1.1 Sơ lược đại số Steenrod Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược đại số Steenrod trường F2 Các kiến thức phần chủ yếu dựa theo tài liệu [1, 2, 7, 13] Đại số Steenrod đại số phân bậc, kết hợp, có đơn vị trường F2 sinh toán tử đối đồng điều Sq m : H d (X) → H d+m (X), phép biến đổi tự nhiên đối đồng điều kỳ dị không gian tôpô X , xác định với d, m Các toán tử gọi toán tử Steenrod giao hốn với "phép treo”; chúng gọi toán tử đối đồng điều ổn định Đại số Steenrod thường ký hiệu A Năm 1950, Cartan [2] Sq m (xy) = Sq i (x)Sq j (y), i+j=m download by : skknchat@gmail.com 35 đơn thức w cho Bổ đề 3.2.3, 3.2.7, 3.2.8 3.2.9 r cho xj xl xt z = wz12 với z1 đơn thức phù hợp P5 r = max{j ∈ Z : ωj (w) > 0} Bởi Định lý 1.3.7, xj xl xt z đơn thức không chấp nhận Vì x đơn thức chấp nhận x = xj xl xt y với y ∈ B5 (3, 2, 1) nên ta có x = b25,u với u, u 440 Điều dẫn đến B5+ (3, 3, 2, 1) ⊆ {b25,u : Bây chứng minh tập hợp {[b25,u ] : u 440} u 440} độc lập tuyến tính (QP5 )25 Thật vậy, giả sử có quan hệ tuyến tính 440 S= γu b25,u ≡ 0, u=1 γu ∈ F2 Với i B4 (5.(2s − 1) + 10.2s ) = ∅ Do đó, Giả thuyết 2.1.4 với n = dạng bậc 5.(2s − 1) + 10.2s với s số nguyên không âm download by : skknchat@gmail.com 47 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày kết sau: • Trình bày tổng quan đại số Steenrod mod-2, A tác động đại số đa thức Pn = F2 [x1 , , xn ] • Trình bày số kiến thức toán hit phép chứng minh chi tiết kết báo [18] số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn mơđun đại số Steenrod • Trình bày phép chứng minh chi tiết kết [18] toán hit đại số P5 dạng bậc t(2s − 1) + 2s m với t = n = 5, m = 10 s số nguyên không âm tùy ý download by : skknchat@gmail.com 48 Tài liệu tham khảo [1] J Adem, The interation of Steenrod squares in algebraic topolog, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 38, 720-726 (1952) [2] H Cartan, Une théories axiomatique des carrés de Steenrod, C R Acad Sci Paris, Ser I, 230, 425-427 (1950) [3] M C Crabb and J R Hubbuck, Representations of the homology of BV and the Steenrod algebra II, algebraic topology: new trend in localization and periodicity Prog Math., 136, 143-154 (1996) [4] A S Janfada, R.M.W Wood, The hit problem for symmetric polynomials over the Steenrod algebra, Math Proc Camb Philos Soc., 133, 295–303 (2002) [5] N H V Hưng, The cohomology of the Steenrod algebra and representations of the general linear groups, Trans Amer Math Soc., 357, 4065-4089 (2005) [6] M Kameko, Products of projective spaces as Steenrod modules, PhD Thesis, The Johns Hopkins University, 1990 [7] Robert E Mosher and Martin C Tangora, Cohomology operations and applications in homotopy theory, Harper and Row, Publishers, (1968) [8] M F Mothebe, Generators of the polynomial algebra F2 [x1 , x2 , , xn ] as a module over the Steenrod algebra, Ph.D Thesis, The University of Manchester, 1997 [9] T N Nam, A-générateurs génériques pour l’algèbre polynomiale, Adv Math., 186, 334-362 (2004) download by : skknchat@gmail.com 49 [10] F P Peterson, Generators of H ∗ (RP ∞ ×RP ∞ ) as a module over the Steenrod algebra, Abstracts Amer Math Soc.,833, 55-89 (1987) [11] Đ V Phúc and N Sum, On the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra, C.R.Math Acad Sci Paris, Ser I, 353, 1035-1040 (2015) [12] S Priddy, On characterizing summands in the classifying space of a group, I, Amer Jour Math., 112, 737-748 (1990) [13] J P Serre, Cohomologie modulo des complexes d’Eilenberg-MacLane, Comment Math Helv., 27, 198-232 (1953) [14] W M Singer, The transfer in homological algebra, Math Zeit., 202, 493523 (1989) [15] W M Singer, On the action of the Steenrod squares on polynomial algebra, Proc Amer Math Soc., 111, 577-583 (1991) [16] N E Steenrod, Products of cocycles and extensions of mappings, Ann of Math., 48, 290-320 (1947) [17] N Sum, On the Peterson hit problem, Adv Math., 274, 432-489 (2015) [18] N Sum, On a construction for the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra, In: Singh M., Song Y., Wu J (eds) Algebraic Topology and Related Topics Trends in Mathematics Birkhăauser/Springer, Singapore (2019), 265-286 [19] N K Tín, The admissible monomial basis for the polynomial algebra of five variables in degree 2s+1 + 2s − 5, East-West J Math., 16, 34-46 (2014) [20] N K Tín and N Sum, Kameko’s homomorphism and the algebraic transfer, C R Acad Sci Paris, Ser I, 354, 940-943 (2016) [21] R M W Wood, Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture, Math Proc Cambridge Phil Soc., 105, 307-309 (1989) download by : skknchat@gmail.com ... Chương Một số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn môđun đại số Steenrod Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết kết báo [18] cách xây dựng số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn môđun. .. ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ CHUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 8460104 Người... Đơn thức chấp nhận 12 1.3.3 Đồng cấu Kameko tiêu chuẩn đơn thức hit Singer 14 Một số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn môđun đại số Steenrod 16 2.1 Xây dựng phần tử sinh